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Theorem dfon2 29467
Description:  On consists of all sets that contain all its transitive proper subsets. This definition comes from J. R. Isbell, "A Definition of Ordinal Numbers," American Mathematical Monthly, vol 67 (1960), pp. 51-52. (Contributed by Scott Fenton, 20-Feb-2011.)
Assertion
Ref Expression
dfon2  |-  On  =  { x  |  A. y ( ( y 
C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x ) }
Distinct variable group:    x, y

Proof of Theorem dfon2
Dummy variables  z  w  t  u  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-on 4871 . 2  |-  On  =  { x  |  Ord  x }
2 tz7.7 4893 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Ord  x  /\  Tr  y )  ->  (
y  e.  x  <->  ( y  C_  x  /\  y  =/=  x ) ) )
3 df-pss 3477 . . . . . . . . 9  |-  ( y 
C.  x  <->  ( y  C_  x  /\  y  =/=  x ) )
42, 3syl6bbr 263 . . . . . . . 8  |-  ( ( Ord  x  /\  Tr  y )  ->  (
y  e.  x  <->  y  C.  x
) )
54exbiri 620 . . . . . . 7  |-  ( Ord  x  ->  ( Tr  y  ->  ( y  C.  x  ->  y  e.  x
) ) )
65com23 78 . . . . . 6  |-  ( Ord  x  ->  ( y  C.  x  ->  ( Tr  y  ->  y  e.  x
) ) )
76impd 429 . . . . 5  |-  ( Ord  x  ->  ( (
y  C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x ) )
87alrimiv 1724 . . . 4  |-  ( Ord  x  ->  A. y
( ( y  C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x
) )
9 vex 3109 . . . . . . 7  |-  x  e. 
_V
10 dfon2lem3 29460 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  _V  ->  ( A. y ( ( y 
C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x )  ->  ( Tr  x  /\  A. z  e.  x  -.  z  e.  z ) ) )
119, 10ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( A. y ( ( y 
C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x )  ->  ( Tr  x  /\  A. z  e.  x  -.  z  e.  z ) )
1211simpld 457 . . . . 5  |-  ( A. y ( ( y 
C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x )  ->  Tr  x )
139dfon2lem7 29464 . . . . . . . 8  |-  ( A. y ( ( y 
C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x )  ->  (
t  e.  x  ->  A. u ( ( u 
C.  t  /\  Tr  u )  ->  u  e.  t ) ) )
1413ralrimiv 2866 . . . . . . 7  |-  ( A. y ( ( y 
C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x )  ->  A. t  e.  x  A. u
( ( u  C.  t  /\  Tr  u )  ->  u  e.  t ) )
15 dfon2lem9 29466 . . . . . . . 8  |-  ( A. t  e.  x  A. u ( ( u 
C.  t  /\  Tr  u )  ->  u  e.  t )  ->  _E  Fr  x )
16 psseq2 3578 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  =  z  ->  (
u  C.  t  <->  u  C.  z
) )
1716anbi1d 702 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  =  z  ->  (
( u  C.  t  /\  Tr  u )  <->  ( u  C.  z  /\  Tr  u
) ) )
18 elequ2 1828 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  =  z  ->  (
u  e.  t  <->  u  e.  z ) )
1917, 18imbi12d 318 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  z  ->  (
( ( u  C.  t  /\  Tr  u )  ->  u  e.  t )  <->  ( ( u 
C.  z  /\  Tr  u )  ->  u  e.  z ) ) )
2019albidv 1718 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  z  ->  ( A. u ( ( u 
C.  t  /\  Tr  u )  ->  u  e.  t )  <->  A. u
( ( u  C.  z  /\  Tr  u )  ->  u  e.  z ) ) )
21 psseq1 3577 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  =  v  ->  (
u  C.  z  <->  v  C.  z
) )
22 treq 4538 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  =  v  ->  ( Tr  u  <->  Tr  v )
