Theorem dfon2 30486

Description: On consists of all sets that contain all its transitive proper subsets. This definition comes from J. R. Isbell, "A Definition of Ordinal Numbers," American Mathematical Monthly, vol 67 (1960), pp. 51-52. (Contributed by Scott Fenton, 20-Feb-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dfon2	|- On = { x | A. y ( ( y C. x /\ Tr y ) -> y e. x ) }

Distinct variable group:   x, y

Proof of Theorem dfon2

Dummy variables z w t u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-on 5445	. 2 |- On = { x | Ord x }
2		tz7.7 5467	. . . . . . . . 9 |- ( ( Ord x /\ Tr y ) -> ( y e. x <-> ( y C_ x /\ y =/= x ) ) )
3		df-pss 3431	. . . . . . . . 9 |- ( y C. x <-> ( y C_ x /\ y =/= x ) )
4	2, 3	syl6bbr 271	. . . . . . . 8 |- ( ( Ord x /\ Tr y ) -> ( y e. x <-> y C. x ) )
5	4	exbiri 632	. . . . . . 7 |- ( Ord x -> ( Tr y -> ( y C. x -> y e. x ) ) )
6	5	com23 81	. . . . . 6 |- ( Ord x -> ( y C. x -> ( Tr y -> y e. x ) ) )
7	6	impd 437	. . . . 5 |- ( Ord x -> ( ( y C. x /\ Tr y ) -> y e. x ) )
8	7	alrimiv 1783	. . . 4 |- ( Ord x -> A. y ( ( y C. x /\ Tr y ) -> y e. x ) )
9		vex 3059	. . . . . . 7 |- x e. _V
10		dfon2lem3 30479	. . . . . . 7 |- ( x e. _V -> ( A. y ( ( y C. x /\ Tr y ) -> y e. x ) -> ( Tr x /\ A. z e. x -. z e. z ) ) )
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( A. y ( ( y C. x /\ Tr y ) -> y e. x ) -> ( Tr x /\ A. z e. x -. z e. z ) )
12	11	simpld 465	. . . . 5 |- ( A. y ( ( y C. x /\ Tr y ) -> y e. x ) -> Tr x )
13	9	dfon2lem7 30483	. . . . . . . 8 |- ( A. y ( ( y C. x /\ Tr y ) -> y e. x ) -> ( t e. x -> A. u ( ( u C. t /\ Tr u ) -> u e. t ) ) )
14	13	ralrimiv 2811	. . . . . . 7 |- ( A. y ( ( y C. x /\ Tr y ) -> y e. x ) -> A. t e. x A. u ( ( u C. t /\ Tr u ) -> u e. t ) )
15		dfon2lem9 30485	. . . . . . . 8 |- ( A. t e. x A. u ( ( u C. t /\ Tr u ) -> u e. t ) -> _E Fr x )
16		psseq2 3532	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( t = z -> ( u C. t <-> u C. z ) )
17	16	anbi1d 716	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( t = z -> ( ( u C. t /\ Tr u ) <-> ( u C. z /\ Tr u ) ) )
18		elequ2 1911	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( t = z -> ( u e. t <-> u e. z ) )
19	17, 18	imbi12d 326	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( t = z -> ( ( ( u C. t /\ Tr u ) -> u e. t ) <-> ( ( u C. z /\ Tr u ) -> u e. z ) ) )
20	19	albidv 1777	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t = z -> ( A. u ( ( u C. t /\ Tr u ) -> u e. t ) <-> A. u ( ( u C. z /\ Tr u ) -> u e. z ) ) )
21		psseq1 3531	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u = v -> ( u C. z <-> v C. z ) )
22		treq 4516	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u = v -> ( Tr u <-> Tr v ) )
23	21, 22	anbi12d 722	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u = v -> ( ( u C. z /\ Tr u ) <-> ( v C. z /\ Tr v ) ) )
24		elequ1 1904	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u = v -> ( u e. z <-> v e. z ) )
25	23, 24	imbi12d 326	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u = v -> ( ( ( u C. z /\ Tr u ) -> u e. z ) <-> ( ( v C. z /\ Tr v ) -> v e. z ) ) )
26	25	cbvalv 2126	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. u ( ( u C. z /\ Tr u ) -> u e. z ) <-> A. v ( ( v C. z /\ Tr v ) -> v e. z ) )
27	20, 26	syl6bb 269	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t = z -> ( A. u ( ( u C. t /\ Tr u ) -> u e. t ) <-> A. v ( ( v C. z /\ Tr v ) -> v e. z ) ) )
28	27	rspccv 3158	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. t e. x A. u ( ( u C. t /\ Tr u ) -> u e. t ) -> ( z e. x -> A. v ( ( v C. z /\ Tr v ) -> v e. z ) ) )
29		psseq2 3532	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( t = w -> ( u C. t <-> u C. w ) )
30	29	anbi1d 716	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( t = w -> ( ( u C. t /\ Tr u ) <-> ( u C. w /\ Tr u ) ) )
31		elequ2 1911	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( t = w -> ( u e. t <-> u e. w ) )
32	30, 31	imbi12d 326	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( t = w -> ( ( ( u C. t /\ Tr u ) -> u e. t ) <-> ( ( u C. w /\ Tr u ) -> u e. w ) ) )
33	32	albidv 1777	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t = w -> ( A. u ( ( u C. t /\ Tr u ) -> u e. t ) <-> A. u ( ( u C. w /\ Tr u ) -> u e. w ) ) )
