Theorem dfon2 27617

Description: On consists of all sets that contain all its transitive proper subsets. This definition comes from J. R. Isbell, "A Definition of Ordinal Numbers," American Mathematical Monthly, vol 67 (1960), pp. 51-52. (Contributed by Scott Fenton, 20-Feb-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dfon2	|- On = { x | A. y ( ( y C. x /\ Tr y ) -> y e. x ) }

Distinct variable group:   x, y

Proof of Theorem dfon2

Dummy variables z w t u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-on 4735	. 2 |- On = { x | Ord x }
2		tz7.7 4757	. . . . . . . . 9 |- ( ( Ord x /\ Tr y ) -> ( y e. x <-> ( y C_ x /\ y =/= x ) ) )
3		df-pss 3356	. . . . . . . . 9 |- ( y C. x <-> ( y C_ x /\ y =/= x ) )
4	2, 3	syl6bbr 263	. . . . . . . 8 |- ( ( Ord x /\ Tr y ) -> ( y e. x <-> y C. x ) )
5	4	exbiri 622	. . . . . . 7 |- ( Ord x -> ( Tr y -> ( y C. x -> y e. x ) ) )
6	5	com23 78	. . . . . 6 |- ( Ord x -> ( y C. x -> ( Tr y -> y e. x ) ) )
7	6	impd 431	. . . . 5 |- ( Ord x -> ( ( y C. x /\ Tr y ) -> y e. x ) )
8	7	alrimiv 1685	. . . 4 |- ( Ord x -> A. y ( ( y C. x /\ Tr y ) -> y e. x ) )
9		vex 2987	. . . . . . 7 |- x e. _V
10		dfon2lem3 27610	. . . . . . 7 |- ( x e. _V -> ( A. y ( ( y C. x /\ Tr y ) -> y e. x ) -> ( Tr x /\ A. z e. x -. z e. z ) ) )
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( A. y ( ( y C. x /\ Tr y ) -> y e. x ) -> ( Tr x /\ A. z e. x -. z e. z ) )
12	11	simpld 459	. . . . 5 |- ( A. y ( ( y C. x /\ Tr y ) -> y e. x ) -> Tr x )
13	9	dfon2lem7 27614	. . . . . . . 8 |- ( A. y ( ( y C. x /\ Tr y ) -> y e. x ) -> ( t e. x -> A. u ( ( u C. t /\ Tr u ) -> u e. t ) ) )
14	13	ralrimiv 2810	. . . . . . 7 |- ( A. y ( ( y C. x /\ Tr y ) -> y e. x ) -> A. t e. x A. u ( ( u C. t /\ Tr u ) -> u e. t ) )
15		dfon2lem9 27616	. . . . . . . 8 |- ( A. t e. x A. u ( ( u C. t /\ Tr u ) -> u e. t ) -> _E Fr x )
16		psseq2 3456	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( t = z -> ( u C. t <-> u C. z ) )
17	16	anbi1d 704	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( t = z -> ( ( u C. t /\ Tr u ) <-> ( u C. z /\ Tr u ) ) )
18		elequ2 1761	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( t = z -> ( u e. t <-> u e. z ) )
19	17, 18	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( t = z -> ( ( ( u C. t /\ Tr u ) -> u e. t ) <-> ( ( u C. z /\ Tr u ) -> u e. z ) ) )
20	19	albidv 1679	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t = z -> ( A. u ( ( u C. t /\ Tr u ) -> u e. t ) <-> A. u ( ( u C. z /\ Tr u ) -> u e. z ) ) )
21		psseq1 3455	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u = v -> ( u C. z <-> v C. z ) )
22		treq 4403	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u = v -> ( Tr u <-> Tr v ) )
23	21, 22	anbi12d 710	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u = v -> ( ( u C. z /\ Tr u ) <-> ( v C. z /\ Tr v ) ) )
24		elequ1 1759	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u = v -> ( u e. z <-> v e. z ) )
25	23, 24	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u = v -> ( ( ( u C. z /\ Tr u ) -> u e. z ) <-> ( ( v C. z /\ Tr v ) -> v e. z ) ) )
26	25	cbvalv 1971	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. u ( ( u C. z /\ Tr u ) -> u e. z ) <-> A. v ( ( v C. z /\ Tr v ) -> v e. z ) )
27	20, 26	syl6bb 261	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t = z -> ( A. u ( ( u C. t /\ Tr u ) -> u e. t ) <-> A. v ( ( v C. z /\ Tr v ) -> v e. z ) ) )
28	27	rspccv 3082	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. t e. x A. u ( ( u C. t /\ Tr u ) -> u e. t ) -> ( z e. x -> A. v ( ( v C. z /\ Tr v ) -> v e. z ) ) )
29		psseq2 3456	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( t = w -> ( u C. t <-> u C. w ) )
30	29	anbi1d 704	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( t = w -> ( ( u C. t /\ Tr u ) <-> ( u C. w /\ Tr u ) ) )
31		elequ2 1761	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( t = w -> ( u e. t <-> u e. w ) )
32	30, 31	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( t = w -> ( ( ( u C. t /\ Tr u ) -> u e. t ) <-> ( ( u C. w /\ Tr u ) -> u e. w ) ) )
