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Theorem dfon2lem7 30483
Description: Lemma for dfon2 30486. All elements of a new ordinal are new ordinals. (Contributed by Scott Fenton, 25-Feb-2011.)
Hypothesis
Ref Expression
dfon2lem7.1  |-  A  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
dfon2lem7  |-  ( A. x ( ( x 
C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A )  ->  ( B  e.  A  ->  A. y ( ( y 
C.  B  /\  Tr  y )  ->  y  e.  B ) ) )
Distinct variable groups:    x, A, y    x, B, y

Proof of Theorem dfon2lem7
Dummy variables  z  w  s  t  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elequ1 1904 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  =  z  ->  (
t  e.  t  <->  z  e.  t ) )
2 elequ2 1911 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  =  z  ->  (
z  e.  t  <->  z  e.  z ) )
31, 2bitrd 261 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  =  z  ->  (
t  e.  t  <->  z  e.  z ) )
43notbid 300 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  z  ->  ( -.  t  e.  t  <->  -.  z  e.  z ) )
54cbvralv 3030 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. t  e.  x  -.  t  e.  t  <->  A. z  e.  x  -.  z  e.  z )
65biimpi 199 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. t  e.  x  -.  t  e.  t  ->  A. z  e.  x  -.  z  e.  z )
76ralimi 2792 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) } A. t  e.  x  -.  t  e.  t  ->  A. x  e.  {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  -> 
y  e.  t ) ) } A. z  e.  x  -.  z  e.  z )
8 untuni 30384 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. z  e.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  -.  z  e.  z  <->  A. x  e.  { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) } A. z  e.  x  -.  z  e.  z
)
97, 8sylibr 217 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) } A. t  e.  x  -.  t  e.  t  ->  A. z  e.  U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  -.  z  e.  z )
10 vex 3059 . . . . . . . . . . . 12  |-  x  e. 
_V
11 sseq1 3464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  x  ->  (
w  C_  A  <->  x  C_  A
) )
12 treq 4516 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  x  ->  ( Tr  w  <->  Tr  x )
)
13 raleq 2998 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  x  ->  ( A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t )  <->  A. t  e.  x  A. y
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) )
1411, 12, 133anbi123d 1348 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  x  ->  (
( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) )  <->  ( x  C_  A  /\  Tr  x  /\  A. t  e.  x  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) ) )
1510, 14elab 3196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  <-> 
( x  C_  A  /\  Tr  x  /\  A. t  e.  x  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) )
16 vex 3059 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  t  e. 
_V
17 dfon2lem3 30479 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  e.  _V  ->  ( A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t )  ->  ( Tr  t  /\  A. u  e.  t  -.  u  e.  u ) ) )
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t )  ->  ( Tr  t  /\  A. u  e.  t  -.  u  e.  u ) )
1918simprd 469 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t )  ->  A. u  e.  t  -.  u  e.  u )
20 untelirr 30383 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. u  e.  t  -.  u  e.  u  ->  -.  t  e.  t )
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t )  ->  -.  t  e.  t )
2221ralimi 2792 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. t  e.  x  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t )  ->  A. t  e.  x  -.  t  e.  t )
23223ad2ant3 1037 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  C_  A  /\  Tr  x  /\  A. t  e.  x  A. y
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) )  ->  A. t  e.  x  -.  t  e.  t )
2415, 23sylbi 200 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  ->  A. t  e.  x  -.  t  e.  t
)
259, 24mprg 2762 . . . . . . . . 9  |-  A. z  e.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  -.  z  e.  z
26 untelirr 30383 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. z  e.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  -.  z  e.  z  ->  -.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  e.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) } )
