Theorem dfon2lem6 27606

Description: Lemma for dfon2 27610. A transitive class of sets satisfying the new definition satisfies the new definition. (Contributed by Scott Fenton, 25-Feb-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dfon2lem6	|- ( ( Tr S /\ A. x e. S A. z ( ( z C. x /\ Tr z ) -> z e. x ) ) -> A. y ( ( y C. S /\ Tr y ) -> y e. S ) )

Distinct variable group:   x, S, y, z

Proof of Theorem dfon2lem6

Dummy variables w s t are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pssss 3456	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y C. S -> y C_ S )
2		ssralv 3421	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y C_ S -> ( A. x e. S A. z ( ( z C. x /\ Tr z ) -> z e. x ) -> A. x e. y A. z ( ( z C. x /\ Tr z ) -> z e. x ) ) )
3	1, 2	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y C. S -> ( A. x e. S A. z ( ( z C. x /\ Tr z ) -> z e. x ) -> A. x e. y A. z ( ( z C. x /\ Tr z ) -> z e. x ) ) )
4	3	impcom 430	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A. x e. S A. z ( ( z C. x /\ Tr z ) -> z e. x ) /\ y C. S ) -> A. x e. y A. z ( ( z C. x /\ Tr z ) -> z e. x ) )
5	4	adantrr 716	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A. x e. S A. z ( ( z C. x /\ Tr z ) -> z e. x ) /\ ( y C. S /\ Tr y ) ) -> A. x e. y A. z ( ( z C. x /\ Tr z ) -> z e. x ) )
6	5	ad2ant2lr 747	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( Tr S /\ A. x e. S A. z ( ( z C. x /\ Tr z ) -> z e. x ) ) /\ ( ( y C. S /\ Tr y ) /\ s e. ( S \ y ) ) ) -> A. x e. y A. z ( ( z C. x /\ Tr z ) -> z e. x ) )
7		psseq2 3449	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = w -> ( z C. x <-> z C. w ) )
8	7	anbi1d 704	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = w -> ( ( z C. x /\ Tr z ) <-> ( z C. w /\ Tr z ) ) )
9		elequ2 1761	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = w -> ( z e. x <-> z e. w ) )
10	8, 9	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = w -> ( ( ( z C. x /\ Tr z ) -> z e. x ) <-> ( ( z C. w /\ Tr z ) -> z e. w ) ) )
11	10	albidv 1679	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = w -> ( A. z ( ( z C. x /\ Tr z ) -> z e. x ) <-> A. z ( ( z C. w /\ Tr z ) -> z e. w ) ) )
12	11	rspccv 3075	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. x e. y A. z ( ( z C. x /\ Tr z ) -> z e. x ) -> ( w e. y -> A. z ( ( z C. w /\ Tr z ) -> z e. w ) ) )
13	6, 12	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( Tr S /\ A. x e. S A. z ( ( z C. x /\ Tr z ) -> z e. x ) ) /\ ( ( y C. S /\ Tr y ) /\ s e. ( S \ y ) ) ) -> ( w e. y -> A. z ( ( z C. w /\ Tr z ) -> z e. w ) ) )
14	13	imp 429	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( Tr S /\ A. x e. S A. z ( ( z C. x /\ Tr z ) -> z e. x ) ) /\ ( ( y C. S /\ Tr y ) /\ s e. ( S \ y ) ) ) /\ w e. y ) -> A. z ( ( z C. w /\ Tr z ) -> z e. w ) )
15		eldifi 3483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( s e. ( S \ y ) -> s e. S )
16		psseq2 3449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = s -> ( z C. x <-> z C. s ) )
17	16	anbi1d 704	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = s -> ( ( z C. x /\ Tr z ) <-> ( z C. s /\ Tr z ) ) )
18		elequ2 1761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = s -> ( z e. x <-> z e. s ) )