33	32	albidv 1679	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t = w -> ( A. u ( ( u C. t /\ Tr u ) -> u e. t ) <-> A. u ( ( u C. w /\ Tr u ) -> u e. w ) ) )
34		psseq1 3455	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u = y -> ( u C. w <-> y C. w ) )
35		treq 4403	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u = y -> ( Tr u <-> Tr y ) )
36	34, 35	anbi12d 710	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u = y -> ( ( u C. w /\ Tr u ) <-> ( y C. w /\ Tr y ) ) )
37		elequ1 1759	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u = y -> ( u e. w <-> y e. w ) )
38	36, 37	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u = y -> ( ( ( u C. w /\ Tr u ) -> u e. w ) <-> ( ( y C. w /\ Tr y ) -> y e. w ) ) )
39	38	cbvalv 1971	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. u ( ( u C. w /\ Tr u ) -> u e. w ) <-> A. y ( ( y C. w /\ Tr y ) -> y e. w ) )
40	33, 39	syl6bb 261	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t = w -> ( A. u ( ( u C. t /\ Tr u ) -> u e. t ) <-> A. y ( ( y C. w /\ Tr y ) -> y e. w ) ) )
41	40	rspccv 3082	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. t e. x A. u ( ( u C. t /\ Tr u ) -> u e. t ) -> ( w e. x -> A. y ( ( y C. w /\ Tr y ) -> y e. w ) ) )
42	28, 41	anim12d 563	. . . . . . . . . 10 |- ( A. t e. x A. u ( ( u C. t /\ Tr u ) -> u e. t ) -> ( ( z e. x /\ w e. x ) -> ( A. v ( ( v C. z /\ Tr v ) -> v e. z ) /\ A. y ( ( y C. w /\ Tr y ) -> y e. w ) ) ) )
43		vex 2987	. . . . . . . . . . 11 |- z e. _V
44		vex 2987	. . . . . . . . . . 11 |- w e. _V
45	43, 44	dfon2lem5 27612	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. v ( ( v C. z /\ Tr v ) -> v e. z ) /\ A. y ( ( y C. w /\ Tr y ) -> y e. w ) ) -> ( z e. w \/ z = w \/ w e. z ) )
46	42, 45	syl6 33	. . . . . . . . 9 |- ( A. t e. x A. u ( ( u C. t /\ Tr u ) -> u e. t ) -> ( ( z e. x /\ w e. x ) -> ( z e. w \/ z = w \/ w e. z ) ) )
47	46	ralrimivv 2819	. . . . . . . 8 |- ( A. t e. x A. u ( ( u C. t /\ Tr u ) -> u e. t ) -> A. z e. x A. w e. x ( z e. w \/ z = w \/ w e. z ) )
48	15, 47	jca 532	. . . . . . 7 |- ( A. t e. x A. u ( ( u C. t /\ Tr u ) -> u e. t ) -> ( _E Fr x /\ A. z e. x A. w e. x ( z e. w \/ z = w \/ w e. z ) ) )
49	14, 48	syl 16	. . . . . 6 |- ( A. y ( ( y C. x /\ Tr y ) -> y e. x ) -> ( _E Fr x /\ A. z e. x A. w e. x ( z e. w \/ z = w \/ w e. z ) ) )
50		dfwe2 6405	. . . . . . 7 |- ( _E We x <-> ( _E Fr x /\ A. z e. x A. w e. x ( z _E w \/ z = w \/ w _E z ) ) )
51		epel 4647	. . . . . . . . . 10 |- ( z _E w <-> z e. w )
52		biid 236	. . . . . . . . . 10 |- ( z = w <-> z = w )
53		epel 4647	. . . . . . . . . 10 |- ( w _E z <-> w e. z )
54	51, 52, 53	3orbi123i 1177	. . . . . . . . 9 |- ( ( z _E w \/ z = w \/ w _E z ) <-> ( z e. w \/ z = w \/ w e. z ) )
55	54	2ralbii 2753	. . . . . . . 8 |- ( A. z e. x A. w e. x ( z _E w \/ z = w \/ w _E z ) <-> A. z e. x A. w e. x ( z e. w \/ z = w \/ w e. z ) )
56	55	anbi2i 694	. . . . . . 7 |- ( ( _E Fr x /\ A. z e. x A. w e. x ( z _E w \/ z = w \/ w _E z ) ) <-> ( _E Fr x /\ A. z e. x A. w e. x ( z e. w \/ z = w \/ w e. z ) ) )
57	50, 56	bitri 249	. . . . . 6 |- ( _E We x <-> ( _E Fr x /\ A. z e. x A. w e. x ( z e. w \/ z = w \/ w e. z ) ) )
58	49, 57	sylibr 212	. . . . 5 |- ( A. y ( ( y C. x /\ Tr y ) -> y e. x ) -> _E We x )
59		df-ord 4734	. . . . 5 |- ( Ord x <-> ( Tr x /\ _E We x ) )
60	12, 58, 59	sylanbrc 664	. . . 4 |- ( A. y ( ( y C. x /\ Tr y ) -> y e. x ) -> Ord x )
61	8, 60	impbii 188	. . 3 |- ( Ord x <-> A. y ( ( y C. x /\ Tr y ) -> y e. x ) )
62	61	abbii 2561	. 2 |- { x | Ord x } = { x | A. y ( ( y C. x /\ Tr y ) -> y e. x ) }
63	1, 62	eqtri 2463	1 |- On = { x | A. y ( ( y C. x /\ Tr y ) -> y e. x ) }

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 369   \/ w3o 964   A.wal 1367   = wceq 1369   e. wcel 1756   {cab 2429   =/= wne 2618   A.wral 2727   _Vcvv 2984   C_ wss 3340   C. wpss 3341   class class class wbr 4304   Tr wtr 4397   _E cep 4642   Fr wfr 4688   We wwe 4690   Ord word 4730   Oncon0 4731

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pr 4543  ax-un 6384

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-ral 2732  df-rex 2733  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-suc 4737

This theorem is referenced by:  dfon3  27935