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Theorem dfon2 29151
Description:  On consists of all sets that contain all its transitive proper subsets. This definition comes from J. R. Isbell, "A Definition of Ordinal Numbers," American Mathematical Monthly, vol 67 (1960), pp. 51-52. (Contributed by Scott Fenton, 20-Feb-2011.)
Assertion
Ref Expression
dfon2  |-  On  =  { x  |  A. y ( ( y 
C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x ) }
Distinct variable group:    x, y

Proof of Theorem dfon2
Dummy variables  z  w  t  u  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-on 4888 . 2  |-  On  =  { x  |  Ord  x }
2 tz7.7 4910 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Ord  x  /\  Tr  y )  ->  (
y  e.  x  <->  ( y  C_  x  /\  y  =/=  x ) ) )
3 df-pss 3497 . . . . . . . . 9  |-  ( y 
C.  x  <->  ( y  C_  x  /\  y  =/=  x ) )
42, 3syl6bbr 263 . . . . . . . 8  |-  ( ( Ord  x  /\  Tr  y )  ->  (
y  e.  x  <->  y  C.  x
) )
54exbiri 622 . . . . . . 7  |-  ( Ord  x  ->  ( Tr  y  ->  ( y  C.  x  ->  y  e.  x
) ) )
65com23 78 . . . . . 6  |-  ( Ord  x  ->  ( y  C.  x  ->  ( Tr  y  ->  y  e.  x
) ) )
76impd 431 . . . . 5  |-  ( Ord  x  ->  ( (
y  C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x ) )
87alrimiv 1695 . . . 4  |-  ( Ord  x  ->  A. y
( ( y  C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x
) )
9 vex 3121 . . . . . . 7  |-  x  e. 
_V
10 dfon2lem3 29144 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  _V  ->  ( A. y ( ( y 
C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x )  ->  ( Tr  x  /\  A. z  e.  x  -.  z  e.  z ) ) )
119, 10ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( A. y ( ( y 
C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x )  ->  ( Tr  x  /\  A. z  e.  x  -.  z  e.  z ) )
1211simpld 459 . . . . 5  |-  ( A. y ( ( y 
C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x )  ->  Tr  x )
139dfon2lem7 29148 . . . . . . . 8  |-  ( A. y ( ( y 
C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x )  ->  (
t  e.  x  ->  A. u ( ( u 
C.  t  /\  Tr  u )  ->  u  e.  t ) ) )
1413ralrimiv 2879 . . . . . . 7  |-  ( A. y ( ( y 
C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x )  ->  A. t  e.  x  A. u
( ( u  C.  t  /\  Tr  u )  ->  u  e.  t ) )
15 dfon2lem9 29150 . . . . . . . 8  |-  ( A. t  e.  x  A. u ( ( u 
C.  t  /\  Tr  u )  ->  u  e.  t )  ->  _E  Fr  x )
16 psseq2 3597 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  =  z  ->  (
u  C.  t  <->  u  C.  z
) )
1716anbi1d 704 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  =  z  ->  (
( u  C.  t  /\  Tr  u )  <->  ( u  C.  z  /\  Tr  u
) ) )
18 elequ2 1772 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  =  z  ->  (
u  e.  t  <->  u  e.  z ) )
1917, 18imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  z  ->  (
( ( u  C.  t  /\  Tr  u )  ->  u  e.  t )  <->  ( ( u 
C.  z  /\  Tr  u )  ->  u  e.  z ) ) )
2019albidv 1689 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  z  ->  ( A. u ( ( u 
C.  t  /\  Tr  u )  ->  u  e.  t )  <->  A. u
( ( u  C.  z  /\  Tr  u )  ->  u  e.  z ) ) )
21 psseq1 3596 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  =  v  ->  (
u  C.  z  <->  v  C.  z
) )
22 treq 4552 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  =  v  ->  ( Tr  u  <->  Tr  v )
