Theorem dfon2lem7 30436

Description: Lemma for dfon2 30439. All elements of a new ordinal are new ordinals. (Contributed by Scott Fenton, 25-Feb-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
dfon2lem7.1	|- A e. _V

Assertion

Ref	Expression
dfon2lem7	|- ( A. x ( ( x C. A /\ Tr x ) -> x e. A ) -> ( B e. A -> A. y ( ( y C. B /\ Tr y ) -> y e. B ) ) )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, B, y

Proof of Theorem dfon2lem7

Dummy variables z w s t u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elequ1 1872	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( t = z -> ( t e. t <-> z e. t ) )
2		elequ2 1874	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( t = z -> ( z e. t <-> z e. z ) )
3	1, 2	bitrd 257	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( t = z -> ( t e. t <-> z e. z ) )
4	3	notbid 296	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( t = z -> ( -. t e. t <-> -. z e. z ) )
5	4	cbvralv 3056	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. t e. x -. t e. t <-> A. z e. x -. z e. z )
6	5	biimpi 198	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. t e. x -. t e. t -> A. z e. x -. z e. z )
7	6	ralimi 2819	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. x e. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } A. t e. x -. t e. t -> A. x e. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } A. z e. x -. z e. z )
8		untuni 30338	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. z e. U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } -. z e. z <-> A. x e. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } A. z e. x -. z e. z )
9	7, 8	sylibr 216	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } A. t e. x -. t e. t -> A. z e. U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } -. z e. z )
10		vex 3085	. . . . . . . . . . . 12 |- x e. _V
11		sseq1 3486	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = x -> ( w C_ A <-> x C_ A ) )
12		treq 4522	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = x -> ( Tr w <-> Tr x ) )
13		raleq 3026	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = x -> ( A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) <-> A. t e. x A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) )
14	11, 12, 13	3anbi123d 1336	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = x -> ( ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) <-> ( x C_ A /\ Tr x /\ A. t e. x A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) ) )
15	10, 14	elab 3219	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } <-> ( x C_ A /\ Tr x /\ A. t e. x A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) )
16		vex 3085	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- t e. _V
17		dfon2lem3 30432	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( t e. _V -> ( A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) -> ( Tr t /\ A. u e. t -. u e. u ) ) )
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) -> ( Tr t /\ A. u e. t -. u e. u ) )
19	18	simprd 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) -> A. u e. t -. u e. u )
20		untelirr 30337	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. u e. t -. u e. u -> -. t e. t )
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) -> -. t e. t )
22	21	ralimi 2819	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. t e. x A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) -> A. t e. x -. t e. t )
23	22	3ad2ant3 1029	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x C_ A /\ Tr x /\ A. t e. x A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) -> A. t e. x -. t e. t )
24	15, 23	sylbi 199	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } -> A. t e. x -. t e. t )
25	9, 24	mprg 2789	. . . . . . . . 9 |- A. z e. U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } -. z e. z
26		untelirr 30337	. . . . . . . . . 10 |- ( A. z e. U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } -. z e. z -> -. U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } e. U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } )
27		psseq2 3554	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( t = u -> ( y C. t <-> y C. u ) )
28	27	anbi1d 710	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( t = u -> ( ( y C. t /\ Tr y ) <-> ( y C. u /\ Tr y ) ) )
29		elequ2 1874	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( t = u -> ( y e. t <-> y e. u ) )
