Theorem dfon2lem7 29386

Description: Lemma for dfon2 29389. All elements of a new ordinal are new ordinals. (Contributed by Scott Fenton, 25-Feb-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
dfon2lem7.1	|- A e. _V

Assertion

Ref	Expression
dfon2lem7	|- ( A. x ( ( x C. A /\ Tr x ) -> x e. A ) -> ( B e. A -> A. y ( ( y C. B /\ Tr y ) -> y e. B ) ) )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, B, y

Proof of Theorem dfon2lem7

Dummy variables z w s t u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elequ1 1829	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( t = z -> ( t e. t <-> z e. t ) )
2		elequ2 1831	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( t = z -> ( z e. t <-> z e. z ) )
3	1, 2	bitrd 253	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( t = z -> ( t e. t <-> z e. z ) )
4	3	notbid 292	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( t = z -> ( -. t e. t <-> -. z e. z ) )
5	4	cbvralv 3009	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. t e. x -. t e. t <-> A. z e. x -. z e. z )
6	5	biimpi 194	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. t e. x -. t e. t -> A. z e. x -. z e. z )
7	6	ralimi 2775	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. x e. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } A. t e. x -. t e. t -> A. x e. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } A. z e. x -. z e. z )
8		untuni 29247	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. z e. U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } -. z e. z <-> A. x e. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } A. z e. x -. z e. z )
9	7, 8	sylibr 212	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } A. t e. x -. t e. t -> A. z e. U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } -. z e. z )
10		vex 3037	. . . . . . . . . . . 12 |- x e. _V
11		sseq1 3438	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = x -> ( w C_ A <-> x C_ A ) )
12		treq 4466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = x -> ( Tr w <-> Tr x ) )
13		raleq 2979	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = x -> ( A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) <-> A. t e. x A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) )
14	11, 12, 13	3anbi123d 1297	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = x -> ( ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) <-> ( x C_ A /\ Tr x /\ A. t e. x A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) ) )
15	10, 14	elab 3171	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } <-> ( x C_ A /\ Tr x /\ A. t e. x A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) )
16		vex 3037	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- t e. _V
17		dfon2lem3 29382	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( t e. _V -> ( A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) -> ( Tr t /\ A. u e. t -. u e. u ) ) )
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) -> ( Tr t /\ A. u e. t -. u e. u ) )
19	18	simprd 461	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) -> A. u e. t -. u e. u )
20		untelirr 29246	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. u e. t -. u e. u -> -. t e. t )
21	19, 20	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) -> -. t e. t )
22	21	ralimi 2775	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. t e. x A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) -> A. t e. x -. t e. t )
23	22	3ad2ant3 1017	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x C_ A /\ Tr x /\ A. t e. x A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) -> A. t e. x -. t e. t )
24	15, 23	sylbi 195	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } -> A. t e. x -. t e. t )
25	9, 24	mprg 2745	. . . . . . . . 9 |- A. z e. U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } -. z e. z
26		untelirr 29246	. . . . . . . . . 10 |- ( A. z e. U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } -. z e. z -> -. U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } e. U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } )
27		psseq2 3506	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( t = u -> ( y C. t <-> y C. u ) )
28	27	anbi1d 702	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( t = u -> ( ( y C. t /\ Tr y ) <-> ( y C. u /\ Tr y ) ) )
29		elequ2 1831	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( t = u -> ( y e. t <-> y e. u ) )