)
2321, 22anbi12d 708 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  v  ->  (
( u  C.  z  /\  Tr  u )  <->  ( v  C.  z  /\  Tr  v
) ) )
24 elequ1 1826 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  v  ->  (
u  e.  z  <->  v  e.  z ) )
2523, 24imbi12d 318 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  v  ->  (
( ( u  C.  z  /\  Tr  u )  ->  u  e.  z )  <->  ( ( v 
C.  z  /\  Tr  v )  ->  v  e.  z ) ) )
2625cbvalv 2028 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. u ( ( u 
C.  z  /\  Tr  u )  ->  u  e.  z )  <->  A. v
( ( v  C.  z  /\  Tr  v )  ->  v  e.  z ) )
2720, 26syl6bb 261 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  z  ->  ( A. u ( ( u 
C.  t  /\  Tr  u )  ->  u  e.  t )  <->  A. v
( ( v  C.  z  /\  Tr  v )  ->  v  e.  z ) ) )
2827rspccv 3204 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. t  e.  x  A. u ( ( u 
C.  t  /\  Tr  u )  ->  u  e.  t )  ->  (
z  e.  x  ->  A. v ( ( v 
C.  z  /\  Tr  v )  ->  v  e.  z ) ) )
29 psseq2 3578 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  =  w  ->  (
u  C.  t  <->  u  C.  w
) )
3029anbi1d 702 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  =  w  ->  (
( u  C.  t  /\  Tr  u )  <->  ( u  C.  w  /\  Tr  u
) ) )
31 elequ2 1828 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  =  w  ->  (
u  e.  t  <->  u  e.  w ) )
3230, 31imbi12d 318 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  w  ->  (
( ( u  C.  t  /\  Tr  u )  ->  u  e.  t )  <->  ( ( u 
C.  w  /\  Tr  u )  ->  u  e.  w ) ) )
3332albidv 1718 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  w  ->  ( A. u ( ( u 
C.  t  /\  Tr  u )  ->  u  e.  t )  <->  A. u
( ( u  C.  w  /\  Tr  u )  ->  u  e.  w
) ) )
34 psseq1 3577 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  =  y  ->  (
u  C.  w  <->  y  C.  w
) )
35 treq 4538 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  =  y  ->  ( Tr  u  <->  Tr  y )
)
3634, 35anbi12d 708 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  y  ->  (
( u  C.  w  /\  Tr  u )  <->  ( y  C.  w  /\  Tr  y
) ) )
37 elequ1 1826 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  y  ->  (
u  e.  w  <->  y  e.  w ) )
3836, 37imbi12d 318 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  y  ->  (
( ( u  C.  w  /\  Tr  u )  ->  u  e.  w
)  <->  ( ( y 
C.  w  /\  Tr  y )  ->  y  e.  w ) ) )
3938cbvalv 2028 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. u ( ( u 
C.  w  /\  Tr  u )  ->  u  e.  w )  <->  A. y
( ( y  C.  w  /\  Tr  y )  ->  y  e.  w
) )
4033, 39syl6bb 261 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  w  ->  ( A. u ( ( u 
C.  t  /\  Tr  u )  ->  u  e.  t )  <->  A. y
( ( y  C.  w  /\  Tr  y )  ->  y  e.  w
) ) )
4140rspccv 3204 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. t  e.  x  A. u ( ( u 
C.  t  /\  Tr  u )  ->  u  e.  t )  ->  (
w  e.  x  ->  A. y ( ( y 
C.  w  /\  Tr  y )  ->  y  e.  w ) ) )
4228, 41anim12d 561 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. t  e.  x  A. u ( ( u 
C.  t  /\  Tr  u )  ->  u  e.  t )  ->  (
( z  e.  x  /\  w  e.  x
)  ->  ( A. v ( ( v 
C.  z  /\  Tr  v )  ->  v  e.  z )  /\  A. y ( ( y 
C.  w  /\  Tr  y )  ->  y  e.  w ) ) ) )
43 vex 3109 . . . . . . . . . . 11  |-  z  e. 
_V
44 vex 3109 . . . . . . . . . . 11  |-  w  e. 
