Theorem dford2 5711

Description: Assuming ax-reg 5695, an ordinal is a transitive class on which inclusion satisfies trichotomy. (Contributed by Scott Fenton, 27-Oct-2010.)

Assertion

Ref	Expression
dford2	|- (Ord A <-> (Tr A /\ A.x e. A A.y e. A (x e. y \/ x = y \/ y e. x)))

Distinct variable group:   x,y,A

Proof of Theorem dford2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ord 3660	. 2 |- (Ord A <-> (Tr A /\ _E We A))
2		dfwe2 3861	. . . 4 |- ( _E We A <-> ( _E Fr A /\ A.x e. A A.y e. A (x _E y \/ x = y \/ y _E x)))
3		zfregfr 5706	. . . . 5 |- _E Fr A
4	3	biantrur 794	. . . 4 |- (A.x e. A A.y e. A (x _E y \/ x = y \/ y _E x) <-> ( _E Fr A /\ A.x e. A A.y e. A (x _E y \/ x = y \/ y _E x)))
5		epel 3585	. . . . . 6 |- (x _E y <-> x e. y)
6		biid 187	. . . . . 6 |- (x = y <-> x = y)
7		epel 3585	. . . . . 6 |- (y _E x <-> y e. x)
8	5, 6, 7	3orbi123i 1057	. . . . 5 |- ((x _E y \/ x = y \/ y _E x) <-> (x e. y \/ x = y \/ y e. x))
9	8	2ralbii 2129	. . . 4 |- (A.x e. A A.y e. A (x _E y \/ x = y \/ y _E x) <-> A.x e. A A.y e. A (x e. y \/ x = y \/ y e. x))
10	2, 4, 9	3bitr2i 196	. . 3 |- ( _E We A <-> A.x e. A A.y e. A (x e. y \/ x = y \/ y e. x))
11	10	anbi2i 538	. 2 |- ((Tr A /\ _E We A) <-> (Tr A /\ A.x e. A A.y e. A (x e. y \/ x = y \/ y e. x)))
12	1, 11	bitri 190	1 |- (Ord A <-> (Tr A /\ A.x e. A A.y e. A (x e. y \/ x = y \/ y e. x)))

Syntax hints:   <-> wb 163   /\ wa 240   \/ w3o 857   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105   class class class wbr 3338  Tr wtr 3411   _E cep 3581   Fr wfr 3623   We wwe 3624  Ord word 3656

This theorem is referenced by:  ordelordaxr 5833  celsor 14443  ordelordaxrVD 16691

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-reg 5695

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-eprel 3583  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660

Copyright terms: Public domain