30	28, 29	imbi12d 318	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( t = u -> ( ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) <-> ( ( y C. u /\ Tr y ) -> y e. u ) ) )
31	30	albidv 1721	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( t = u -> ( A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) <-> A. y ( ( y C. u /\ Tr y ) -> y e. u ) ) )
32	31	cbvralv 3009	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) <-> A. u e. w A. y ( ( y C. u /\ Tr y ) -> y e. u ) )
33	32	3anbi3i 1187	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) <-> ( w C_ A /\ Tr w /\ A. u e. w A. y ( ( y C. u /\ Tr y ) -> y e. u ) ) )
34	33	abbii 2516	. . . . . . . . . . . 12 |- { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } = { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. u e. w A. y ( ( y C. u /\ Tr y ) -> y e. u ) ) }
35	34	unieqi 4172	. . . . . . . . . . 11 |- U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } = U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. u e. w A. y ( ( y C. u /\ Tr y ) -> y e. u ) ) }
36	35	eleq2i 2460	. . . . . . . . . 10 |- ( U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } e. U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } <-> U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } e. U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. u e. w A. y ( ( y C. u /\ Tr y ) -> y e. u ) ) } )
37	26, 36	sylnib 302	. . . . . . . . 9 |- ( A. z e. U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } -. z e. z -> -. U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } e. U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. u e. w A. y ( ( y C. u /\ Tr y ) -> y e. u ) ) } )
38	25, 37	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- -. U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } e. U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. u e. w A. y ( ( y C. u /\ Tr y ) -> y e. u ) ) }
39		dfon2lem7.1	. . . . . . . . . 10 |- A e. _V
40		dfon2lem2 29381	. . . . . . . . . 10 |- U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } C_ A
41	39, 40	ssexi 4510	. . . . . . . . 9 |- U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } e. _V
42	41	snss 4068	. . . . . . . 8 |- ( U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } e. U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. u e. w A. y ( ( y C. u /\ Tr y ) -> y e. u ) ) } <-> { U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } } C_ U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. u e. w A. y ( ( y C. u /\ Tr y ) -> y e. u ) ) } )
43	38, 42	mtbi 296	. . . . . . 7 |- -. { U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } } C_ U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. u e. w A. y ( ( y C. u /\ Tr y ) -> y e. u ) ) }
44	43	intnan 912	. . . . . 6 |- -. ( U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } C_ U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. u e. w A. y ( ( y C. u /\ Tr y ) -> y e. u ) ) } /\ { U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } } C_ U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. u e. w A. y ( ( y C. u /\ Tr y ) -> y e. u ) ) } )
45		df-suc 4798	. . . . . . . 8 |- suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } = ( U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } u. { U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } } )
46	45	sseq1i 3441	. . . . . . 7 |- ( suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } C_ U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. u e. w A. y ( ( y C. u /\ Tr y ) -> y e. u ) ) } <-> ( U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } u. { U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } } ) C_ U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. u e. w A. y ( ( y C. u /\ Tr y ) -> y e. u ) ) } )
47		unss 3592	. . . . . . 7 |- ( ( U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } C_ U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. u e. w A. y ( ( y C. u /\ Tr y ) -> y e. u ) ) } /\ { U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } } C_ U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. u e. w A. y ( ( y C. u /\ Tr y ) -> y e. u ) ) } ) <-> ( U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } u. { U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } } ) C_ U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. u e. w A. y ( ( y C. u /\ Tr y ) -> y e. u ) ) } )
