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Theorem dford4 29383
Description: dford3 29382 expressed in primitives to demonstrate shortness. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
dford4  |-  ( Ord 
N  <->  A. a A. b A. c ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  (
b  e.  N  /\  ( c  e.  b  ->  c  e.  a ) ) ) )
Distinct variable group:    a, b, c, N

Proof of Theorem dford4
StepHypRef Expression
1 dford3 29382 . 2  |-  ( Ord 
N  <->  ( Tr  N  /\  A. a  e.  N  Tr  a ) )
2 dftr2 4392 . . . . 5  |-  ( Tr  N  <->  A. b A. a
( ( b  e.  a  /\  a  e.  N )  ->  b  e.  N ) )
3 19.3v 1718 . . . . . . . 8  |-  ( A. c ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  b  e.  N )  <->  ( (
a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  b  e.  N ) )
4 ancom 450 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  <->  ( b  e.  a  /\  a  e.  N )
)
54imbi1i 325 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a
)  ->  b  e.  N )  <->  ( (
b  e.  a  /\  a  e.  N )  ->  b  e.  N ) )
63, 5bitri 249 . . . . . . 7  |-  ( A. c ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  b  e.  N )  <->  ( (
b  e.  a  /\  a  e.  N )  ->  b  e.  N ) )
762albii 1611 . . . . . 6  |-  ( A. a A. b A. c
( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  b  e.  N )  <->  A. a A. b ( ( b  e.  a  /\  a  e.  N )  ->  b  e.  N ) )
8 alcom 1783 . . . . . 6  |-  ( A. a A. b ( ( b  e.  a  /\  a  e.  N )  ->  b  e.  N )  <->  A. b A. a ( ( b  e.  a  /\  a  e.  N
)  ->  b  e.  N ) )
97, 8bitri 249 . . . . 5  |-  ( A. a A. b A. c
( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  b  e.  N )  <->  A. b A. a ( ( b  e.  a  /\  a  e.  N )  ->  b  e.  N ) )
102, 9bitr4i 252 . . . 4  |-  ( Tr  N  <->  A. a A. b A. c ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  b  e.  N ) )
11 df-ral 2725 . . . . 5  |-  ( A. a  e.  N  Tr  a 
<-> 
A. a ( a  e.  N  ->  Tr  a ) )
12 dftr2 4392 . . . . . . . . 9  |-  ( Tr  a  <->  A. c A. b
( ( c  e.  b  /\  b  e.  a )  ->  c  e.  a ) )
1312imbi2i 312 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  e.  N  ->  Tr  a )  <->  ( a  e.  N  ->  A. c A. b ( ( c  e.  b  /\  b  e.  a )  ->  c  e.  a ) ) )
14 nfv 1673 . . . . . . . . 9  |-  F/ c  a  e.  N
15 nfv 1673 . . . . . . . . 9  |-  F/ b  a  e.  N
1614, 1519.21-2 1886 . . . . . . . 8  |-  ( A. c A. b ( a  e.  N  ->  (
( c  e.  b  /\  b  e.  a )  ->  c  e.  a ) )  <->  ( a  e.  N  ->  A. c A. b ( ( c  e.  b  /\  b  e.  a )  ->  c  e.  a ) ) )
1713, 16bitr4i 252 . . . . . . 7  |-  ( ( a  e.  N  ->  Tr  a )  <->  A. c A. b ( a  e.  N  ->  ( (
c  e.  b  /\  b  e.  a )  ->  c  e.  a ) ) )
18 impexp 446 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( a  e.  N  /\  ( c  e.  b  /\  b  e.  a ) )  ->  c  e.  a )  <->  ( a  e.  N  ->  ( ( c  e.  b  /\  b  e.  a )  ->  c  e.  a ) ) )
19 ancom 450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( c  e.  b  /\  b  e.  a )  <->  ( b  e.  a  /\  c  e.  b )
)
2019anbi2i 694 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  e.  N  /\  ( c  e.  b  /\  b  e.  a ) )  <->  ( a  e.  N  /\  (
b  e.  a  /\  c  e.  b )
) )
21 anass 649 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a
)  /\  c  e.  b )  <->  ( a  e.  N  /\  (
b  e.  a  /\  c  e.  b )
) )
2220, 21bitr4i 252 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  e.  N  /\  ( c  e.  b  /\  b  e.  a ) )  <->  ( (
a  e.  N  /\  b  e.  a )  /\  c  e.  b
) )
2322imbi1i 325 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( a  e.  N  /\  ( c  e.  b  /\  b  e.  a ) )  ->  c  e.  a )  <->  ( (
( a  e.  N  /\  b  e.  a
)  /\  c  e.  b )  ->  c  e.  a ) )
2418, 23bitr3i 251 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  N  -> 
( ( c  e.  b  /\  b  e.  a )  ->  c  e.  a ) )  <->  ( (
( a  e.  N  /\  b  e.  a
)  /\  c  e.  b )  ->  c  e.  a ) )
25 impexp 446 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  /\  c  e.  b )  ->  c  e.  a )  <->  ( (
a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  ( c  e.  b  ->  c  e.  a ) ) )
2624, 25bitri 249 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  e.  N  -> 
( ( c  e.  b  /\  b  e.  a )  ->  c  e.  a ) )  <->  ( (
