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Theorem dfon2lem9 30010
Description: Lemma for dfon2 30011. A class of new ordinals is well-founded by  _E. (Contributed by Scott Fenton, 3-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
dfon2lem9  |-  ( A. x  e.  A  A. y ( ( y 
C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x )  ->  _E  Fr  A )
Distinct variable group:    x, A, y

Proof of Theorem dfon2lem9
Dummy variables  z  w  t  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssralv 3503 . . . . 5  |-  ( z 
C_  A  ->  ( A. x  e.  A  A. y ( ( y 
C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x )  ->  A. x  e.  z  A. y
( ( y  C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x
) ) )
2 dfon2lem8 30009 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  =/=  (/)  /\  A. x  e.  z  A. y ( ( y 
C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x ) )  -> 
( A. u ( ( u  C.  |^| z  /\  Tr  u )  ->  u  e.  |^| z )  /\  |^| z  e.  z ) )
32simprd 461 . . . . . . 7  |-  ( ( z  =/=  (/)  /\  A. x  e.  z  A. y ( ( y 
C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x ) )  ->  |^| z  e.  z
)
4 intss1 4242 . . . . . . . . 9  |-  ( t  e.  z  ->  |^| z  C_  t )
52simpld 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  =/=  (/)  /\  A. x  e.  z  A. y ( ( y 
C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x ) )  ->  A. u ( ( u 
C.  |^| z  /\  Tr  u )  ->  u  e.  |^| z ) )
6 intex 4550 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =/=  (/)  <->  |^| z  e.  _V )
7 dfon2lem3 30004 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( |^| z  e.  _V  ->  ( A. u ( ( u  C.  |^| z  /\  Tr  u )  ->  u  e.  |^| z )  -> 
( Tr  |^| z  /\  A. x  e.  |^| z  -.  x  e.  x
) ) )
87imp 427 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
|^| z  e.  _V  /\ 
A. u ( ( u  C.  |^| z  /\  Tr  u )  ->  u  e.  |^| z ) )  ->  ( Tr  |^| z  /\  A. x  e. 
|^| z  -.  x  e.  x ) )
98simprd 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
|^| z  e.  _V  /\ 
A. u ( ( u  C.  |^| z  /\  Tr  u )  ->  u  e.  |^| z ) )  ->  A. x  e.  |^| z  -.  x  e.  x
)
10 untelirr 29909 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. x  e.  |^| z  -.  x  e.  x  ->  -.  |^| z  e.  |^| z )
119, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
|^| z  e.  _V  /\ 
A. u ( ( u  C.  |^| z  /\  Tr  u )  ->  u  e.  |^| z ) )  ->  -.  |^| z  e. 
|^| z )
12 eleq1 2474 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( |^| z  =  t  ->  (
|^| z  e.  |^| z 
<->  t  e.  |^| z
) )
1312notbid 292 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( |^| z  =  t  ->  ( -.  |^| z  e.  |^| z 
<->  -.  t  e.  |^| z ) )
1411, 13syl5ibcom 220 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
|^| z  e.  _V  /\ 
A. u ( ( u  C.  |^| z  /\  Tr  u )  ->  u  e.  |^| z ) )  ->  ( |^| z  =  t  ->  -.  t  e.  |^| z ) )
1514a1dd 44 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
|^| z  e.  _V  /\ 
A. u ( ( u  C.  |^| z  /\  Tr  u )  ->  u  e.  |^| z ) )  ->  ( |^| z  =  t  ->  ( |^| z  C_  t  ->  -.  t  e.  |^| z ) ) )
168simpld 457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
|^| z  e.  _V  /\ 
A. u ( ( u  C.  |^| z  /\  Tr  u )  ->  u  e.  |^| z ) )  ->  Tr  |^| z )
17 trss 4498 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Tr 
|^| z  ->  (
t  e.  |^| z  ->  t  C_  |^| z ) )
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
|^| z  e.  _V  /\ 
A. u ( ( u  C.  |^| z  /\  Tr  u )  ->  u  e.  |^| z ) )  ->  ( t  e. 
|^| z  ->  t  C_ 
|^| z ) )
19 eqss 3457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( |^| z  =  t  <->  ( |^| z  C_  t  /\  t  C_ 
|^| z ) )
2019simplbi2com 625 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t 
C_  |^| z  ->  ( |^| z  C_  t  ->  |^| z  =  t
) )
