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Theorem dfon2lem9 29150
Description: Lemma for dfon2 29151. A class of new ordinals is well-founded by  _E. (Contributed by Scott Fenton, 3-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
dfon2lem9  |-  ( A. x  e.  A  A. y ( ( y 
C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x )  ->  _E  Fr  A )
Distinct variable group:    x, A, y

Proof of Theorem dfon2lem9
Dummy variables  z  w  t  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssralv 3569 . . . . 5  |-  ( z 
C_  A  ->  ( A. x  e.  A  A. y ( ( y 
C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x )  ->  A. x  e.  z  A. y
( ( y  C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x
) ) )
2 dfon2lem8 29149 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  =/=  (/)  /\  A. x  e.  z  A. y ( ( y 
C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x ) )  -> 
( A. u ( ( u  C.  |^| z  /\  Tr  u )  ->  u  e.  |^| z )  /\  |^| z  e.  z ) )
32simprd 463 . . . . . . 7  |-  ( ( z  =/=  (/)  /\  A. x  e.  z  A. y ( ( y 
C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x ) )  ->  |^| z  e.  z
)
4 intss1 4303 . . . . . . . . 9  |-  ( t  e.  z  ->  |^| z  C_  t )
52simpld 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  =/=  (/)  /\  A. x  e.  z  A. y ( ( y 
C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x ) )  ->  A. u ( ( u 
C.  |^| z  /\  Tr  u )  ->  u  e.  |^| z ) )
6 intex 4609 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =/=  (/)  <->  |^| z  e.  _V )
7 dfon2lem3 29144 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( |^| z  e.  _V  ->  ( A. u ( ( u  C.  |^| z  /\  Tr  u )  ->  u  e.  |^| z )  -> 
( Tr  |^| z  /\  A. x  e.  |^| z  -.  x  e.  x
) ) )
87imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
|^| z  e.  _V  /\ 
A. u ( ( u  C.  |^| z  /\  Tr  u )  ->  u  e.  |^| z ) )  ->  ( Tr  |^| z  /\  A. x  e. 
|^| z  -.  x  e.  x ) )
98simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
|^| z  e.  _V  /\ 
A. u ( ( u  C.  |^| z  /\  Tr  u )  ->  u  e.  |^| z ) )  ->  A. x  e.  |^| z  -.  x  e.  x
)
10 untelirr 28905 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. x  e.  |^| z  -.  x  e.  x  ->  -.  |^| z  e.  |^| z )
119, 10syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
|^| z  e.  _V  /\ 
A. u ( ( u  C.  |^| z  /\  Tr  u )  ->  u  e.  |^| z ) )  ->  -.  |^| z  e. 
|^| z )
12 eleq1 2539 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( |^| z  =  t  ->  (
|^| z  e.  |^| z 
<->  t  e.  |^| z
) )
1312notbid 294 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( |^| z  =  t  ->  ( -.  |^| z  e.  |^| z 
<->  -.  t  e.  |^| z ) )
1411, 13syl5ibcom 220 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
|^| z  e.  _V  /\ 
A. u ( ( u  C.  |^| z  /\  Tr  u )  ->  u  e.  |^| z ) )  ->  ( |^| z  =  t  ->  -.  t  e.  |^| z ) )
1514a1dd 46 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
|^| z  e.  _V  /\ 
A. u ( ( u  C.  |^| z  /\  Tr  u )  ->  u  e.  |^| z ) )  ->  ( |^| z  =  t  ->  ( |^| z  C_  t  ->  -.  t  e.  |^| z ) ) )
168simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
|^| z  e.  _V  /\ 
A. u ( ( u  C.  |^| z  /\  Tr  u )  ->  u  e.  |^| z ) )  ->  Tr  |^| z )
17 trss 4555 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Tr 
|^| z  ->  (
t  e.  |^| z  ->  t  C_  |^| z ) )
1816, 17syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
|^| z  e.  _V  /\ 
A. u ( ( u  C.  |^| z  /\  Tr  u )  ->  u  e.  |^| z ) )  ->  ( t  e. 
|^| z  ->  t  C_ 
|^| z ) )
19 eqss 3524 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( |^| z  =  t  <->  ( |^| z  C_  t  /\  t  C_ 
|^| z ) )
2019simplbi2com 627 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t 
C_  |^| z  ->  ( |^| z  C_  t  ->  |^| z  =  t
) )
