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Theorem dfon2lem7 27607
Description: Lemma for dfon2 27610. All elements of a new ordinal are new ordinals. (Contributed by Scott Fenton, 25-Feb-2011.)
Hypothesis
Ref Expression
dfon2lem7.1  |-  A  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
dfon2lem7  |-  ( A. x ( ( x 
C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A )  ->  ( B  e.  A  ->  A. y ( ( y 
C.  B  /\  Tr  y )  ->  y  e.  B ) ) )
Distinct variable groups:    x, A, y    x, B, y

Proof of Theorem dfon2lem7
Dummy variables  z  w  s  t  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elequ1 1759 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  =  z  ->  (
t  e.  t  <->  z  e.  t ) )
2 elequ2 1761 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  =  z  ->  (
z  e.  t  <->  z  e.  z ) )
31, 2bitrd 253 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  =  z  ->  (
t  e.  t  <->  z  e.  z ) )
43notbid 294 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  z  ->  ( -.  t  e.  t  <->  -.  z  e.  z ) )
54cbvralv 2952 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. t  e.  x  -.  t  e.  t  <->  A. z  e.  x  -.  z  e.  z )
65biimpi 194 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. t  e.  x  -.  t  e.  t  ->  A. z  e.  x  -.  z  e.  z )
76ralimi 2796 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) } A. t  e.  x  -.  t  e.  t  ->  A. x  e.  {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  -> 
y  e.  t ) ) } A. z  e.  x  -.  z  e.  z )
8 untuni 27365 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. z  e.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  -.  z  e.  z  <->  A. x  e.  { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) } A. z  e.  x  -.  z  e.  z
)
97, 8sylibr 212 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) } A. t  e.  x  -.  t  e.  t  ->  A. z  e.  U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  -.  z  e.  z )
10 vex 2980 . . . . . . . . . . . 12  |-  x  e. 
_V
11 sseq1 3382 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  x  ->  (
w  C_  A  <->  x  C_  A
) )
12 treq 4396 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  x  ->  ( Tr  w  <->  Tr  x )
)
13 raleq 2922 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  x  ->  ( A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t )  <->  A. t  e.  x  A. y
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) )
1411, 12, 133anbi123d 1289 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  x  ->  (
( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) )  <->  ( x  C_  A  /\  Tr  x  /\  A. t  e.  x  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) ) )
1510, 14elab 3111 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  <-> 
( x  C_  A  /\  Tr  x  /\  A. t  e.  x  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) )
16 vex 2980 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  t  e. 
_V
17 dfon2lem3 27603 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  e.  _V  ->  ( A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t )  ->  ( Tr  t  /\  A. u  e.  t  -.  u  e.  u ) ) )
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t )  ->  ( Tr  t  /\  A. u  e.  t  -.  u  e.  u ) )
1918simprd 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t )  ->  A. u  e.  t  -.  u  e.  u )
20 untelirr 27364 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. u  e.  t  -.  u  e.  u  ->  -.  t  e.  t )
2119, 20syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t )  ->  -.  t  e.  t )
2221ralimi 2796 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. t  e.  x  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t )  ->  A. t  e.  x  -.  t  e.  t )
23223ad2ant3 1011 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  C_  A  /\  Tr  x  /\  A. t  e.  x  A. y
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) )  ->  A. t  e.  x  -.  t  e.  t )
2415, 23sylbi 195 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  ->  A. t  e.  x  -.  t  e.  t
)
259, 24mprg 2790 . . . . . . . . 9  |-  A. z  e.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  -.  z  e.  z
26 untelirr 27364 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. z  e.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  -.  z  e.  z  ->  -.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  e.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) } )
