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Theorem dfon2lem3 30480
Description: Lemma for dfon2 30487. All sets satisfying the new definition are transitive and untangled. (Contributed by Scott Fenton, 25-Feb-2011.)
Assertion
Ref Expression
dfon2lem3  |-  ( A  e.  V  ->  ( A. x ( ( x 
C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A )  ->  ( Tr  A  /\  A. z  e.  A  -.  z  e.  z ) ) )
Distinct variable group:    x, A, z
Allowed substitution hints:    V( x, z)

Proof of Theorem dfon2lem3
Dummy variables  w  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 untelirr 30384 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  -.  z  e.  z  ->  -.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } )
2 eluni2 4216 . . . . . 6  |-  ( z  e.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } 
<->  E. x  e.  {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } z  e.  x )
3 vex 3060 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
_V
4 sseq1 3465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  x  ->  (
w  C_  A  <->  x  C_  A
) )
5 treq 4517 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  x  ->  ( Tr  w  <->  Tr  x )
)
6 raleq 2999 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  x  ->  ( A. t  e.  w  -.  t  e.  t  <->  A. t  e.  x  -.  t  e.  t )
)
74, 5, 63anbi123d 1348 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  x  ->  (
( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t )  <->  ( x  C_  A  /\  Tr  x  /\  A. t  e.  x  -.  t  e.  t ) ) )
83, 7elab 3197 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } 
<->  ( x  C_  A  /\  Tr  x  /\  A. t  e.  x  -.  t  e.  t )
)
9 elequ1 1905 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  z  ->  (
t  e.  t  <->  z  e.  t ) )
10 elequ2 1912 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  z  ->  (
z  e.  t  <->  z  e.  z ) )
119, 10bitrd 261 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  z  ->  (
t  e.  t  <->  z  e.  z ) )
1211notbid 300 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  z  ->  ( -.  t  e.  t  <->  -.  z  e.  z ) )
1312cbvralv 3031 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. t  e.  x  -.  t  e.  t  <->  A. z  e.  x  -.  z  e.  z )
1413biimpi 199 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. t  e.  x  -.  t  e.  t  ->  A. z  e.  x  -.  z  e.  z )
15143ad2ant3 1037 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  C_  A  /\  Tr  x  /\  A. t  e.  x  -.  t  e.  t )  ->  A. z  e.  x  -.  z  e.  z )
168, 15sylbi 200 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  ->  A. z  e.  x  -.  z  e.  z
)
17 rsp 2766 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  x  -.  z  e.  z  ->  ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  z
) )
1816, 17syl 17 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  ->  ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  z ) )
1918rexlimiv 2885 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } z  e.  x  ->  -.  z  e.  z )
202, 19sylbi 200 . . . . 5  |-  ( z  e.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  ->  -.  z  e.  z )
211, 20mprg 2763 . . . 4  |-  -.  U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }
22 dfon2lem2 30479 . . . . 5  |-  U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C_  A
23 dfpss2 3530 . . . . . 6  |-  ( U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C.  A 
<->  ( U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C_  A  /\  -.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  =  A ) )
24 dfon2lem1 30478 . . . . . . 7  |-  Tr  U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }
25 ssexg 4563 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C_  A  /\  A  e.  V )  ->  U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  _V )
2622, 25mpan 681 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  V  ->  U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  _V )
27 psseq1 3532 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  ->  ( x  C.  A 
<-> 
U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C.  A ) )
28 treq 4517 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  ->  ( Tr  x  <->  Tr 
U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } ) )
2927, 28anbi12d 722 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  ->  ( ( x 
C.  A  /\  Tr  x )  <->  ( U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C.  A  /\  Tr  U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } ) ) )
30 eleq1 2528 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  ->  ( x  e.  A  <->  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  A )
)
3129, 30imbi12d 326 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  ->  ( ( ( x  C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A )  <->  ( ( U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C.  A  /\  Tr  U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } )  ->  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  A )
) )
3231spcgv 3146 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  _V  ->  ( A. x
( ( x  C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A
)  ->  ( ( U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C.  A  /\  Tr  U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } )  ->  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  A )
) )
3332imp 435 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  _V  /\  A. x ( ( x 
C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A ) )  -> 
( ( U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C.  A  /\  Tr  U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } )  ->  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  A )
)
3426, 33sylan 478 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x ( ( x 
C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A ) )  -> 
( ( U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C.  A  /\  Tr  U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } )  ->  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  A )
)
35 snssi 4129 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  A  ->  { U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } }  C_  A )
36 df-suc 5448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  suc  U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  =  ( U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  u.  { U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } }
)
3736sseq1i 3468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C_  A 
<->  ( U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  u.  { U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } }
)  C_  A )
38 unss 3620 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C_  A  /\  { U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } }  C_  A )  <->  ( U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  u.  { U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } } )  C_  A
)
3937, 38bitr4i 260 . . . . . . . . . . 11  |-  ( suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C_  A 
<->  ( U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C_  A  /\  { U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } }  C_  A ) )
4039biimpri 211 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C_  A  /\  { U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } }  C_  A )  ->  suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C_  A )
4122, 35, 40sylancr 674 . . . . . . . . 9  |-  ( U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  A  ->  suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C_  A )
42 suctr 5525 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Tr 
U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  ->  Tr  suc  U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } )
4324, 42ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  Tr  suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }
44 untuni 30385 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. z  e.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  -.  z  e.  z  <->  A. x  e.  { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } A. z  e.  x  -.  z  e.  z
)
4544, 16mprgbir 2764 . . . . . . . . . . . . 13  |-  A. z  e.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  -.  z  e.  z
46 nfv 1772 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ t  w  C_  A
47 nfv 1772 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ t Tr  w
48 nfra1 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ t A. t  e.  w  -.  t  e.  t
4946, 47, 48nf3an 2024 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ t ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t )
5049nfab 2607 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ t { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }
5150nfuni 4218 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ t U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }
5251untsucf 30386 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. z  e.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  -.  z  e.  z  ->  A. t  e.  suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  -.  t  e.  t )
5345, 52ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  A. t  e.  suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  -.  t  e.  t
54 sucexg 6664 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  A  ->  suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  _V )
55 sseq1 3465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  suc  U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  ->  ( z  C_  A  <->  suc  U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C_  A ) )
56 treq 4517 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  suc  U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  ->  ( Tr  z  <->  Tr  suc  U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } ) )
57 nfcv 2603 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ t
z
5851nfsuc 5513 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ t  suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }
5957, 58raleqf 2995 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  suc  U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  ->  ( A. t  e.  z  -.  t  e.  t  <->  A. t  e.  suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  -.  t  e.  t )
)
6055, 56, 593anbi123d 1348 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  suc  U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  ->  ( ( z  C_  A  /\  Tr  z  /\  A. t  e.  z  -.  t  e.  t )  <->  ( suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C_  A  /\  Tr  suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  /\  A. t  e. 
suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  -.  t  e.  t ) ) )
61 sseq1 3465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  =  z  ->  (
w  C_  A  <->  z  C_  A ) )
62 treq 4517 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  =  z  ->  ( Tr  w  <->  Tr  z )
)
63 raleq 2999 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  =  z  ->  ( A. t  e.  w  -.  t  e.  t  <->  A. t  e.  z  -.  t  e.  t ) )
6461, 62, 633anbi123d 1348 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  =  z  ->  (
( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t )  <->  ( z  C_  A  /\  Tr  z  /\  A. t  e.  z  -.  t  e.  t ) ) )
6564cbvabv 2586 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  =  { z  |  ( z  C_  A  /\  Tr  z  /\  A. t  e.  z  -.  t  e.  t ) }
6660, 65elab2g 3199 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  _V  ->  ( suc  U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  { w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  <->  ( suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C_  A  /\  Tr  suc  U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  /\  A. t  e.  suc  U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  -.  t  e.  t )
) )
6766biimprd 231 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  _V  ->  ( ( suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C_  A  /\  Tr  suc  U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  /\  A. t  e.  suc  U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  -.  t  e.  t )  ->  suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } ) )
6854, 67syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  A  ->  ( ( suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C_  A  /\  Tr  suc  U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  /\  A. t  e.  suc  U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  -.  t  e.  t )  ->  suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } ) )
6968com12 32 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C_  A  /\  Tr  suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  /\  A. t  e. 
suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  -.  t  e.  t )  ->  ( U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  A  ->  suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } ) )
7043, 53, 69mp3an23 1365 . . . . . . . . . . 11  |-  ( suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C_  A  ->  ( U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  A  ->  suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } ) )
7170com12 32 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  A  ->  ( suc  U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C_  A  ->  suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } ) )
72 elssuni 4241 . . . . . . . . . . 11  |-  ( suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  { w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  ->  suc  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C_  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } )
73 sucssel 5534 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  A  ->  ( suc  U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C_  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  ->  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } ) )
7472, 73syl5 33 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  A  ->  ( suc  U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  { w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  ->  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } ) )
7571, 74syld 45 . . . . . . . . 9  |-  ( U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  A  ->  ( suc  U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C_  A  ->  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } ) )
7641, 75mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  A  ->  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } )
7734, 76syl6 34 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x ( ( x 
C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A ) )  -> 
( ( U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C.  A  /\  Tr  U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } )  ->  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } ) )
7824, 77mpan2i 688 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x ( ( x 
C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A ) )  -> 
( U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C.  A  ->  U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } ) )
7923, 78syl5bir 226 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x ( ( x 
C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A ) )  -> 
( ( U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  C_  A  /\  -.  U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  =  A )  ->  U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } ) )
8022, 79mpani 687 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x ( ( x 
C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A ) )  -> 
( -.  U. {
w  |  ( w 
C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  =  A  ->  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  e.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) } ) )
8121, 80mt3i 131 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x ( ( x 
C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A ) )  ->  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  =  A )
8224, 45pm3.2i 461 . . . 4  |-  ( Tr 
U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  /\  A. z  e. 
U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  -.  z  e.  z )
83 treq 4517 . . . . 5  |-  ( U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  =  A  ->  ( Tr  U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  <->  Tr  A
) )
84 raleq 2999 . . . . 5  |-  ( U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  =  A  ->  ( A. z  e.  U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  -.  z  e.  z  <->  A. z  e.  A  -.  z  e.  z
) )
8583, 84anbi12d 722 . . . 4  |-  ( U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  =  A  ->  ( ( Tr 
U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  /\  A. z  e. 
U. { w  |  ( w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  -.  z  e.  z )  <->  ( Tr  A  /\  A. z  e.  A  -.  z  e.  z
) ) )
8682, 85mpbii 216 . . 3  |-  ( U. { w  |  (
w  C_  A  /\  Tr  w  /\  A. t  e.  w  -.  t  e.  t ) }  =  A  ->  ( Tr  A  /\  A. z  e.  A  -.  z  e.  z
) )
8781, 86syl 17 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x ( ( x 
C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A ) )  -> 
( Tr  A  /\  A. z  e.  A  -.  z  e.  z )
)
8887ex 440 1  |-  ( A  e.  V  ->  ( A. x ( ( x 
C.  A  /\  Tr  x )  ->  x  e.  A )  ->  ( Tr  A  /\  A. z  e.  A  -.  z  e.  z ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 375    /\ w3a 991   A.wal 1453    = wceq 1455    e. wcel 1898   {cab 2448   A.wral 2749   E.wrex 2750   _Vcvv 3057    u. cun 3414    C_ wss 3416    C. wpss 3417   {csn 3980   U.cuni 4212   Tr wtr 4511   suc csuc 5444
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pr 4653  ax-un 6610
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-ral 2754  df-rex 2755  df-v 3059  df-sbc 3280  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-uni 4213  df-iun 4294  df-tr 4512  df-suc 5448
This theorem is referenced by:  dfon2lem4  30481  dfon2lem5  30482  dfon2lem7  30484  dfon2lem8  30485  dfon2lem9  30486  dfon2  30487
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