27 psseq2 3532 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( t  =  u  ->  (
y  C.  t  <->  y  C.  u
) )
2827anbi1d 716 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( t  =  u  ->  (
( y  C.  t  /\  Tr  y )  <->  ( y  C.  u  /\  Tr  y
) ) )
29 elequ2 1911 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( t  =  u  ->  (
y  e.  t  <->  y  e.  u ) )
3028, 29imbi12d 326 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  =  u  ->  (
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t )  <->  ( ( y 
C.  u  /\  Tr  y )  ->  y  e.  u ) ) )
3130albidv 1777 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  =  u  ->  ( A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t )  <->  A. y
( ( y  C.  u  /\  Tr  y )  ->  y  e.  u
) ) )
3231cbvralv 3030 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t )  <->  A. u  e.  w  A. y
( ( y  C.  u  /\  Tr  y )  ->  y  e.  u
) )
33323anbi3i 1207 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) )  <->  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. u  e.  w  A. y ( ( y 
C.  u  /\  Tr  y )  ->  y  e.  u ) ) )
3433abbii 2577 . . . . . . . . . . . 12  |-  { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  =  { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. u  e.  w  A. y ( ( y 
C.  u  /\  Tr  y )  ->  y  e.  u ) ) }
3534unieqi 4220 . . . . . . . . . . 11  |-  U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  -> 
y  e.  t ) ) }  =  U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. u  e.  w  A. y
( ( y  C.  u  /\  Tr  y )  ->  y  e.  u
) ) }
3635eleq2i 2531 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  e.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  <->  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  e.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. u  e.  w  A. y ( ( y 
C.  u  /\  Tr  y )  ->  y  e.  u ) ) } )
3726, 36sylnib 310 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  -.  z  e.  z  ->  -.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  e.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. u  e.  w  A. y ( ( y 
C.  u  /\  Tr  y )  ->  y  e.  u ) ) } )
3825, 37ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  -.  U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  e.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. u  e.  w  A. y
( ( y  C.  u  /\  Tr  y )  ->  y  e.  u
) ) }
39 dfon2lem7.1 . . . . . . . . . 10  |-  A  e. 
_V
40 dfon2lem2 30478 . . . . . . . . . 10  |-  U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  -> 
y  e.  t ) ) }  C_  A
4139, 40ssexi 4561 . . . . . . . . 9  |-  U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  -> 
y  e.  t ) ) }  e.  _V
4241snss 4108 . . . . . . . 8  |-  ( U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  e.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. u  e.  w  A. y
( ( y  C.  u  /\  Tr  y )  ->  y  e.  u
) ) }  <->  { U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  -> 
y  e.  t ) ) } }  C_  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. u  e.  w  A. y
( ( y  C.  u  /\  Tr  y )  ->  y  e.  u
) ) } )
4338, 42mtbi 304 . . . . . . 7  |-  -.  { U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) } }  C_ 
U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. u  e.  w  A. y ( ( y 
C.  u  /\  Tr  y )  ->  y  e.  u ) ) }
4443intnan 930 . . . . . 6  |-  -.  ( U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  C_  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. u  e.  w  A. y
( ( y  C.  u  /\  Tr  y )  ->  y  e.  u
) ) }  /\  { U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) } }  C_  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. u  e.  w  A. y ( ( y 
C.  u  /\  Tr  y )  ->  y  e.  u ) ) } )
45 df-suc 5447 . . . . . . . 8  |-  suc  U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  =  ( U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  u.  { U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  -> 
y  e.  t ) ) } } )
4645sseq1i 3467 . . . . . . 7  |-  ( suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  C_  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. u  e.  w  A. y
( ( y  C.  u  /\  Tr  y )  ->  y  e.  u
) ) }  <->  ( U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  u.  { U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) } } )  C_  U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. u  e.  w  A. y ( ( y  C.  u  /\  Tr  y )  -> 