48	46, 47	bitr4i 252	. . . . . 6 |- ( suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } C_ U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. u e. w A. y ( ( y C. u /\ Tr y ) -> y e. u ) ) } <-> ( U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } C_ U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. u e. w A. y ( ( y C. u /\ Tr y ) -> y e. u ) ) } /\ { U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } } C_ U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. u e. w A. y ( ( y C. u /\ Tr y ) -> y e. u ) ) } ) )
49	44, 48	mtbir 297	. . . . 5 |- -. suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } C_ U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. u e. w A. y ( ( y C. u /\ Tr y ) -> y e. u ) ) }
50	41	snss 4068	. . . . . 6 |- ( U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } e. A <-> { U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } } C_ A )
51	45	sseq1i 3441	. . . . . . . . 9 |- ( suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } C_ A <-> ( U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } u. { U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } } ) C_ A )
52		unss 3592	. . . . . . . . 9 |- ( ( U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } C_ A /\ { U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } } C_ A ) <-> ( U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } u. { U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } } ) C_ A )
53	51, 52	bitr4i 252	. . . . . . . 8 |- ( suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } C_ A <-> ( U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } C_ A /\ { U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } } C_ A ) )
54		dfon2lem1 29380	. . . . . . . . . . . 12 |- Tr U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) }
55		suctr 4875	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Tr U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } -> Tr suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } )
56	54, 55	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- Tr suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) }
57		vex 3037	. . . . . . . . . . . . . 14 |- u e. _V
58	57	elsuc 4861	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u e. suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } <-> ( u e. U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } \/ u = U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } ) )
59		eluni2 4167	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u e. U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } <-> E. x e. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } u e. x )
60		nfa1 1905	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ x A. x ( ( x C. u /\ Tr x ) -> x e. u )
61	31	rspccv 3132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A. t e. x A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) -> ( u e. x -> A. y ( ( y C. u /\ Tr y ) -> y e. u ) ) )
62		psseq1 3505	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y = x -> ( y C. u <-> x C. u ) )
63		treq 4466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y = x -> ( Tr y <-> Tr x ) )
64	62, 63	anbi12d 708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y = x -> ( ( y C. u /\ Tr y ) <-> ( x C. u /\ Tr x ) ) )
65		elequ1 1829	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y = x -> ( y e. u <-> x e. u ) )
66	64, 65	imbi12d 318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = x -> ( ( ( y C. u /\ Tr y ) -> y e. u ) <-> ( ( x C. u /\ Tr x ) -> x e. u ) ) )
67	66	cbvalv 2030	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A. y ( ( y C. u /\ Tr y ) -> y e. u ) <-> A. x ( ( x C. u /\ Tr x ) -> x e. u ) )
68	61, 67	syl6ib 226	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A. t e. x A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) -> ( u e. x -> A. x ( ( x C. u /\ Tr x ) -> x e. u ) ) )
69	68	3ad2ant3 1017	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x C_ A /\ Tr x /\ A. t e. x A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) -> ( u e. x -> A. x ( ( x C. u /\ Tr x ) -> x e. u ) ) )
70	15, 69	sylbi 195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } -> ( u e. x -> A. x ( ( x C. u /\ Tr x ) -> x e. u ) ) )
71	60, 70	rexlimi 2864	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( E. x e. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } u e. x -> A. x ( ( x C. u /\ Tr x ) -> x e. u ) )
72	59, 71	sylbi 195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u e. U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } -> A. x ( ( x C. u /\ Tr x ) -> x e. u ) )