27 psseq2 3449 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( t  =  u  ->  (
y  C.  t  <->  y  C.  u
) )
2827anbi1d 704 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( t  =  u  ->  (
( y  C.  t  /\  Tr  y )  <->  ( y  C.  u  /\  Tr  y
) ) )
29 elequ2 1761 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( t  =  u  ->  (
y  e.  t  <->  y  e.  u ) )
3028, 29imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  =  u  ->  (
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t )  <->  ( ( y 
C.  u  /\  Tr  y )  ->  y  e.  u ) ) )
3130albidv 1679 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  =  u  ->  ( A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t )  <->  A. y
( ( y  C.  u  /\  Tr  y )  ->  y  e.  u
) ) )
3231cbvralv 2952 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t )  <->  A. u  e.  w  A. y
( ( y  C.  u  /\  Tr  y )  ->  y  e.  u
) )
33323anbi3i 1180 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) )  <->  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. u  e.  w  A. y ( ( y 
C.  u  /\  Tr  y )  ->  y  e.  u ) ) )
3433abbii 2560 . . . . . . . . . . . 12  |-  { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  =  { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. u  e.  w  A. y ( ( y 
C.  u  /\  Tr  y )  ->  y  e.  u ) ) }
3534unieqi 4105 . . . . . . . . . . 11  |-  U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  -> 
y  e.  t ) ) }  =  U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. u  e.  w  A. y
( ( y  C.  u  /\  Tr  y )  ->  y  e.  u
) ) }
3635eleq2i 2507 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  e.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  <->  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  e.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. u  e.  w  A. y ( ( y 
C.  u  /\  Tr  y )  ->  y  e.  u ) ) } )
3726, 36sylnib 304 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  -.  z  e.  z  ->  -.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  e.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. u  e.  w  A. y ( ( y 
C.  u  /\  Tr  y )  ->  y  e.  u ) ) } )
3825, 37ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  -.  U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  e.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. u  e.  w  A. y
( ( y  C.  u  /\  Tr  y )  ->  y  e.  u
) ) }
39 dfon2lem7.1 . . . . . . . . . 10  |-  A  e. 
_V
40 dfon2lem2 27602 . . . . . . . . . 10  |-  U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  -> 
y  e.  t ) ) }  C_  A
4139, 40ssexi 4442 . . . . . . . . 9  |-  U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  -> 
y  e.  t ) ) }  e.  _V
4241snss 4004 . . . . . . . 8  |-  ( U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  e.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. u  e.  w  A. y
( ( y  C.  u  /\  Tr  y )  ->  y  e.  u
) ) }  <->  { U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  -> 
y  e.  t ) ) } }  C_  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. u  e.  w  A. y
( ( y  C.  u  /\  Tr  y )  ->  y  e.  u
) ) } )
4338, 42mtbi 298 . . . . . . 7  |-  -.  { U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) } }  C_ 
U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. u  e.  w  A. y ( ( y 
C.  u  /\  Tr  y )  ->  y  e.  u ) ) }
4443intnan 905 . . . . . 6  |-  -.  ( U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  C_  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. u  e.  w  A. y
( ( y  C.  u  /\  Tr  y )  ->  y  e.  u
) ) }  /\  { U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) } }  C_  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. u  e.  w  A. y ( ( y 
C.  u  /\  Tr  y )  ->  y  e.  u ) ) } )
45 df-suc 4730 . . . . . . . 8  |-  suc  U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  =  ( U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  u.  { U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  -> 
y  e.  t ) ) } } )
4645sseq1i 3385 . . . . . . 7  |-  ( suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  C_  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. u  e.  w  A. y
( ( y  C.  u  /\  Tr  y )  ->  y  e.  u