34		psseq1 3531	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u = y -> ( u C. w <-> y C. w ) )
35		treq 4516	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u = y -> ( Tr u <-> Tr y ) )
36	34, 35	anbi12d 722	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u = y -> ( ( u C. w /\ Tr u ) <-> ( y C. w /\ Tr y ) ) )
37		elequ1 1904	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u = y -> ( u e. w <-> y e. w ) )
38	36, 37	imbi12d 326	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u = y -> ( ( ( u C. w /\ Tr u ) -> u e. w ) <-> ( ( y C. w /\ Tr y ) -> y e. w ) ) )
39	38	cbvalv 2126	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. u ( ( u C. w /\ Tr u ) -> u e. w ) <-> A. y ( ( y C. w /\ Tr y ) -> y e. w ) )
40	33, 39	syl6bb 269	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t = w -> ( A. u ( ( u C. t /\ Tr u ) -> u e. t ) <-> A. y ( ( y C. w /\ Tr y ) -> y e. w ) ) )
41	40	rspccv 3158	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. t e. x A. u ( ( u C. t /\ Tr u ) -> u e. t ) -> ( w e. x -> A. y ( ( y C. w /\ Tr y ) -> y e. w ) ) )
42	28, 41	anim12d 570	. . . . . . . . . 10 |- ( A. t e. x A. u ( ( u C. t /\ Tr u ) -> u e. t ) -> ( ( z e. x /\ w e. x ) -> ( A. v ( ( v C. z /\ Tr v ) -> v e. z ) /\ A. y ( ( y C. w /\ Tr y ) -> y e. w ) ) ) )
43		vex 3059	. . . . . . . . . . 11 |- z e. _V
44		vex 3059	. . . . . . . . . . 11 |- w e. _V
45	43, 44	dfon2lem5 30481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. v ( ( v C. z /\ Tr v ) -> v e. z ) /\ A. y ( ( y C. w /\ Tr y ) -> y e. w ) ) -> ( z e. w \/ z = w \/ w e. z ) )
46	42, 45	syl6 34	. . . . . . . . 9 |- ( A. t e. x A. u ( ( u C. t /\ Tr u ) -> u e. t ) -> ( ( z e. x /\ w e. x ) -> ( z e. w \/ z = w \/ w e. z ) ) )
47	46	ralrimivv 2819	. . . . . . . 8 |- ( A. t e. x A. u ( ( u C. t /\ Tr u ) -> u e. t ) -> A. z e. x A. w e. x ( z e. w \/ z = w \/ w e. z ) )
48	15, 47	jca 539	. . . . . . 7 |- ( A. t e. x A. u ( ( u C. t /\ Tr u ) -> u e. t ) -> ( _E Fr x /\ A. z e. x A. w e. x ( z e. w \/ z = w \/ w e. z ) ) )
49	14, 48	syl 17	. . . . . 6 |- ( A. y ( ( y C. x /\ Tr y ) -> y e. x ) -> ( _E Fr x /\ A. z e. x A. w e. x ( z e. w \/ z = w \/ w e. z ) ) )
50		dfwe2 6634	. . . . . . 7 |- ( _E We x <-> ( _E Fr x /\ A. z e. x A. w e. x ( z _E w \/ z = w \/ w _E z ) ) )
51		epel 4766	. . . . . . . . . 10 |- ( z _E w <-> z e. w )
52		biid 244	. . . . . . . . . 10 |- ( z = w <-> z = w )
53		epel 4766	. . . . . . . . . 10 |- ( w _E z <-> w e. z )
54	51, 52, 53	3orbi123i 1204	. . . . . . . . 9 |- ( ( z _E w \/ z = w \/ w _E z ) <-> ( z e. w \/ z = w \/ w e. z ) )
55	54	2ralbii 2831	. . . . . . . 8 |- ( A. z e. x A. w e. x ( z _E w \/ z = w \/ w _E z ) <-> A. z e. x A. w e. x ( z e. w \/ z = w \/ w e. z ) )
56	55	anbi2i 705	. . . . . . 7 |- ( ( _E Fr x /\ A. z e. x A. w e. x ( z _E w \/ z = w \/ w _E z ) ) <-> ( _E Fr x /\ A. z e. x A. w e. x ( z e. w \/ z = w \/ w e. z ) ) )
57	50, 56	bitri 257	. . . . . 6 |- ( _E We x <-> ( _E Fr x /\ A. z e. x A. w e. x ( z e. w \/ z = w \/ w e. z ) ) )
58	49, 57	sylibr 217	. . . . 5 |- ( A. y ( ( y C. x /\ Tr y ) -> y e. x ) -> _E We x )
59		df-ord 5444	. . . . 5 |- ( Ord x <-> ( Tr x /\ _E We x ) )
60	12, 58, 59	sylanbrc 675	. . . 4 |- ( A. y ( ( y C. x /\ Tr y ) -> y e. x ) -> Ord x )
61	8, 60	impbii 192	. . 3 |- ( Ord x <-> A. y ( ( y C. x /\ Tr y ) -> y e. x ) )
62	61	abbii 2577	. 2 |- { x | Ord x } = { x | A. y ( ( y C. x /\ Tr y ) -> y e. x ) }
63	1, 62	eqtri 2483	1 |- On = { x | A. y ( ( y C. x /\ Tr y ) -> y e. x ) }

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 375   \/ w3o 990   A.wal 1452   = wceq 1454   e. wcel 1897   {cab 2447   =/= wne 2632   A.wral 2748   _Vcvv 3056   C_ wss 3415   C. wpss 3416   class class class wbr 4415   Tr wtr 4510   _E cep 4761   Fr wfr 4808   We wwe 4810   Ord word 5440   Oncon0 5441

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pr 4652  ax-un 6609

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-ral 2753  df-rex 2754  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-int 4248  df-iun 4293  df-br 4416  df-opab 4475  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-we 4813  df-ord 5444  df-on 5445  df-suc 5447

This theorem is referenced by:  dfon3  30707