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Theorem dfon3 30659
Description: A quantifier-free definition of  On. (Contributed by Scott Fenton, 5-Apr-2012.)
Assertion
Ref Expression
dfon3  |-  On  =  ( _V  \  ran  (
( SSet  i^i  ( Trans  X.  _V ) ) 
\  (  _I  u.  _E  ) ) )

Proof of Theorem dfon3
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfon2 30438 . 2  |-  On  =  { x  |  A. y ( ( y 
C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x ) }
2 abeq1 2561 . . 3  |-  ( { x  |  A. y
( ( y  C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x
) }  =  ( _V  \  ran  (
( SSet  i^i  ( Trans  X.  _V ) ) 
\  (  _I  u.  _E  ) ) )  <->  A. x
( A. y ( ( y  C.  x  /\  Tr  y )  -> 
y  e.  x )  <-> 
x  e.  ( _V 
\  ran  ( ( SSet  i^i  ( Trans  X.  _V ) )  \  (  _I  u.  _E  ) ) ) ) )
3 vex 3048 . . . . . . 7  |-  x  e. 
_V
43elrn 5075 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ran  ( (
SSet  i^i  ( Trans  X.  _V ) )  \  (  _I  u.  _E  ) )  <->  E. y  y (
( SSet  i^i  ( Trans  X.  _V ) ) 
\  (  _I  u.  _E  ) ) x )
5 brin 4452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y ( SSet  i^i  ( Trans  X.  _V ) ) x  <->  ( y SSet
x  /\  y ( Trans  X.  _V ) x ) )
63brsset 30656 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y
SSet x  <->  y  C_  x
)
7 brxp 4865 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y ( Trans  X.  _V )
x  <->  ( y  e. 
Trans  /\  x  e.  _V ) )
83, 7mpbiran2 930 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y ( Trans  X.  _V )
x  <->  y  e.  Trans )
9 vex 3048 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  y  e. 
_V
109eltrans 30658 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  Trans 
<->  Tr  y )
118, 10bitri 253 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y ( Trans  X.  _V )
x  <->  Tr  y )
126, 11anbi12i 703 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y SSet x  /\  y ( Trans  X.  _V ) x )  <->  ( y  C_  x  /\  Tr  y
) )
135, 12bitri 253 . . . . . . . . . 10  |-  ( y ( SSet  i^i  ( Trans  X.  _V ) ) x  <->  ( y  C_  x  /\  Tr  y ) )
14 ioran 493 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( y  =  x  \/  y  e.  x
)  <->  ( -.  y  =  x  /\  -.  y  e.  x ) )
15 brun 4451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y (  _I  u.  _E  ) x  <->  ( y  _I  x  \/  y  _E  x ) )
163ideq 4987 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  _I  x  <->  y  =  x )
17 epel 4748 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  _E  x  <->  y  e.  x )
1816, 17orbi12i 524 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  _I  x  \/  y  _E  x )  <-> 
( y  =  x  \/  y  e.  x
) )
1915, 18bitri 253 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y (  _I  u.  _E  ) x  <->  ( y  =  x  \/  y  e.  x ) )
2014, 19xchnxbir 311 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  y (  _I  u.  _E  ) x  <->  ( -.  y  =  x  /\  -.  y  e.  x
) )
2113, 20anbi12i 703 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y ( SSet  i^i  ( Trans  X.  _V )
) x  /\  -.  y (  _I  u.  _E  ) x )  <->  ( (
y  C_  x  /\  Tr  y )  /\  ( -.  y  =  x  /\  -.  y  e.  x
) ) )
22 brdif 4453 . . . . . . . . 9  |-  ( y ( ( SSet  i^i  ( Trans  X.  _V )
)  \  (  _I  u.  _E  ) ) x  <-> 
( y ( SSet 
i^i  ( Trans  X.  _V ) ) x  /\  -.  y (  _I  u.  _E  ) x ) )
23 dfpss2 3518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y 
C.  x  <->  ( y  C_  x  /\  -.  y  =  x ) )
2423anbi1i 701 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  C.  x  /\  Tr  y )  <->  ( (
y  C_  x  /\  -.  y  =  x
)  /\  Tr  y
) )