a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  ( c  e.  b  ->  c  e.  a ) ) )
27262albii 1611 . . . . . . 7  |-  ( A. c A. b ( a  e.  N  ->  (
( c  e.  b  /\  b  e.  a )  ->  c  e.  a ) )  <->  A. c A. b ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  (
c  e.  b  -> 
c  e.  a ) ) )
28 alcom 1783 . . . . . . 7  |-  ( A. c A. b ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  ( c  e.  b  ->  c  e.  a ) )  <->  A. b A. c ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  (
c  e.  b  -> 
c  e.  a ) ) )
2917, 27, 283bitri 271 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  N  ->  Tr  a )  <->  A. b A. c ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  (
c  e.  b  -> 
c  e.  a ) ) )
3029albii 1610 . . . . 5  |-  ( A. a ( a  e.  N  ->  Tr  a
)  <->  A. a A. b A. c ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  (
c  e.  b  -> 
c  e.  a ) ) )
3111, 30bitri 249 . . . 4  |-  ( A. a  e.  N  Tr  a 
<-> 
A. a A. b A. c ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  (
c  e.  b  -> 
c  e.  a ) ) )
3210, 31anbi12i 697 . . 3  |-  ( ( Tr  N  /\  A. a  e.  N  Tr  a )  <->  ( A. a A. b A. c
( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  b  e.  N )  /\  A. a A. b A. c
( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  (
c  e.  b  -> 
c  e.  a ) ) ) )
33 19.26 1647 . . 3  |-  ( A. a ( A. b A. c ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  b  e.  N )  /\  A. b A. c ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  ( c  e.  b  ->  c  e.  a ) ) )  <->  ( A. a A. b A. c
( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  b  e.  N )  /\  A. a A. b A. c
( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  (
c  e.  b  -> 
c  e.  a ) ) ) )
3432, 33bitr4i 252 . 2  |-  ( ( Tr  N  /\  A. a  e.  N  Tr  a )  <->  A. a
( A. b A. c ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  b  e.  N )  /\  A. b A. c ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  ( c  e.  b  ->  c  e.  a ) ) ) )
35 19.26-2 1648 . . . 4  |-  ( A. b A. c ( ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a
)  ->  b  e.  N )  /\  (
( a  e.  N  /\  b  e.  a
)  ->  ( c  e.  b  ->  c  e.  a ) ) )  <-> 
( A. b A. c ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  b  e.  N )  /\  A. b A. c ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  ( c  e.  b  ->  c  e.  a ) ) ) )
36 pm4.76 861 . . . . 5  |-  ( ( ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  b  e.  N )  /\  (
( a  e.  N  /\  b  e.  a
)  ->  ( c  e.  b  ->  c  e.  a ) ) )  <-> 
( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  (
b  e.  N  /\  ( c  e.  b  ->  c  e.  a ) ) ) )
37362albii 1611 . . . 4  |-  ( A. b A. c ( ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a
)  ->  b  e.  N )  /\  (
( a  e.  N  /\  b  e.  a
)  ->  ( c  e.  b  ->  c  e.  a ) ) )  <->  A. b A. c ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a
)  ->  ( b  e.  N  /\  (
c  e.  b  -> 
c  e.  a ) ) ) )
3835, 37bitr3i 251 . . 3  |-  ( ( A. b A. c
( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  b  e.  N )  /\  A. b A. c ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  ( c  e.  b  ->  c  e.  a ) ) )  <->  A. b A. c ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  (
b  e.  N  /\  ( c  e.  b  ->  c  e.  a ) ) ) )
3938albii 1610 . 2  |-  ( A. a ( A. b A. c ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  b  e.  N )  /\  A. b A. c ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  ( c  e.  b  ->  c  e.  a ) ) )  <->  A. a A. b A. c ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a
)  ->  ( b  e.  N  /\  (
c  e.  b  -> 
c  e.  a ) ) ) )
401, 34, 393bitri 271 1  |-  ( Ord 
N  <->  A. a A. b A. c ( ( a  e.  N  /\  b  e.  a )  ->  (
b  e.  N  /\  ( c  e.  b  ->  c  e.  a ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1367    e. wcel 1756   A.wral 2720   Tr wtr 4390   Ord word 4723
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-reg 7812
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-ral 2725  df-rex 2726  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-br 4298  df-opab 4356  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-suc 4730
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