30	28, 29	imbi12d 322	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( t = u -> ( ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) <-> ( ( y C. u /\ Tr y ) -> y e. u ) ) )
31	30	albidv 1758	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( t = u -> ( A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) <-> A. y ( ( y C. u /\ Tr y ) -> y e. u ) ) )
32	31	cbvralv 3056	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) <-> A. u e. w A. y ( ( y C. u /\ Tr y ) -> y e. u ) )
33	32	3anbi3i 1199	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) <-> ( w C_ A /\ Tr w /\ A. u e. w A. y ( ( y C. u /\ Tr y ) -> y e. u ) ) )
34	33	abbii 2557	. . . . . . . . . . . 12 |- { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } = { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. u e. w A. y ( ( y C. u /\ Tr y ) -> y e. u ) ) }
35	34	unieqi 4226	. . . . . . . . . . 11 |- U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } = U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. u e. w A. y ( ( y C. u /\ Tr y ) -> y e. u ) ) }
36	35	eleq2i 2501	. . . . . . . . . 10 |- ( U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } e. U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } <-> U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } e. U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. u e. w A. y ( ( y C. u /\ Tr y ) -> y e. u ) ) } )
37	26, 36	sylnib 306	. . . . . . . . 9 |- ( A. z e. U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } -. z e. z -> -. U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } e. U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. u e. w A. y ( ( y C. u /\ Tr y ) -> y e. u ) ) } )
38	25, 37	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- -. U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } e. U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. u e. w A. y ( ( y C. u /\ Tr y ) -> y e. u ) ) }
39		dfon2lem7.1	. . . . . . . . . 10 |- A e. _V
40		dfon2lem2 30431	. . . . . . . . . 10 |- U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } C_ A
41	39, 40	ssexi 4567	. . . . . . . . 9 |- U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } e. _V
42	41	snss 4122	. . . . . . . 8 |- ( U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } e. U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. u e. w A. y ( ( y C. u /\ Tr y ) -> y e. u ) ) } <-> { U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } } C_ U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. u e. w A. y ( ( y C. u /\ Tr y ) -> y e. u ) ) } )
43	38, 42	mtbi 300	. . . . . . 7 |- -. { U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } } C_ U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. u e. w A. y ( ( y C. u /\ Tr y ) -> y e. u ) ) }
44	43	intnan 923	. . . . . 6 |- -. ( U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } C_ U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. u e. w A. y ( ( y C. u /\ Tr y ) -> y e. u ) ) } /\ { U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } } C_ U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. u e. w A. y ( ( y C. u /\ Tr y ) -> y e. u ) ) } )
45		df-suc 5446	. . . . . . . 8 |- suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } = ( U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } u. { U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } } )
46	45	sseq1i 3489	. . . . . . 7 |- ( suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } C_ U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. u e. w A. y ( ( y C. u /\ Tr y ) -> y e. u ) ) } <-> ( U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } u. { U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } } ) C_ U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. u e. w A. y ( ( y C. u /\ Tr y ) -> y e. u ) ) } )
47		unss 3641	. . . . . . 7 |- ( ( U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } C_ U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. u e. w A. y ( ( y C. u /\ Tr y ) -> y e. u ) ) } /\ { U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } } C_ U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. u e. w A. y ( ( y C. u /\ Tr y ) -> y e. u ) ) } ) <-> ( U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } u. { U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } } ) C_ U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. u e. w A. y ( ( y C. u /\ Tr y ) -> y e. u ) ) } )