73		psseq1 3505	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( y = z -> ( y C. u <-> z C. u ) )
74		treq 4466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( y = z -> ( Tr y <-> Tr z ) )
75	73, 74	anbi12d 708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( y = z -> ( ( y C. u /\ Tr y ) <-> ( z C. u /\ Tr z ) ) )
76		elequ1 1829	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( y = z -> ( y e. u <-> z e. u ) )
77	75, 76	imbi12d 318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( y = z -> ( ( ( y C. u /\ Tr y ) -> y e. u ) <-> ( ( z C. u /\ Tr z ) -> z e. u ) ) )
78	77	cbvalv 2030	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( A. y ( ( y C. u /\ Tr y ) -> y e. u ) <-> A. z ( ( z C. u /\ Tr z ) -> z e. u ) )
79	61, 78	syl6ib 226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( A. t e. x A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) -> ( u e. x -> A. z ( ( z C. u /\ Tr z ) -> z e. u ) ) )
80	79	3ad2ant3 1017	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x C_ A /\ Tr x /\ A. t e. x A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) -> ( u e. x -> A. z ( ( z C. u /\ Tr z ) -> z e. u ) ) )
81	15, 80	sylbi 195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } -> ( u e. x -> A. z ( ( z C. u /\ Tr z ) -> z e. u ) ) )
82	81	rexlimiv 2868	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( E. x e. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } u e. x -> A. z ( ( z C. u /\ Tr z ) -> z e. u ) )
83	59, 82	sylbi 195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( u e. U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } -> A. z ( ( z C. u /\ Tr z ) -> z e. u ) )
84	83	rgen 2742	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- A. u e. U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } A. z ( ( z C. u /\ Tr z ) -> z e. u )
85		dfon2lem6 29385	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( Tr U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } /\ A. u e. U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } A. z ( ( z C. u /\ Tr z ) -> z e. u ) ) -> A. x ( ( x C. U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } /\ Tr x ) -> x e. U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } ) )
86	54, 84, 85	mp2an 670	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- A. x ( ( x C. U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } /\ Tr x ) -> x e. U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } )
87		psseq2 3506	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( u = U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } -> ( x C. u <-> x C. U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } ) )
88	87	anbi1d 702	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( u = U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } -> ( ( x C. u /\ Tr x ) <-> ( x C. U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } /\ Tr x ) ) )
89		eleq2 2455	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( u = U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } -> ( x e. u <-> x e. U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } ) )
90	88, 89	imbi12d 318	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u = U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } -> ( ( ( x C. u /\ Tr x ) -> x e. u ) <-> ( ( x C. U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } /\ Tr x ) -> x e. U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } ) ) )
91	90	albidv 1721	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u = U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } -> ( A. x ( ( x C. u /\ Tr x ) -> x e. u ) <-> A. x ( ( x C. U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } /\ Tr x ) -> x e. U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } ) ) )
92	86, 91	mpbiri 233	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u = U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } -> A. x ( ( x C. u /\ Tr x ) -> x e. u ) )
93	72, 92	jaoi 377	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( u e. U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } \/ u = U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } ) -> A. x ( ( x C. u /\ Tr x ) -> x e. u ) )
94	58, 93	sylbi 195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u e. suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } -> A. x ( ( x C. u /\ Tr x ) -> x e. u ) )
95	94	rgen 2742	. . . . . . . . . . 11 |- A. u e. suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } A. x ( ( x C. u /\ Tr x ) -> x e. u )