y  e.  u ) ) } )
47 unss 3619 . . . . . . 7  |-  ( ( U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) } 
C_  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. u  e.  w  A. y ( ( y 
C.  u  /\  Tr  y )  ->  y  e.  u ) ) }  /\  { U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  -> 
y  e.  t ) ) } }  C_  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. u  e.  w  A. y
( ( y  C.  u  /\  Tr  y )  ->  y  e.  u
) ) } )  <-> 
( U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  u.  { U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  -> 
y  e.  t ) ) } } ) 
C_  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. u  e.  w  A. y ( ( y 
C.  u  /\  Tr  y )  ->  y  e.  u ) ) } )
4846, 47bitr4i 260 . . . . . 6  |-  ( suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  C_  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. u  e.  w  A. y
( ( y  C.  u  /\  Tr  y )  ->  y  e.  u
) ) }  <->  ( U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  C_  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. u  e.  w  A. y
( ( y  C.  u  /\  Tr  y )  ->  y  e.  u
) ) }  /\  { U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) } }  C_  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. u  e.  w  A. y ( ( y 
C.  u  /\  Tr  y )  ->  y  e.  u ) ) } ) )
4944, 48mtbir 305 . . . . 5  |-  -.  suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  C_  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. u  e.  w  A. y
( ( y  C.  u  /\  Tr  y )  ->  y  e.  u
) ) }
5041snss 4108 . . . . . 6  |-  ( U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  e.  A 
<->  { U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) } }  C_  A )
5145sseq1i 3467 . . . . . . . . 9  |-  ( suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  C_  A 
<->  ( U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  u.  { U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  -> 
y  e.  t ) ) } } ) 
C_  A )
52 unss 3619 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) } 
C_  A  /\  { U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) } }  C_  A )  <->  ( U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  u.  { U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) } } )  C_  A
)
5351, 52bitr4i 260 . . . . . . . 8  |-  ( suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  C_  A 
<->  ( U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) } 
C_  A  /\  { U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) } }  C_  A ) )
54 dfon2lem1 30477 . . . . . . . . . . . 12  |-  Tr  U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }
55 suctr 5524 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Tr 
U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  ->  Tr  suc  U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  -> 
y  e.  t ) ) } )
5654, 55ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  Tr  suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }
57 vex 3059 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  u  e. 
_V
5857elsuc 5510 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  e.  suc  U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  -> 
y  e.  t ) ) }  <->  ( u  e.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  \/  u  =  U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) } ) )
59 eluni2 4215 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  e.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  <->  E. x  e.  { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) } u  e.  x )
60 nfa1 1989 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ x A. x ( ( x 
C.  u  /\  Tr  x )  ->  x  e.  u )
6131rspccv 3158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. t  e.  x  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t )  ->  (
u  e.  x  ->  A. y ( ( y 
C.  u  /\  Tr  y )  ->  y  e.  u ) ) )
62 psseq1 3531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  =  x  ->  (
y  C.  u  <->  x  C.  u
) )
63 treq 4516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  =  x  ->  ( Tr  y  <->  Tr  x )
)
6462, 63anbi12d 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  x  ->  (
( y  C.  u  /\  Tr  y )  <->  ( x  C.  u  /\  Tr  x
) ) )
65 elequ1 1904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  x  ->  (