48	46, 47	bitr4i 256	. . . . . 6 |- ( suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } C_ U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. u e. w A. y ( ( y C. u /\ Tr y ) -> y e. u ) ) } <-> ( U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } C_ U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. u e. w A. y ( ( y C. u /\ Tr y ) -> y e. u ) ) } /\ { U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } } C_ U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. u e. w A. y ( ( y C. u /\ Tr y ) -> y e. u ) ) } ) )
49	44, 48	mtbir 301	. . . . 5 |- -. suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } C_ U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. u e. w A. y ( ( y C. u /\ Tr y ) -> y e. u ) ) }
50	41	snss 4122	. . . . . 6 |- ( U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } e. A <-> { U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } } C_ A )
51	45	sseq1i 3489	. . . . . . . . 9 |- ( suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } C_ A <-> ( U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } u. { U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } } ) C_ A )
52		unss 3641	. . . . . . . . 9 |- ( ( U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } C_ A /\ { U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } } C_ A ) <-> ( U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } u. { U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } } ) C_ A )
53	51, 52	bitr4i 256	. . . . . . . 8 |- ( suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } C_ A <-> ( U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } C_ A /\ { U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } } C_ A ) )
54		dfon2lem1 30430	. . . . . . . . . . . 12 |- Tr U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) }
55		suctr 5523	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Tr U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } -> Tr suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } )
56	54, 55	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- Tr suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) }
57		vex 3085	. . . . . . . . . . . . . 14 |- u e. _V
58	57	elsuc 5509	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u e. suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } <-> ( u e. U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } \/ u = U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } ) )
59		eluni2 4221	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u e. U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } <-> E. x e. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } u e. x )
60		nfa1 1953	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ x A. x ( ( x C. u /\ Tr x ) -> x e. u )
61	31	rspccv 3180	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A. t e. x A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) -> ( u e. x -> A. y ( ( y C. u /\ Tr y ) -> y e. u ) ) )
62		psseq1 3553	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y = x -> ( y C. u <-> x C. u ) )
63		treq 4522	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y = x -> ( Tr y <-> Tr x ) )
64	62, 63	anbi12d 716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y = x -> ( ( y C. u /\ Tr y ) <-> ( x C. u /\ Tr x ) ) )
65		elequ1 1872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y = x -> ( y e. u <-> x e. u ) )
66	64, 65	imbi12d 322	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = x -> ( ( ( y C. u /\ Tr y ) -> y e. u ) <-> ( ( x C. u /\ Tr x ) -> x e. u ) ) )
67	66	cbvalv 2078	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A. y ( ( y C. u /\ Tr y ) -> y e. u ) <-> A. x ( ( x C. u /\ Tr x ) -> x e. u ) )
68	61, 67	syl6ib 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A. t e. x A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) -> ( u e. x -> A. x ( ( x C. u /\ Tr x ) -> x e. u ) ) )
69	68	3ad2ant3 1029	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x C_ A /\ Tr x /\ A. t e. x A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) -> ( u e. x -> A. x ( ( x C. u /\ Tr x ) -> x e. u ) ) )
70	15, 69	sylbi 199	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } -> ( u e. x -> A. x ( ( x C. u /\ Tr x ) -> x e. u ) ) )
71	60, 70	rexlimi 2908	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( E. x e. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } u e. x -> A. x ( ( x C. u /\ Tr x ) -> x e. u ) )
72	59, 71	sylbi 199	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u e. U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } -> A. x ( ( x C. u /\ Tr x ) -> x e. u ) )
