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Theorem dford3lem1 30572
Description: Lemma for dford3 30574. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
dford3lem1  |-  ( ( Tr  N  /\  A. y  e.  N  Tr  y )  ->  A. b  e.  N  ( Tr  b  /\  A. y  e.  b  Tr  y ) )
Distinct variable group:    y, b, N

Proof of Theorem dford3lem1
StepHypRef Expression
1 treq 4546 . . . . 5  |-  ( y  =  b  ->  ( Tr  y  <->  Tr  b )
)
21cbvralv 3088 . . . 4  |-  ( A. y  e.  N  Tr  y 
<-> 
A. b  e.  N  Tr  b )
32biimpi 194 . . 3  |-  ( A. y  e.  N  Tr  y  ->  A. b  e.  N  Tr  b )
43adantl 466 . 2  |-  ( ( Tr  N  /\  A. y  e.  N  Tr  y )  ->  A. b  e.  N  Tr  b
)
5 trss 4549 . . . . . 6  |-  ( Tr  N  ->  ( b  e.  N  ->  b  C_  N ) )
6 ssralv 3564 . . . . . 6  |-  ( b 
C_  N  ->  ( A. y  e.  N  Tr  y  ->  A. y  e.  b  Tr  y
) )
75, 6syl6 33 . . . . 5  |-  ( Tr  N  ->  ( b  e.  N  ->  ( A. y  e.  N  Tr  y  ->  A. y  e.  b  Tr  y ) ) )
87com23 78 . . . 4  |-  ( Tr  N  ->  ( A. y  e.  N  Tr  y  ->  ( b  e.  N  ->  A. y  e.  b  Tr  y
) ) )
98imp 429 . . 3  |-  ( ( Tr  N  /\  A. y  e.  N  Tr  y )  ->  (
b  e.  N  ->  A. y  e.  b  Tr  y ) )
109ralrimiv 2876 . 2  |-  ( ( Tr  N  /\  A. y  e.  N  Tr  y )  ->  A. b  e.  N  A. y  e.  b  Tr  y
)
11 r19.26 2989 . 2  |-  ( A. b  e.  N  ( Tr  b  /\  A. y  e.  b  Tr  y
)  <->  ( A. b  e.  N  Tr  b  /\  A. b  e.  N  A. y  e.  b  Tr  y ) )
124, 10, 11sylanbrc 664 1  |-  ( ( Tr  N  /\  A. y  e.  N  Tr  y )  ->  A. b  e.  N  ( Tr  b  /\  A. y  e.  b  Tr  y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1767   A.wral 2814    C_ wss 3476   Tr wtr 4540
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ral 2819  df-rex 2820  df-v 3115  df-in 3483  df-ss 3490  df-uni 4246  df-tr 4541
This theorem is referenced by:  dford3lem2  30573  dford3  30574
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