) ) }  <->  ( U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  u.  { U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) } } )  C_  U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. u  e.  w  A. y ( ( y  C.  u  /\  Tr  y )  -> 
y  e.  u ) ) } )
47 unss 3535 . . . . . . 7  |-  ( ( U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) } 
C_  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. u  e.  w  A. y ( ( y 
C.  u  /\  Tr  y )  ->  y  e.  u ) ) }  /\  { U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  -> 
y  e.  t ) ) } }  C_  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. u  e.  w  A. y
( ( y  C.  u  /\  Tr  y )  ->  y  e.  u
) ) } )  <-> 
( U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  u.  { U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  -> 
y  e.  t ) ) } } ) 
C_  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. u  e.  w  A. y ( ( y 
C.  u  /\  Tr  y )  ->  y  e.  u ) ) } )
4846, 47bitr4i 252 . . . . . 6  |-  ( suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  C_  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. u  e.  w  A. y
( ( y  C.  u  /\  Tr  y )  ->  y  e.  u
) ) }  <->  ( U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  C_  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. u  e.  w  A. y
( ( y  C.  u  /\  Tr  y )  ->  y  e.  u
) ) }  /\  { U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) } }  C_  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. u  e.  w  A. y ( ( y 
C.  u  /\  Tr  y )  ->  y  e.  u ) ) } ) )
4944, 48mtbir 299 . . . . 5  |-  -.  suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  C_  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. u  e.  w  A. y
( ( y  C.  u  /\  Tr  y )  ->  y  e.  u
) ) }
5041snss 4004 . . . . . 6  |-  ( U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  e.  A 
<->  { U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) } }  C_  A )
5145sseq1i 3385 . . . . . . . . 9  |-  ( suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  C_  A 
<->  ( U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  u.  { U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  -> 
y  e.  t ) ) } } ) 
C_  A )
52 unss 3535 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) } 
C_  A  /\  { U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) } }  C_  A )  <->  ( U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  u.  { U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) } } )  C_  A
)
5351, 52bitr4i 252 . . . . . . . 8  |-  ( suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  C_  A 
<->  ( U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) } 
C_  A  /\  { U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) } }  C_  A ) )
54 dfon2lem1 27601 . . . . . . . . . . . 12  |-  Tr  U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }
55 suctr 4807 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Tr 
U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  ->  Tr  suc  U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  -> 
y  e.  t ) ) } )
5654, 55ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  Tr  suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }
57 vex 2980 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  u  e. 
_V
5857elsuc 4793 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  e.  suc  U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  -> 
y  e.  t ) ) }  <->  ( u  e.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  \/  u  =  U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) } ) )
59 eluni2 4100 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  e.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  <->  E. x  e.  { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) } u  e.  x )
60 nfa1 1831 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ x A. x ( ( x 
C.  u  /\  Tr  x )  ->  x  e.  u )
6131rspccv 3075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. t  e.  x  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t )  ->  (
u  e.  x  ->  A. y ( ( y 
C.  u  /\  Tr  y )  ->  y  e.  u ) ) )
62 psseq1 3448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  =  x  ->  (
y  C.  u  <->  x  C.  u
) )
63 treq 4396 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  =  x  ->  ( Tr  y  <->  Tr  x )
)
6462, 63anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  x  ->  (
( y  C.  u  /\  Tr  y )  <->  ( x  C.  u  /\  Tr  x
) ) )
