Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dfon3 Structured version   Unicode version

Theorem dfon3 29517
Description: A quantifier-free definition of  On. (Contributed by Scott Fenton, 5-Apr-2012.)
Assertion
Ref Expression
dfon3  |-  On  =  ( _V  \  ran  (
( SSet  i^i  ( Trans  X.  _V ) ) 
\  (  _I  u.  _E  ) ) )

Proof of Theorem dfon3
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfon2 29199 . 2  |-  On  =  { x  |  A. y ( ( y 
C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x ) }
2 abeq1 2568 . . 3  |-  ( { x  |  A. y
( ( y  C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x
) }  =  ( _V  \  ran  (
( SSet  i^i  ( Trans  X.  _V ) ) 
\  (  _I  u.  _E  ) ) )  <->  A. x
( A. y ( ( y  C.  x  /\  Tr  y )  -> 
y  e.  x )  <-> 
x  e.  ( _V 
\  ran  ( ( SSet  i^i  ( Trans  X.  _V ) )  \  (  _I  u.  _E  ) ) ) ) )
3 vex 3098 . . . . . . 7  |-  x  e. 
_V
43elrn 5233 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ran  ( (
SSet  i^i  ( Trans  X.  _V ) )  \  (  _I  u.  _E  ) )  <->  E. y  y (
( SSet  i^i  ( Trans  X.  _V ) ) 
\  (  _I  u.  _E  ) ) x )
5 brin 4486 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y ( SSet  i^i  ( Trans  X.  _V ) ) x  <->  ( y SSet
x  /\  y ( Trans  X.  _V ) x ) )
63brsset 29514 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y
SSet x  <->  y  C_  x
)
7 brxp 5020 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y ( Trans  X.  _V )
x  <->  ( y  e. 
Trans  /\  x  e.  _V ) )
83, 7mpbiran2 919 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y ( Trans  X.  _V )
x  <->  y  e.  Trans )
9 vex 3098 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  y  e. 
_V
109eltrans 29516 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  Trans 
<->  Tr  y )
118, 10bitri 249 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y ( Trans  X.  _V )
x  <->  Tr  y )
126, 11anbi12i 697 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y SSet x  /\  y ( Trans  X.  _V ) x )  <->  ( y  C_  x  /\  Tr  y
) )
135, 12bitri 249 . . . . . . . . . 10  |-  ( y ( SSet  i^i  ( Trans  X.  _V ) ) x  <->  ( y  C_  x  /\  Tr  y ) )
14 ioran 490 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( y  =  x  \/  y  e.  x
)  <->  ( -.  y  =  x  /\  -.  y  e.  x ) )
15 brun 4485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y (  _I  u.  _E  ) x  <->  ( y  _I  x  \/  y  _E  x ) )
163ideq 5145 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  _I  x  <->  y  =  x )
17 epel 4784 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  _E  x  <->  y  e.  x )
1816, 17orbi12i 521 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  _I  x  \/  y  _E  x )  <-> 
( y  =  x  \/  y  e.  x
) )
1915, 18bitri 249 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y (  _I  u.  _E  ) x  <->  ( y  =  x  \/  y  e.  x ) )
2014, 19xchnxbir 309 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  y (  _I  u.  _E  ) x  <->  ( -.  y  =  x  /\  -.  y  e.  x
) )
2113, 20anbi12i 697 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y ( SSet  i^i  ( Trans  X.  _V )
) x  /\  -.  y (  _I  u.  _E  ) x )  <->  ( (
y  C_  x  /\  Tr  y )  /\  ( -.  y  =  x  /\  -.  y  e.  x
) ) )
22 brdif 4487 . . . . . . . . 9  |-  ( y ( ( SSet  i^i  ( Trans  X.  _V )
)  \  (  _I  u.  _E  ) ) x  <-> 
( y ( SSet 
i^i  ( Trans  X.  _V ) ) x  /\  -.  y (  _I  u.  _E  ) x ) )
23 dfpss2 3574 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y 
C.  x  <->  ( y  C_  x  /\  -.  y  =  x ) )
2423anbi1i 695 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  C.  x  /\  Tr  y )  <->  ( (