25 an32 807 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  C_  x  /\  -.  y  =  x )  /\  Tr  y
)  <->  ( ( y 
C_  x  /\  Tr  y )  /\  -.  y  =  x )
)
2624, 25bitri 253 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  C.  x  /\  Tr  y )  <->  ( (
y  C_  x  /\  Tr  y )  /\  -.  y  =  x )
)
2726anbi1i 701 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  C.  x  /\  Tr  y )  /\  -.  y  e.  x
)  <->  ( ( ( y  C_  x  /\  Tr  y )  /\  -.  y  =  x )  /\  -.  y  e.  x
) )
28 anass 655 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( y  C_  x  /\  Tr  y )  /\  -.  y  =  x )  /\  -.  y  e.  x )  <->  ( ( y  C_  x  /\  Tr  y )  /\  ( -.  y  =  x  /\  -.  y  e.  x ) ) )
2927, 28bitri 253 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  C.  x  /\  Tr  y )  /\  -.  y  e.  x
)  <->  ( ( y 
C_  x  /\  Tr  y )  /\  ( -.  y  =  x  /\  -.  y  e.  x
) ) )
3021, 22, 293bitr4i 281 . . . . . . . 8  |-  ( y ( ( SSet  i^i  ( Trans  X.  _V )
)  \  (  _I  u.  _E  ) ) x  <-> 
( ( y  C.  x  /\  Tr  y )  /\  -.  y  e.  x ) )
3130exbii 1718 . . . . . . 7  |-  ( E. y  y ( (
SSet  i^i  ( Trans  X.  _V ) )  \  (  _I  u.  _E  ) ) x  <->  E. y ( ( y  C.  x  /\  Tr  y )  /\  -.  y  e.  x )
)
32 exanali 1721 . . . . . . 7  |-  ( E. y ( ( y 
C.  x  /\  Tr  y )  /\  -.  y  e.  x )  <->  -. 
A. y ( ( y  C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x ) )
3331, 32bitri 253 . . . . . 6  |-  ( E. y  y ( (
SSet  i^i  ( Trans  X.  _V ) )  \  (  _I  u.  _E  ) ) x  <->  -.  A. y
( ( y  C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x
) )
344, 33bitri 253 . . . . 5  |-  ( x  e.  ran  ( (
SSet  i^i  ( Trans  X.  _V ) )  \  (  _I  u.  _E  ) )  <->  -.  A. y ( ( y  C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x ) )
3534con2bii 334 . . . 4  |-  ( A. y ( ( y 
C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x )  <->  -.  x  e.  ran  ( ( SSet 
i^i  ( Trans  X.  _V ) )  \  (  _I  u.  _E  ) ) )
36 eldif 3414 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( _V  \  ran  ( ( SSet  i^i  ( Trans  X.  _V )
)  \  (  _I  u.  _E  ) ) )  <-> 
( x  e.  _V  /\ 
-.  x  e.  ran  ( ( SSet  i^i  ( Trans  X.  _V )
)  \  (  _I  u.  _E  ) ) ) )
373, 36mpbiran 929 . . . 4  |-  ( x  e.  ( _V  \  ran  ( ( SSet  i^i  ( Trans  X.  _V )
)  \  (  _I  u.  _E  ) ) )  <->  -.  x  e.  ran  ( ( SSet  i^i  ( Trans  X.  _V )
)  \  (  _I  u.  _E  ) ) )
3835, 37bitr4i 256 . . 3  |-  ( A. y ( ( y 
C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x )  <->  x  e.  ( _V  \  ran  (
( SSet  i^i  ( Trans  X.  _V ) ) 
\  (  _I  u.  _E  ) ) ) )
392, 38mpgbir 1673 . 2  |-  { x  |  A. y ( ( y  C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x ) }  =  ( _V  \  ran  (
( SSet  i^i  ( Trans  X.  _V ) ) 
\  (  _I  u.  _E  ) ) )
401, 39eqtri 2473 1  |-  On  =  ( _V  \  ran  (
( SSet  i^i  ( Trans  X.  _V ) ) 
\  (  _I  u.  _E  ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    \/ wo 370    /\ wa 371   A.wal 1442    = wceq 1444   E.wex 1663    e. wcel 1887   {cab 2437   _Vcvv 3045    \ cdif 3401    u. cun 3402    i^i cin 3403    C_ wss 3404    C. wpss 3405   class class class wbr 4402   Tr wtr 4497    _E cep 4743    _I cid 4744    X. cxp 4832   ran crn 4835   Oncon0 5423   SSetcsset 30598   Transctrans 30599
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ord 5426  df-on 5427  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-fo 5588  df-fv 5590  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-txp 30620  df-sset 30622  df-trans 30623
This theorem is referenced by:  dfon4  30660
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