19	17, 18	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = s -> ( ( ( z C. x /\ Tr z ) -> z e. x ) <-> ( ( z C. s /\ Tr z ) -> z e. s ) ) )
20	19	albidv 1679	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = s -> ( A. z ( ( z C. x /\ Tr z ) -> z e. x ) <-> A. z ( ( z C. s /\ Tr z ) -> z e. s ) ) )
21	20	rspcv 3074	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( s e. S -> ( A. x e. S A. z ( ( z C. x /\ Tr z ) -> z e. x ) -> A. z ( ( z C. s /\ Tr z ) -> z e. s ) ) )
22	15, 21	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s e. ( S \ y ) -> ( A. x e. S A. z ( ( z C. x /\ Tr z ) -> z e. x ) -> A. z ( ( z C. s /\ Tr z ) -> z e. s ) ) )
23		psseq1 3448	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = t -> ( z C. s <-> t C. s ) )
24		treq 4396	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = t -> ( Tr z <-> Tr t ) )
25	23, 24	anbi12d 710	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = t -> ( ( z C. s /\ Tr z ) <-> ( t C. s /\ Tr t ) ) )
26		elequ1 1759	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = t -> ( z e. s <-> t e. s ) )
27	25, 26	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = t -> ( ( ( z C. s /\ Tr z ) -> z e. s ) <-> ( ( t C. s /\ Tr t ) -> t e. s ) ) )
28	27	cbvalv 1971	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. z ( ( z C. s /\ Tr z ) -> z e. s ) <-> A. t ( ( t C. s /\ Tr t ) -> t e. s ) )
29	22, 28	syl6ib 226	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s e. ( S \ y ) -> ( A. x e. S A. z ( ( z C. x /\ Tr z ) -> z e. x ) -> A. t ( ( t C. s /\ Tr t ) -> t e. s ) ) )
30	29	impcom 430	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A. x e. S A. z ( ( z C. x /\ Tr z ) -> z e. x ) /\ s e. ( S \ y ) ) -> A. t ( ( t C. s /\ Tr t ) -> t e. s ) )
31	30	ad2ant2l 745	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( Tr S /\ A. x e. S A. z ( ( z C. x /\ Tr z ) -> z e. x ) ) /\ ( ( y C. S /\ Tr y ) /\ s e. ( S \ y ) ) ) -> A. t ( ( t C. s /\ Tr t ) -> t e. s ) )
32	31	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( Tr S /\ A. x e. S A. z ( ( z C. x /\ Tr z ) -> z e. x ) ) /\ ( ( y C. S /\ Tr y ) /\ s e. ( S \ y ) ) ) /\ w e. y ) -> A. t ( ( t C. s /\ Tr t ) -> t e. s ) )
33		vex 2980	. . . . . . . . . . . . 13 |- w e. _V
34		vex 2980	. . . . . . . . . . . . 13 |- s e. _V
35	33, 34	dfon2lem5 27605	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. z ( ( z C. w /\ Tr z ) -> z e. w ) /\ A. t ( ( t C. s /\ Tr t ) -> t e. s ) ) -> ( w e. s \/ w = s \/ s e. w ) )
36		3orrot 971	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( w e. s \/ w = s \/ s e. w ) <-> ( w = s \/ s e. w \/ w e. s ) )
37		3orass 968	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( w = s \/ s e. w \/ w e. s ) <-> ( w = s \/ ( s e. w \/ w e. s ) ) )
38	36, 37	bitri 249	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( w e. s \/ w = s \/ s e. w ) <-> ( w = s \/ ( s e. w \/ w e. s ) ) )
39		eleq1a 2512	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( s e. ( S \ y ) -> ( w = s -> w e. ( S \ y ) ) )
40		elndif 3485	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( w e. y -> -. w e. ( S \ y ) )
41	39, 40	nsyli 141	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( s e. ( S \ y ) -> ( w e. y -> -. w = s ) )