y  C_  x  /\  -.  y  =  x
)  /\  Tr  y
) )
25 an32 798 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  C_  x  /\  -.  y  =  x )  /\  Tr  y
)  <->  ( ( y 
C_  x  /\  Tr  y )  /\  -.  y  =  x )
)
2624, 25bitri 249 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  C.  x  /\  Tr  y )  <->  ( (
y  C_  x  /\  Tr  y )  /\  -.  y  =  x )
)
2726anbi1i 695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  C.  x  /\  Tr  y )  /\  -.  y  e.  x
)  <->  ( ( ( y  C_  x  /\  Tr  y )  /\  -.  y  =  x )  /\  -.  y  e.  x
) )
28 anass 649 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( y  C_  x  /\  Tr  y )  /\  -.  y  =  x )  /\  -.  y  e.  x )  <->  ( ( y  C_  x  /\  Tr  y )  /\  ( -.  y  =  x  /\  -.  y  e.  x ) ) )
2927, 28bitri 249 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  C.  x  /\  Tr  y )  /\  -.  y  e.  x
)  <->  ( ( y 
C_  x  /\  Tr  y )  /\  ( -.  y  =  x  /\  -.  y  e.  x
) ) )
3021, 22, 293bitr4i 277 . . . . . . . 8  |-  ( y ( ( SSet  i^i  ( Trans  X.  _V )
)  \  (  _I  u.  _E  ) ) x  <-> 
( ( y  C.  x  /\  Tr  y )  /\  -.  y  e.  x ) )
3130exbii 1654 . . . . . . 7  |-  ( E. y  y ( (
SSet  i^i  ( Trans  X.  _V ) )  \  (  _I  u.  _E  ) ) x  <->  E. y ( ( y  C.  x  /\  Tr  y )  /\  -.  y  e.  x )
)
32 exanali 1657 . . . . . . 7  |-  ( E. y ( ( y 
C.  x  /\  Tr  y )  /\  -.  y  e.  x )  <->  -. 
A. y ( ( y  C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x ) )
3331, 32bitri 249 . . . . . 6  |-  ( E. y  y ( (
SSet  i^i  ( Trans  X.  _V ) )  \  (  _I  u.  _E  ) ) x  <->  -.  A. y
( ( y  C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x
) )
344, 33bitri 249 . . . . 5  |-  ( x  e.  ran  ( (
SSet  i^i  ( Trans  X.  _V ) )  \  (  _I  u.  _E  ) )  <->  -.  A. y ( ( y  C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x ) )
3534con2bii 332 . . . 4  |-  ( A. y ( ( y 
C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x )  <->  -.  x  e.  ran  ( ( SSet 
i^i  ( Trans  X.  _V ) )  \  (  _I  u.  _E  ) ) )
36 eldif 3471 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( _V  \  ran  ( ( SSet  i^i  ( Trans  X.  _V )
)  \  (  _I  u.  _E  ) ) )  <-> 
( x  e.  _V  /\ 
-.  x  e.  ran  ( ( SSet  i^i  ( Trans  X.  _V )
)  \  (  _I  u.  _E  ) ) ) )
373, 36mpbiran 918 . . . 4  |-  ( x  e.  ( _V  \  ran  ( ( SSet  i^i  ( Trans  X.  _V )
)  \  (  _I  u.  _E  ) ) )  <->  -.  x  e.  ran  ( ( SSet  i^i  ( Trans  X.  _V )
)  \  (  _I  u.  _E  ) ) )
3835, 37bitr4i 252 . . 3  |-  ( A. y ( ( y 
C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x )  <->  x  e.  ( _V  \  ran  (
( SSet  i^i  ( Trans  X.  _V ) ) 
\  (  _I  u.  _E  ) ) ) )
392, 38mpgbir 1609 . 2  |-  { x  |  A. y ( ( y  C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x ) }  =  ( _V  \  ran  (
( SSet  i^i  ( Trans  X.  _V ) ) 
\  (  _I  u.  _E  ) ) )
401, 39eqtri 2472 1  |-  On  =  ( _V  \  ran  (
( SSet  i^i  ( Trans  X.  _V ) ) 
\  (  _I  u.  _E  ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369   A.wal 1381    = wceq 1383   E.wex 1599    e. wcel 1804   {cab 2428   _Vcvv 3095    \ cdif 3458    u. cun 3459    i^i cin 3460    C_ wss 3461    C. wpss 3462   class class class wbr 4437   Tr wtr 4530    _E cep 4779    _I cid 4780   Oncon0 4868    X. cxp 4987   ran crn 4990   SSetcsset 29456   Transctrans 29457
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-fo 5584  df-fv 5586  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-txp 29478  df-sset 29480  df-trans 29481
This theorem is referenced by:  dfon4  29518
  Copyright terms: Public domain W3C validator