73		psseq1 3553	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( y = z -> ( y C. u <-> z C. u ) )
74		treq 4522	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( y = z -> ( Tr y <-> Tr z ) )
75	73, 74	anbi12d 716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( y = z -> ( ( y C. u /\ Tr y ) <-> ( z C. u /\ Tr z ) ) )
76		elequ1 1872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( y = z -> ( y e. u <-> z e. u ) )
77	75, 76	imbi12d 322	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( y = z -> ( ( ( y C. u /\ Tr y ) -> y e. u ) <-> ( ( z C. u /\ Tr z ) -> z e. u ) ) )
78	77	cbvalv 2078	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( A. y ( ( y C. u /\ Tr y ) -> y e. u ) <-> A. z ( ( z C. u /\ Tr z ) -> z e. u ) )
79	61, 78	syl6ib 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( A. t e. x A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) -> ( u e. x -> A. z ( ( z C. u /\ Tr z ) -> z e. u ) ) )
80	79	3ad2ant3 1029	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x C_ A /\ Tr x /\ A. t e. x A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) -> ( u e. x -> A. z ( ( z C. u /\ Tr z ) -> z e. u ) ) )
81	15, 80	sylbi 199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } -> ( u e. x -> A. z ( ( z C. u /\ Tr z ) -> z e. u ) ) )
82	81	rexlimiv 2912	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( E. x e. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } u e. x -> A. z ( ( z C. u /\ Tr z ) -> z e. u ) )
83	59, 82	sylbi 199	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( u e. U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } -> A. z ( ( z C. u /\ Tr z ) -> z e. u ) )
84	83	rgen 2786	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- A. u e. U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } A. z ( ( z C. u /\ Tr z ) -> z e. u )
85		dfon2lem6 30435	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( Tr U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } /\ A. u e. U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } A. z ( ( z C. u /\ Tr z ) -> z e. u ) ) -> A. x ( ( x C. U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } /\ Tr x ) -> x e. U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } ) )
86	54, 84, 85	mp2an 677	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- A. x ( ( x C. U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } /\ Tr x ) -> x e. U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } )
87		psseq2 3554	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( u = U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } -> ( x C. u <-> x C. U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } ) )
88	87	anbi1d 710	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( u = U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } -> ( ( x C. u /\ Tr x ) <-> ( x C. U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } /\ Tr x ) ) )
89		eleq2 2496	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( u = U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } -> ( x e. u <-> x e. U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } ) )
90	88, 89	imbi12d 322	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u = U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } -> ( ( ( x C. u /\ Tr x ) -> x e. u ) <-> ( ( x C. U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } /\ Tr x ) -> x e. U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } ) ) )
91	90	albidv 1758	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u = U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } -> ( A. x ( ( x C. u /\ Tr x ) -> x e. u ) <-> A. x ( ( x C. U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } /\ Tr x ) -> x e. U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } ) ) )
92	86, 91	mpbiri 237	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u = U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } -> A. x ( ( x C. u /\ Tr x ) -> x e. u ) )
93	72, 92	jaoi 381	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( u e. U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } \/ u = U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } ) -> A. x ( ( x C. u /\ Tr x ) -> x e. u ) )
94	58, 93	sylbi 199	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u e. suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } -> A. x ( ( x C. u /\ Tr x ) -> x e. u ) )
95	94	rgen 2786	. . . . . . . . . . 11 |- A. u e. suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } A. x ( ( x C. u /\ Tr x ) -> x e. u )
