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Theorem dfon2lem5 27600
Description: Lemma for dfon2 27605. Two sets satisfying the new definition also satisfy trichotomy with respect to 
e. (Contributed by Scott Fenton, 25-Feb-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
dfon2lem5.1  |-  A  e. 
_V
dfon2lem5.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
dfon2lem5  |-  ( ( A. x ( ( x  C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A )  /\  A. y ( ( y 
C.  B  /\  Tr  y )  ->  y  e.  B ) )  -> 
( A  e.  B  \/  A  =  B  \/  B  e.  A
) )
Distinct variable groups:    x, A, y    x, B, y

Proof of Theorem dfon2lem5
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfon2lem5.1 . . . 4  |-  A  e. 
_V
2 dfon2lem5.2 . . . 4  |-  B  e. 
_V
31, 2dfon2lem4 27599 . . 3  |-  ( ( A. x ( ( x  C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A )  /\  A. y ( ( y 
C.  B  /\  Tr  y )  ->  y  e.  B ) )  -> 
( A  C_  B  \/  B  C_  A ) )
4 dfpss2 3441 . . . . . 6  |-  ( A 
C.  B  <->  ( A  C_  B  /\  -.  A  =  B ) )
5 dfpss2 3441 . . . . . . 7  |-  ( B 
C.  A  <->  ( B  C_  A  /\  -.  B  =  A ) )
6 eqcom 2445 . . . . . . . . 9  |-  ( B  =  A  <->  A  =  B )
76notbii 296 . . . . . . . 8  |-  ( -.  B  =  A  <->  -.  A  =  B )
87anbi2i 694 . . . . . . 7  |-  ( ( B  C_  A  /\  -.  B  =  A
)  <->  ( B  C_  A  /\  -.  A  =  B ) )
95, 8bitri 249 . . . . . 6  |-  ( B 
C.  A  <->  ( B  C_  A  /\  -.  A  =  B ) )
104, 9orbi12i 521 . . . . 5  |-  ( ( A  C.  B  \/  B  C.  A )  <->  ( ( A  C_  B  /\  -.  A  =  B )  \/  ( B  C_  A  /\  -.  A  =  B ) ) )
11 andir 863 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  B  \/  B  C_  A )  /\  -.  A  =  B )  <->  ( ( A  C_  B  /\  -.  A  =  B )  \/  ( B  C_  A  /\  -.  A  =  B ) ) )
1210, 11bitr4i 252 . . . 4  |-  ( ( A  C.  B  \/  B  C.  A )  <->  ( ( A  C_  B  \/  B  C_  A )  /\  -.  A  =  B )
)
13 orcom 387 . . . . 5  |-  ( ( A  C.  B  \/  B  C.  A )  <->  ( B  C.  A  \/  A  C.  B ) )
14 dfon2lem3 27598 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  _V  ->  ( A. y ( ( y 
C.  B  /\  Tr  y )  ->  y  e.  B )  ->  ( Tr  B  /\  A. z  e.  B  -.  z  e.  z ) ) )
152, 14ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( A. y ( ( y 
C.  B  /\  Tr  y )  ->  y  e.  B )  ->  ( Tr  B  /\  A. z  e.  B  -.  z  e.  z ) )
1615simpld 459 . . . . . . 7  |-  ( A. y ( ( y 
C.  B  /\  Tr  y )  ->  y  e.  B )  ->  Tr  B )
17 psseq1 3443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  B  ->  (
x  C.  A  <->  B  C.  A
) )
18 treq 4391 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  B  ->  ( Tr  x  <->  Tr  B )
)
1917, 18anbi12d 710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  B  ->  (
( x  C.  A  /\  Tr  x )  <->  ( B  C.  A  /\  Tr  B
) ) )
20 eleq1 2503 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  B  ->  (
x  e.  A  <->  B  e.  A ) )
2119, 20imbi12d 320 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  B  ->  (
( ( x  C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A
)  <->  ( ( B 
C.  A  /\  Tr  B )  ->  B  e.  A ) ) )
222, 21spcv 3063 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x ( ( x 
C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A )  ->  (
( B  C.  A  /\  Tr  B )  ->  B  e.  A )
)
2322expcomd 438 . . . . . . . 8  |-  ( A. x ( ( x 
C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A )  ->  ( Tr  B  ->  ( B 
C.  A  ->  B  e.  A ) ) )
2423imp 429 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x ( ( x  C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A )  /\  Tr  B )  ->  ( B  C.  A  ->  B  e.  A ) )
2516, 24sylan2 474 . . . . . 6  |-  ( ( A. x ( ( x  C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A )  /\  A. y ( ( y 
C.  B  /\  Tr  y )  ->  y  e.  B ) )  -> 
( B  C.  A  ->  B  e.  A ) )
26 dfon2lem3 27598 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A. x ( ( x 