y  e.  u  <->  x  e.  u ) )
6664, 65imbi12d 326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  x  ->  (
( ( y  C.  u  /\  Tr  y )  ->  y  e.  u
)  <->  ( ( x 
C.  u  /\  Tr  x )  ->  x  e.  u ) ) )
6766cbvalv 2126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. y ( ( y 
C.  u  /\  Tr  y )  ->  y  e.  u )  <->  A. x
( ( x  C.  u  /\  Tr  x )  ->  x  e.  u
) )
6861, 67syl6ib 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. t  e.  x  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t )  ->  (
u  e.  x  ->  A. x ( ( x 
C.  u  /\  Tr  x )  ->  x  e.  u ) ) )
69683ad2ant3 1037 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  C_  A  /\  Tr  x  /\  A. t  e.  x  A. y
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) )  ->  (
u  e.  x  ->  A. x ( ( x 
C.  u  /\  Tr  x )  ->  x  e.  u ) ) )
7015, 69sylbi 200 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  ->  ( u  e.  x  ->  A. x
( ( x  C.  u  /\  Tr  x )  ->  x  e.  u
) ) )
7160, 70rexlimi 2880 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. x  e.  { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) } u  e.  x  ->  A. x ( ( x 
C.  u  /\  Tr  x )  ->  x  e.  u ) )
7259, 71sylbi 200 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  e.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  ->  A. x ( ( x  C.  u  /\  Tr  x )  ->  x  e.  u ) )
73 psseq1 3531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( y  =  z  ->  (
y  C.  u  <->  z  C.  u
) )
74 treq 4516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( y  =  z  ->  ( Tr  y  <->  Tr  z )
)
7573, 74anbi12d 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  =  z  ->  (
( y  C.  u  /\  Tr  y )  <->  ( z  C.  u  /\  Tr  z
) ) )
76 elequ1 1904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  =  z  ->  (
y  e.  u  <->  z  e.  u ) )
7775, 76imbi12d 326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( y  =  z  ->  (
( ( y  C.  u  /\  Tr  y )  ->  y  e.  u
)  <->  ( ( z 
C.  u  /\  Tr  z )  ->  z  e.  u ) ) )
7877cbvalv 2126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A. y ( ( y 
C.  u  /\  Tr  y )  ->  y  e.  u )  <->  A. z
( ( z  C.  u  /\  Tr  z )  ->  z  e.  u
) )
7961, 78syl6ib 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A. t  e.  x  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t )  ->  (
u  e.  x  ->  A. z ( ( z 
C.  u  /\  Tr  z )  ->  z  e.  u ) ) )
80793ad2ant3 1037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  C_  A  /\  Tr  x  /\  A. t  e.  x  A. y
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) )  ->  (
u  e.  x  ->  A. z ( ( z 
C.  u  /\  Tr  z )  ->  z  e.  u ) ) )
8115, 80sylbi 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  ->  ( u  e.  x  ->  A. z
( ( z  C.  u  /\  Tr  z )  ->  z  e.  u
) ) )
8281rexlimiv 2884 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( E. x  e.  { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) } u  e.  x  ->  A. z ( ( z 
C.  u  /\  Tr  z )  ->  z  e.  u ) )
8359, 82sylbi 200 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  e.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  ->  A. z ( ( z  C.  u  /\  Tr  z )  ->  z  e.  u ) )
8483rgen 2758 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  A. u  e.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) } A. z ( ( z  C.  u  /\  Tr  z )  ->  z  e.  u )
85 dfon2lem6 30482 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Tr  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  /\  A. u  e. 
U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) } A. z ( ( z  C.  u  /\  Tr  z )  ->  z  e.  u ) )  ->  A. x ( ( x 
C.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  /\  Tr  x )  ->  x  e.  U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) } ) )
8654, 84, 85mp2an 683 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  A. x
( ( x  C.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  /\  Tr  x )  ->  x  e.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) } )
87 psseq2 3532 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( u  =  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  ->  ( x  C.  u 
<->  x  C.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) } ) )
8887anbi1d 716 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  =  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  ->  ( ( x 