96	41	sucex 6650	. . . . . . . . . . . . 13 |- suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } e. _V
97		sseq1 3486	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s = suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } -> ( s C_ A <-> suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } C_ A ) )
98		treq 4522	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s = suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } -> ( Tr s <-> Tr suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } ) )
99		raleq 3026	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s = suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } -> ( A. u e. s A. x ( ( x C. u /\ Tr x ) -> x e. u ) <-> A. u e. suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } A. x ( ( x C. u /\ Tr x ) -> x e. u ) ) )
100	97, 98, 99	3anbi123d 1336	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s = suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } -> ( ( s C_ A /\ Tr s /\ A. u e. s A. x ( ( x C. u /\ Tr x ) -> x e. u ) ) <-> ( suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } C_ A /\ Tr suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } /\ A. u e. suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } A. x ( ( x C. u /\ Tr x ) -> x e. u ) ) ) )
101	96, 100	elab 3219	. . . . . . . . . . . 12 |- ( suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } e. { s | ( s C_ A /\ Tr s /\ A. u e. s A. x ( ( x C. u /\ Tr x ) -> x e. u ) ) } <-> ( suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } C_ A /\ Tr suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } /\ A. u e. suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } A. x ( ( x C. u /\ Tr x ) -> x e. u ) ) )
102		elssuni 4246	. . . . . . . . . . . 12 |- ( suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } e. { s | ( s C_ A /\ Tr s /\ A. u e. s A. x ( ( x C. u /\ Tr x ) -> x e. u ) ) } -> suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } C_ U. { s | ( s C_ A /\ Tr s /\ A. u e. s A. x ( ( x C. u /\ Tr x ) -> x e. u ) ) } )
103	101, 102	sylbir 217	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } C_ A /\ Tr suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } /\ A. u e. suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } A. x ( ( x C. u /\ Tr x ) -> x e. u ) ) -> suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } C_ U. { s | ( s C_ A /\ Tr s /\ A. u e. s A. x ( ( x C. u /\ Tr x ) -> x e. u ) ) } )
104	56, 95, 103	mp3an23 1353	. . . . . . . . . 10 |- ( suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } C_ A -> suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } C_ U. { s | ( s C_ A /\ Tr s /\ A. u e. s A. x ( ( x C. u /\ Tr x ) -> x e. u ) ) } )
105		sseq1 3486	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s = w -> ( s C_ A <-> w C_ A ) )
106		treq 4522	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s = w -> ( Tr s <-> Tr w ) )
107		raleq 3026	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s = w -> ( A. u e. s A. x ( ( x C. u /\ Tr x ) -> x e. u ) <-> A. u e. w A. x ( ( x C. u /\ Tr x ) -> x e. u ) ) )
108		psseq1 3553	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = y -> ( x C. u <-> y C. u ) )
109		treq 4522	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = y -> ( Tr x <-> Tr y ) )
110	108, 109	anbi12d 716	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = y -> ( ( x C. u /\ Tr x ) <-> ( y C. u /\ Tr y ) ) )
111		elequ1 1872	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = y -> ( x e. u <-> y e. u ) )
112	110, 111	imbi12d 322	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = y -> ( ( ( x C. u /\ Tr x ) -> x e. u ) <-> ( ( y C. u /\ Tr y ) -> y e. u ) ) )
113	112	cbvalv 2078	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. x ( ( x C. u /\ Tr x ) -> x e. u ) <-> A. y ( ( y C. u /\ Tr y ) -> y e. u ) )
114	113	ralbii 2857	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. u e. w A. x ( ( x C. u /\ Tr x ) -> x e. u ) <-> A. u e. w A. y ( ( y C. u /\ Tr y ) -> y e. u ) )
115	107, 114	syl6bb 265	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s = w -> ( A. u e. s A. x ( ( x C. u /\ Tr x ) -> x e. u ) <-> A. u e. w A. y ( ( y C. u /\ Tr y ) -> y e. u ) ) )
116	105, 106, 115	3anbi123d 1336	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s = w -> ( ( s C_ A /\ Tr s /\ A. u e. s A. x ( ( x C. u /\ Tr x ) -> x e. u ) ) <-> ( w C_ A /\ Tr w /\ A. u e. w A. y ( ( y C. u /\ Tr y ) -> y e. u ) ) ) )
