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Theorem dford4 26990
Description: dford3 26989 expressed in primitives to demonstrate shortness. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
dford4  |-  ( Ord 
N  <->  A. a A. b A. c ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  (
b  e.  N  /\  ( c  e.  b  ->  c  e.  a ) ) ) )
Distinct variable group:    a, b, c, N

Proof of Theorem dford4
StepHypRef Expression
1 dford3 26989 . 2  |-  ( Ord 
N  <->  ( Tr  N  /\  A. a  e.  N  Tr  a ) )
2 dftr2 4264 . . . . 5  |-  ( Tr  N  <->  A. b A. a
( ( b  e.  a  /\  a  e.  N )  ->  b  e.  N ) )
3 19.3v 1673 . . . . . . . 8  |-  ( A. c ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  b  e.  N )  <->  ( (
a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  b  e.  N ) )
4 ancom 438 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  <->  ( b  e.  a  /\  a  e.  N )
)
54imbi1i 316 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a
)  ->  b  e.  N )  <->  ( (
b  e.  a  /\  a  e.  N )  ->  b  e.  N ) )
63, 5bitri 241 . . . . . . 7  |-  ( A. c ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  b  e.  N )  <->  ( (
b  e.  a  /\  a  e.  N )  ->  b  e.  N ) )
762albii 1573 . . . . . 6  |-  ( A. a A. b A. c
( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  b  e.  N )  <->  A. a A. b ( ( b  e.  a  /\  a  e.  N )  ->  b  e.  N ) )
8 alcom 1748 . . . . . 6  |-  ( A. a A. b ( ( b  e.  a  /\  a  e.  N )  ->  b  e.  N )  <->  A. b A. a ( ( b  e.  a  /\  a  e.  N
)  ->  b  e.  N ) )
97, 8bitri 241 . . . . 5  |-  ( A. a A. b A. c
( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  b  e.  N )  <->  A. b A. a ( ( b  e.  a  /\  a  e.  N )  ->  b  e.  N ) )
102, 9bitr4i 244 . . . 4  |-  ( Tr  N  <->  A. a A. b A. c ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  b  e.  N ) )
11 df-ral 2671 . . . . 5  |-  ( A. a  e.  N  Tr  a 
<-> 
A. a ( a  e.  N  ->  Tr  a ) )
12 dftr2 4264 . . . . . . . . 9  |-  ( Tr  a  <->  A. c A. b
( ( c  e.  b  /\  b  e.  a )  ->  c  e.  a ) )
1312imbi2i 304 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  e.  N  ->  Tr  a )  <->  ( a  e.  N  ->  A. c A. b ( ( c  e.  b  /\  b  e.  a )  ->  c  e.  a ) ) )
14 nfv 1626 . . . . . . . . 9  |-  F/ c  a  e.  N
15 nfv 1626 . . . . . . . . 9  |-  F/ b  a  e.  N
1614, 1519.21-2 1883 . . . . . . . 8  |-  ( A. c A. b ( a  e.  N  ->  (
( c  e.  b  /\  b  e.  a )  ->  c  e.  a ) )  <->  ( a  e.  N  ->  A. c A. b ( ( c  e.  b  /\  b  e.  a )  ->  c  e.  a ) ) )
1713, 16bitr4i 244 . . . . . . 7  |-  ( ( a  e.  N  ->  Tr  a )  <->  A. c A. b ( a  e.  N  ->  ( (
c  e.  b  /\  b  e.  a )  ->  c  e.  a ) ) )
18 impexp 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( a  e.  N  /\  ( c  e.  b  /\  b  e.  a ) )  ->  c  e.  a )  <->  ( a  e.  N  ->  ( ( c  e.  b  /\  b  e.  a )  ->  c  e.  a ) ) )
19 ancom 438 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( c  e.  b  /\  b  e.  a )  <->  ( b  e.  a  /\  c  e.  b )
)
2019anbi2i 676 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  e.  N  /\  ( c  e.  b  /\  b  e.  a ) )  <->  ( a  e.  N  /\  (
b  e.  a  /\  c  e.  b )
) )
21 anass 631 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a
)  /\  c  e.  b )  <->  ( a  e.  N  /\  (
b  e.  a  /\  c  e.  b )
) )
2220, 21bitr4i 244 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  e.  N  /\  ( c  e.  b  /\  b  e.  a ) )  <->  ( (
a  e.  N  /\  b  e.  a )  /\  c  e.  b
) )
2322imbi1i 316 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( a  e.  N  /\  ( c  e.  b  /\  b  e.  a ) )  ->  c  e.  a )  <->  ( (
( a  e.  N  /\  b  e.  a
)  /\  c  e.  b )  ->  c  e.  a ) )
2418, 23bitr3i 243 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  N  -> 
( ( c  e.  b  /\  b  e.  a )  ->  c  e.  a ) )  <->  ( (
( a  e.  N  /\  b  e.  a
)  /\  c  e.  b )  ->  c  e.  a ) )
25 impexp 434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  /\  c  e.  b )  ->  c  e.  a )  <->  ( (
a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  ( c  e.  b  ->  c  e.  a ) ) )
2624, 25bitri 241 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  e.  N  -> 