_V
4543, 44dfon2lem5 29462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. v ( ( v  C.  z  /\  Tr  v )  ->  v  e.  z )  /\  A. y ( ( y 
C.  w  /\  Tr  y )  ->  y  e.  w ) )  -> 
( z  e.  w  \/  z  =  w  \/  w  e.  z
) )
4642, 45syl6 33 . . . . . . . . 9  |-  ( A. t  e.  x  A. u ( ( u 
C.  t  /\  Tr  u )  ->  u  e.  t )  ->  (
( z  e.  x  /\  w  e.  x
)  ->  ( z  e.  w  \/  z  =  w  \/  w  e.  z ) ) )
4746ralrimivv 2874 . . . . . . . 8  |-  ( A. t  e.  x  A. u ( ( u 
C.  t  /\  Tr  u )  ->  u  e.  t )  ->  A. z  e.  x  A. w  e.  x  ( z  e.  w  \/  z  =  w  \/  w  e.  z ) )
4815, 47jca 530 . . . . . . 7  |-  ( A. t  e.  x  A. u ( ( u 
C.  t  /\  Tr  u )  ->  u  e.  t )  ->  (  _E  Fr  x  /\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  (
z  e.  w  \/  z  =  w  \/  w  e.  z ) ) )
4914, 48syl 16 . . . . . 6  |-  ( A. y ( ( y 
C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x )  ->  (  _E  Fr  x  /\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  (
z  e.  w  \/  z  =  w  \/  w  e.  z ) ) )
50 dfwe2 6590 . . . . . . 7  |-  (  _E  We  x  <->  (  _E  Fr  x  /\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  ( z  _E  w  \/  z  =  w  \/  w  _E  z ) ) )
51 epel 4783 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  _E  w  <->  z  e.  w )
52 biid 236 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  w  <->  z  =  w )
53 epel 4783 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  _E  z  <->  w  e.  z )
5451, 52, 533orbi123i 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  _E  w  \/  z  =  w  \/  w  _E  z )  <-> 
( z  e.  w  \/  z  =  w  \/  w  e.  z
) )
55542ralbii 2886 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  x  A. w  e.  x  (
z  _E  w  \/  z  =  w  \/  w  _E  z )  <->  A. z  e.  x  A. w  e.  x  ( z  e.  w  \/  z  =  w  \/  w  e.  z
) )
5655anbi2i 692 . . . . . . 7  |-  ( (  _E  Fr  x  /\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  (
z  _E  w  \/  z  =  w  \/  w  _E  z ) )  <->  (  _E  Fr  x  /\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  ( z  e.  w  \/  z  =  w  \/  w  e.  z ) ) )
5750, 56bitri 249 . . . . . 6  |-  (  _E  We  x  <->  (  _E  Fr  x  /\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  ( z  e.  w  \/  z  =  w  \/  w  e.  z ) ) )
5849, 57sylibr 212 . . . . 5  |-  ( A. y ( ( y 
C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x )  ->  _E  We  x )
59 df-ord 4870 . . . . 5  |-  ( Ord  x  <->  ( Tr  x  /\  _E  We  x ) )
6012, 58, 59sylanbrc 662 . . . 4  |-  ( A. y ( ( y 
C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x )  ->  Ord  x )
618, 60impbii 188 . . 3  |-  ( Ord  x  <->  A. y ( ( y  C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x ) )
6261abbii 2588 . 2  |-  { x  |  Ord  x }  =  { x  |  A. y ( ( y 
C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x ) }
631, 62eqtri 2483 1  |-  On  =  { x  |  A. y ( ( y 
C.  x  /\  Tr  y )  ->  y  e.  x ) }
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 367    \/ w3o 970   A.wal 1396    = wceq 1398    e. wcel 1823   {cab 2439    =/= wne 2649   A.wral 2804   _Vcvv 3106    C_ wss 3461    C. wpss 3462   class class class wbr 4439   Tr wtr 4532    _E cep 4778    Fr wfr 4824    We wwe 4826   Ord word 4866   Oncon0 4867
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pr 4676  ax-un 6565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-suc 4873
This theorem is referenced by:  dfon3  29773
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