C.  u  /\  Tr  x )  <->  ( x  C. 
U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  /\  Tr  x ) ) )
89 eleq2 2528 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  =  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  ->  ( x  e.  u  <->  x  e.  U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  -> 
y  e.  t ) ) } ) )
9088, 89imbi12d 326 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  =  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  ->  ( ( ( x  C.  u  /\  Tr  x )  ->  x  e.  u )  <->  ( (
x  C.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  /\  Tr  x )  ->  x  e.  U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) } ) ) )
9190albidv 1777 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  ->  ( A. x
( ( x  C.  u  /\  Tr  x )  ->  x  e.  u
)  <->  A. x ( ( x  C.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  /\  Tr  x )  ->  x  e.  U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) } ) ) )
9286, 91mpbiri 241 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  ->  A. x ( ( x  C.  u  /\  Tr  x )  ->  x  e.  u ) )
9372, 92jaoi 385 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( u  e.  U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  -> 
y  e.  t ) ) }  \/  u  =  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) } )  ->  A. x
( ( x  C.  u  /\  Tr  x )  ->  x  e.  u
) )
9458, 93sylbi 200 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  e.  suc  U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  -> 
y  e.  t ) ) }  ->  A. x
( ( x  C.  u  /\  Tr  x )  ->  x  e.  u
) )
9594rgen 2758 . . . . . . . . . . 11  |-  A. u  e.  suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) } A. x ( ( x  C.  u  /\  Tr  x )  ->  x  e.  u )
9641sucex 6664 . . . . . . . . . . . . 13  |-  suc  U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  e.  _V
97 sseq1 3464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  =  suc  U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  -> 
y  e.  t ) ) }  ->  (
s  C_  A  <->  suc  U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  -> 
y  e.  t ) ) }  C_  A
) )
98 treq 4516 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  =  suc  U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  -> 
y  e.  t ) ) }  ->  ( Tr  s  <->  Tr  suc  U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  -> 
y  e.  t ) ) } ) )
99 raleq 2998 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  =  suc  U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  -> 
y  e.  t ) ) }  ->  ( A. u  e.  s  A. x ( ( x 
C.  u  /\  Tr  x )  ->  x  e.  u )  <->  A. u  e.  suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) } A. x ( ( x  C.  u  /\  Tr  x )  ->  x  e.  u ) ) )
10097, 98, 993anbi123d 1348 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  suc  U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  -> 
y  e.  t ) ) }  ->  (
( s  C_  A  /\  Tr  s  /\  A. u  e.  s  A. x ( ( x 
C.  u  /\  Tr  x )  ->  x  e.  u ) )  <->  ( suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  C_  A  /\  Tr  suc  U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  /\  A. u  e.  suc  U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) } A. x ( ( x 
C.  u  /\  Tr  x )  ->  x  e.  u ) ) ) )
10196, 100elab 3196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  e.  { s  |  ( s 
C_  A  /\  Tr  s  /\  A. u  e.  s  A. x ( ( x  C.  u  /\  Tr  x )  ->  x  e.  u )
) }  <->  ( suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  C_  A  /\  Tr  suc  U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  /\  A. u  e.  suc  U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) } A. x ( ( x 
C.  u  /\  Tr  x )  ->  x  e.  u ) ) )
102 elssuni 4240 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  e.  { s  |  ( s 
C_  A  /\  Tr  s  /\  A. u  e.  s  A. x ( ( x  C.  u  /\  Tr  x )  ->  x  e.  u )
) }  ->  suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  C_  U. { s  |  ( s  C_  A  /\  Tr  s  /\  A. u  e.  s  A. x
( ( x  C.  u  /\  Tr  x )  ->  x  e.  u
) ) } )
103101, 102sylbir 218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) } 
C_  A  /\  Tr  suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  /\  A. u  e. 
suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) } A. x ( ( x  C.  u  /\  Tr  x )  ->  x  e.  u ) )  ->  suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) } 
C_  U. { s  |  ( s  C_  A  /\  Tr  s  /\  A. u  e.  s  A. x ( ( x 
C.  u  /\  Tr  x )  ->  x  e.  u ) ) } )
10456, 95, 103mp3an23 1365 . . . . . . . . . 10  |-  ( suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  C_  A  ->  suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) } 
C_  U. { s  |  ( s  C_  A  /\  Tr  s  /\  A. u  e.  s  A. x ( ( x 
C.  u  /\  Tr  x )  ->  x  e.  u ) ) } )
105 sseq1 3464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  w  ->  (
s  C_  A  <->  w  C_  A
) )
106 treq 4516 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  w  ->  ( Tr  s  <->  Tr  w )
)
107 raleq 2998 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  =  w  ->  ( A. u  e.  s  A. x ( ( x 
C.  u  /\  Tr  x )  ->  x  e.  u )  <->  A. u  e.  w  A. x
( ( x  C.  u  /\  Tr  x )  ->  x  e.  u
) ) )
108 psseq1 3531 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  y  ->  (
x  C.  u  <->  y  C.  u
) )
109 treq 4516 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  y  ->  ( Tr  x  <->  Tr  y )
)
110108, 109anbi12d 722 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  C.  u  /\  Tr  x )  <->  ( y  C.  u  /\  Tr  y
) ) )
111 elequ1 1904 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  u  <->  y  e.  u ) )
112110, 111imbi12d 326 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( x  C.  u  /\  Tr  x )  ->  x  e.  u
)  <->  ( ( y 
C.  u  /\  Tr  y )  ->  y  e.  u ) ) )
113112cbvalv 2126 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. x ( ( x 
C.  u  /\  Tr  x )  ->  x  e.  u )  <->  A. y
( ( y  C.  u  /\  Tr  y )  ->  y  e.  u
) )
114113ralbii 2830 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. u  e.  w  A. x ( ( x 
C.  u  /\  Tr  x )  ->  x  e.  u )  <->  A. u  e.  w  A. y
( ( y  C.  u  /\  Tr  y )  ->  y  e.  u
) )
115107, 114syl6bb 269 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  w  ->  ( A. u  e.  s  A. x ( ( x 
C.  u  /\  Tr  x )  ->  x  e.  u )  <->  A. u  e.  w  A. y
( ( y  C.  u  /\  Tr  y )  ->  y  e.  u
) ) )
116105, 106, 1153anbi123d 1348 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  w  ->  (
( s  C_  A  /\  Tr  s  /\  A. u  e.  s  A. x ( ( x 
C.  u  /\  Tr  x )  ->  x  e.  u ) )  <->  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. u  e.  w  A. y ( ( y 
C.  u  /\  Tr  y )  ->  y  e.  u ) ) ) )
117116cbvabv 2585 . . . . . . . . . . 11  |-  { s  |  ( s  C_  A  /\  Tr  s  /\  A. u  e.  s  A. x ( ( x 
C.  u  /\  Tr  x )  ->  x  e.  u ) ) }  =  { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. u  e.  w  A. y ( ( y 
C.  u  /\  Tr  y )  ->  y  e.  u ) ) }
118117unieqi 4220 . . . . . . . . . 10  |-  U. {
s  |  ( s 
C_  A  /\  Tr  s  /\  A. u  e.  s  A. x ( ( x  C.  u  /\  Tr  x )  ->  x  e.  u )
) }  =  U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. u  e.  w  A. y
( ( y  C.  u  /\  Tr  y )  ->  y  e.  u
) ) }
119104, 118syl6sseq 3489 . . . . . . . . 9  |-  ( suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  C_  A  ->  suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) } 
C_  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. u  e.  w  A. y ( ( y 
C.  u  /\  Tr  y )  ->  y  e.  u ) ) } )
120119a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( A. x ( ( x 
C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A )  ->  ( suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) } 
C_  A  ->  suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  C_  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. u  e.  w  A. y
( ( y  C.  u  /\  Tr  y )  ->  y  e.  u
) ) } ) )
12153, 120syl5bir 226 . . . . . . 7  |-  ( A. x ( ( x 
C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A )  ->  (
( U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) } 
C_  A  /\  { U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) } }  C_  A )  ->  suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  C_  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. u  e.  w  A. y
( ( y  C.  u  /\  Tr  y )  ->  y  e.  u
) ) } ) )
12240, 121mpani 687 . . . . . 6  |-  ( A. x ( ( x 