65 elequ1 1759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  x  ->  (
y  e.  u  <->  x  e.  u ) )
6664, 65imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  x  ->  (
( ( y  C.  u  /\  Tr  y )  ->  y  e.  u
)  <->  ( ( x 
C.  u  /\  Tr  x )  ->  x  e.  u ) ) )
6766cbvalv 1971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. y ( ( y 
C.  u  /\  Tr  y )  ->  y  e.  u )  <->  A. x
( ( x  C.  u  /\  Tr  x )  ->  x  e.  u
) )
6861, 67syl6ib 226 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. t  e.  x  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t )  ->  (
u  e.  x  ->  A. x ( ( x 
C.  u  /\  Tr  x )  ->  x  e.  u ) ) )
69683ad2ant3 1011 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  C_  A  /\  Tr  x  /\  A. t  e.  x  A. y
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) )  ->  (
u  e.  x  ->  A. x ( ( x 
C.  u  /\  Tr  x )  ->  x  e.  u ) ) )
7015, 69sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  ->  ( u  e.  x  ->  A. x
( ( x  C.  u  /\  Tr  x )  ->  x  e.  u
) ) )
7160, 70rexlimi 2839 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. x  e.  { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) } u  e.  x  ->  A. x ( ( x 
C.  u  /\  Tr  x )  ->  x  e.  u ) )
7259, 71sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  e.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  ->  A. x ( ( x  C.  u  /\  Tr  x )  ->  x  e.  u ) )
73 psseq1 3448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( y  =  z  ->  (
y  C.  u  <->  z  C.  u
) )
74 treq 4396 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( y  =  z  ->  ( Tr  y  <->  Tr  z )
)
7573, 74anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  =  z  ->  (
( y  C.  u  /\  Tr  y )  <->  ( z  C.  u  /\  Tr  z
) ) )
76 elequ1 1759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  =  z  ->  (
y  e.  u  <->  z  e.  u ) )
7775, 76imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( y  =  z  ->  (
( ( y  C.  u  /\  Tr  y )  ->  y  e.  u
)  <->  ( ( z 
C.  u  /\  Tr  z )  ->  z  e.  u ) ) )
7877cbvalv 1971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A. y ( ( y 
C.  u  /\  Tr  y )  ->  y  e.  u )  <->  A. z
( ( z  C.  u  /\  Tr  z )  ->  z  e.  u
) )
7961, 78syl6ib 226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A. t  e.  x  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t )  ->  (
u  e.  x  ->  A. z ( ( z 
C.  u  /\  Tr  z )  ->  z  e.  u ) ) )
80793ad2ant3 1011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  C_  A  /\  Tr  x  /\  A. t  e.  x  A. y
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) )  ->  (
u  e.  x  ->  A. z ( ( z 
C.  u  /\  Tr  z )  ->  z  e.  u ) ) )
8115, 80sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  ->  ( u  e.  x  ->  A. z
( ( z  C.  u  /\  Tr  z )  ->  z  e.  u
) ) )
8281rexlimiv 2840 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( E. x  e.  { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) } u  e.  x  ->  A. z ( ( z 
C.  u  /\  Tr  z )  ->  z  e.  u ) )
8359, 82sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  e.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  ->  A. z ( ( z  C.  u  /\  Tr  z )  ->  z  e.  u ) )
8483rgen 2786 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  A. u  e.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) } A. z ( ( z  C.  u  /\  Tr  z )  ->  z  e.  u )
85 dfon2lem6 27606 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Tr  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  /\  A. u  e. 
U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) } A. z ( ( z  C.  u  /\  Tr  z )  ->  z  e.  u ) )  ->  A. x ( ( x 
C.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  /\  Tr  x )  ->  x  e.  U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) } ) )
8654, 84, 85mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  A. x
( ( x  C.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  /\  Tr  x )  ->  x  e.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) } )
87 psseq2 3449 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( u  =  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  ->  ( x  C.  u 
<->  x  C.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) } ) )
8887anbi1d 704 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  =  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  ->  ( ( x 
