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Theorem dford3lem1 35952
Description: Lemma for dford3 35954. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
dford3lem1  |-  ( ( Tr  N  /\  A. y  e.  N  Tr  y )  ->  A. b  e.  N  ( Tr  b  /\  A. y  e.  b  Tr  y ) )
Distinct variable group:    y, b, N

Proof of Theorem dford3lem1
StepHypRef Expression
1 treq 4496 . . . . 5  |-  ( y  =  b  ->  ( Tr  y  <->  Tr  b )
)
21cbvralv 3005 . . . 4  |-  ( A. y  e.  N  Tr  y 
<-> 
A. b  e.  N  Tr  b )
32biimpi 199 . . 3  |-  ( A. y  e.  N  Tr  y  ->  A. b  e.  N  Tr  b )
43adantl 473 . 2  |-  ( ( Tr  N  /\  A. y  e.  N  Tr  y )  ->  A. b  e.  N  Tr  b
)
5 trss 4499 . . . . . 6  |-  ( Tr  N  ->  ( b  e.  N  ->  b  C_  N ) )
6 ssralv 3479 . . . . . 6  |-  ( b 
C_  N  ->  ( A. y  e.  N  Tr  y  ->  A. y  e.  b  Tr  y
) )
75, 6syl6 33 . . . . 5  |-  ( Tr  N  ->  ( b  e.  N  ->  ( A. y  e.  N  Tr  y  ->  A. y  e.  b  Tr  y ) ) )
87com23 80 . . . 4  |-  ( Tr  N  ->  ( A. y  e.  N  Tr  y  ->  ( b  e.  N  ->  A. y  e.  b  Tr  y
) ) )
98imp 436 . . 3  |-  ( ( Tr  N  /\  A. y  e.  N  Tr  y )  ->  (
b  e.  N  ->  A. y  e.  b  Tr  y ) )
109ralrimiv 2808 . 2  |-  ( ( Tr  N  /\  A. y  e.  N  Tr  y )  ->  A. b  e.  N  A. y  e.  b  Tr  y
)
11 r19.26 2904 . 2  |-  ( A. b  e.  N  ( Tr  b  /\  A. y  e.  b  Tr  y
)  <->  ( A. b  e.  N  Tr  b  /\  A. b  e.  N  A. y  e.  b  Tr  y ) )
124, 10, 11sylanbrc 677 1  |-  ( ( Tr  N  /\  A. y  e.  N  Tr  y )  ->  A. b  e.  N  ( Tr  b  /\  A. y  e.  b  Tr  y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 376    e. wcel 1904   A.wral 2756    C_ wss 3390   Tr wtr 4490
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ral 2761  df-rex 2762  df-v 3033  df-in 3397  df-ss 3404  df-uni 4191  df-tr 4491
This theorem is referenced by:  dford3lem2  35953  dford3  35954
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