117	116	cbvabv 2566	. . . . . . . . . . 11 |- { s | ( s C_ A /\ Tr s /\ A. u e. s A. x ( ( x C. u /\ Tr x ) -> x e. u ) ) } = { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. u e. w A. y ( ( y C. u /\ Tr y ) -> y e. u ) ) }
118	117	unieqi 4226	. . . . . . . . . 10 |- U. { s | ( s C_ A /\ Tr s /\ A. u e. s A. x ( ( x C. u /\ Tr x ) -> x e. u ) ) } = U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. u e. w A. y ( ( y C. u /\ Tr y ) -> y e. u ) ) }
119	104, 118	syl6sseq 3511	. . . . . . . . 9 |- ( suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } C_ A -> suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } C_ U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. u e. w A. y ( ( y C. u /\ Tr y ) -> y e. u ) ) } )
120	119	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( A. x ( ( x C. A /\ Tr x ) -> x e. A ) -> ( suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } C_ A -> suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } C_ U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. u e. w A. y ( ( y C. u /\ Tr y ) -> y e. u ) ) } ) )
121	53, 120	syl5bir 222	. . . . . . 7 |- ( A. x ( ( x C. A /\ Tr x ) -> x e. A ) -> ( ( U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } C_ A /\ { U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } } C_ A ) -> suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } C_ U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. u e. w A. y ( ( y C. u /\ Tr y ) -> y e. u ) ) } ) )
122	40, 121	mpani 681	. . . . . 6 |- ( A. x ( ( x C. A /\ Tr x ) -> x e. A ) -> ( { U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } } C_ A -> suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } C_ U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. u e. w A. y ( ( y C. u /\ Tr y ) -> y e. u ) ) } ) )
123	50, 122	syl5bi 221	. . . . 5 |- ( A. x ( ( x C. A /\ Tr x ) -> x e. A ) -> ( U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } e. A -> suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } C_ U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. u e. w A. y ( ( y C. u /\ Tr y ) -> y e. u ) ) } ) )
124	49, 123	mtoi 182	. . . 4 |- ( A. x ( ( x C. A /\ Tr x ) -> x e. A ) -> -. U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } e. A )
125		psseq1 3553	. . . . . . . 8 |- ( x = U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } -> ( x C. A <-> U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } C. A ) )
126		treq 4522	. . . . . . . 8 |- ( x = U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } -> ( Tr x <-> Tr U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } ) )
127	125, 126	anbi12d 716	. . . . . . 7 |- ( x = U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } -> ( ( x C. A /\ Tr x ) <-> ( U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } C. A /\ Tr U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } ) ) )
128		eleq1 2495	. . . . . . 7 |- ( x = U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } -> ( x e. A <-> U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } e. A ) )
129	127, 128	imbi12d 322	. . . . . 6 |- ( x = U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } -> ( ( ( x C. A /\ Tr x ) -> x e. A ) <-> ( ( U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } C. A /\ Tr U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } ) -> U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } e. A ) ) )
130	41, 129	spcv 3173	. . . . 5 |- ( A. x ( ( x C. A /\ Tr x ) -> x e. A ) -> ( ( U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } C. A /\ Tr U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } ) -> U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } e. A ) )
131	54, 130	mpan2i 682	. . . 4 |- ( A. x ( ( x C. A /\ Tr x ) -> x e. A ) -> ( U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } C. A -> U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } e. A ) )
132	124, 131	mtod 181	. . 3 |- ( A. x ( ( x C. A /\ Tr x ) -> x e. A ) -> -. U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } C. A )
133		dfpss2 3551	. . . . 5 |- ( U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } C. A <-> ( U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } C_ A /\ -. U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } = A ) )
134	133	biimpri 210	. . . 4 |- ( ( U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } C_ A /\ -. U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } = A ) -> U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } C. A )