C.  u  /\  Tr  x )  <->  ( x  C. 
U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  /\  Tr  x ) ) )
89 eleq2 2504 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  =  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  ->  ( x  e.  u  <->  x  e.  U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  -> 
y  e.  t ) ) } ) )
9088, 89imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  =  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  ->  ( ( ( x  C.  u  /\  Tr  x )  ->  x  e.  u )  <->  ( (
x  C.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  /\  Tr  x )  ->  x  e.  U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) } ) ) )
9190albidv 1679 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  ->  ( A. x
( ( x  C.  u  /\  Tr  x )  ->  x  e.  u
)  <->  A. x ( ( x  C.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  /\  Tr  x )  ->  x  e.  U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) } ) ) )
9286, 91mpbiri 233 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  ->  A. x ( ( x  C.  u  /\  Tr  x )  ->  x  e.  u ) )
9372, 92jaoi 379 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( u  e.  U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  -> 
y  e.  t ) ) }  \/  u  =  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) } )  ->  A. x
( ( x  C.  u  /\  Tr  x )  ->  x  e.  u
) )
9458, 93sylbi 195 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  e.  suc  U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  -> 
y  e.  t ) ) }  ->  A. x
( ( x  C.  u  /\  Tr  x )  ->  x  e.  u
) )
9594rgen 2786 . . . . . . . . . . 11  |-  A. u  e.  suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) } A. x ( ( x  C.  u  /\  Tr  x )  ->  x  e.  u )
9641sucex 6427 . . . . . . . . . . . . 13  |-  suc  U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  e.  _V
97 sseq1 3382 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  =  suc  U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  -> 
y  e.  t ) ) }  ->  (
s  C_  A  <->  suc  U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  -> 
y  e.  t ) ) }  C_  A
) )
98 treq 4396 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  =  suc  U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  -> 
y  e.  t ) ) }  ->  ( Tr  s  <->  Tr  suc  U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  -> 
y  e.  t ) ) } ) )
99 raleq 2922 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  =  suc  U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  -> 
y  e.  t ) ) }  ->  ( A. u  e.  s  A. x ( ( x 
C.  u  /\  Tr  x )  ->  x  e.  u )  <->  A. u  e.  suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) } A. x ( ( x  C.  u  /\  Tr  x )  ->  x  e.  u ) ) )
10097, 98, 993anbi123d 1289 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  suc  U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  -> 
y  e.  t ) ) }  ->  (
( s  C_  A  /\  Tr  s  /\  A. u  e.  s  A. x ( ( x 
C.  u  /\  Tr  x )  ->  x  e.  u ) )  <->  ( suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  C_  A  /\  Tr  suc  U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  /\  A. u  e.  suc  U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) } A. x ( ( x 
C.  u  /\  Tr  x )  ->  x  e.  u ) ) ) )
10196, 100elab 3111 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  e.  { s  |  ( s 
C_  A  /\  Tr  s  /\  A. u  e.  s  A. x ( ( x  C.  u  /\  Tr  x )  ->  x  e.  u )
) }  <->  ( suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  C_  A  /\  Tr  suc  U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  /\  A. u  e.  suc  U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) } A. x ( ( x 
C.  u  /\  Tr  x )  ->  x  e.  u ) ) )
102 elssuni 4126 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  e.  { s  |  ( s 
C_  A  /\  Tr  s  /\  A. u  e.  s  A. x ( ( x  C.  u  /\  Tr  x )  ->  x  e.  u )
) }  ->  suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  C_  U. { s  |  ( s  C_  A  /\  Tr  s  /\  A. u  e.  s  A. x
( ( x  C.  u  /\  Tr  x )  ->  x  e.  u
) ) } )
103101, 102sylbir 213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) } 
C_  A  /\  Tr  suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  /\  A. u  e. 
suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) } A. x ( ( x  C.  u  /\  Tr  x )  ->  x  e.  u ) )  ->  suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) } 
C_  U. { s  |  ( s  C_  A  /\  Tr  s  /\  A. u  e.  s  A. x ( ( x 
C.  u  /\  Tr  x )  ->  x  e.  u ) ) } )
10456, 95, 103mp3an23 1306 . . . . . . . . . 10  |-  ( suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  C_  A  ->  suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) } 
C_  U. { s  |  ( s  C_  A  /\  Tr  s  /\  A. u  e.  s  A. x ( ( x 
C.  u  /\  Tr  x )  ->  x  e.  u ) ) } )
105 sseq1 3382 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  w  ->  (
s  C_  A  <->  w  C_  A
) )
106 treq 4396 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  w  ->  ( Tr  s  <->  Tr  w )
)
107 raleq 2922 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  =  w  ->  ( A. u  e.  s  A. x ( ( x 
C.  u  /\  Tr  x )  ->  x  e.  u )  <->  A. u  e.  w  A. x
( ( x  C.  u  /\  Tr  x )  ->  x  e.  u
) ) )
108 psseq1 3448 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  y  ->  (
x  C.  u  <->  y  C.  u
) )
109 treq 4396 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  y  ->  ( Tr  x  <->  Tr  y )
)
110108, 109anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  C.  u  /\  Tr  x )  <->  ( y  C.  u  /\  Tr  y
) ) )
111 elequ1 1759 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  u  <->  y  e.  u ) )
112110, 111imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( x  C.  u  /\  Tr  x )  ->  x  e.  u
)  <->  ( ( y 
C.  u  /\  Tr  y )  ->  y  e.  u ) ) )
113112cbvalv 1971 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. x ( ( x 
C.  u  /\  Tr  x )  ->  x  e.  u )  <->  A. y
( ( y  C.  u  /\  Tr  y )  ->  y  e.  u
) )
114113ralbii 2744 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. u  e.  w  A. x ( ( x 
C.  u  /\  Tr  x )  ->  x  e.  u )  <->  A. u  e.  w  A. y
( ( y  C.  u  /\  Tr  y )  ->  y  e.  u
) )
115107, 114syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  w  ->  ( A. u  e.  s  A. x ( ( x 
C.  u  /\  Tr  x )  ->  x  e.  u )  <->  A. u  e.  w  A. y
( ( y  C.  u  /\  Tr  y )  ->  y  e.  u
) ) )
116105, 106, 1153anbi123d 1289 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  w  ->  (
( s  C_  A  /\  Tr  s  /\  A. u  e.  s  A. x ( ( x 
C.  u  /\  Tr  x )  ->  x  e.  u ) )  <->  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. u  e.  w  A. y ( ( y 
C.  u  /\  Tr  y )  ->  y  e.  u ) ) ) )
117116cbvabv 2567 . . . . . . . . . . 11  |-  { s  |  ( s  C_  A  /\  Tr  s  /\  A. u  e.  s  A. x ( ( x 
C.  u  /\  Tr  x )  ->  x  e.  u ) ) }  =  { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. u  e.  w  A. y ( ( y 
C.  u  /\  Tr  y )  ->  y  e.  u ) ) }
118117unieqi 4105 . . . . . . . . . 10  |-  U. {
s  |  ( s 
C_  A  /\  Tr  s  /\  A. u  e.  s  A. x ( ( x  C.  u  /\  Tr  x )  ->  x  e.  u )
) }  =  U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. u  e.  w  A. y
( ( y  C.  u  /\  Tr  y )  ->  y  e.  u
) ) }
119104, 118syl6sseq 3407 . . . . . . . . 9  |-  ( suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  C_  A  ->  suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) } 
C_  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. u  e.  w  A. y ( ( y 
C.  u  /\  Tr  y )  ->  y  e.  u ) ) } )
120119a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( A. x ( ( x 
C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A )  ->  ( suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) } 
C_  A  ->  suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  C_  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. u  e.  w  A. y
( ( y  C.  u  /\  Tr  y )  ->  y  e.  u
) ) } ) )
12153, 120syl5bir 218 . . . . . . 7  |-  ( A. x ( ( x 
C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A )  ->  (
( U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) } 
C_  A  /\  { U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) } }  C_  A )  ->  suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  C_  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. u  e.  w  A. y
( ( y  C.  u  /\  Tr  y )  ->  y  e.  u
) ) } ) )
12240, 121mpani 676 . . . . . 6  |-  ( A. x ( ( x 