2118, 20syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
|^| z  e.  _V  /\ 
A. u ( ( u  C.  |^| z  /\  Tr  u )  ->  u  e.  |^| z ) )  ->  ( t  e. 
|^| z  ->  ( |^| z  C_  t  ->  |^| z  =  t
) ) )
2221com23 78 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
|^| z  e.  _V  /\ 
A. u ( ( u  C.  |^| z  /\  Tr  u )  ->  u  e.  |^| z ) )  ->  ( |^| z  C_  t  ->  ( t  e.  |^| z  ->  |^| z  =  t ) ) )
23 con3 134 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( t  e.  |^| z  ->  |^| z  =  t )  ->  ( -.  |^| z  =  t  ->  -.  t  e.  |^| z
) )
2422, 23syl6 33 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
|^| z  e.  _V  /\ 
A. u ( ( u  C.  |^| z  /\  Tr  u )  ->  u  e.  |^| z ) )  ->  ( |^| z  C_  t  ->  ( -.  |^| z  =  t  ->  -.  t  e.  |^| z
) ) )
2524com23 78 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
|^| z  e.  _V  /\ 
A. u ( ( u  C.  |^| z  /\  Tr  u )  ->  u  e.  |^| z ) )  ->  ( -.  |^| z  =  t  ->  (
|^| z  C_  t  ->  -.  t  e.  |^| z ) ) )
2615, 25pm2.61d 158 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
|^| z  e.  _V  /\ 
A. u ( ( u  C.  |^| z  /\  Tr  u )  ->  u  e.  |^| z ) )  ->  ( |^| z  C_  t  ->  -.  t  e.  |^| z ) )
276, 26sylanb 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  =/=  (/)  /\  A. u ( ( u 
C.  |^| z  /\  Tr  u )  ->  u  e.  |^| z ) )  ->  ( |^| z  C_  t  ->  -.  t  e.  |^| z ) )
285, 27syldan 470 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  =/=  (/)  /\  A. x  e.  z  A. y ( ( y 
C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x ) )  -> 
( |^| z  C_  t  ->  -.  t  e.  |^| z ) )
294, 28syl5 32 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  =/=  (/)  /\  A. x  e.  z  A. y ( ( y 
C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x ) )  -> 
( t  e.  z  ->  -.  t  e.  |^| z ) )
3029ralrimiv 2879 . . . . . . 7  |-  ( ( z  =/=  (/)  /\  A. x  e.  z  A. y ( ( y 
C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x ) )  ->  A. t  e.  z  -.  t  e.  |^| z
)
31 eleq2 2540 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  |^| z  -> 
( t  e.  w  <->  t  e.  |^| z ) )
3231notbid 294 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  |^| z  -> 
( -.  t  e.  w  <->  -.  t  e.  |^| z ) )
3332ralbidv 2906 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  |^| z  -> 
( A. t  e.  z  -.  t  e.  w  <->  A. t  e.  z  -.  t  e.  |^| z ) )
3433rspcev 3219 . . . . . . 7  |-  ( (
|^| z  e.  z  /\  A. t  e.  z  -.  t  e. 
|^| z )  ->  E. w  e.  z  A. t  e.  z  -.  t  e.  w
)
353, 30, 34syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( z  =/=  (/)  /\  A. x  e.  z  A. y ( ( y 
C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x ) )  ->  E. w  e.  z  A. t  e.  z  -.  t  e.  w
)
3635expcom 435 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  z  A. y ( ( y 
C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x )  ->  (
z  =/=  (/)  ->  E. w  e.  z  A. t  e.  z  -.  t  e.  w ) )
371, 36syl6com 35 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  A. y ( ( y 
C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x )  ->  (
z  C_  A  ->  ( z  =/=  (/)  ->  E. w  e.  z  A. t  e.  z  -.  t  e.  w ) ) )
3837impd 431 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  A. y ( ( y 
C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x )  ->  (
( z  C_  A  /\  z  =/=  (/) )  ->  E. w  e.  z  A. t  e.  z  -.  t  e.  w
) )
3938alrimiv 1695 . 2  |-  ( A. x  e.  A  A. y ( ( y 
C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x )  ->  A. z
( ( z  C_  A  /\  z  =/=  (/) )  ->  E. w  e.  z  A. t  e.  z  -.  t  e.  w
) )
40 df-fr 4844 . . 3  |-  (  _E  Fr  A  <->  A. z
( ( z  C_  A  /\  z  =/=  (/) )  ->  E. w  e.  z  A. t  e.  z  -.  t  _E  w
) )
41 epel 4800 . . . . . . . 8  |-  ( t  _E  w  <->  t  e.  w )
4241notbii 296 . . . . . . 7  |-  ( -.  t  _E  w  <->  -.  t  e.  w )
4342ralbii 2898 . . . . . 6  |-  ( A. t  e.  z  -.  t  _E  w  <->  A. t  e.  z  -.  t  e.  w )
4443rexbii 2969 . . . . 5  |-  ( E. w  e.  z  A. t  e.  z  -.  t  _E  w  <->  E. w  e.  z  A. t  e.  z  -.  t  e.  w )
4544imbi2i 312 . . . 4  |-  ( ( ( z  C_  A  /\  z  =/=  (/) )  ->  E. w  e.  z  A. t  e.  z  -.  t  _E  w
)  <->  ( ( z 
C_  A  /\  z  =/=  (/) )  ->  E. w  e.  z  A. t  e.  z  -.  t  e.  w ) )
4645albii 1620 . . 3  |-  ( A. z ( ( z 
C_  A  /\  z  =/=  (/) )  ->  E. w  e.  z  A. t  e.  z  -.  t  _E  w )  <->  A. z
( ( z  C_  A  /\  z  =/=  (/) )  ->  E. w  e.  z  A. t  e.  z  -.  t  e.  w
) )
4740, 46bitri 249 . 2  |-  (  _E  Fr  A  <->  A. z
( ( z  C_  A  /\  z  =/=  (/) )  ->  E. w  e.  z  A. t  e.  z  -.  t  e.  w
) )
4839, 47sylibr 212 1  |-  ( A. x  e.  A  A. y ( ( y 
C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x )  ->  _E  Fr  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369   A.wal 1377    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2817   E.wrex 2818   _Vcvv 3118    C_ wss 3481    C. wpss 3482   (/)c0 3790   |^|cint 4288   class class class wbr 4453   Tr wtr 4546    _E cep 4795    Fr wfr 4841
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pr 4692  ax-un 6587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-fr 4844  df-suc 4890
This theorem is referenced by:  dfon2  29151
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