96	41	sucex 6545	. . . . . . . . . . . . 13 |- suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } e. _V
97		sseq1 3438	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s = suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } -> ( s C_ A <-> suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } C_ A ) )
98		treq 4466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s = suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } -> ( Tr s <-> Tr suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } ) )
99		raleq 2979	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s = suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } -> ( A. u e. s A. x ( ( x C. u /\ Tr x ) -> x e. u ) <-> A. u e. suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } A. x ( ( x C. u /\ Tr x ) -> x e. u ) ) )
100	97, 98, 99	3anbi123d 1297	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s = suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } -> ( ( s C_ A /\ Tr s /\ A. u e. s A. x ( ( x C. u /\ Tr x ) -> x e. u ) ) <-> ( suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } C_ A /\ Tr suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } /\ A. u e. suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } A. x ( ( x C. u /\ Tr x ) -> x e. u ) ) ) )
101	96, 100	elab 3171	. . . . . . . . . . . 12 |- ( suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } e. { s | ( s C_ A /\ Tr s /\ A. u e. s A. x ( ( x C. u /\ Tr x ) -> x e. u ) ) } <-> ( suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } C_ A /\ Tr suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } /\ A. u e. suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } A. x ( ( x C. u /\ Tr x ) -> x e. u ) ) )
102		elssuni 4192	. . . . . . . . . . . 12 |- ( suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } e. { s | ( s C_ A /\ Tr s /\ A. u e. s A. x ( ( x C. u /\ Tr x ) -> x e. u ) ) } -> suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } C_ U. { s | ( s C_ A /\ Tr s /\ A. u e. s A. x ( ( x C. u /\ Tr x ) -> x e. u ) ) } )
103	101, 102	sylbir 213	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } C_ A /\ Tr suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } /\ A. u e. suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } A. x ( ( x C. u /\ Tr x ) -> x e. u ) ) -> suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } C_ U. { s | ( s C_ A /\ Tr s /\ A. u e. s A. x ( ( x C. u /\ Tr x ) -> x e. u ) ) } )
104	56, 95, 103	mp3an23 1314	. . . . . . . . . 10 |- ( suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } C_ A -> suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } C_ U. { s | ( s C_ A /\ Tr s /\ A. u e. s A. x ( ( x C. u /\ Tr x ) -> x e. u ) ) } )
105		sseq1 3438	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s = w -> ( s C_ A <-> w C_ A ) )
106		treq 4466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s = w -> ( Tr s <-> Tr w ) )
107		raleq 2979	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s = w -> ( A. u e. s A. x ( ( x C. u /\ Tr x ) -> x e. u ) <-> A. u e. w A. x ( ( x C. u /\ Tr x ) -> x e. u ) ) )
108		psseq1 3505	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = y -> ( x C. u <-> y C. u ) )
109		treq 4466	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = y -> ( Tr x <-> Tr y ) )
110	108, 109	anbi12d 708	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = y -> ( ( x C. u /\ Tr x ) <-> ( y C. u /\ Tr y ) ) )
111		elequ1 1829	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = y -> ( x e. u <-> y e. u ) )
112	110, 111	imbi12d 318	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = y -> ( ( ( x C. u /\ Tr x ) -> x e. u ) <-> ( ( y C. u /\ Tr y ) -> y e. u ) ) )
113	112	cbvalv 2030	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. x ( ( x C. u /\ Tr x ) -> x e. u ) <-> A. y ( ( y C. u /\ Tr y ) -> y e. u ) )
114	113	ralbii 2813	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. u e. w A. x ( ( x C. u /\ Tr x ) -> x e. u ) <-> A. u e. w A. y ( ( y C. u /\ Tr y ) -> y e. u ) )
115	107, 114	syl6bb 261	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s = w -> ( A. u e. s A. x ( ( x C. u /\ Tr x ) -> x e. u ) <-> A. u e. w A. y ( ( y C. u /\ Tr y ) -> y e. u ) ) )
116	105, 106, 115	3anbi123d 1297	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s = w -> ( ( s C_ A /\ Tr s /\ A. u e. s A. x ( ( x C. u /\ Tr x ) -> x e. u ) ) <-> ( w C_ A /\ Tr w /\ A. u e. w A. y ( ( y C. u /\ Tr y ) -> y e. u ) ) ) )