42	41	imp 429	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( s e. ( S \ y ) /\ w e. y ) -> -. w = s )
43	42	adantll 713	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( y C. S /\ Tr y ) /\ s e. ( S \ y ) ) /\ w e. y ) -> -. w = s )
44	43	adantll 713	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( Tr S /\ A. x e. S A. z ( ( z C. x /\ Tr z ) -> z e. x ) ) /\ ( ( y C. S /\ Tr y ) /\ s e. ( S \ y ) ) ) /\ w e. y ) -> -. w = s )
45		orel1 382	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. w = s -> ( ( w = s \/ ( s e. w \/ w e. s ) ) -> ( s e. w \/ w e. s ) ) )
46		trss 4399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( Tr y -> ( w e. y -> w C_ y ) )
47		eldifn 3484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( s e. ( S \ y ) -> -. s e. y )
48		ssel 3355	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( w C_ y -> ( s e. w -> s e. y ) )
49	48	con3d 133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( w C_ y -> ( -. s e. y -> -. s e. w ) )
50	47, 49	syl5com 30	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( s e. ( S \ y ) -> ( w C_ y -> -. s e. w ) )
51	46, 50	syl9 71	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Tr y -> ( s e. ( S \ y ) -> ( w e. y -> -. s e. w ) ) )
52	51	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y C. S /\ Tr y ) -> ( s e. ( S \ y ) -> ( w e. y -> -. s e. w ) ) )
53	52	imp31 432	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( y C. S /\ Tr y ) /\ s e. ( S \ y ) ) /\ w e. y ) -> -. s e. w )
54	53	adantll 713	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( Tr S /\ A. x e. S A. z ( ( z C. x /\ Tr z ) -> z e. x ) ) /\ ( ( y C. S /\ Tr y ) /\ s e. ( S \ y ) ) ) /\ w e. y ) -> -. s e. w )
55		orel1 382	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -. s e. w -> ( ( s e. w \/ w e. s ) -> w e. s ) )
56	54, 55	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( Tr S /\ A. x e. S A. z ( ( z C. x /\ Tr z ) -> z e. x ) ) /\ ( ( y C. S /\ Tr y ) /\ s e. ( S \ y ) ) ) /\ w e. y ) -> ( ( s e. w \/ w e. s ) -> w e. s ) )
57	45, 56	syl9r 72	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( Tr S /\ A. x e. S A. z ( ( z C. x /\ Tr z ) -> z e. x ) ) /\ ( ( y C. S /\ Tr y ) /\ s e. ( S \ y ) ) ) /\ w e. y ) -> ( -. w = s -> ( ( w = s \/ ( s e. w \/ w e. s ) ) -> w e. s ) ) )
58	44, 57	mpd 15	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( Tr S /\ A. x e. S A. z ( ( z C. x /\ Tr z ) -> z e. x ) ) /\ ( ( y C. S /\ Tr y ) /\ s e. ( S \ y ) ) ) /\ w e. y ) -> ( ( w = s \/ ( s e. w \/ w e. s ) ) -> w e. s ) )
59	38, 58	syl5bi 217	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( Tr S /\ A. x e. S A. z ( ( z C. x /\ Tr z ) -> z e. x ) ) /\ ( ( y C. S /\ Tr y ) /\ s e. ( S \ y ) ) ) /\ w e. y ) -> ( ( w e. s \/ w = s \/ s e. w ) -> w e. s ) )
60	35, 59	syl5 32	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( Tr S /\ A. x e. S A. z ( ( z C. x /\ Tr z ) -> z e. x ) ) /\ ( ( y C. S /\ Tr y ) /\ s e. ( S \ y ) ) ) /\ w e. y ) -> ( ( A. z ( ( z C. w /\ Tr z ) -> z e. w ) /\ A. t ( ( t C. s /\ Tr t ) -> t e. s ) ) -> w e. s ) )
61	14, 32, 60	mp2and 679	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( Tr S /\ A. x e. S A. z ( ( z C. x /\ Tr z ) -> z e. x ) ) /\ ( ( y C. S /\ Tr y ) /\ s e. ( S \ y ) ) ) /\ w e. y ) -> w e. s )