C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A )  ->  ( { U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) } }  C_  A  ->  suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  C_  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. u  e.  w  A. y
( ( y  C.  u  /\  Tr  y )  ->  y  e.  u
) ) } ) )
12350, 122syl5bi 217 . . . . 5  |-  ( A. x ( ( x 
C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A )  ->  ( U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  e.  A  ->  suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) } 
C_  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. u  e.  w  A. y ( ( y 
C.  u  /\  Tr  y )  ->  y  e.  u ) ) } ) )
12449, 123mtoi 178 . . . 4  |-  ( A. x ( ( x 
C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A )  ->  -.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  e.  A )
125 psseq1 3448 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  ->  ( x  C.  A 
<-> 
U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) } 
C.  A ) )
126 treq 4396 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  ->  ( Tr  x  <->  Tr 
U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) } ) )
127125, 126anbi12d 710 . . . . . . 7  |-  ( x  =  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  ->  ( ( x 
C.  A  /\  Tr  x )  <->  ( U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  C.  A  /\  Tr  U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  -> 
y  e.  t ) ) } ) ) )
128 eleq1 2503 . . . . . . 7  |-  ( x  =  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  ->  ( x  e.  A  <->  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  e.  A ) )
129127, 128imbi12d 320 . . . . . 6  |-  ( x  =  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  ->  ( ( ( x  C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A )  <->  ( ( U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  C.  A  /\  Tr  U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  -> 
y  e.  t ) ) } )  ->  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  e.  A ) ) )
13041, 129spcv 3068 . . . . 5  |-  ( A. x ( ( x 
C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A )  ->  (
( U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) } 
C.  A  /\  Tr  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) } )  ->  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  e.  A ) )
13154, 130mpan2i 677 . . . 4  |-  ( A. x ( ( x 
C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A )  ->  ( U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  C.  A  ->  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  e.  A ) )
132124, 131mtod 177 . . 3  |-  ( A. x ( ( x 
C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A )  ->  -.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  C.  A )
133 dfpss2 3446 . . . . 5  |-  ( U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  C.  A 
<->  ( U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) } 
C_  A  /\  -.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  =  A ) )
134133biimpri 206 . . . 4  |-  ( ( U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) } 
C_  A  /\  -.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  =  A )  ->  U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  -> 
y  e.  t ) ) }  C.  A
)
13540, 134mpan 670 . . 3  |-  ( -. 
U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  =  A  ->  U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  -> 
y  e.  t ) ) }  C.  A
)
136132, 135nsyl2 127 . 2  |-  ( A. x ( ( x 
C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A )  ->  U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  -> 
y  e.  t ) ) }  =  A )
137 eluni2 4100 . . . . 5  |-  ( z  e.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  <->  E. x  e.  { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) } z  e.  x )
138 psseq2 3449 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  z  ->  (
y  C.  t  <->  y  C.  z
) )
139138anbi1d 704 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  z  ->  (
( y  C.  t  /\  Tr  y )  <->  ( y  C.  z  /\  Tr  y
) ) )
140 elequ2 1761 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  z  ->  (
y  e.  t  <->  y  e.  z ) )
141139, 140imbi12d 320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  z  ->  (