( ( c  e.  b  /\  b  e.  a )  ->  c  e.  a ) )  <->  ( (
a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  ( c  e.  b  ->  c  e.  a ) ) )
27262albii 1573 . . . . . . 7  |-  ( A. c A. b ( a  e.  N  ->  (
( c  e.  b  /\  b  e.  a )  ->  c  e.  a ) )  <->  A. c A. b ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  (
c  e.  b  -> 
c  e.  a ) ) )
28 alcom 1748 . . . . . . 7  |-  ( A. c A. b ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  ( c  e.  b  ->  c  e.  a ) )  <->  A. b A. c ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  (
c  e.  b  -> 
c  e.  a ) ) )
2917, 27, 283bitri 263 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  N  ->  Tr  a )  <->  A. b A. c ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  (
c  e.  b  -> 
c  e.  a ) ) )
3029albii 1572 . . . . 5  |-  ( A. a ( a  e.  N  ->  Tr  a
)  <->  A. a A. b A. c ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  (
c  e.  b  -> 
c  e.  a ) ) )
3111, 30bitri 241 . . . 4  |-  ( A. a  e.  N  Tr  a 
<-> 
A. a A. b A. c ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  (
c  e.  b  -> 
c  e.  a ) ) )
3210, 31anbi12i 679 . . 3  |-  ( ( Tr  N  /\  A. a  e.  N  Tr  a )  <->  ( A. a A. b A. c
( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  b  e.  N )  /\  A. a A. b A. c
( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  (
c  e.  b  -> 
c  e.  a ) ) ) )
33 19.26 1600 . . 3  |-  ( A. a ( A. b A. c ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  b  e.  N )  /\  A. b A. c ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  ( c  e.  b  ->  c  e.  a ) ) )  <->  ( A. a A. b A. c
( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  b  e.  N )  /\  A. a A. b A. c
( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  (
c  e.  b  -> 
c  e.  a ) ) ) )
3432, 33bitr4i 244 . 2  |-  ( ( Tr  N  /\  A. a  e.  N  Tr  a )  <->  A. a
( A. b A. c ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  b  e.  N )  /\  A. b A. c ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  ( c  e.  b  ->  c  e.  a ) ) ) )
35 19.26-2 1601 . . . 4  |-  ( A. b A. c ( ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a
)  ->  b  e.  N )  /\  (
( a  e.  N  /\  b  e.  a
)  ->  ( c  e.  b  ->  c  e.  a ) ) )  <-> 
( A. b A. c ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  b  e.  N )  /\  A. b A. c ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  ( c  e.  b  ->  c  e.  a ) ) ) )
36 pm4.76 837 . . . . 5  |-  ( ( ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  b  e.  N )  /\  (
( a  e.  N  /\  b  e.  a
)  ->  ( c  e.  b  ->  c  e.  a ) ) )  <-> 
( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  (
b  e.  N  /\  ( c  e.  b  ->  c  e.  a ) ) ) )
37362albii 1573 . . . 4  |-  ( A. b A. c ( ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a
)  ->  b  e.  N )  /\  (
( a  e.  N  /\  b  e.  a
)  ->  ( c  e.  b  ->  c  e.  a ) ) )  <->  A. b A. c ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a
)  ->  ( b  e.  N  /\  (
c  e.  b  -> 
c  e.  a ) ) ) )
3835, 37bitr3i 243 . . 3  |-  ( ( A. b A. c
( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  b  e.  N )  /\  A. b A. c ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  ( c  e.  b  ->  c  e.  a ) ) )  <->  A. b A. c ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  (
b  e.  N  /\  ( c  e.  b  ->  c  e.  a ) ) ) )
3938albii 1572 . 2  |-  ( A. a ( A. b A. c ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  b  e.  N )  /\  A. b A. c ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  ( c  e.  b  ->  c  e.  a ) ) )  <->  A. a A. b A. c ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a
)  ->  ( b  e.  N  /\  (
c  e.  b  -> 
c  e.  a ) ) ) )
401, 34, 393bitri 263 1  |-  ( Ord 
N  <->  A. a A. b A. c ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  (
b  e.  N  /\  ( c  e.  b  ->  c  e.  a ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   A.wal 1546    e. wcel 1721   A.wral 2666   Tr wtr 4262   Ord word 4540
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-reg 7516
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-suc 4547
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