)
2321, 22anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  v  ->  (
( u  C.  z  /\  Tr  u )  <->  ( v  C.  z  /\  Tr  v
) ) )
24 elequ1 1770 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  v  ->  (
u  e.  z  <->  v  e.  z ) )
2523, 24imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  v  ->  (
( ( u  C.  z  /\  Tr  u )  ->  u  e.  z )  <->  ( ( v 
C.  z  /\  Tr  v )  ->  v  e.  z ) ) )
2625cbvalv 1996 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. u ( ( u 
C.  z  /\  Tr  u )  ->  u  e.  z )  <->  A. v
( ( v  C.  z  /\  Tr  v )  ->  v  e.  z ) )
2720, 26syl6bb 261 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  z  ->  ( A. u ( ( u 
C.  t  /\  Tr  u )  ->  u  e.  t )  <->  A. v
( ( v  C.  z  /\  Tr  v )  ->  v  e.  z ) ) )
2827rspccv 3216 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. t  e.  x  A. u ( ( u 
C.  t  /\  Tr  u )  ->  u  e.  t )  ->  (
z  e.  x  ->  A. v ( ( v 
C.  z  /\  Tr  v )  ->  v  e.  z ) ) )
29 psseq2 3597 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  =  w  ->  (
u  C.  t  <->  u  C.  w
) )
3029anbi1d 704 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  =  w  ->  (
( u  C.  t  /\  Tr  u )  <->  ( u  C.  w  /\  Tr  u
) ) )
31 elequ2 1772 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  =  w  ->  (
u  e.  t  <->  u  e.  w ) )
3230, 31imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  w  ->  (
( ( u  C.  t  /\  Tr  u )  ->  u  e.  t )  <->  ( ( u 
C.  w  /\  Tr  u )  ->  u  e.  w ) ) )
3332albidv 1689 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  w  ->  ( A. u ( ( u 
C.  t  /\  Tr  u )  ->  u  e.  t )  <->  A. u
( ( u  C.  w  /\  Tr  u )  ->  u  e.  w
) ) )
34 psseq1 3596 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  =  y  ->  (
u  C.  w  <->  y  C.  w
) )
35 treq 4552 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  =  y  ->  ( Tr  u  <->  Tr  y )
)
3634, 35anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  y  ->  (
( u  C.  w  /\  Tr  u )  <->  ( y  C.  w  /\  Tr  y
) ) )
37 elequ1 1770 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  y  ->  (
u  e.  w  <->  y  e.  w ) )
3836, 37imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  y  ->  (
( ( u  C.  w  /\  Tr  u )  ->  u  e.  w
)  <->  ( ( y 
C.  w  /\  Tr  y )  ->  y  e.  w ) ) )
3938cbvalv 1996 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. u ( ( u 
C.  w  /\  Tr  u )  ->  u  e.  w )  <->  A. y
( ( y  C.  w  /\  Tr  y )  ->  y  e.  w
) )
4033, 39syl6bb 261 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  w  ->  ( A. u ( ( u 
C.  t  /\  Tr  u )  ->  u  e.  t )  <->  A. y
( ( y  C.  w  /\  Tr  y )  ->  y  e.  w
) ) )
4140rspccv 3216 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. t  e.  x  A. u ( ( u 
C.  t  /\  Tr  u )  ->  u  e.  t )  ->  (
w  e.  x  ->  A. y ( ( y 
C.  w  /\  Tr  y )  ->  y  e.  w ) ) )
4228, 41anim12d 563 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. t  e.  x  A. u ( ( u 
C.  t  /\  Tr  u )  ->  u  e.  t )  ->  (
( z  e.  x  /\  w  e.  x
)  ->  ( A. v ( ( v 
C.  z  /\  Tr  v )  ->  v  e.  z )  /\  A. y ( ( y 
C.  w  /\  Tr  y )  ->  y  e.  w ) ) ) )
43 vex 3121 . . . . . . . . . . 11  |-  z  e. 
_V
44 vex 3121 . . . . . . . . . . 11  |-  w  e. 
