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Theorem dfon2lem5 30384
Description: Lemma for dfon2 30389. Two sets satisfying the new definition also satisfy trichotomy with respect to 
e.. (Contributed by Scott Fenton, 25-Feb-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
dfon2lem5.1  |-  A  e. 
_V
dfon2lem5.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
dfon2lem5  |-  ( ( A. x ( ( x  C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A )  /\  A. y ( ( y 
C.  B  /\  Tr  y )  ->  y  e.  B ) )  -> 
( A  e.  B  \/  A  =  B  \/  B  e.  A
) )
Distinct variable groups:    x, A, y    x, B, y

Proof of Theorem dfon2lem5
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfon2lem5.1 . . . 4  |-  A  e. 
_V
2 dfon2lem5.2 . . . 4  |-  B  e. 
_V
31, 2dfon2lem4 30383 . . 3  |-  ( ( A. x ( ( x  C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A )  /\  A. y ( ( y 
C.  B  /\  Tr  y )  ->  y  e.  B ) )  -> 
( A  C_  B  \/  B  C_  A ) )
4 dfpss2 3493 . . . . . 6  |-  ( A 
C.  B  <->  ( A  C_  B  /\  -.  A  =  B ) )
5 dfpss2 3493 . . . . . . 7  |-  ( B 
C.  A  <->  ( B  C_  A  /\  -.  B  =  A ) )
6 eqcom 2435 . . . . . . . . 9  |-  ( B  =  A  <->  A  =  B )
76notbii 297 . . . . . . . 8  |-  ( -.  B  =  A  <->  -.  A  =  B )
87anbi2i 698 . . . . . . 7  |-  ( ( B  C_  A  /\  -.  B  =  A
)  <->  ( B  C_  A  /\  -.  A  =  B ) )
95, 8bitri 252 . . . . . 6  |-  ( B 
C.  A  <->  ( B  C_  A  /\  -.  A  =  B ) )
104, 9orbi12i 523 . . . . 5  |-  ( ( A  C.  B  \/  B  C.  A )  <->  ( ( A  C_  B  /\  -.  A  =  B )  \/  ( B  C_  A  /\  -.  A  =  B ) ) )
11 andir 876 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  B  \/  B  C_  A )  /\  -.  A  =  B )  <->  ( ( A  C_  B  /\  -.  A  =  B )  \/  ( B  C_  A  /\  -.  A  =  B ) ) )
1210, 11bitr4i 255 . . . 4  |-  ( ( A  C.  B  \/  B  C.  A )  <->  ( ( A  C_  B  \/  B  C_  A )  /\  -.  A  =  B )
)
13 orcom 388 . . . . 5  |-  ( ( A  C.  B  \/  B  C.  A )  <->  ( B  C.  A  \/  A  C.  B ) )
14 dfon2lem3 30382 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  _V  ->  ( A. y ( ( y 
C.  B  /\  Tr  y )  ->  y  e.  B )  ->  ( Tr  B  /\  A. z  e.  B  -.  z  e.  z ) ) )
152, 14ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( A. y ( ( y 
C.  B  /\  Tr  y )  ->  y  e.  B )  ->  ( Tr  B  /\  A. z  e.  B  -.  z  e.  z ) )
1615simpld 460 . . . . . . 7  |-  ( A. y ( ( y 
C.  B  /\  Tr  y )  ->  y  e.  B )  ->  Tr  B )
17 psseq1 3495 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  B  ->  (
x  C.  A  <->  B  C.  A
) )
18 treq 4467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  B  ->  ( Tr  x  <->  Tr  B )
)
1917, 18anbi12d 715 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  B  ->  (
( x  C.  A  /\  Tr  x )  <->  ( B  C.  A  /\  Tr  B
) ) )
20 eleq1 2494 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  B  ->  (
x  e.  A  <->  B  e.  A ) )
2119, 20imbi12d 321 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  B  ->  (
( ( x  C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A
)  <->  ( ( B 
C.  A  /\  Tr  B )  ->  B  e.  A ) ) )
222, 21spcv 3115 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x ( ( x 
C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A )  ->  (
( B  C.  A  /\  Tr  B )  ->  B  e.  A )
)
2322expcomd 439 . . . . . . . 8  |-  ( A. x ( ( x 
C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A )  ->  ( Tr  B  ->  ( B 
C.  A  ->  B  e.  A ) ) )
2423imp 430 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x ( ( x  C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A )  /\  Tr  B )  ->  ( B  C.  A  ->  B  e.  A ) )
2516, 24sylan2 476 . . . . . 6  |-  ( ( A. x ( ( x  C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A )  /\  A. y ( ( y 
C.  B  /\  Tr  y )  ->  y  e.  B ) )  -> 
( B  C.  A  ->  B  e.  A ) )
26 dfon2lem3 30382 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A. x ( ( x 
