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Theorem dford3lem2 29388
Description: Lemma for dford3 29389. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
dford3lem2  |-  ( ( Tr  x  /\  A. y  e.  x  Tr  y )  ->  x  e.  On )
Distinct variable group:    x, y

Proof of Theorem dford3lem2
Dummy variables  a 
b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 suctr 4814 . . . 4  |-  ( Tr  x  ->  Tr  suc  x
)
2 vex 2987 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
32sucid 4810 . . . 4  |-  x  e. 
suc  x
42sucex 6434 . . . . 5  |-  suc  x  e.  _V
5 treq 4403 . . . . . 6  |-  ( c  =  suc  x  -> 
( Tr  c  <->  Tr  suc  x
) )
6 eleq2 2504 . . . . . 6  |-  ( c  =  suc  x  -> 
( x  e.  c  <-> 
x  e.  suc  x
) )
75, 6anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( c  =  suc  x  -> 
( ( Tr  c  /\  x  e.  c
)  <->  ( Tr  suc  x  /\  x  e.  suc  x ) ) )
84, 7spcev 3076 . . . 4  |-  ( ( Tr  suc  x  /\  x  e.  suc  x )  ->  E. c ( Tr  c  /\  x  e.  c ) )
91, 3, 8sylancl 662 . . 3  |-  ( Tr  x  ->  E. c
( Tr  c  /\  x  e.  c )
)
109adantr 465 . 2  |-  ( ( Tr  x  /\  A. y  e.  x  Tr  y )  ->  E. c
( Tr  c  /\  x  e.  c )
)
11 simprl 755 . . . . . 6  |-  ( ( A. b  e.  a  ( ( Tr  b  /\  A. y  e.  b  Tr  y )  -> 
b  e.  On )  /\  ( Tr  a  /\  A. y  e.  a  Tr  y ) )  ->  Tr  a )
12 dford3lem1 29387 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Tr  a  /\  A. y  e.  a  Tr  y )  ->  A. b  e.  a  ( Tr  b  /\  A. y  e.  b  Tr  y ) )
13 ralim 2799 . . . . . . . . 9  |-  ( A. b  e.  a  (
( Tr  b  /\  A. y  e.  b  Tr  y )  ->  b  e.  On )  ->  ( A. b  e.  a 
( Tr  b  /\  A. y  e.  b  Tr  y )  ->  A. b  e.  a  b  e.  On ) )
1412, 13syl5 32 . . . . . . . 8  |-  ( A. b  e.  a  (
( Tr  b  /\  A. y  e.  b  Tr  y )  ->  b  e.  On )  ->  (
( Tr  a  /\  A. y  e.  a  Tr  y )  ->  A. b  e.  a  b  e.  On ) )
1514imp 429 . . . . . . 7  |-  ( ( A. b  e.  a  ( ( Tr  b  /\  A. y  e.  b  Tr  y )  -> 
b  e.  On )  /\  ( Tr  a  /\  A. y  e.  a  Tr  y ) )  ->  A. b  e.  a  b  e.  On )
16 dfss3 3358 . . . . . . 7  |-  ( a 
C_  On  <->  A. b  e.  a  b  e.  On )
1715, 16sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ( A. b  e.  a  ( ( Tr  b  /\  A. y  e.  b  Tr  y )  -> 
b  e.  On )  /\  ( Tr  a  /\  A. y  e.  a  Tr  y ) )  ->  a  C_  On )
18 ordon 6406 . . . . . . 7  |-  Ord  On
1918a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( A. b  e.  a  ( ( Tr  b  /\  A. y  e.  b  Tr  y )  -> 
b  e.  On )  /\  ( Tr  a  /\  A. y  e.  a  Tr  y ) )  ->  Ord  On )
20 trssord 4748 . . . . . 6  |-  ( ( Tr  a  /\  a  C_  On  /\  Ord  On )  ->  Ord  a )
2111, 17, 19, 20syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( ( A. b  e.  a  ( ( Tr  b  /\  A. y  e.  b  Tr  y )  -> 
b  e.  On )  /\  ( Tr  a  /\  A. y  e.  a  Tr  y ) )  ->  Ord  a )
22 vex 2987 . . . . . 6  |-  a  e. 
_V
2322elon 4740 . . . . 5  |-  ( a  e.  On  <->  Ord  a )
2421, 23sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( A. b  e.  a  ( ( Tr  b  /\  A. y  e.  b  Tr  y )  -> 
b  e.  On )  /\  ( Tr  a  /\  A. y  e.  a  Tr  y ) )  ->  a  e.  On )
2524ex 434 . . 3  |-  ( A. b  e.  a  (
( Tr  b  /\  A. y  e.  b  Tr  y )  ->  b  e.  On )  ->  (
( Tr  a  /\  A. y  e.  a  Tr  y )  ->  a  e.  On ) )
26 treq 4403 . . . . 5  |-  ( a  =  b  ->  ( Tr  a  <->  Tr  b )
)
27 raleq 2929 . . . . 5  |-  ( a  =  b  ->  ( A. y  e.  a  Tr  y  <->  A. y  e.  b  Tr  y ) )
2826, 27anbi12d 710 . . . 4  |-  ( a  =  b  ->  (
( Tr  a  /\  A. y  e.  a  Tr  y )  <->  ( Tr  b  /\  A. y  e.  b  Tr  y ) ) )
29 eleq1 2503 . . . 4  |-  ( a  =  b  ->  (
a  e.  On  <->  b  e.  On ) )
3028, 29imbi12d 320 . . 3  |-  ( a  =  b  ->  (
( ( Tr  a  /\  A. y  e.  a  Tr  y )  -> 
a  e.  On )  <-> 
( ( Tr  b  /\  A. y  e.  b  Tr  y )  -> 
b  e.  On ) ) )
31 treq 4403 . . . . 5  |-  ( a  =  x  ->  ( Tr  a  <->  Tr  x )
)
32 raleq 2929 . . . . 5  |-  ( a  =  x  ->  ( A. y  e.  a  Tr  y  <->  A. y  e.  x  Tr  y ) )
3331, 32anbi12d 710 . . . 4  |-  ( a  =  x  ->  (
( Tr  a  /\  A. y  e.  a  Tr  y )  <->  ( Tr  x  /\  A. y  e.  x  Tr  y ) ) )
34 eleq1 2503 . . . 4  |-  ( a  =  x  ->  (
a  e.  On  <->  x  e.  On ) )
3533, 34imbi12d 320 . . 3  |-  ( a  =  x  ->  (
( ( Tr  a  /\  A. y  e.  a  Tr  y )  -> 
a  e.  On )  <-> 
( ( Tr  x  /\  A. y  e.  x  Tr  y )  ->  x  e.  On ) ) )
3625, 30, 35setindtrs 29386 . 2  |-  ( E. c ( Tr  c  /\  x  e.  c
)  ->  ( ( Tr  x  /\  A. y  e.  x  Tr  y
)  ->  x  e.  On ) )
3710, 36mpcom 36 1  |-  ( ( Tr  x  /\  A. y  e.  x  Tr  y )  ->  x  e.  On )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756   A.wral 2727    C_ wss 3340   Tr wtr 4397   Ord word 4730   Oncon0 4731   suc csuc 4733
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-reg 7819
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-ral 2732  df-rex 2733  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-br 4305  df-opab 4363  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-suc 4737
This theorem is referenced by:  dford3  29389
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