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Theorem dfon2lem5 30482
Description: Lemma for dfon2 30487. Two sets satisfying the new definition also satisfy trichotomy with respect to 
e.. (Contributed by Scott Fenton, 25-Feb-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
dfon2lem5.1  |-  A  e. 
_V
dfon2lem5.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
dfon2lem5  |-  ( ( A. x ( ( x  C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A )  /\  A. y ( ( y 
C.  B  /\  Tr  y )  ->  y  e.  B ) )  -> 
( A  e.  B  \/  A  =  B  \/  B  e.  A
) )
Distinct variable groups:    x, A, y    x, B, y

Proof of Theorem dfon2lem5
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfon2lem5.1 . . . 4  |-  A  e. 
_V
2 dfon2lem5.2 . . . 4  |-  B  e. 
_V
31, 2dfon2lem4 30481 . . 3  |-  ( ( A. x ( ( x  C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A )  /\  A. y ( ( y 
C.  B  /\  Tr  y )  ->  y  e.  B ) )  -> 
( A  C_  B  \/  B  C_  A ) )
4 dfpss2 3530 . . . . . 6  |-  ( A 
C.  B  <->  ( A  C_  B  /\  -.  A  =  B ) )
5 dfpss2 3530 . . . . . . 7  |-  ( B 
C.  A  <->  ( B  C_  A  /\  -.  B  =  A ) )
6 eqcom 2469 . . . . . . . . 9  |-  ( B  =  A  <->  A  =  B )
76notbii 302 . . . . . . . 8  |-  ( -.  B  =  A  <->  -.  A  =  B )
87anbi2i 705 . . . . . . 7  |-  ( ( B  C_  A  /\  -.  B  =  A
)  <->  ( B  C_  A  /\  -.  A  =  B ) )
95, 8bitri 257 . . . . . 6  |-  ( B 
C.  A  <->  ( B  C_  A  /\  -.  A  =  B ) )
104, 9orbi12i 528 . . . . 5  |-  ( ( A  C.  B  \/  B  C.  A )  <->  ( ( A  C_  B  /\  -.  A  =  B )  \/  ( B  C_  A  /\  -.  A  =  B ) ) )
11 andir 884 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  B  \/  B  C_  A )  /\  -.  A  =  B )  <->  ( ( A  C_  B  /\  -.  A  =  B )  \/  ( B  C_  A  /\  -.  A  =  B ) ) )
1210, 11bitr4i 260 . . . 4  |-  ( ( A  C.  B  \/  B  C.  A )  <->  ( ( A  C_  B  \/  B  C_  A )  /\  -.  A  =  B )
)
13 orcom 393 . . . . 5  |-  ( ( A  C.  B  \/  B  C.  A )  <->  ( B  C.  A  \/  A  C.  B ) )
14 dfon2lem3 30480 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  _V  ->  ( A. y ( ( y 
C.  B  /\  Tr  y )  ->  y  e.  B )  ->  ( Tr  B  /\  A. z  e.  B  -.  z  e.  z ) ) )
152, 14ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( A. y ( ( y 
C.  B  /\  Tr  y )  ->  y  e.  B )  ->  ( Tr  B  /\  A. z  e.  B  -.  z  e.  z ) )
1615simpld 465 . . . . . . 7  |-  ( A. y ( ( y 
C.  B  /\  Tr  y )  ->  y  e.  B )  ->  Tr  B )
17 psseq1 3532 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  B  ->  (
x  C.  A  <->  B  C.  A
) )
18 treq 4517 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  B  ->  ( Tr  x  <->  Tr  B )
)
1917, 18anbi12d 722 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  B  ->  (
( x  C.  A  /\  Tr  x )  <->  ( B  C.  A  /\  Tr  B
) ) )
20 eleq1 2528 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  B  ->  (
x  e.  A  <->  B  e.  A ) )
2119, 20imbi12d 326 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  B  ->  (
( ( x  C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A
)  <->  ( ( B 
C.  A  /\  Tr  B )  ->  B  e.  A ) ) )
222, 21spcv 3152 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x ( ( x 
C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A )  ->  (
( B  C.  A  /\  Tr  B )  ->  B  e.  A )
)
2322expcomd 444 . . . . . . . 8  |-  ( A. x ( ( x 
C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A )  ->  ( Tr  B  ->  ( B 
C.  A  ->  B  e.  A ) ) )
2423imp 435 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x ( ( x  C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A )  /\  Tr  B )  ->  ( B  C.  A  ->  B  e.  A ) )
2516, 24sylan2 481 . . . . . 6  |-  ( ( A. x ( ( x  C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A )  /\  A. y ( ( y 
C.  B  /\  Tr  y )  ->  y  e.  B ) )  -> 
( B  C.  A  ->  B  e.  A ) )
26 dfon2lem3 30480 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A. x ( ( x 
