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Theorem dfon2lem3 28810
Description: Lemma for dfon2 28817. All sets satisfying the new definition are transitive and untangled. (Contributed by Scott Fenton, 25-Feb-2011.)
Assertion
Ref Expression
dfon2lem3  |-  ( A  e.  V  ->  ( A. x ( ( x 
C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A )  ->  ( Tr  A  /\  A. z  e.  A  -.  z  e.  z ) ) )
Distinct variable group:    x, A, z
Allowed substitution hints:    V( x, z)

Proof of Theorem dfon2lem3
Dummy variables  w  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 untelirr 28571 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  -.  z  e.  z  ->  -.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } )
2 eluni2 4249 . . . . . 6  |-  ( z  e.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } 
<->  E. x  e.  {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } z  e.  x )
3 vex 3116 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
_V
4 sseq1 3525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  x  ->  (
w  C_  A  <->  x  C_  A
) )
5 treq 4546 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  x  ->  ( Tr  w  <->  Tr  x )
)
6 raleq 3058 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  x  ->  ( A. t  e.  w  -.  t  e.  t  <->  A. t  e.  x  -.  t  e.  t )
)
74, 5, 63anbi123d 1299 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  x  ->  (
( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t )  <->  ( x  C_  A  /\  Tr  x  /\  A. t  e.  x  -.  t  e.  t ) ) )
83, 7elab 3250 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } 
<->  ( x  C_  A  /\  Tr  x  /\  A. t  e.  x  -.  t  e.  t )
)
9 elequ1 1770 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  z  ->  (
t  e.  t  <->  z  e.  t ) )
10 elequ2 1772 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  z  ->  (
z  e.  t  <->  z  e.  z ) )
119, 10bitrd 253 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  z  ->  (
t  e.  t  <->  z  e.  z ) )
1211notbid 294 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  z  ->  ( -.  t  e.  t  <->  -.  z  e.  z ) )
1312cbvralv 3088 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. t  e.  x  -.  t  e.  t  <->  A. z  e.  x  -.  z  e.  z )
1413biimpi 194 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. t  e.  x  -.  t  e.  t  ->  A. z  e.  x  -.  z  e.  z )
15143ad2ant3 1019 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  C_  A  /\  Tr  x  /\  A. t  e.  x  -.  t  e.  t )  ->  A. z  e.  x  -.  z  e.  z )
168, 15sylbi 195 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  ->  A. z  e.  x  -.  z  e.  z
)
17 rsp 2830 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  x  -.  z  e.  z  ->  ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  z
) )
1816, 17syl 16 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  ->  ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  z ) )
1918rexlimiv 2949 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } z  e.  x  ->  -.  z  e.  z )
202, 19sylbi 195 . . . . 5  |-  ( z  e.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  ->  -.  z  e.  z )
211, 20mprg 2827 . . . 4  |-  -.  U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }
22 dfon2lem2 28809 . . . . 5  |-  U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C_  A
23 dfpss2 3589 . . . . . 6  |-  ( U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C.  A 
<->  ( U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C_  A  /\  -.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  =  A ) )
24 dfon2lem1 28808 . . . . . . 7  |-  Tr  U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }
25 ssexg 4593 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C_  A  /\  A  e.  V )  ->  U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  _V )
2622, 25mpan 670 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  V  ->  U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  _V )
27 psseq1 3591 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  ->  ( x  C.  A 
<-> 
U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C.  A ) )
28 treq 4546 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  ->  ( Tr  x  <->  Tr 
U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } ) )
2927, 28anbi12d 710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  ->  ( ( x 
C.  A  /\  Tr  x )  <->  ( U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C.  A  /\  Tr  U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } ) ) )
30 eleq1 2539 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  ->  ( x  e.  A  <->  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  A )
)
3129, 30imbi12d 320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  ->  ( ( ( x  C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A )  <->  ( ( U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C.  A  /\  Tr  U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } )  ->  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  A )
) )
3231spcgv 3198 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  _V  ->  ( A. x
( ( x  C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A
)  ->  ( ( U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C.  A  /\  Tr  U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } )  ->  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  A )
) )
3332imp 429 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  _V  /\  A. x ( ( x 
C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A ) )  -> 
( ( U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C.  A  /\  Tr  U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } )  ->  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  A )
)
3426, 33sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x ( ( x 
C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A ) )  -> 
( ( U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C.  A  /\  Tr  U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } )  ->  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  A )
)
35 snssi 4171 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  A  ->  { U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } }  C_  A )
36 df-suc 4884 . . . . . . . . . . . . 13  |-  suc  U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  =  ( U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  u.  { U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } }
)
3736sseq1i 3528 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C_  A 
<->  ( U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  u.  { U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } }
)  C_  A )
38 unss 3678 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C_  A  /\  { U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } }  C_  A )  <->  ( U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  u.  { U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } } )  C_  A
)
3937, 38bitr4i 252 . . . . . . . . . . 11  |-  ( suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C_  A 
<->  ( U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C_  A  /\  { U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } }  C_  A ) )
4039biimpri 206 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C_  A  /\  { U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } }  C_  A )  ->  suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C_  A )
4122, 35, 40sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  A  ->  suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C_  A )
42 suctr 4961 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Tr 
U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  ->  Tr  suc  U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } )
4324, 42ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  Tr  suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }
44 untuni 28572 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. z  e.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  -.  z  e.  z  <->  A. x  e.  { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } A. z  e.  x  -.  z  e.  z
)
4544, 16mprgbir 2828 . . . . . . . . . . . . 13  |-  A. z  e.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  -.  z  e.  z
46 nfv 1683 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ t  w  C_  A
47 nfv 1683 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ t Tr  w
48 nfra1 2845 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ t A. t  e.  w  -.  t  e.  t
4946, 47, 48nf3an 1877 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ t ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t )
5049nfab 2633 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ t { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }
5150nfuni 4251 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ t U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }
5251untsucf 28573 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. z  e.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  -.  z  e.  z  ->  A. t  e.  suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  -.  t  e.  t )
5345, 52ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  A. t  e.  suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  -.  t  e.  t
54 sucexg 6624 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  A  ->  suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  _V )
55 sseq1 3525 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  suc  U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  ->  ( z  C_  A  <->  suc  U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C_  A ) )
56 treq 4546 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  suc  U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  ->  ( Tr  z  <->  Tr  suc  U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } ) )
57 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ t
z
5851nfsuc 4949 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ t  suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }
5957, 58raleqf 3054 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  suc  U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  ->  ( A. t  e.  z  -.  t  e.  t  <->  A. t  e.  suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  -.  t  e.  t )
)
6055, 56, 593anbi123d 1299 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  suc  U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  ->  ( ( z  C_  A  /\  Tr  z  /\  A. t  e.  z  -.  t  e.  t )  <->  ( suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C_  A  /\  Tr  suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  /\  A. t  e. 
suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  -.  t  e.  t ) ) )
61 sseq1 3525 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  =  z  ->  (
w  C_  A  <->  z  C_  A ) )
62 treq 4546 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  =  z  ->  ( Tr  w  <->  Tr  z )
)
63 raleq 3058 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  =  z  ->  ( A. t  e.  w  -.  t  e.  t  <->  A. t  e.  z  -.  t  e.  t ) )
6461, 62, 633anbi123d 1299 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  =  z  ->  (
( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t )  <->  ( z  C_  A  /\  Tr  z  /\  A. t  e.  z  -.  t  e.  t ) ) )
6564cbvabv 2610 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  =  { z  |  ( z  C_  A  /\  Tr  z  /\  A. t  e.  z  -.  t  e.  t ) }
6660, 65elab2g 3252 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  _V  ->  ( suc  U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  { w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  <->  ( suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C_  A  /\  Tr  suc  U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  /\  A. t  e.  suc  U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  -.  t  e.  t )
) )
6766biimprd 223 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  _V  ->  ( ( suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C_  A  /\  Tr  suc  U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  /\  A. t  e.  suc  U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  -.  t  e.  t )  ->  suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } ) )
6854, 67syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  A  ->  ( ( suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C_  A  /\  Tr  suc  U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  /\  A. t  e.  suc  U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  -.  t  e.  t )  ->  suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } ) )
6968com12 31 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C_  A  /\  Tr  suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  /\  A. t  e. 
suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  -.  t  e.  t )  ->  ( U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  A  ->  suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } ) )
7043, 53, 69mp3an23 1316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C_  A  ->  ( U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  A  ->  suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } ) )
7170com12 31 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  A  ->  ( suc  U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C_  A  ->  suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } ) )
72 elssuni 4275 . . . . . . . . . . 11  |-  ( suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  { w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  ->  suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C_  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } )
73 sucssel 4970 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  A  ->  ( suc  U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C_  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  ->  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } ) )
7472, 73syl5 32 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  A  ->  ( suc  U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  { w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  ->  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } ) )
7571, 74syld 44 . . . . . . . . 9  |-  ( U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  A  ->  ( suc  U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C_  A  ->  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } ) )
7641, 75mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  A  ->  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } )
7734, 76syl6 33 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x ( ( x 
C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A ) )  -> 
( ( U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C.  A  /\  Tr  U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } )  ->  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } ) )
7824, 77mpan2i 677 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x ( ( x 
C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A ) )  -> 
( U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C.  A  ->  U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } ) )
7923, 78syl5bir 218 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x ( ( x 
C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A ) )  -> 
( ( U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C_  A  /\  -.  U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  =  A )  ->  U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } ) )
8022, 79mpani 676 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x ( ( x 
C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A ) )  -> 
( -.  U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  =  A  ->  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } ) )
8121, 80mt3i 126 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x ( ( x 
C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A ) )  ->  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  =  A )
8224, 45pm3.2i 455 . . . 4  |-  ( Tr 
U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  /\  A. z  e. 
U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  -.  z  e.  z )
83 treq 4546 . . . . 5  |-  ( U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  =  A  ->  ( Tr  U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  <->  Tr  A
) )
84 raleq 3058 . . . . 5  |-  ( U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  =  A  ->  ( A. z  e.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  -.  z  e.  z  <->  A. z  e.  A  -.  z  e.  z
) )
8583, 84anbi12d 710 . . . 4  |-  ( U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  =  A  ->  ( ( Tr 
U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  /\  A. z  e. 
U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  -.  z  e.  z )  <->  ( Tr  A  /\  A. z  e.  A  -.  z  e.  z
) ) )
8682, 85mpbii 211 . . 3  |-  ( U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  =  A  ->  ( Tr  A  /\  A. z  e.  A  -.  z  e.  z
) )
8781, 86syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x ( ( x 
C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A ) )  -> 
( Tr  A  /\  A. z  e.  A  -.  z  e.  z )
)
8887ex 434 1  |-  ( A  e.  V  ->  ( A. x ( ( x 
C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A )  ->  ( Tr  A  /\  A. z  e.  A  -.  z  e.  z ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973   A.wal 1377    = wceq 1379    e. wcel 1767   {cab 2452   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113    u. cun 3474    C_ wss 3476    C. wpss 3477   {csn 4027   U.cuni 4245   Tr wtr 4540   suc csuc 4880
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pr 4686  ax-un 6575
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-uni 4246  df-iun 4327  df-tr 4541  df-suc 4884
This theorem is referenced by:  dfon2lem4  28811  dfon2lem5  28812  dfon2lem7  28814  dfon2lem8  28815  dfon2lem9  28816  dfon2  28817
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