62	61	ex 434	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( Tr S /\ A. x e. S A. z ( ( z C. x /\ Tr z ) -> z e. x ) ) /\ ( ( y C. S /\ Tr y ) /\ s e. ( S \ y ) ) ) -> ( w e. y -> w e. s ) )
63	62	ssrdv 3367	. . . . . . . 8 |- ( ( ( Tr S /\ A. x e. S A. z ( ( z C. x /\ Tr z ) -> z e. x ) ) /\ ( ( y C. S /\ Tr y ) /\ s e. ( S \ y ) ) ) -> y C_ s )
64		dfpss2 3446	. . . . . . . . 9 |- ( y C. s <-> ( y C_ s /\ -. y = s ) )
65		psseq1 3448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z = y -> ( z C. s <-> y C. s ) )
66		treq 4396	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z = y -> ( Tr z <-> Tr y ) )
67	65, 66	anbi12d 710	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = y -> ( ( z C. s /\ Tr z ) <-> ( y C. s /\ Tr y ) ) )
68		elequ1 1759	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = y -> ( z e. s <-> y e. s ) )
69	67, 68	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = y -> ( ( ( z C. s /\ Tr z ) -> z e. s ) <-> ( ( y C. s /\ Tr y ) -> y e. s ) ) )
70	69	spv 1955	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. z ( ( z C. s /\ Tr z ) -> z e. s ) -> ( ( y C. s /\ Tr y ) -> y e. s ) )
71	70	expd 436	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. z ( ( z C. s /\ Tr z ) -> z e. s ) -> ( y C. s -> ( Tr y -> y e. s ) ) )
72	71	com23 78	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. z ( ( z C. s /\ Tr z ) -> z e. s ) -> ( Tr y -> ( y C. s -> y e. s ) ) )
73	22, 72	syl6 33	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s e. ( S \ y ) -> ( A. x e. S A. z ( ( z C. x /\ Tr z ) -> z e. x ) -> ( Tr y -> ( y C. s -> y e. s ) ) ) )
74	73	com3l 81	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. x e. S A. z ( ( z C. x /\ Tr z ) -> z e. x ) -> ( Tr y -> ( s e. ( S \ y ) -> ( y C. s -> y e. s ) ) ) )
75	74	adantld 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. x e. S A. z ( ( z C. x /\ Tr z ) -> z e. x ) -> ( ( y C. S /\ Tr y ) -> ( s e. ( S \ y ) -> ( y C. s -> y e. s ) ) ) )
76	75	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Tr S /\ A. x e. S A. z ( ( z C. x /\ Tr z ) -> z e. x ) ) -> ( ( y C. S /\ Tr y ) -> ( s e. ( S \ y ) -> ( y C. s -> y e. s ) ) ) )
77	76	imp32 433	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( Tr S /\ A. x e. S A. z ( ( z C. x /\ Tr z ) -> z e. x ) ) /\ ( ( y C. S /\ Tr y ) /\ s e. ( S \ y ) ) ) -> ( y C. s -> y e. s ) )
78	64, 77	syl5bir 218	. . . . . . . 8 |- ( ( ( Tr S /\ A. x e. S A. z ( ( z C. x /\ Tr z ) -> z e. x ) ) /\ ( ( y C. S /\ Tr y ) /\ s e. ( S \ y ) ) ) -> ( ( y C_ s /\ -. y = s ) -> y e. s ) )
79	63, 78	mpand 675	. . . . . . 7 |- ( ( ( Tr S /\ A. x e. S A. z ( ( z C. x /\ Tr z ) -> z e. x ) ) /\ ( ( y C. S /\ Tr y ) /\ s e. ( S \ y ) ) ) -> ( -. y = s -> y e. s ) )
80	79	orrd 378	. . . . . 6 |- ( ( ( Tr S /\ A. x e. S A. z ( ( z C. x /\ Tr z ) -> z e. x ) ) /\ ( ( y C. S /\ Tr y ) /\ s e. ( S \ y ) ) ) -> ( y = s \/ y e. s ) )
81	80	anassrs 648	. . . . 5 |- ( ( ( ( Tr S /\ A. x e. S A. z ( ( z C. x /\ Tr z ) -> z e. x ) ) /\ ( y C. S /\ Tr y ) ) /\ s e. ( S \ y ) ) -> ( y = s \/ y e. s ) )
82	81	ralrimiva 2804	. . . 4 |- ( ( ( Tr S /\ A. x e. S A. z ( ( z C. x /\ Tr z ) -> z e. x ) ) /\ ( y C. S /\ Tr y ) ) -> A. s e. ( S \ y ) ( y = s \/ y e. s ) )
