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Theorem dford4 30890
Description: dford3 30889 expressed in primitives to demonstrate shortness. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
dford4  |-  ( Ord 
N  <->  A. a A. b A. c ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  (
b  e.  N  /\  ( c  e.  b  ->  c  e.  a ) ) ) )
Distinct variable group:    a, b, c, N

Proof of Theorem dford4
StepHypRef Expression
1 dford3 30889 . 2  |-  ( Ord 
N  <->  ( Tr  N  /\  A. a  e.  N  Tr  a ) )
2 dftr2 4548 . . . . 5  |-  ( Tr  N  <->  A. b A. a
( ( b  e.  a  /\  a  e.  N )  ->  b  e.  N ) )
3 19.3v 1729 . . . . . . . 8  |-  ( A. c ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  b  e.  N )  <->  ( (
a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  b  e.  N ) )
4 ancom 450 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  <->  ( b  e.  a  /\  a  e.  N )
)
54imbi1i 325 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a
)  ->  b  e.  N )  <->  ( (
b  e.  a  /\  a  e.  N )  ->  b  e.  N ) )
63, 5bitri 249 . . . . . . 7  |-  ( A. c ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  b  e.  N )  <->  ( (
b  e.  a  /\  a  e.  N )  ->  b  e.  N ) )
762albii 1621 . . . . . 6  |-  ( A. a A. b A. c
( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  b  e.  N )  <->  A. a A. b ( ( b  e.  a  /\  a  e.  N )  ->  b  e.  N ) )
8 alcom 1794 . . . . . 6  |-  ( A. a A. b ( ( b  e.  a  /\  a  e.  N )  ->  b  e.  N )  <->  A. b A. a ( ( b  e.  a  /\  a  e.  N
)  ->  b  e.  N ) )
97, 8bitri 249 . . . . 5  |-  ( A. a A. b A. c
( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  b  e.  N )  <->  A. b A. a ( ( b  e.  a  /\  a  e.  N )  ->  b  e.  N ) )
102, 9bitr4i 252 . . . 4  |-  ( Tr  N  <->  A. a A. b A. c ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  b  e.  N ) )
11 df-ral 2822 . . . . 5  |-  ( A. a  e.  N  Tr  a 
<-> 
A. a ( a  e.  N  ->  Tr  a ) )
12 dftr2 4548 . . . . . . . . 9  |-  ( Tr  a  <->  A. c A. b
( ( c  e.  b  /\  b  e.  a )  ->  c  e.  a ) )
1312imbi2i 312 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  e.  N  ->  Tr  a )  <->  ( a  e.  N  ->  A. c A. b ( ( c  e.  b  /\  b  e.  a )  ->  c  e.  a ) ) )
14 nfv 1683 . . . . . . . . 9  |-  F/ c  a  e.  N
15 nfv 1683 . . . . . . . . 9  |-  F/ b  a  e.  N
1614, 1519.21-2 1907 . . . . . . . 8  |-  ( A. c A. b ( a  e.  N  ->  (
( c  e.  b  /\  b  e.  a )  ->  c  e.  a ) )  <->  ( a  e.  N  ->  A. c A. b ( ( c  e.  b  /\  b  e.  a )  ->  c  e.  a ) ) )
1713, 16bitr4i 252 . . . . . . 7  |-  ( ( a  e.  N  ->  Tr  a )  <->  A. c A. b ( a  e.  N  ->  ( (
c  e.  b  /\  b  e.  a )  ->  c  e.  a ) ) )
18 impexp 446 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( a  e.  N  /\  ( c  e.  b  /\  b  e.  a ) )  ->  c  e.  a )  <->  ( a  e.  N  ->  ( ( c  e.  b  /\  b  e.  a )  ->  c  e.  a ) ) )
19 ancom 450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( c  e.  b  /\  b  e.  a )  <->  ( b  e.  a  /\  c  e.  b )
)
2019anbi2i 694 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  e.  N  /\  ( c  e.  b  /\  b  e.  a ) )  <->  ( a  e.  N  /\  (
b  e.  a  /\  c  e.  b )
) )
21 anass 649 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a
)  /\  c  e.  b )  <->  ( a  e.  N  /\  (
b  e.  a  /\  c  e.  b )
) )
2220, 21bitr4i 252 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  e.  N  /\  ( c  e.  b  /\  b  e.  a ) )  <->  ( (
a  e.  N  /\  b  e.  a )  /\  c  e.  b
) )
2322imbi1i 325 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( a  e.  N  /\  ( c  e.  b  /\  b  e.  a ) )  ->  c  e.  a )  <->  ( (
( a  e.  N  /\  b  e.  a
)  /\  c  e.  b )  ->  c  e.  a ) )
2418, 23bitr3i 251 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  N  -> 
( ( c  e.  b  /\  b  e.  a )  ->  c  e.  a ) )  <->  ( (
( a  e.  N  /\  b  e.  a
)  /\  c  e.  b )  ->  c  e.  a ) )
25 impexp 446 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  /\  c  e.  b )  ->  c  e.  a )  <->  ( (
a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  ( c  e.  b  ->  c  e.  a ) ) )
2624, 25bitri 249 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  e.  N  -> 
( ( c  e.  b  /\  b  e.  a )  ->  c  e.  a ) )  <->  ( (