117	116	cbvabv 2525	. . . . . . . . . . 11 |- { s | ( s C_ A /\ Tr s /\ A. u e. s A. x ( ( x C. u /\ Tr x ) -> x e. u ) ) } = { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. u e. w A. y ( ( y C. u /\ Tr y ) -> y e. u ) ) }
118	117	unieqi 4172	. . . . . . . . . 10 |- U. { s | ( s C_ A /\ Tr s /\ A. u e. s A. x ( ( x C. u /\ Tr x ) -> x e. u ) ) } = U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. u e. w A. y ( ( y C. u /\ Tr y ) -> y e. u ) ) }
119	104, 118	syl6sseq 3463	. . . . . . . . 9 |- ( suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } C_ A -> suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } C_ U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. u e. w A. y ( ( y C. u /\ Tr y ) -> y e. u ) ) } )
120	119	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( A. x ( ( x C. A /\ Tr x ) -> x e. A ) -> ( suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } C_ A -> suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } C_ U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. u e. w A. y ( ( y C. u /\ Tr y ) -> y e. u ) ) } ) )
121	53, 120	syl5bir 218	. . . . . . 7 |- ( A. x ( ( x C. A /\ Tr x ) -> x e. A ) -> ( ( U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } C_ A /\ { U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } } C_ A ) -> suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } C_ U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. u e. w A. y ( ( y C. u /\ Tr y ) -> y e. u ) ) } ) )
122	40, 121	mpani 674	. . . . . 6 |- ( A. x ( ( x C. A /\ Tr x ) -> x e. A ) -> ( { U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } } C_ A -> suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } C_ U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. u e. w A. y ( ( y C. u /\ Tr y ) -> y e. u ) ) } ) )
123	50, 122	syl5bi 217	. . . . 5 |- ( A. x ( ( x C. A /\ Tr x ) -> x e. A ) -> ( U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } e. A -> suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } C_ U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. u e. w A. y ( ( y C. u /\ Tr y ) -> y e. u ) ) } ) )
124	49, 123	mtoi 178	. . . 4 |- ( A. x ( ( x C. A /\ Tr x ) -> x e. A ) -> -. U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } e. A )
125		psseq1 3505	. . . . . . . 8 |- ( x = U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } -> ( x C. A <-> U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } C. A ) )
126		treq 4466	. . . . . . . 8 |- ( x = U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } -> ( Tr x <-> Tr U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } ) )
127	125, 126	anbi12d 708	. . . . . . 7 |- ( x = U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } -> ( ( x C. A /\ Tr x ) <-> ( U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } C. A /\ Tr U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } ) ) )
128		eleq1 2454	. . . . . . 7 |- ( x = U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } -> ( x e. A <-> U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } e. A ) )
129	127, 128	imbi12d 318	. . . . . 6 |- ( x = U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } -> ( ( ( x C. A /\ Tr x ) -> x e. A ) <-> ( ( U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } C. A /\ Tr U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } ) -> U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } e. A ) ) )
130	41, 129	spcv 3125	. . . . 5 |- ( A. x ( ( x C. A /\ Tr x ) -> x e. A ) -> ( ( U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } C. A /\ Tr U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } ) -> U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } e. A ) )
131	54, 130	mpan2i 675	. . . 4 |- ( A. x ( ( x C. A /\ Tr x ) -> x e. A ) -> ( U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } C. A -> U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } e. A ) )
132	124, 131	mtod 177	. . 3 |- ( A. x ( ( x C. A /\ Tr x ) -> x e. A ) -> -. U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } C. A )
133		dfpss2 3503	. . . . 5 |- ( U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } C. A <-> ( U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } C_ A /\ -. U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } = A ) )
134	133	biimpri 206	. . . 4 |- ( ( U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } C_ A /\ -. U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } = A ) -> U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } C. A )