C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A )  ->  ( { U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) } }  C_  A  ->  suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  C_  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. u  e.  w  A. y
( ( y  C.  u  /\  Tr  y )  ->  y  e.  u
) ) } ) )
12350, 122syl5bi 225 . . . . 5  |-  ( A. x ( ( x 
C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A )  ->  ( U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  e.  A  ->  suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) } 
C_  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. u  e.  w  A. y ( ( y 
C.  u  /\  Tr  y )  ->  y  e.  u ) ) } ) )
12449, 123mtoi 183 . . . 4  |-  ( A. x ( ( x 
C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A )  ->  -.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  e.  A )
125 psseq1 3531 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  ->  ( x  C.  A 
<-> 
U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) } 
C.  A ) )
126 treq 4516 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  ->  ( Tr  x  <->  Tr 
U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) } ) )
127125, 126anbi12d 722 . . . . . . 7  |-  ( x  =  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  ->  ( ( x 
C.  A  /\  Tr  x )  <->  ( U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  C.  A  /\  Tr  U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  -> 
y  e.  t ) ) } ) ) )
128 eleq1 2527 . . . . . . 7  |-  ( x  =  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  ->  ( x  e.  A  <->  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  e.  A ) )
129127, 128imbi12d 326 . . . . . 6  |-  ( x  =  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  ->  ( ( ( x  C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A )  <->  ( ( U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  C.  A  /\  Tr  U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  -> 
y  e.  t ) ) } )  ->  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  e.  A ) ) )
13041, 129spcv 3151 . . . . 5  |-  ( A. x ( ( x 
C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A )  ->  (
( U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) } 
C.  A  /\  Tr  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) } )  ->  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  e.  A ) )
13154, 130mpan2i 688 . . . 4  |-  ( A. x ( ( x 
C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A )  ->  ( U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  C.  A  ->  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  e.  A ) )
132124, 131mtod 182 . . 3  |-  ( A. x ( ( x 
C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A )  ->  -.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  C.  A )
133 dfpss2 3529 . . . . 5  |-  ( U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  C.  A 
<->  ( U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) } 
C_  A  /\  -.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  =  A ) )
134133biimpri 211 . . . 4  |-  ( ( U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) } 
C_  A  /\  -.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  =  A )  ->  U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  -> 
y  e.  t ) ) }  C.  A
)
13540, 134mpan 681 . . 3  |-  ( -. 
U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  =  A  ->  U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  -> 
y  e.  t ) ) }  C.  A
)
136132, 135nsyl2 132 . 2  |-  ( A. x ( ( x 
C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A )  ->  U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  -> 
y  e.  t ) ) }  =  A )
137 eluni2 4215 . . . . 5  |-  ( z  e.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  <->  E. x  e.  { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) } z  e.  x )
138 psseq2 3532 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  z  ->  (
y  C.  t  <->  y  C.  z
) )
139138anbi1d 716 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  z  ->  (
( y  C.  t  /\  Tr  y )  <->  ( y  C.  z  /\  Tr  y
) ) )
140 elequ2 1911 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  z  ->  (
y  e.  t  <->  y  e.  z ) )
