Theorem dfon2 13858

Description: On consists of all sets that contain all its transitive proper subsets. This definition comes from J. R. Isbell, "A Definition of Ordinal Numbers," American Mathematical Monthly, vol 67 (1960), pp. 51-52.

Assertion

Ref	Expression
dfon2	|- On = {x | A.y((y C. x /\ Tr y) -> y e. x)}

Distinct variable group:   x,y

Proof of Theorem dfon2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-on 3661	. 2 |- On = {x | Ord x}
2		tz7.7 3684	. . . . . . . . 9 |- ((Ord x /\ Tr y) -> (y e. x <-> (y C_ x /\ y =/= x)))
3		df-pss 2607	. . . . . . . . 9 |- (y C. x <-> (y C_ x /\ y =/= x))
4	2, 3	syl6bbr 597	. . . . . . . 8 |- ((Ord x /\ Tr y) -> (y e. x <-> y C. x))
5	4	exbiri 421	. . . . . . 7 |- (Ord x -> (Tr y -> (y C. x -> y e. x)))
6	5	com23 36	. . . . . 6 |- (Ord x -> (y C. x -> (Tr y -> y e. x)))
7	6	imp3a 388	. . . . 5 |- (Ord x -> ((y C. x /\ Tr y) -> y e. x))
8	7	19.21aiv 1664	. . . 4 |- (Ord x -> A.y((y C. x /\ Tr y) -> y e. x))
9		df-ord 3660	. . . . 5 |- (Ord x <-> (Tr x /\ _E We x))
10		visset 2295	. . . . . . 7 |- x e. _V
11		dfon2lem3 13851	. . . . . . 7 |- (x e. _V -> (A.y((y C. x /\ Tr y) -> y e. x) -> (Tr x /\ A.z e. x -. z e. z)))
12	10, 11	ax-mp 7	. . . . . 6 |- (A.y((y C. x /\ Tr y) -> y e. x) -> (Tr x /\ A.z e. x -. z e. z))
13	12	simplld 348	. . . . 5 |- (A.y((y C. x /\ Tr y) -> y e. x) -> Tr x)
14	10	dfon2lem7 13855	. . . . . . . 8 |- (A.y((y C. x /\ Tr y) -> y e. x) -> (t e. x -> A.u((u C. t /\ Tr u) -> u e. t)))
15	14	r19.21aiv 2175	. . . . . . 7 |- (A.y((y C. x /\ Tr y) -> y e. x) -> A.t e. x A.u((u C. t /\ Tr u) -> u e. t))
16		dfon2lem9 13857	. . . . . . . 8 |- (A.t e. x A.u((u C. t /\ Tr u) -> u e. t) -> _E Fr x)
17		psseq2 2698	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (t = z -> (u C. t <-> u C. z))
18	17	anbi1d 679	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (t = z -> ((u C. t /\ Tr u) <-> (u C. z /\ Tr u)))
19		elequ2 1497	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (t = z -> (u e. t <-> u e. z))
20	18, 19	imbi12d 688	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (t = z -> (((u C. t /\ Tr u) -> u e. t) <-> ((u C. z /\ Tr u) -> u e. z)))
21	20	albidv 1656	. . . . . . . . . . . . 13 |- (t = z -> (A.u((u C. t /\ Tr u) -> u e. t) <-> A.u((u C. z /\ Tr u) -> u e. z)))
22		psseq1 2697	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (u = v -> (u C. z <-> v C. z))
23		treq 3417	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (u = v -> (Tr u <-> Tr v))
24	22, 23	anbi12d 690	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (u = v -> ((u C. z /\ Tr u) <-> (v C. z /\ Tr v)))
25		elequ1 1496	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (u = v -> (u e. z <-> v e. z))
26	24, 25	imbi12d 688	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (u = v -> (((u C. z /\ Tr u) -> u e. z) <-> ((v C. z /\ Tr v) -> v e. z)))
27	26	cbvalv 1696	. . . . . . . . . . . . 13 |- (A.u((u C. z /\ Tr u) -> u e. z) <-> A.v((v C. z /\ Tr v) -> v e. z))
28	21, 27	syl6bb 595	. . . . . . . . . . . 12 |- (t = z -> (A.u((u C. t /\ Tr u) -> u e. t) <-> A.v((v C. z /\ Tr v) -> v e. z)))
29	28	rcla4cv 2377	. . . . . . . . . . 11 |- (A.t e. x A.u((u C. t /\ Tr u) -> u e. t) -> (z e. x -> A.v((v C. z /\ Tr v) -> v e. z)))
30		psseq2 2698	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (t = w -> (u C. t <-> u C. w))
31	30	anbi1d 679	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (t = w -> ((u C. t /\ Tr u) <-> (u C. w /\ Tr u)))