a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  ( c  e.  b  ->  c  e.  a ) ) )
27262albii 1621 . . . . . . 7  |-  ( A. c A. b ( a  e.  N  ->  (
( c  e.  b  /\  b  e.  a )  ->  c  e.  a ) )  <->  A. c A. b ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  (
c  e.  b  -> 
c  e.  a ) ) )
28 alcom 1794 . . . . . . 7  |-  ( A. c A. b ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  ( c  e.  b  ->  c  e.  a ) )  <->  A. b A. c ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  (
c  e.  b  -> 
c  e.  a ) ) )
2917, 27, 283bitri 271 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  N  ->  Tr  a )  <->  A. b A. c ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  (
c  e.  b  -> 
c  e.  a ) ) )
3029albii 1620 . . . . 5  |-  ( A. a ( a  e.  N  ->  Tr  a
)  <->  A. a A. b A. c ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  (
c  e.  b  -> 
c  e.  a ) ) )
3111, 30bitri 249 . . . 4  |-  ( A. a  e.  N  Tr  a 
<-> 
A. a A. b A. c ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  (
c  e.  b  -> 
c  e.  a ) ) )
3210, 31anbi12i 697 . . 3  |-  ( ( Tr  N  /\  A. a  e.  N  Tr  a )  <->  ( A. a A. b A. c
( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  b  e.  N )  /\  A. a A. b A. c
( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  (
c  e.  b  -> 
c  e.  a ) ) ) )
33 19.26 1657 . . 3  |-  ( A. a ( A. b A. c ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  b  e.  N )  /\  A. b A. c ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  ( c  e.  b  ->  c  e.  a ) ) )  <->  ( A. a A. b A. c
( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  b  e.  N )  /\  A. a A. b A. c
( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  (
c  e.  b  -> 
c  e.  a ) ) ) )
3432, 33bitr4i 252 . 2  |-  ( ( Tr  N  /\  A. a  e.  N  Tr  a )  <->  A. a
( A. b A. c ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  b  e.  N )  /\  A. b A. c ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  ( c  e.  b  ->  c  e.  a ) ) ) )
35 19.26-2 1658 . . . 4  |-  ( A. b A. c ( ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a
)  ->  b  e.  N )  /\  (
( a  e.  N  /\  b  e.  a
)  ->  ( c  e.  b  ->  c  e.  a ) ) )  <-> 
( A. b A. c ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  b  e.  N )  /\  A. b A. c ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  ( c  e.  b  ->  c  e.  a ) ) ) )
36 pm4.76 864 . . . . 5  |-  ( ( ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  b  e.  N )  /\  (
( a  e.  N  /\  b  e.  a
)  ->  ( c  e.  b  ->  c  e.  a ) ) )  <-> 
( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  (
b  e.  N  /\  ( c  e.  b  ->  c  e.  a ) ) ) )
37362albii 1621 . . . 4  |-  ( A. b A. c ( ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a
)  ->  b  e.  N )  /\  (
( a  e.  N  /\  b  e.  a
)  ->  ( c  e.  b  ->  c  e.  a ) ) )  <->  A. b A. c ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a
)  ->  ( b  e.  N  /\  (
c  e.  b  -> 
c  e.  a ) ) ) )
3835, 37bitr3i 251 . . 3  |-  ( ( A. b A. c
( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  b  e.  N )  /\  A. b A. c ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  ( c  e.  b  ->  c  e.  a ) ) )  <->  A. b A. c ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  (
b  e.  N  /\  ( c  e.  b  ->  c  e.  a ) ) ) )
3938albii 1620 . 2  |-  ( A. a ( A. b A. c ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  b  e.  N )  /\  A. b A. c ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  ( c  e.  b  ->  c  e.  a ) ) )  <->  A. a A. b A. c ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a
)  ->  ( b  e.  N  /\  (
c  e.  b  -> 
c  e.  a ) ) ) )
401, 34, 393bitri 271 1  |-  ( Ord 
N  <->  A. a A. b A. c ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  (
b  e.  N  /\  ( c  e.  b  ->  c  e.  a ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1377    e. wcel 1767   A.wral 2817   Tr wtr 4546   Ord word 4883
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-reg 8030
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-br 4454  df-opab 4512  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-suc 4890
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