141139, 140imbi12d 326 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  z  ->  (
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t )  <->  ( ( y 
C.  z  /\  Tr  y )  ->  y  e.  z ) ) )
142141albidv 1777 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  z  ->  ( A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t )  <->  A. y
( ( y  C.  z  /\  Tr  y )  ->  y  e.  z ) ) )
143142cbvralv 3030 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. t  e.  x  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t )  <->  A. z  e.  x  A. y
( ( y  C.  z  /\  Tr  y )  ->  y  e.  z ) )
14413, 143syl6bb 269 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  x  ->  ( A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t )  <->  A. z  e.  x  A. y
( ( y  C.  z  /\  Tr  y )  ->  y  e.  z ) ) )
14511, 12, 1443anbi123d 1348 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  x  ->  (
( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) )  <->  ( x  C_  A  /\  Tr  x  /\  A. z  e.  x  A. y ( ( y 
C.  z  /\  Tr  y )  ->  y  e.  z ) ) ) )
14610, 145elab 3196 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  <-> 
( x  C_  A  /\  Tr  x  /\  A. z  e.  x  A. y ( ( y 
C.  z  /\  Tr  y )  ->  y  e.  z ) ) )
147 rsp 2765 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  x  A. y ( ( y 
C.  z  /\  Tr  y )  ->  y  e.  z )  ->  (
z  e.  x  ->  A. y ( ( y 
C.  z  /\  Tr  y )  ->  y  e.  z ) ) )
1481473ad2ant3 1037 . . . . . . 7  |-  ( ( x  C_  A  /\  Tr  x  /\  A. z  e.  x  A. y
( ( y  C.  z  /\  Tr  y )  ->  y  e.  z ) )  ->  (
z  e.  x  ->  A. y ( ( y 
C.  z  /\  Tr  y )  ->  y  e.  z ) ) )
149146, 148sylbi 200 . . . . . 6  |-  ( x  e.  { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  ->  ( z  e.  x  ->  A. y
( ( y  C.  z  /\  Tr  y )  ->  y  e.  z ) ) )
150149rexlimiv 2884 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) } z  e.  x  ->  A. y ( ( y 
C.  z  /\  Tr  y )  ->  y  e.  z ) )
151137, 150sylbi 200 . . . 4  |-  ( z  e.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  ->  A. y ( ( y  C.  z  /\  Tr  y )  ->  y  e.  z ) )
152151rgen 2758 . . 3  |-  A. z  e.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) } A. y ( ( y  C.  z  /\  Tr  y )  ->  y  e.  z )
153 raleq 2998 . . 3  |-  ( U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  =  A  ->  ( A. z  e.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) } A. y ( ( y  C.  z  /\  Tr  y )  ->  y  e.  z )  <->  A. z  e.  A  A. y
( ( y  C.  z  /\  Tr  y )  ->  y  e.  z ) ) )
154152, 153mpbii 216 . 2  |-  ( U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  =  A  ->  A. z  e.  A  A. y ( ( y 
C.  z  /\  Tr  y )  ->  y  e.  z ) )
155 psseq2 3532 . . . . . 6  |-  ( z  =  B  ->  (
y  C.  z  <->  y  C.  B
) )
156155anbi1d 716 . . . . 5  |-  ( z  =  B  ->  (
( y  C.  z  /\  Tr  y )  <->  ( y  C.  B  /\  Tr  y
) ) )
157 eleq2 2528 . . . . 5  |-  ( z  =  B  ->  (
y  e.  z  <->  y  e.  B ) )
158156, 157imbi12d 326 . . . 4  |-  ( z  =  B  ->  (
( ( y  C.  z  /\  Tr  y )  ->  y  e.  z )  <->  ( ( y 
C.  B  /\  Tr  y )  ->  y  e.  B ) ) )
159158albidv 1777 . . 3  |-  ( z  =  B  ->  ( A. y ( ( y 
C.  z  /\  Tr  y )  ->  y  e.  z )  <->  A. y
( ( y  C.  B  /\  Tr  y )  ->  y  e.  B
) ) )
160159rspccv 3158 . 2  |-  ( A. z  e.  A  A. y ( ( y 
C.  z  /\  Tr  y )  ->  y  e.  z )  ->  ( B  e.  A  ->  A. y ( ( y 
C.  B  /\  Tr  y )  ->  y  e.  B ) ) )
161136, 154, 1603syl 18 1  |-  ( A. x ( ( x 
C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A )  ->  ( B  e.  A  ->  A. y ( ( y 
C.  B  /\  Tr  y )  ->  y  e.  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 374    /\ wa 375    /\ w3a 991   A.wal 1452    = wceq 1454    e. wcel 1897   {cab 2447   A.wral 2748   E.wrex 2749   _Vcvv 3056    u. cun 3413    C_ wss 3415    C. wpss 3416   {csn 3979   U.cuni 4211   Tr wtr 4510   suc csuc 5443
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pr 4652  ax-un 6609
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-ral 2753  df-rex 2754  df-v 3058  df-sbc 3279  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-uni 4212  df-iun 4293  df-tr 4511  df-suc 5447
This theorem is referenced by:  dfon2lem8  30484  dfon2  30486
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