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Theorem dford3lem2 35636
Description: Lemma for dford3 35637. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
dford3lem2  |-  ( ( Tr  x  /\  A. y  e.  x  Tr  y )  ->  x  e.  On )
Distinct variable group:    x, y

Proof of Theorem dford3lem2
Dummy variables  a 
b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 suctr 5516 . . . 4  |-  ( Tr  x  ->  Tr  suc  x
)
2 vex 3081 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
32sucid 5512 . . . 4  |-  x  e. 
suc  x
42sucex 6643 . . . . 5  |-  suc  x  e.  _V
5 treq 4517 . . . . . 6  |-  ( c  =  suc  x  -> 
( Tr  c  <->  Tr  suc  x
) )
6 eleq2 2493 . . . . . 6  |-  ( c  =  suc  x  -> 
( x  e.  c  <-> 
x  e.  suc  x
) )
75, 6anbi12d 715 . . . . 5  |-  ( c  =  suc  x  -> 
( ( Tr  c  /\  x  e.  c
)  <->  ( Tr  suc  x  /\  x  e.  suc  x ) ) )
84, 7spcev 3170 . . . 4  |-  ( ( Tr  suc  x  /\  x  e.  suc  x )  ->  E. c ( Tr  c  /\  x  e.  c ) )
91, 3, 8sylancl 666 . . 3  |-  ( Tr  x  ->  E. c
( Tr  c  /\  x  e.  c )
)
109adantr 466 . 2  |-  ( ( Tr  x  /\  A. y  e.  x  Tr  y )  ->  E. c
( Tr  c  /\  x  e.  c )
)
11 simprl 762 . . . . . 6  |-  ( ( A. b  e.  a  ( ( Tr  b  /\  A. y  e.  b  Tr  y )  -> 
b  e.  On )  /\  ( Tr  a  /\  A. y  e.  a  Tr  y ) )  ->  Tr  a )
12 dford3lem1 35635 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Tr  a  /\  A. y  e.  a  Tr  y )  ->  A. b  e.  a  ( Tr  b  /\  A. y  e.  b  Tr  y ) )
13 ralim 2812 . . . . . . . . 9  |-  ( A. b  e.  a  (
( Tr  b  /\  A. y  e.  b  Tr  y )  ->  b  e.  On )  ->  ( A. b  e.  a 
( Tr  b  /\  A. y  e.  b  Tr  y )  ->  A. b  e.  a  b  e.  On ) )
1412, 13syl5 33 . . . . . . . 8  |-  ( A. b  e.  a  (
( Tr  b  /\  A. y  e.  b  Tr  y )  ->  b  e.  On )  ->  (
( Tr  a  /\  A. y  e.  a  Tr  y )  ->  A. b  e.  a  b  e.  On ) )
1514imp 430 . . . . . . 7  |-  ( ( A. b  e.  a  ( ( Tr  b  /\  A. y  e.  b  Tr  y )  -> 
b  e.  On )  /\  ( Tr  a  /\  A. y  e.  a  Tr  y ) )  ->  A. b  e.  a  b  e.  On )
16 dfss3 3451 . . . . . . 7  |-  ( a 
C_  On  <->  A. b  e.  a  b  e.  On )
1715, 16sylibr 215 . . . . . 6  |-  ( ( A. b  e.  a  ( ( Tr  b  /\  A. y  e.  b  Tr  y )  -> 
b  e.  On )  /\  ( Tr  a  /\  A. y  e.  a  Tr  y ) )  ->  a  C_  On )
18 ordon 6614 . . . . . . 7  |-  Ord  On
1918a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( A. b  e.  a  ( ( Tr  b  /\  A. y  e.  b  Tr  y )  -> 
b  e.  On )  /\  ( Tr  a  /\  A. y  e.  a  Tr  y ) )  ->  Ord  On )
20 trssord 5450 . . . . . 6  |-  ( ( Tr  a  /\  a  C_  On  /\  Ord  On )  ->  Ord  a )
2111, 17, 19, 20syl3anc 1264 . . . . 5  |-  ( ( A. b  e.  a  ( ( Tr  b  /\  A. y  e.  b  Tr  y )  -> 
b  e.  On )  /\  ( Tr  a  /\  A. y  e.  a  Tr  y ) )  ->  Ord  a )
22 vex 3081 . . . . . 6  |-  a  e. 