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t )  <->  ( ( y 
C.  z  /\  Tr  y )  ->  y  e.  z ) ) )
142141albidv 1679 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  z  ->  ( A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t )  <->  A. y
( ( y  C.  z  /\  Tr  y )  ->  y  e.  z ) ) )
143142cbvralv 2952 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. t  e.  x  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t )  <->  A. z  e.  x  A. y
( ( y  C.  z  /\  Tr  y )  ->  y  e.  z ) )
14413, 143syl6bb 261 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  x  ->  ( A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t )  <->  A. z  e.  x  A. y
( ( y  C.  z  /\  Tr  y )  ->  y  e.  z ) ) )
14511, 12, 1443anbi123d 1289 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  x  ->  (
( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) )  <->  ( x  C_  A  /\  Tr  x  /\  A. z  e.  x  A. y ( ( y 
C.  z  /\  Tr  y )  ->  y  e.  z ) ) ) )
14610, 145elab 3111 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  <-> 
( x  C_  A  /\  Tr  x  /\  A. z  e.  x  A. y ( ( y 
C.  z  /\  Tr  y )  ->  y  e.  z ) ) )
147 rsp 2781 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  x  A. y ( ( y 
C.  z  /\  Tr  y )  ->  y  e.  z )  ->  (
z  e.  x  ->  A. y ( ( y 
C.  z  /\  Tr  y )  ->  y  e.  z ) ) )
1481473ad2ant3 1011 . . . . . . 7  |-  ( ( x  C_  A  /\  Tr  x  /\  A. z  e.  x  A. y
( ( y  C.  z  /\  Tr  y )  ->  y  e.  z ) )  ->  (
z  e.  x  ->  A. y ( ( y 
C.  z  /\  Tr  y )  ->  y  e.  z ) ) )
149146, 148sylbi 195 . . . . . 6  |-  ( x  e.  { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  ->  ( z  e.  x  ->  A. y
( ( y  C.  z  /\  Tr  y )  ->  y  e.  z ) ) )
150149rexlimiv 2840 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) } z  e.  x  ->  A. y ( ( y 
C.  z  /\  Tr  y )  ->  y  e.  z ) )
151137, 150sylbi 195 . . . 4  |-  ( z  e.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  ->  A. y ( ( y  C.  z  /\  Tr  y )  ->  y  e.  z ) )
152151rgen 2786 . . 3  |-  A. z  e.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) } A. y ( ( y  C.  z  /\  Tr  y )  ->  y  e.  z )
153 raleq 2922 . . 3  |-  ( U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  =  A  ->  ( A. z  e.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y ( ( y 
C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) } A. y ( ( y  C.  z  /\  Tr  y )  ->  y  e.  z )  <->  A. z  e.  A  A. y
( ( y  C.  z  /\  Tr  y )  ->  y  e.  z ) ) )
154152, 153mpbii 211 . 2  |-  ( U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  A. y
( ( y  C.  t  /\  Tr  y )  ->  y  e.  t ) ) }  =  A  ->  A. z  e.  A  A. y ( ( y 
C.  z  /\  Tr  y )  ->  y  e.  z ) )
155 psseq2 3449 . . . . . 6  |-  ( z  =  B  ->  (
y  C.  z  <->  y  C.  B
) )
156155anbi1d 704 . . . . 5  |-  ( z  =  B  ->  (
( y  C.  z  /\  Tr  y )  <->  ( y  C.  B  /\  Tr  y
) ) )
157 eleq2 2504 . . . . 5  |-  ( z  =  B  ->  (
y  e.  z  <->  y  e.  B ) )
158156, 157imbi12d 320 . . . 4  |-  ( z  =  B  ->  (
( ( y  C.  z  /\  Tr  y )  ->  y  e.  z )  <->  ( ( y 
C.  B  /\  Tr  y )  ->  y  e.  B ) ) )
159158albidv 1679 . . 3  |-  ( z  =  B  ->  ( A. y ( ( y 
C.  z  /\  Tr  y )  ->  y  e.  z )  <->  A. y
( ( y  C.  B  /\  Tr  y )  ->  y  e.  B
) ) )
160159rspccv 3075 . 2  |-  ( A. z  e.  A  A. y ( ( y 
C.  z  /\  Tr  y )  ->  y  e.  z )  ->  ( B  e.  A  ->  A. y ( ( y 
C.  B  /\  Tr  y )  ->  y  e.  B ) ) )
161136, 154, 1603syl 20 1  |-  ( A. x ( ( x 
C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A )  ->  ( B  e.  A  ->  A. y ( ( y 
C.  B  /\  Tr  y )  ->  y  e.  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965   A.wal 1367    = wceq 1369    e. wcel 1756   {cab 2429   A.wral 2720   E.wrex 2721   _Vcvv 2977    u. cun 3331    C_ wss 3333    C. wpss 3334   {csn 3882   U.cuni 4096   Tr wtr 4390   suc csuc 4726
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pr 4536  ax-un 6377
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-ral 2725  df-rex 2726  df-v 2979  df-sbc 3192  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-uni 4097  df-iun 4178  df-tr 4391  df-suc 4730
This theorem is referenced by:  dfon2lem8  27608  dfon2  27610
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