2118, 20syl6 31 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
|^| z  e.  _V  /\ 
A. u ( ( u  C.  |^| z  /\  Tr  u )  ->  u  e.  |^| z ) )  ->  ( t  e. 
|^| z  ->  ( |^| z  C_  t  ->  |^| z  =  t
) ) )
2221com23 78 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
|^| z  e.  _V  /\ 
A. u ( ( u  C.  |^| z  /\  Tr  u )  ->  u  e.  |^| z ) )  ->  ( |^| z  C_  t  ->  ( t  e.  |^| z  ->  |^| z  =  t ) ) )
23 con3 134 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( t  e.  |^| z  ->  |^| z  =  t )  ->  ( -.  |^| z  =  t  ->  -.  t  e.  |^| z
) )
2422, 23syl6 31 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
|^| z  e.  _V  /\ 
A. u ( ( u  C.  |^| z  /\  Tr  u )  ->  u  e.  |^| z ) )  ->  ( |^| z  C_  t  ->  ( -.  |^| z  =  t  ->  -.  t  e.  |^| z
) ) )
2524com23 78 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
|^| z  e.  _V  /\ 
A. u ( ( u  C.  |^| z  /\  Tr  u )  ->  u  e.  |^| z ) )  ->  ( -.  |^| z  =  t  ->  (
|^| z  C_  t  ->  -.  t  e.  |^| z ) ) )
2615, 25pm2.61d 158 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
|^| z  e.  _V  /\ 
A. u ( ( u  C.  |^| z  /\  Tr  u )  ->  u  e.  |^| z ) )  ->  ( |^| z  C_  t  ->  -.  t  e.  |^| z ) )
276, 26sylanb 470 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  =/=  (/)  /\  A. u ( ( u 
C.  |^| z  /\  Tr  u )  ->  u  e.  |^| z ) )  ->  ( |^| z  C_  t  ->  -.  t  e.  |^| z ) )
285, 27syldan 468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  =/=  (/)  /\  A. x  e.  z  A. y ( ( y 
C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x ) )  -> 
( |^| z  C_  t  ->  -.  t  e.  |^| z ) )
294, 28syl5 30 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  =/=  (/)  /\  A. x  e.  z  A. y ( ( y 
C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x ) )  -> 
( t  e.  z  ->  -.  t  e.  |^| z ) )
3029ralrimiv 2816 . . . . . . 7  |-  ( ( z  =/=  (/)  /\  A. x  e.  z  A. y ( ( y 
C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x ) )  ->  A. t  e.  z  -.  t  e.  |^| z
)
31 eleq2 2475 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  |^| z  -> 
( t  e.  w  <->  t  e.  |^| z ) )
3231notbid 292 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  |^| z  -> 
( -.  t  e.  w  <->  -.  t  e.  |^| z ) )
3332ralbidv 2843 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  |^| z  -> 
( A. t  e.  z  -.  t  e.  w  <->  A. t  e.  z  -.  t  e.  |^| z ) )
3433rspcev 3160 . . . . . . 7  |-  ( (
|^| z  e.  z  /\  A. t  e.  z  -.  t  e. 
|^| z )  ->  E. w  e.  z  A. t  e.  z  -.  t  e.  w
)
353, 30, 34syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( ( z  =/=  (/)  /\  A. x  e.  z  A. y ( ( y 
C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x ) )  ->  E. w  e.  z  A. t  e.  z  -.  t  e.  w
)
3635expcom 433 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  z  A. y ( ( y 
C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x )  ->  (
z  =/=  (/)  ->  E. w  e.  z  A. t  e.  z  -.  t  e.  w ) )
371, 36syl6com 33 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  A. y ( ( y 
C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x )  ->  (
z  C_  A  ->  ( z  =/=  (/)  ->  E. w  e.  z  A. t  e.  z  -.  t  e.  w ) ) )
3837impd 429 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  A. y ( ( y 
C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x )  ->  (
( z  C_  A  /\  z  =/=  (/) )  ->  E. w  e.  z  A. t  e.  z  -.  t  e.  w
) )
3938alrimiv 1740 . 2  |-  ( A. x  e.  A  A. y ( ( y 
C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x )  ->  A. z
( ( z  C_  A  /\  z  =/=  (/) )  ->  E. w  e.  z  A. t  e.  z  -.  t  e.  w
) )
40 df-fr 4782 . . 3  |-  (  _E  Fr  A  <->  A. z
( ( z  C_  A  /\  z  =/=  (/) )  ->  E. w  e.  z  A. t  e.  z  -.  t  _E  w
) )
41 epel 4737 . . . . . . . 8  |-  ( t  _E  w  <->  t  e.  w )
4241notbii 294 . . . . . . 7  |-  ( -.  t  _E  w  <->  -.  t  e.  w )
4342ralbii 2835 . . . . . 6  |-  ( A. t  e.  z  -.  t  _E  w  <->  A. t  e.  z  -.  t  e.  w )
4443rexbii 2906 . . . . 5  |-  ( E. w  e.  z  A. t  e.  z  -.  t  _E  w  <->  E. w  e.  z  A. t  e.  z  -.  t  e.  w )
4544imbi2i 310 . . . 4  |-  ( ( ( z  C_  A  /\  z  =/=  (/) )  ->  E. w  e.  z  A. t  e.  z  -.  t  _E  w
)  <->  ( ( z 
C_  A  /\  z  =/=  (/) )  ->  E. w  e.  z  A. t  e.  z  -.  t  e.  w ) )
4645albii 1661 . . 3  |-  ( A. z ( ( z 
C_  A  /\  z  =/=  (/) )  ->  E. w  e.  z  A. t  e.  z  -.  t  _E  w )  <->  A. z
( ( z  C_  A  /\  z  =/=  (/) )  ->  E. w  e.  z  A. t  e.  z  -.  t  e.  w
) )
4740, 46bitri 249 . 2  |-  (  _E  Fr  A  <->  A. z
( ( z  C_  A  /\  z  =/=  (/) )  ->  E. w  e.  z  A. t  e.  z  -.  t  e.  w
) )
4839, 47sylibr 212 1  |-  ( A. x  e.  A  A. y ( ( y 
C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x )  ->  _E  Fr  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 367   A.wal 1403    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598   A.wral 2754   E.wrex 2755   _Vcvv 3059    C_ wss 3414    C. wpss 3415   (/)c0 3738   |^|cint 4227   class class class wbr 4395   Tr wtr 4489    _E cep 4732    Fr wfr 4779
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pr 4630  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-fr 4782  df-suc 5416
This theorem is referenced by:  dfon2  30011
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