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Theorem dfon3 29105
Description: A quantifier-free definition of  On. (Contributed by Scott Fenton, 5-Apr-2012.)
Assertion
Ref Expression
dfon3  |-  On  =  ( _V  \  ran  (
( SSet  i^i  ( Trans  X.  _V ) ) 
\  (  _I  u.  _E  ) ) )

Proof of Theorem dfon3
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfon2 28787 . 2  |-  On  =  { x  |  A. y ( ( y 
C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x ) }
2 abeq1 2585 . . 3  |-  ( { x  |  A. y
( ( y  C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x
) }  =  ( _V  \  ran  (
( SSet  i^i  ( Trans  X.  _V ) ) 
\  (  _I  u.  _E  ) ) )  <->  A. x
( A. y ( ( y  C.  x  /\  Tr  y )  -> 
y  e.  x )  <-> 
x  e.  ( _V 
\  ran  ( ( SSet  i^i  ( Trans  X.  _V ) )  \  (  _I  u.  _E  ) ) ) ) )
3 vex 3109 . . . . . . 7  |-  x  e. 
_V
43elrn 5234 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ran  ( (
SSet  i^i  ( Trans  X.  _V ) )  \  (  _I  u.  _E  ) )  <->  E. y  y (
( SSet  i^i  ( Trans  X.  _V ) ) 
\  (  _I  u.  _E  ) ) x )
5 brin 4489 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y ( SSet  i^i  ( Trans  X.  _V ) ) x  <->  ( y SSet
x  /\  y ( Trans  X.  _V ) x ) )
63brsset 29102 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y
SSet x  <->  y  C_  x
)
7 brxp 5022 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y ( Trans  X.  _V )
x  <->  ( y  e. 
Trans  /\  x  e.  _V ) )
83, 7mpbiran2 912 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y ( Trans  X.  _V )
x  <->  y  e.  Trans )
9 vex 3109 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  y  e. 
_V
109eltrans 29104 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  Trans 
<->  Tr  y )
118, 10bitri 249 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y ( Trans  X.  _V )
x  <->  Tr  y )
126, 11anbi12i 697 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y SSet x  /\  y ( Trans  X.  _V ) x )  <->  ( y  C_  x  /\  Tr  y
) )
135, 12bitri 249 . . . . . . . . . 10  |-  ( y ( SSet  i^i  ( Trans  X.  _V ) ) x  <->  ( y  C_  x  /\  Tr  y ) )
14 ioran 490 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( y  =  x  \/  y  e.  x
)  <->  ( -.  y  =  x  /\  -.  y  e.  x ) )
15 brun 4488 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y (  _I  u.  _E  ) x  <->  ( y  _I  x  \/  y  _E  x ) )
163ideq 5146 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  _I  x  <->  y  =  x )
17 epel 4787 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  _E  x  <->  y  e.  x )
1816, 17orbi12i 521 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  _I  x  \/  y  _E  x )  <-> 
( y  =  x  \/  y  e.  x
) )
1915, 18bitri 249 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y (  _I  u.  _E  ) x  <->  ( y  =  x  \/  y  e.  x ) )
2014, 19xchnxbir 309 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  y (  _I  u.  _E  ) x  <->  ( -.  y  =  x  /\  -.  y  e.  x
) )
2113, 20anbi12i 697 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y ( SSet  i^i  ( Trans  X.  _V )
) x  /\  -.  y (  _I  u.  _E  ) x )  <->  ( (
y  C_  x  /\  Tr  y )  /\  ( -.  y  =  x  /\  -.  y  e.  x
) ) )
22 brdif 4490 . . . . . . . . 9  |-  ( y ( ( SSet  i^i  ( Trans  X.  _V )
)  \  (  _I  u.  _E  ) ) x  <-> 
( y ( SSet 
i^i  ( Trans  X.  _V ) ) x  /\  -.  y (  _I  u.  _E  ) x ) )
23 dfpss2 3582 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y 
C.  x  <->  ( y  C_  x  /\  -.  y  =  x ) )
2423anbi1i 695 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  C.  x  /\  Tr  y )  <->  ( (