135	40, 134	mpan 668	. . 3 |- ( -. U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } = A -> U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } C. A )
136	132, 135	nsyl2 127	. 2 |- ( A. x ( ( x C. A /\ Tr x ) -> x e. A ) -> U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } = A )
137		eluni2 4167	. . . . 5 |- ( z e. U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } <-> E. x e. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } z e. x )
138		psseq2 3506	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( t = z -> ( y C. t <-> y C. z ) )
139	138	anbi1d 702	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t = z -> ( ( y C. t /\ Tr y ) <-> ( y C. z /\ Tr y ) ) )
140		elequ2 1831	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t = z -> ( y e. t <-> y e. z ) )
141	139, 140	imbi12d 318	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t = z -> ( ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) <-> ( ( y C. z /\ Tr y ) -> y e. z ) ) )
142	141	albidv 1721	. . . . . . . . . . 11 |- ( t = z -> ( A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) <-> A. y ( ( y C. z /\ Tr y ) -> y e. z ) ) )
143	142	cbvralv 3009	. . . . . . . . . 10 |- ( A. t e. x A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) <-> A. z e. x A. y ( ( y C. z /\ Tr y ) -> y e. z ) )
144	13, 143	syl6bb 261	. . . . . . . . 9 |- ( w = x -> ( A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) <-> A. z e. x A. y ( ( y C. z /\ Tr y ) -> y e. z ) ) )
145	11, 12, 144	3anbi123d 1297	. . . . . . . 8 |- ( w = x -> ( ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) <-> ( x C_ A /\ Tr x /\ A. z e. x A. y ( ( y C. z /\ Tr y ) -> y e. z ) ) ) )
146	10, 145	elab 3171	. . . . . . 7 |- ( x e. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } <-> ( x C_ A /\ Tr x /\ A. z e. x A. y ( ( y C. z /\ Tr y ) -> y e. z ) ) )
147		rsp 2748	. . . . . . . 8 |- ( A. z e. x A. y ( ( y C. z /\ Tr y ) -> y e. z ) -> ( z e. x -> A. y ( ( y C. z /\ Tr y ) -> y e. z ) ) )
148	147	3ad2ant3 1017	. . . . . . 7 |- ( ( x C_ A /\ Tr x /\ A. z e. x A. y ( ( y C. z /\ Tr y ) -> y e. z ) ) -> ( z e. x -> A. y ( ( y C. z /\ Tr y ) -> y e. z ) ) )
149	146, 148	sylbi 195	. . . . . 6 |- ( x e. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } -> ( z e. x -> A. y ( ( y C. z /\ Tr y ) -> y e. z ) ) )
150	149	rexlimiv 2868	. . . . 5 |- ( E. x e. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } z e. x -> A. y ( ( y C. z /\ Tr y ) -> y e. z ) )
151	137, 150	sylbi 195	. . . 4 |- ( z e. U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } -> A. y ( ( y C. z /\ Tr y ) -> y e. z ) )
152	151	rgen 2742	. . 3 |- A. z e. U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } A. y ( ( y C. z /\ Tr y ) -> y e. z )
153		raleq 2979	. . 3 |- ( U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } = A -> ( A. z e. U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } A. y ( ( y C. z /\ Tr y ) -> y e. z ) <-> A. z e. A A. y ( ( y C. z /\ Tr y ) -> y e. z ) ) )
154	152, 153	mpbii 211	. 2 |- ( U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } = A -> A. z e. A A. y ( ( y C. z /\ Tr y ) -> y e. z ) )
155		psseq2 3506	. . . . . 6 |- ( z = B -> ( y C. z <-> y C. B ) )
156	155	anbi1d 702	. . . . 5 |- ( z = B -> ( ( y C. z /\ Tr y ) <-> ( y C. B /\ Tr y ) ) )
157		eleq2 2455	. . . . 5 |- ( z = B -> ( y e. z <-> y e. B ) )
158	156, 157	imbi12d 318	. . . 4 |- ( z = B -> ( ( ( y C. z /\ Tr y ) -> y e. z ) <-> ( ( y C. B /\ Tr y ) -> y e. B ) ) )
159	158	albidv 1721	. . 3 |- ( z = B -> ( A. y ( ( y C. z /\ Tr y ) -> y e. z ) <-> A. y ( ( y C. B /\ Tr y ) -> y e. B ) ) )
160	159	rspccv 3132	. 2 |- ( A. z e. A A. y ( ( y C. z /\ Tr y ) -> y e. z ) -> ( B e. A -> A. y ( ( y C. B /\ Tr y ) -> y e. B ) ) )
161	136, 154, 160	3syl 20	1 |- ( A. x ( ( x C. A /\ Tr x ) -> x e. A ) -> ( B e. A -> A. y ( ( y C. B /\ Tr y ) -> y e. B ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 366   /\ wa 367   /\ w3a 971   A.wal 1397   = wceq 1399   e. wcel 1826   {cab 2367   A.wral 2732   E.wrex 2733   _Vcvv 3034   u. cun 3387   C_ wss 3389   C. wpss 3390   {csn 3944   U.cuni 4163   Tr wtr 4460   suc csuc 4794

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pr 4601  ax-un 6491

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-ral 2737  df-rex 2738  df-v 3036  df-sbc 3253  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-uni 4164  df-iun 4245  df-tr 4461  df-suc 4798

This theorem is referenced by:  dfon2lem8  29387  dfon2  29389