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Theorem dford3lem2 30937
Description: Lemma for dford3 30938. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
dford3lem2  |-  ( ( Tr  x  /\  A. y  e.  x  Tr  y )  ->  x  e.  On )
Distinct variable group:    x, y

Proof of Theorem dford3lem2
Dummy variables  a 
b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 suctr 4947 . . . 4  |-  ( Tr  x  ->  Tr  suc  x
)
2 vex 3096 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
32sucid 4943 . . . 4  |-  x  e. 
suc  x
42sucex 6627 . . . . 5  |-  suc  x  e.  _V
5 treq 4532 . . . . . 6  |-  ( c  =  suc  x  -> 
( Tr  c  <->  Tr  suc  x
) )
6 eleq2 2514 . . . . . 6  |-  ( c  =  suc  x  -> 
( x  e.  c  <-> 
x  e.  suc  x
) )
75, 6anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( c  =  suc  x  -> 
( ( Tr  c  /\  x  e.  c
)  <->  ( Tr  suc  x  /\  x  e.  suc  x ) ) )
84, 7spcev 3185 . . . 4  |-  ( ( Tr  suc  x  /\  x  e.  suc  x )  ->  E. c ( Tr  c  /\  x  e.  c ) )
91, 3, 8sylancl 662 . . 3  |-  ( Tr  x  ->  E. c
( Tr  c  /\  x  e.  c )
)
109adantr 465 . 2  |-  ( ( Tr  x  /\  A. y  e.  x  Tr  y )  ->  E. c
( Tr  c  /\  x  e.  c )
)
11 simprl 755 . . . . . 6  |-  ( ( A. b  e.  a  ( ( Tr  b  /\  A. y  e.  b  Tr  y )  -> 
b  e.  On )  /\  ( Tr  a  /\  A. y  e.  a  Tr  y ) )  ->  Tr  a )
12 dford3lem1 30936 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Tr  a  /\  A. y  e.  a  Tr  y )  ->  A. b  e.  a  ( Tr  b  /\  A. y  e.  b  Tr  y ) )
13 ralim 2830 . . . . . . . . 9  |-  ( A. b  e.  a  (
( Tr  b  /\  A. y  e.  b  Tr  y )  ->  b  e.  On )  ->  ( A. b  e.  a 
( Tr  b  /\  A. y  e.  b  Tr  y )  ->  A. b  e.  a  b  e.  On ) )
1412, 13syl5 32 . . . . . . . 8  |-  ( A. b  e.  a  (
( Tr  b  /\  A. y  e.  b  Tr  y )  ->  b  e.  On )  ->  (
( Tr  a  /\  A. y  e.  a  Tr  y )  ->  A. b  e.  a  b  e.  On ) )
1514imp 429 . . . . . . 7  |-  ( ( A. b  e.  a  ( ( Tr  b  /\  A. y  e.  b  Tr  y )  -> 
b  e.  On )  /\  ( Tr  a  /\  A. y  e.  a  Tr  y ) )  ->  A. b  e.  a  b  e.  On )
16 dfss3 3476 . . . . . . 7  |-  ( a 
C_  On  <->  A. b  e.  a  b  e.  On )
1715, 16sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ( A. b  e.  a  ( ( Tr  b  /\  A. y  e.  b  Tr  y )  -> 
b  e.  On )  /\  ( Tr  a  /\  A. y  e.  a  Tr  y ) )  ->  a  C_  On )
18 ordon 6599 . . . . . . 7  |-  Ord  On
1918a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( A. b  e.  a  ( ( Tr  b  /\  A. y  e.  b  Tr  y )  -> 
b  e.  On )  /\  ( Tr  a  /\  A. y  e.  a  Tr  y ) )  ->  Ord  On )
20 trssord 4881 . . . . . 6  |-  ( ( Tr  a  /\  a  C_  On  /\  Ord  On )  ->  Ord  a )
2111, 17, 19, 20syl3anc 1227 . . . . 5  |-  ( ( A. b  e.  a  ( ( Tr  b  /\  A. y  e.  b  Tr  y )  -> 
b  e.  On )  /\  ( Tr  a  /\  A. y  e.  a  Tr  y ) )  ->  Ord  a )
22 vex 3096 . . . . . 6  |-  a  e. 
_V
2322elon 4873 . . . . 5  |-  ( a  e.  On  <->  Ord  a )
2421, 23sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( A. b  e.  a  ( ( Tr  b  /\  A. y  e.  b  Tr  y )  -> 
b  e.  On )  /\  ( Tr  a  /\  A. y  e.  a  Tr  y ) )  ->  a  e.  On )
2524ex 434 . . 3  |-  ( A. b  e.  a  (
( Tr  b  /\  A. y  e.  b  Tr  y )  ->  b  e.  On )  ->  (
( Tr  a  /\  A. y  e.  a  Tr  y )  ->  a  e.  On ) )
26 treq 4532 . . . . 5  |-  ( a  =  b  ->  ( Tr  a  <->  Tr  b )
)
27 raleq 3038 . . . . 5  |-  ( a  =  b  ->  ( A. y  e.  a  Tr  y  <->  A. y  e.  b  Tr  y ) )
2826, 27anbi12d 710 . . . 4  |-  ( a  =  b  ->  (
( Tr  a  /\  A. y  e.  a  Tr  y )  <->  ( Tr  b  /\  A. y  e.  b  Tr  y ) ) )
29 eleq1 2513 . . . 4  |-  ( a  =  b  ->  (
a  e.  On  <->  b  e.  On ) )
3028, 29imbi12d 320 . . 3  |-  ( a  =  b  ->  (
( ( Tr  a  /\  A. y  e.  a  Tr  y )  -> 
a  e.  On )  <-> 
( ( Tr  b  /\  A. y  e.  b  Tr  y )  -> 
b  e.  On ) ) )
31 treq 4532 . . . . 5  |-  ( a  =  x  ->  ( Tr  a  <->  Tr  x )
)
32 raleq 3038 . . . . 5  |-  ( a  =  x  ->  ( A. y  e.  a  Tr  y  <->  A. y  e.  x  Tr  y ) )
3331, 32anbi12d 710 . . . 4  |-  ( a  =  x  ->  (
( Tr  a  /\  A. y  e.  a  Tr  y )  <->  ( Tr  x  /\  A. y  e.  x  Tr  y ) ) )
34 eleq1 2513 . . . 4  |-  ( a  =  x  ->  (
a  e.  On  <->  x  e.  On ) )
3533, 34imbi12d 320 . . 3  |-  ( a  =  x  ->  (
( ( Tr  a  /\  A. y  e.  a  Tr  y )  -> 
a  e.  On )  <-> 
( ( Tr  x  /\  A. y  e.  x  Tr  y )  ->  x  e.  On ) ) )
3625, 30, 35setindtrs 30935 . 2  |-  ( E. c ( Tr  c  /\  x  e.  c
)  ->  ( ( Tr  x  /\  A. y  e.  x  Tr  y
)  ->  x  e.  On ) )
3710, 36mpcom 36 1  |-  ( ( Tr  x  /\  A. y  e.  x  Tr  y )  ->  x  e.  On )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1381   E.wex 1597    e. wcel 1802   A.wral 2791    C_ wss 3458   Tr wtr 4526   Ord word 4863   Oncon0 4864   suc csuc 4866
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-reg 8016
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-ral 2796  df-rex 2797  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-br 4434  df-opab 4492  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-suc 4870
This theorem is referenced by:  dford3  30938
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