_V
2322elon 5442 . . . . 5  |-  ( a  e.  On  <->  Ord  a )
2421, 23sylibr 215 . . . 4  |-  ( ( A. b  e.  a  ( ( Tr  b  /\  A. y  e.  b  Tr  y )  -> 
b  e.  On )  /\  ( Tr  a  /\  A. y  e.  a  Tr  y ) )  ->  a  e.  On )
2524ex 435 . . 3  |-  ( A. b  e.  a  (
( Tr  b  /\  A. y  e.  b  Tr  y )  ->  b  e.  On )  ->  (
( Tr  a  /\  A. y  e.  a  Tr  y )  ->  a  e.  On ) )
26 treq 4517 . . . . 5  |-  ( a  =  b  ->  ( Tr  a  <->  Tr  b )
)
27 raleq 3023 . . . . 5  |-  ( a  =  b  ->  ( A. y  e.  a  Tr  y  <->  A. y  e.  b  Tr  y ) )
2826, 27anbi12d 715 . . . 4  |-  ( a  =  b  ->  (
( Tr  a  /\  A. y  e.  a  Tr  y )  <->  ( Tr  b  /\  A. y  e.  b  Tr  y ) ) )
29 eleq1 2492 . . . 4  |-  ( a  =  b  ->  (
a  e.  On  <->  b  e.  On ) )
3028, 29imbi12d 321 . . 3  |-  ( a  =  b  ->  (
( ( Tr  a  /\  A. y  e.  a  Tr  y )  -> 
a  e.  On )  <-> 
( ( Tr  b  /\  A. y  e.  b  Tr  y )  -> 
b  e.  On ) ) )
31 treq 4517 . . . . 5  |-  ( a  =  x  ->  ( Tr  a  <->  Tr  x )
)
32 raleq 3023 . . . . 5  |-  ( a  =  x  ->  ( A. y  e.  a  Tr  y  <->  A. y  e.  x  Tr  y ) )
3331, 32anbi12d 715 . . . 4  |-  ( a  =  x  ->  (
( Tr  a  /\  A. y  e.  a  Tr  y )  <->  ( Tr  x  /\  A. y  e.  x  Tr  y ) ) )
34 eleq1 2492 . . . 4  |-  ( a  =  x  ->  (
a  e.  On  <->  x  e.  On ) )
3533, 34imbi12d 321 . . 3  |-  ( a  =  x  ->  (
( ( Tr  a  /\  A. y  e.  a  Tr  y )  -> 
a  e.  On )  <-> 
( ( Tr  x  /\  A. y  e.  x  Tr  y )  ->  x  e.  On ) ) )
3625, 30, 35setindtrs 35634 . 2  |-  ( E. c ( Tr  c  /\  x  e.  c
)  ->  ( ( Tr  x  /\  A. y  e.  x  Tr  y
)  ->  x  e.  On ) )
3710, 36mpcom 37 1  |-  ( ( Tr  x  /\  A. y  e.  x  Tr  y )  ->  x  e.  On )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437   E.wex 1659    e. wcel 1867   A.wral 2773    C_ wss 3433   Tr wtr 4511   Ord word 5432   Oncon0 5433   suc csuc 5435
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-reg 8098
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-ral 2778  df-rex 2779  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-br 4418  df-opab 4476  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-we 4806  df-ord 5436  df-on 5437  df-suc 5439
This theorem is referenced by:  dford3  35637
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