_V
4543, 44dfon2lem5 29146 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. v ( ( v  C.  z  /\  Tr  v )  ->  v  e.  z )  /\  A. y ( ( y 
C.  w  /\  Tr  y )  ->  y  e.  w ) )  -> 
( z  e.  w  \/  z  =  w  \/  w  e.  z
) )
4642, 45syl6 33 . . . . . . . . 9  |-  ( A. t  e.  x  A. u ( ( u 
C.  t  /\  Tr  u )  ->  u  e.  t )  ->  (
( z  e.  x  /\  w  e.  x
)  ->  ( z  e.  w  \/  z  =  w  \/  w  e.  z ) ) )
4746ralrimivv 2887 . . . . . . . 8  |-  ( A. t  e.  x  A. u ( ( u 
C.  t  /\  Tr  u )  ->  u  e.  t )  ->  A. z  e.  x  A. w  e.  x  ( z  e.  w  \/  z  =  w  \/  w  e.  z ) )
4815, 47jca 532 . . . . . . 7  |-  ( A. t  e.  x  A. u ( ( u 
C.  t  /\  Tr  u )  ->  u  e.  t )  ->  (  _E  Fr  x  /\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  (
z  e.  w  \/  z  =  w  \/  w  e.  z ) ) )
4914, 48syl 16 . . . . . 6  |-  ( A. y ( ( y 
C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x )  ->  (  _E  Fr  x  /\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  (
z  e.  w  \/  z  =  w  \/  w  e.  z ) ) )
50 dfwe2 6612 . . . . . . 7  |-  (  _E  We  x  <->  (  _E  Fr  x  /\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  ( z  _E  w  \/  z  =  w  \/  w  _E  z ) ) )
51 epel 4800 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  _E  w  <->  z  e.  w )
52 biid 236 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  w  <->  z  =  w )
53 epel 4800 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  _E  z  <->  w  e.  z )
5451, 52, 533orbi123i 1186 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  _E  w  \/  z  =  w  \/  w  _E  z )  <-> 
( z  e.  w  \/  z  =  w  \/  w  e.  z
) )
55542ralbii 2899 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  x  A. w  e.  x  (
z  _E  w  \/  z  =  w  \/  w  _E  z )  <->  A. z  e.  x  A. w  e.  x  ( z  e.  w  \/  z  =  w  \/  w  e.  z
) )
5655anbi2i 694 . . . . . . 7  |-  ( (  _E  Fr  x  /\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  (
z  _E  w  \/  z  =  w  \/  w  _E  z ) )  <->  (  _E  Fr  x  /\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  ( z  e.  w  \/  z  =  w  \/  w  e.  z ) ) )
5750, 56bitri 249 . . . . . 6  |-  (  _E  We  x  <->  (  _E  Fr  x  /\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  ( z  e.  w  \/  z  =  w  \/  w  e.  z ) ) )
5849, 57sylibr 212 . . . . 5  |-  ( A. y ( ( y 
C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x )  ->  _E  We  x )
59 df-ord 4887 . . . . 5  |-  ( Ord  x  <->  ( Tr  x  /\  _E  We  x ) )
6012, 58, 59sylanbrc 664 . . . 4  |-  ( A. y ( ( y 
C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x )  ->  Ord  x )
618, 60impbii 188 . . 3  |-  ( Ord  x  <->  A. y ( ( y  C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x ) )
6261abbii 2601 . 2  |-  { x  |  Ord  x }  =  { x  |  A. y ( ( y 
C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x ) }
631, 62eqtri 2496 1  |-  On  =  { x  |  A. y ( ( y 
C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x ) }
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    \/ w3o 972   A.wal 1377    = wceq 1379    e. wcel 1767   {cab 2452    =/= wne 2662   A.wral 2817   _Vcvv 3118    C_ wss 3481    C. wpss 3482   class class class wbr 4453   Tr wtr 4546    _E cep 4795    Fr wfr 4841    We wwe 4843   Ord word 4883   Oncon0 4884
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pr 4692  ax-un 6587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-suc 4890
This theorem is referenced by:  dfon3  29469
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