135	40, 134	mpan 675	. . 3 |- ( -. U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } = A -> U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } C. A )
136	132, 135	nsyl2 131	. 2 |- ( A. x ( ( x C. A /\ Tr x ) -> x e. A ) -> U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } = A )
137		eluni2 4221	. . . . 5 |- ( z e. U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } <-> E. x e. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } z e. x )
138		psseq2 3554	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( t = z -> ( y C. t <-> y C. z ) )
139	138	anbi1d 710	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t = z -> ( ( y C. t /\ Tr y ) <-> ( y C. z /\ Tr y ) ) )
140		elequ2 1874	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t = z -> ( y e. t <-> y e. z ) )
141	139, 140	imbi12d 322	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t = z -> ( ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) <-> ( ( y C. z /\ Tr y ) -> y e. z ) ) )
142	141	albidv 1758	. . . . . . . . . . 11 |- ( t = z -> ( A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) <-> A. y ( ( y C. z /\ Tr y ) -> y e. z ) ) )
143	142	cbvralv 3056	. . . . . . . . . 10 |- ( A. t e. x A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) <-> A. z e. x A. y ( ( y C. z /\ Tr y ) -> y e. z ) )
144	13, 143	syl6bb 265	. . . . . . . . 9 |- ( w = x -> ( A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) <-> A. z e. x A. y ( ( y C. z /\ Tr y ) -> y e. z ) ) )
145	11, 12, 144	3anbi123d 1336	. . . . . . . 8 |- ( w = x -> ( ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) <-> ( x C_ A /\ Tr x /\ A. z e. x A. y ( ( y C. z /\ Tr y ) -> y e. z ) ) ) )
146	10, 145	elab 3219	. . . . . . 7 |- ( x e. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } <-> ( x C_ A /\ Tr x /\ A. z e. x A. y ( ( y C. z /\ Tr y ) -> y e. z ) ) )
147		rsp 2792	. . . . . . . 8 |- ( A. z e. x A. y ( ( y C. z /\ Tr y ) -> y e. z ) -> ( z e. x -> A. y ( ( y C. z /\ Tr y ) -> y e. z ) ) )
148	147	3ad2ant3 1029	. . . . . . 7 |- ( ( x C_ A /\ Tr x /\ A. z e. x A. y ( ( y C. z /\ Tr y ) -> y e. z ) ) -> ( z e. x -> A. y ( ( y C. z /\ Tr y ) -> y e. z ) ) )
149	146, 148	sylbi 199	. . . . . 6 |- ( x e. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } -> ( z e. x -> A. y ( ( y C. z /\ Tr y ) -> y e. z ) ) )
150	149	rexlimiv 2912	. . . . 5 |- ( E. x e. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } z e. x -> A. y ( ( y C. z /\ Tr y ) -> y e. z ) )
151	137, 150	sylbi 199	. . . 4 |- ( z e. U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } -> A. y ( ( y C. z /\ Tr y ) -> y e. z ) )
152	151	rgen 2786	. . 3 |- A. z e. U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } A. y ( ( y C. z /\ Tr y ) -> y e. z )
153		raleq 3026	. . 3 |- ( U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } = A -> ( A. z e. U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } A. y ( ( y C. z /\ Tr y ) -> y e. z ) <-> A. z e. A A. y ( ( y C. z /\ Tr y ) -> y e. z ) ) )
154	152, 153	mpbii 215	. 2 |- ( U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w A. y ( ( y C. t /\ Tr y ) -> y e. t ) ) } = A -> A. z e. A A. y ( ( y C. z /\ Tr y ) -> y e. z ) )
155		psseq2 3554	. . . . . 6 |- ( z = B -> ( y C. z <-> y C. B ) )
156	155	anbi1d 710	. . . . 5 |- ( z = B -> ( ( y C. z /\ Tr y ) <-> ( y C. B /\ Tr y ) ) )
157		eleq2 2496	. . . . 5 |- ( z = B -> ( y e. z <-> y e. B ) )
158	156, 157	imbi12d 322	. . . 4 |- ( z = B -> ( ( ( y C. z /\ Tr y ) -> y e. z ) <-> ( ( y C. B /\ Tr y ) -> y e. B ) ) )
159	158	albidv 1758	. . 3 |- ( z = B -> ( A. y ( ( y C. z /\ Tr y ) -> y e. z ) <-> A. y ( ( y C. B /\ Tr y ) -> y e. B ) ) )
160	159	rspccv 3180	. 2 |- ( A. z e. A A. y ( ( y C. z /\ Tr y ) -> y e. z ) -> ( B e. A -> A. y ( ( y C. B /\ Tr y ) -> y e. B ) ) )
161	136, 154, 160	3syl 18	1 |- ( A. x ( ( x C. A /\ Tr x ) -> x e. A ) -> ( B e. A -> A. y ( ( y C. B /\ Tr y ) -> y e. B ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 370   /\ wa 371   /\ w3a 983   A.wal 1436   = wceq 1438   e. wcel 1869   {cab 2408   A.wral 2776   E.wrex 2777   _Vcvv 3082   u. cun 3435   C_ wss 3437   C. wpss 3438   {csn 3997   U.cuni 4217   Tr wtr 4516   suc csuc 5442

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pr 4658  ax-un 6595

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-ral 2781  df-rex 2782  df-v 3084  df-sbc 3301  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-uni 4218  df-iun 4299  df-tr 4517  df-suc 5446

This theorem is referenced by:  dfon2lem8  30437  dfon2  30439