83		pssdif 3746	. . . . . . 7 |- ( y C. S -> ( S \ y ) =/= (/) )
84		r19.2z 3774	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S \ y ) =/= (/) /\ A. s e. ( S \ y ) ( y = s \/ y e. s ) ) -> E. s e. ( S \ y ) ( y = s \/ y e. s ) )
85	84	ex 434	. . . . . . 7 |- ( ( S \ y ) =/= (/) -> ( A. s e. ( S \ y ) ( y = s \/ y e. s ) -> E. s e. ( S \ y ) ( y = s \/ y e. s ) ) )
86	83, 85	syl 16	. . . . . 6 |- ( y C. S -> ( A. s e. ( S \ y ) ( y = s \/ y e. s ) -> E. s e. ( S \ y ) ( y = s \/ y e. s ) ) )
87	86	ad2antrl 727	. . . . 5 |- ( ( ( Tr S /\ A. x e. S A. z ( ( z C. x /\ Tr z ) -> z e. x ) ) /\ ( y C. S /\ Tr y ) ) -> ( A. s e. ( S \ y ) ( y = s \/ y e. s ) -> E. s e. ( S \ y ) ( y = s \/ y e. s ) ) )
88		eleq1 2503	. . . . . . . . . 10 |- ( y = s -> ( y e. S <-> s e. S ) )
89	15, 88	syl5ibr 221	. . . . . . . . 9 |- ( y = s -> ( s e. ( S \ y ) -> y e. S ) )
90	89	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ( Tr S /\ A. x e. S A. z ( ( z C. x /\ Tr z ) -> z e. x ) ) /\ ( y C. S /\ Tr y ) ) -> ( y = s -> ( s e. ( S \ y ) -> y e. S ) ) )
91		trel 4397	. . . . . . . . . . 11 |- ( Tr S -> ( ( y e. s /\ s e. S ) -> y e. S ) )
92	91	expd 436	. . . . . . . . . 10 |- ( Tr S -> ( y e. s -> ( s e. S -> y e. S ) ) )
93	15, 92	syl7 68	. . . . . . . . 9 |- ( Tr S -> ( y e. s -> ( s e. ( S \ y ) -> y e. S ) ) )
94	93	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 |- ( ( ( Tr S /\ A. x e. S A. z ( ( z C. x /\ Tr z ) -> z e. x ) ) /\ ( y C. S /\ Tr y ) ) -> ( y e. s -> ( s e. ( S \ y ) -> y e. S ) ) )
95	90, 94	jaod 380	. . . . . . 7 |- ( ( ( Tr S /\ A. x e. S A. z ( ( z C. x /\ Tr z ) -> z e. x ) ) /\ ( y C. S /\ Tr y ) ) -> ( ( y = s \/ y e. s ) -> ( s e. ( S \ y ) -> y e. S ) ) )
96	95	com23 78	. . . . . 6 |- ( ( ( Tr S /\ A. x e. S A. z ( ( z C. x /\ Tr z ) -> z e. x ) ) /\ ( y C. S /\ Tr y ) ) -> ( s e. ( S \ y ) -> ( ( y = s \/ y e. s ) -> y e. S ) ) )
97	96	rexlimdv 2845	. . . . 5 |- ( ( ( Tr S /\ A. x e. S A. z ( ( z C. x /\ Tr z ) -> z e. x ) ) /\ ( y C. S /\ Tr y ) ) -> ( E. s e. ( S \ y ) ( y = s \/ y e. s ) -> y e. S ) )
98	87, 97	syld 44	. . . 4 |- ( ( ( Tr S /\ A. x e. S A. z ( ( z C. x /\ Tr z ) -> z e. x ) ) /\ ( y C. S /\ Tr y ) ) -> ( A. s e. ( S \ y ) ( y = s \/ y e. s ) -> y e. S ) )
99	82, 98	mpd 15	. . 3 |- ( ( ( Tr S /\ A. x e. S A. z ( ( z C. x /\ Tr z ) -> z e. x ) ) /\ ( y C. S /\ Tr y ) ) -> y e. S )
100	99	ex 434	. 2 |- ( ( Tr S /\ A. x e. S A. z ( ( z C. x /\ Tr z ) -> z e. x ) ) -> ( ( y C. S /\ Tr y ) -> y e. S ) )
101	100	alrimiv 1685	1 |- ( ( Tr S /\ A. x e. S A. z ( ( z C. x /\ Tr z ) -> z e. x ) ) -> A. y ( ( y C. S /\ Tr y ) -> y e. S ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 368   /\ wa 369   \/ w3o 964   A.wal 1367   e. wcel 1756   =/= wne 2611   A.wral 2720   E.wrex 2721   \ cdif 3330   C_ wss 3333   C. wpss 3334   (/)c0 3642   Tr wtr 4390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pr 4536  ax-un 6377

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-ral 2725  df-rex 2726  df-v 2979  df-sbc 3192  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-uni 4097  df-iun 4178  df-tr 4391  df-suc 4730

This theorem is referenced by:  dfon2lem7  27607  dfon2lem8  27608