C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A )  ->  ( Tr  A  /\  A. z  e.  A  -.  z  e.  z ) ) )
271, 26ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( A. x ( ( x 
C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A )  ->  ( Tr  A  /\  A. z  e.  A  -.  z  e.  z ) )
2827simpld 465 . . . . . . 7  |-  ( A. x ( ( x 
C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A )  ->  Tr  A )
29 psseq1 3532 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  A  ->  (
y  C.  B  <->  A  C.  B
) )
30 treq 4517 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  A  ->  ( Tr  y  <->  Tr  A )
)
3129, 30anbi12d 722 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  A  ->  (
( y  C.  B  /\  Tr  y )  <->  ( A  C.  B  /\  Tr  A
) ) )
32 eleq1 2528 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  A  ->  (
y  e.  B  <->  A  e.  B ) )
3331, 32imbi12d 326 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  A  ->  (
( ( y  C.  B  /\  Tr  y )  ->  y  e.  B
)  <->  ( ( A 
C.  B  /\  Tr  A )  ->  A  e.  B ) ) )
341, 33spcv 3152 . . . . . . . 8  |-  ( A. y ( ( y 
C.  B  /\  Tr  y )  ->  y  e.  B )  ->  (
( A  C.  B  /\  Tr  A )  ->  A  e.  B )
)
3534expcomd 444 . . . . . . 7  |-  ( A. y ( ( y 
C.  B  /\  Tr  y )  ->  y  e.  B )  ->  ( Tr  A  ->  ( A 
C.  B  ->  A  e.  B ) ) )
3628, 35mpan9 476 . . . . . 6  |-  ( ( A. x ( ( x  C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A )  /\  A. y ( ( y 
C.  B  /\  Tr  y )  ->  y  e.  B ) )  -> 
( A  C.  B  ->  A  e.  B ) )
3725, 36orim12d 854 . . . . 5  |-  ( ( A. x ( ( x  C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A )  /\  A. y ( ( y 
C.  B  /\  Tr  y )  ->  y  e.  B ) )  -> 
( ( B  C.  A  \/  A  C.  B
)  ->  ( B  e.  A  \/  A  e.  B ) ) )
3813, 37syl5bi 225 . . . 4  |-  ( ( A. x ( ( x  C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A )  /\  A. y ( ( y 
C.  B  /\  Tr  y )  ->  y  e.  B ) )  -> 
( ( A  C.  B  \/  B  C.  A
)  ->  ( B  e.  A  \/  A  e.  B ) ) )
3912, 38syl5bir 226 . . 3  |-  ( ( A. x ( ( x  C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A )  /\  A. y ( ( y 
C.  B  /\  Tr  y )  ->  y  e.  B ) )  -> 
( ( ( A 
C_  B  \/  B  C_  A )  /\  -.  A  =  B )  ->  ( B  e.  A  \/  A  e.  B
) ) )
403, 39mpand 686 . 2  |-  ( ( A. x ( ( x  C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A )  /\  A. y ( ( y 
C.  B  /\  Tr  y )  ->  y  e.  B ) )  -> 
( -.  A  =  B  ->  ( B  e.  A  \/  A  e.  B ) ) )
41 3orrot 997 . . 3  |-  ( ( A  e.  B  \/  A  =  B  \/  B  e.  A )  <->  ( A  =  B  \/  B  e.  A  \/  A  e.  B )
)
42 3orass 994 . . . 4  |-  ( ( A  =  B  \/  B  e.  A  \/  A  e.  B )  <->  ( A  =  B  \/  ( B  e.  A  \/  A  e.  B
) ) )
43 df-or 376 . . . 4  |-  ( ( A  =  B  \/  ( B  e.  A  \/  A  e.  B
) )  <->  ( -.  A  =  B  ->  ( B  e.  A  \/  A  e.  B )
) )
4442, 43bitri 257 . . 3  |-  ( ( A  =  B  \/  B  e.  A  \/  A  e.  B )  <->  ( -.  A  =  B  ->  ( B  e.  A  \/  A  e.  B ) ) )
4541, 44bitri 257 . 2  |-  ( ( A  e.  B  \/  A  =  B  \/  B  e.  A )  <->  ( -.  A  =  B  ->  ( B  e.  A  \/  A  e.  B ) ) )
4640, 45sylibr 217 1  |-  ( ( A. x ( ( x  C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A )  /\  A. y ( ( y 
C.  B  /\  Tr  y )  ->  y  e.  B ) )  -> 
( A  e.  B  \/  A  =  B  \/  B  e.  A
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 374    /\ wa 375    \/ w3o 990   A.wal 1453    = wceq 1455    e. wcel 1898   A.wral 2749   _Vcvv 3057    C_ wss 3416    C. wpss 3417   Tr wtr 4511
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pr 4653  ax-un 6610
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-ral 2754  df-rex 2755  df-v 3059  df-sbc 3280  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-uni 4213  df-iun 4294  df-tr 4512  df-suc 5448
This theorem is referenced by:  dfon2lem6  30483  dfon2  30487
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