y  C_  x  /\  -.  y  =  x
)  /\  Tr  y
) )
25 an32 796 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  C_  x  /\  -.  y  =  x )  /\  Tr  y
)  <->  ( ( y 
C_  x  /\  Tr  y )  /\  -.  y  =  x )
)
2624, 25bitri 249 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  C.  x  /\  Tr  y )  <->  ( (
y  C_  x  /\  Tr  y )  /\  -.  y  =  x )
)
2726anbi1i 695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  C.  x  /\  Tr  y )  /\  -.  y  e.  x
)  <->  ( ( ( y  C_  x  /\  Tr  y )  /\  -.  y  =  x )  /\  -.  y  e.  x
) )
28 anass 649 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( y  C_  x  /\  Tr  y )  /\  -.  y  =  x )  /\  -.  y  e.  x )  <->  ( ( y  C_  x  /\  Tr  y )  /\  ( -.  y  =  x  /\  -.  y  e.  x ) ) )
2927, 28bitri 249 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  C.  x  /\  Tr  y )  /\  -.  y  e.  x
)  <->  ( ( y 
C_  x  /\  Tr  y )  /\  ( -.  y  =  x  /\  -.  y  e.  x
) ) )
3021, 22, 293bitr4i 277 . . . . . . . 8  |-  ( y ( ( SSet  i^i  ( Trans  X.  _V )
)  \  (  _I  u.  _E  ) ) x  <-> 
( ( y  C.  x  /\  Tr  y )  /\  -.  y  e.  x ) )
3130exbii 1639 . . . . . . 7  |-  ( E. y  y ( (
SSet  i^i  ( Trans  X.  _V ) )  \  (  _I  u.  _E  ) ) x  <->  E. y ( ( y  C.  x  /\  Tr  y )  /\  -.  y  e.  x )
)
32 exanali 1642 . . . . . . 7  |-  ( E. y ( ( y 
C.  x  /\  Tr  y )  /\  -.  y  e.  x )  <->  -. 
A. y ( ( y  C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x ) )
3331, 32bitri 249 . . . . . 6  |-  ( E. y  y ( (
SSet  i^i  ( Trans  X.  _V ) )  \  (  _I  u.  _E  ) ) x  <->  -.  A. y
( ( y  C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x
) )
344, 33bitri 249 . . . . 5  |-  ( x  e.  ran  ( (
SSet  i^i  ( Trans  X.  _V ) )  \  (  _I  u.  _E  ) )  <->  -.  A. y ( ( y  C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x ) )
3534con2bii 332 . . . 4  |-  ( A. y ( ( y 
C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x )  <->  -.  x  e.  ran  ( ( SSet 
i^i  ( Trans  X.  _V ) )  \  (  _I  u.  _E  ) ) )
36 eldif 3479 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( _V  \  ran  ( ( SSet  i^i  ( Trans  X.  _V )
)  \  (  _I  u.  _E  ) ) )  <-> 
( x  e.  _V  /\ 
-.  x  e.  ran  ( ( SSet  i^i  ( Trans  X.  _V )
)  \  (  _I  u.  _E  ) ) ) )
373, 36mpbiran 911 . . . 4  |-  ( x  e.  ( _V  \  ran  ( ( SSet  i^i  ( Trans  X.  _V )
)  \  (  _I  u.  _E  ) ) )  <->  -.  x  e.  ran  ( ( SSet  i^i  ( Trans  X.  _V )
)  \  (  _I  u.  _E  ) ) )
3835, 37bitr4i 252 . . 3  |-  ( A. y ( ( y 
C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x )  <->  x  e.  ( _V  \  ran  (
( SSet  i^i  ( Trans  X.  _V ) ) 
\  (  _I  u.  _E  ) ) ) )
392, 38mpgbir 1600 . 2  |-  { x  |  A. y ( ( y  C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x ) }  =  ( _V  \  ran  (
( SSet  i^i  ( Trans  X.  _V ) ) 
\  (  _I  u.  _E  ) ) )
401, 39eqtri 2489 1  |-  On  =  ( _V  \  ran  (
( SSet  i^i  ( Trans  X.  _V ) ) 
\  (  _I  u.  _E  ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369   A.wal 1372    = wceq 1374   E.wex 1591    e. wcel 1762   {cab 2445   _Vcvv 3106    \ cdif 3466    u. cun 3467    i^i cin 3468    C_ wss 3469    C. wpss 3470   class class class wbr 4440   Tr wtr 4533    _E cep 4782    _I cid 4783   Oncon0 4871    X. cxp 4990   ran crn 4993   SSetcsset 29044   Transctrans 29045
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-fo 5585  df-fv 5587  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-txp 29066  df-sset 29068  df-trans 29069
This theorem is referenced by:  dfon4  29106
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