C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A )  ->  ( Tr  A  /\  A. z  e.  A  -.  z  e.  z ) ) )
271, 26ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( A. x ( ( x 
C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A )  ->  ( Tr  A  /\  A. z  e.  A  -.  z  e.  z ) )
2827simpld 460 . . . . . . 7  |-  ( A. x ( ( x 
C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A )  ->  Tr  A )
29 psseq1 3495 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  A  ->  (
y  C.  B  <->  A  C.  B
) )
30 treq 4467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  A  ->  ( Tr  y  <->  Tr  A )
)
3129, 30anbi12d 715 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  A  ->  (
( y  C.  B  /\  Tr  y )  <->  ( A  C.  B  /\  Tr  A
) ) )
32 eleq1 2494 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  A  ->  (
y  e.  B  <->  A  e.  B ) )
3331, 32imbi12d 321 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  A  ->  (
( ( y  C.  B  /\  Tr  y )  ->  y  e.  B
)  <->  ( ( A 
C.  B  /\  Tr  A )  ->  A  e.  B ) ) )
341, 33spcv 3115 . . . . . . . 8  |-  ( A. y ( ( y 
C.  B  /\  Tr  y )  ->  y  e.  B )  ->  (
( A  C.  B  /\  Tr  A )  ->  A  e.  B )
)
3534expcomd 439 . . . . . . 7  |-  ( A. y ( ( y 
C.  B  /\  Tr  y )  ->  y  e.  B )  ->  ( Tr  A  ->  ( A 
C.  B  ->  A  e.  B ) ) )
3628, 35mpan9 471 . . . . . 6  |-  ( ( A. x ( ( x  C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A )  /\  A. y ( ( y 
C.  B  /\  Tr  y )  ->  y  e.  B ) )  -> 
( A  C.  B  ->  A  e.  B ) )
3725, 36orim12d 846 . . . . 5  |-  ( ( A. x ( ( x  C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A )  /\  A. y ( ( y 
C.  B  /\  Tr  y )  ->  y  e.  B ) )  -> 
( ( B  C.  A  \/  A  C.  B
)  ->  ( B  e.  A  \/  A  e.  B ) ) )
3813, 37syl5bi 220 . . . 4  |-  ( ( A. x ( ( x  C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A )  /\  A. y ( ( y 
C.  B  /\  Tr  y )  ->  y  e.  B ) )  -> 
( ( A  C.  B  \/  B  C.  A
)  ->  ( B  e.  A  \/  A  e.  B ) ) )
3912, 38syl5bir 221 . . 3  |-  ( ( A. x ( ( x  C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A )  /\  A. y ( ( y 
C.  B  /\  Tr  y )  ->  y  e.  B ) )  -> 
( ( ( A 
C_  B  \/  B  C_  A )  /\  -.  A  =  B )  ->  ( B  e.  A  \/  A  e.  B
) ) )
403, 39mpand 679 . 2  |-  ( ( A. x ( ( x  C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A )  /\  A. y ( ( y 
C.  B  /\  Tr  y )  ->  y  e.  B ) )  -> 
( -.  A  =  B  ->  ( B  e.  A  \/  A  e.  B ) ) )
41 3orrot 988 . . 3  |-  ( ( A  e.  B  \/  A  =  B  \/  B  e.  A )  <->  ( A  =  B  \/  B  e.  A  \/  A  e.  B )
)
42 3orass 985 . . . 4  |-  ( ( A  =  B  \/  B  e.  A  \/  A  e.  B )  <->  ( A  =  B  \/  ( B  e.  A  \/  A  e.  B
) ) )
43 df-or 371 . . . 4  |-  ( ( A  =  B  \/  ( B  e.  A  \/  A  e.  B
) )  <->  ( -.  A  =  B  ->  ( B  e.  A  \/  A  e.  B )
) )
4442, 43bitri 252 . . 3  |-  ( ( A  =  B  \/  B  e.  A  \/  A  e.  B )  <->  ( -.  A  =  B  ->  ( B  e.  A  \/  A  e.  B ) ) )
4541, 44bitri 252 . 2  |-  ( ( A  e.  B  \/  A  =  B  \/  B  e.  A )  <->  ( -.  A  =  B  ->  ( B  e.  A  \/  A  e.  B ) ) )
4640, 45sylibr 215 1  |-  ( ( A. x ( ( x  C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A )  /\  A. y ( ( y 
C.  B  /\  Tr  y )  ->  y  e.  B ) )  -> 
( A  e.  B  \/  A  =  B  \/  B  e.  A
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 369    /\ wa 370    \/ w3o 981   A.wal 1435    = wceq 1437    e. wcel 1872   A.wral 2714   _Vcvv 3022    C_ wss 3379    C. wpss 3380   Tr wtr 4461
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pr 4603  ax-un 6541
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-ral 2719  df-rex 2720  df-v 3024  df-sbc 3243  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-uni 4163  df-iun 4244  df-tr 4462  df-suc 5391
This theorem is referenced by:  dfon2lem6  30385  dfon2  30389
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