C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A )  ->  ( Tr  A  /\  A. z  e.  A  -.  z  e.  z ) ) )
271, 26ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( A. x ( ( x 
C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A )  ->  ( Tr  A  /\  A. z  e.  A  -.  z  e.  z ) )
2827simpld 459 . . . . . . 7  |-  ( A. x ( ( x 
C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A )  ->  Tr  A )
29 psseq1 3443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  A  ->  (
y  C.  B  <->  A  C.  B
) )
30 treq 4391 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  A  ->  ( Tr  y  <->  Tr  A )
)
3129, 30anbi12d 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  A  ->  (
( y  C.  B  /\  Tr  y )  <->  ( A  C.  B  /\  Tr  A
) ) )
32 eleq1 2503 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  A  ->  (
y  e.  B  <->  A  e.  B ) )
3331, 32imbi12d 320 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  A  ->  (
( ( y  C.  B  /\  Tr  y )  ->  y  e.  B
)  <->  ( ( A 
C.  B  /\  Tr  A )  ->  A  e.  B ) ) )
341, 33spcv 3063 . . . . . . . 8  |-  ( A. y ( ( y 
C.  B  /\  Tr  y )  ->  y  e.  B )  ->  (
( A  C.  B  /\  Tr  A )  ->  A  e.  B )
)
3534expcomd 438 . . . . . . 7  |-  ( A. y ( ( y 
C.  B  /\  Tr  y )  ->  y  e.  B )  ->  ( Tr  A  ->  ( A 
C.  B  ->  A  e.  B ) ) )
3628, 35mpan9 469 . . . . . 6  |-  ( ( A. x ( ( x  C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A )  /\  A. y ( ( y 
C.  B  /\  Tr  y )  ->  y  e.  B ) )  -> 
( A  C.  B  ->  A  e.  B ) )
3725, 36orim12d 834 . . . . 5  |-  ( ( A. x ( ( x  C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A )  /\  A. y ( ( y 
C.  B  /\  Tr  y )  ->  y  e.  B ) )  -> 
( ( B  C.  A  \/  A  C.  B
)  ->  ( B  e.  A  \/  A  e.  B ) ) )
3813, 37syl5bi 217 . . . 4  |-  ( ( A. x ( ( x  C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A )  /\  A. y ( ( y 
C.  B  /\  Tr  y )  ->  y  e.  B ) )  -> 
( ( A  C.  B  \/  B  C.  A
)  ->  ( B  e.  A  \/  A  e.  B ) ) )
3912, 38syl5bir 218 . . 3  |-  ( ( A. x ( ( x  C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A )  /\  A. y ( ( y 
C.  B  /\  Tr  y )  ->  y  e.  B ) )  -> 
( ( ( A 
C_  B  \/  B  C_  A )  /\  -.  A  =  B )  ->  ( B  e.  A  \/  A  e.  B
) ) )
403, 39mpand 675 . 2  |-  ( ( A. x ( ( x  C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A )  /\  A. y ( ( y 
C.  B  /\  Tr  y )  ->  y  e.  B ) )  -> 
( -.  A  =  B  ->  ( B  e.  A  \/  A  e.  B ) ) )
41 3orrot 971 . . 3  |-  ( ( A  e.  B  \/  A  =  B  \/  B  e.  A )  <->  ( A  =  B  \/  B  e.  A  \/  A  e.  B )
)
42 3orass 968 . . . 4  |-  ( ( A  =  B  \/  B  e.  A  \/  A  e.  B )  <->  ( A  =  B  \/  ( B  e.  A  \/  A  e.  B
) ) )
43 df-or 370 . . . 4  |-  ( ( A  =  B  \/  ( B  e.  A  \/  A  e.  B
) )  <->  ( -.  A  =  B  ->  ( B  e.  A  \/  A  e.  B )
) )
4442, 43bitri 249 . . 3  |-  ( ( A  =  B  \/  B  e.  A  \/  A  e.  B )  <->  ( -.  A  =  B  ->  ( B  e.  A  \/  A  e.  B ) ) )
4541, 44bitri 249 . 2  |-  ( ( A  e.  B  \/  A  =  B  \/  B  e.  A )  <->  ( -.  A  =  B  ->  ( B  e.  A  \/  A  e.  B ) ) )
4640, 45sylibr 212 1  |-  ( ( A. x ( ( x  C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A )  /\  A. y ( ( y 
C.  B  /\  Tr  y )  ->  y  e.  B ) )  -> 
( A  e.  B  \/  A  =  B  \/  B  e.  A
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    \/ w3o 964   A.wal 1367    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2715   _Vcvv 2972    C_ wss 3328    C. wpss 3329   Tr wtr 4385
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pr 4531  ax-un 6372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-v 2974  df-sbc 3187  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-uni 4092  df-iun 4173  df-tr 4386  df-suc 4725
This theorem is referenced by:  dfon2lem6  27601  dfon2  27605
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