32		elequ2 1497	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (t = w -> (u e. t <-> u e. w))
33	31, 32	imbi12d 688	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (t = w -> (((u C. t /\ Tr u) -> u e. t) <-> ((u C. w /\ Tr u) -> u e. w)))
34	33	albidv 1656	. . . . . . . . . . . . 13 |- (t = w -> (A.u((u C. t /\ Tr u) -> u e. t) <-> A.u((u C. w /\ Tr u) -> u e. w)))
35		psseq1 2697	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (u = y -> (u C. w <-> y C. w))
36		treq 3417	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (u = y -> (Tr u <-> Tr y))
37	35, 36	anbi12d 690	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (u = y -> ((u C. w /\ Tr u) <-> (y C. w /\ Tr y)))
38		elequ1 1496	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (u = y -> (u e. w <-> y e. w))
39	37, 38	imbi12d 688	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (u = y -> (((u C. w /\ Tr u) -> u e. w) <-> ((y C. w /\ Tr y) -> y e. w)))
40	39	cbvalv 1696	. . . . . . . . . . . . 13 |- (A.u((u C. w /\ Tr u) -> u e. w) <-> A.y((y C. w /\ Tr y) -> y e. w))
41	34, 40	syl6bb 595	. . . . . . . . . . . 12 |- (t = w -> (A.u((u C. t /\ Tr u) -> u e. t) <-> A.y((y C. w /\ Tr y) -> y e. w)))
42	41	rcla4cv 2377	. . . . . . . . . . 11 |- (A.t e. x A.u((u C. t /\ Tr u) -> u e. t) -> (w e. x -> A.y((y C. w /\ Tr y) -> y e. w)))
43	29, 42	anim12d 617	. . . . . . . . . 10 |- (A.t e. x A.u((u C. t /\ Tr u) -> u e. t) -> ((z e. x /\ w e. x) -> (A.v((v C. z /\ Tr v) -> v e. z) /\ A.y((y C. w /\ Tr y) -> y e. w))))
44		visset 2295	. . . . . . . . . . 11 |- z e. _V
45		visset 2295	. . . . . . . . . . 11 |- w e. _V
46	44, 45	dfon2lem5 13853	. . . . . . . . . 10 |- ((A.v((v C. z /\ Tr v) -> v e. z) /\ A.y((y C. w /\ Tr y) -> y e. w)) -> (z e. w \/ z = w \/ w e. z))
47	43, 46	syl6 25	. . . . . . . . 9 |- (A.t e. x A.u((u C. t /\ Tr u) -> u e. t) -> ((z e. x /\ w e. x) -> (z e. w \/ z = w \/ w e. z)))
48	47	r19.21aivv 2183	. . . . . . . 8 |- (A.t e. x A.u((u C. t /\ Tr u) -> u e. t) -> A.z e. x A.w e. x (z e. w \/ z = w \/ w e. z))
49	16, 48	jca 310	. . . . . . 7 |- (A.t e. x A.u((u C. t /\ Tr u) -> u e. t) -> ( _E Fr x /\ A.z e. x A.w e. x (z e. w \/ z = w \/ w e. z)))
50	15, 49	syl 12	. . . . . 6 |- (A.y((y C. x /\ Tr y) -> y e. x) -> ( _E Fr x /\ A.z e. x A.w e. x (z e. w \/ z = w \/ w e. z)))
51		dfwe2 3861	. . . . . . 7 |- ( _E We x <-> ( _E Fr x /\ A.z e. x A.w e. x (z _E w \/ z = w \/ w _E z)))
52		epel 3585	. . . . . . . . . 10 |- (z _E w <-> z e. w)
53		biid 187	. . . . . . . . . 10 |- (z = w <-> z = w)
54		epel 3585	. . . . . . . . . 10 |- (w _E z <-> w e. z)
55	52, 53, 54	3orbi123i 1057	. . . . . . . . 9 |- ((z _E w \/ z = w \/ w _E z) <-> (z e. w \/ z = w \/ w e. z))
56	55	2ralbii 2129	. . . . . . . 8 |- (A.z e. x A.w e. x (z _E w \/ z = w \/ w _E z) <-> A.z e. x A.w e. x (z e. w \/ z = w \/ w e. z))
57	56	anbi2i 538	. . . . . . 7 |- (( _E Fr x /\ A.z e. x A.w e. x (z _E w \/ z = w \/ w _E z)) <-> ( _E Fr x /\ A.z e. x A.w e. x (z e. w \/ z = w \/ w e. z)))
58	51, 57	bitri 190	. . . . . 6 |- ( _E We x <-> ( _E Fr x /\ A.z e. x A.w e. x (z e. w \/ z = w \/ w e. z)))
59	50, 58	sylibr 217	. . . . 5 |- (A.y((y C. x /\ Tr y) -> y e. x) -> _E We x)
60	9, 13, 59	sylanbrc 527	. . . 4 |- (A.y((y C. x /\ Tr y) -> y e. x) -> Ord x)
61	8, 60	impbii 174	. . 3 |- (Ord x <-> A.y((y C. x /\ Tr y) -> y e. x))
62	61	abbii 2006	. 2 |- {x | Ord x} = {x | A.y((y C. x /\ Tr y) -> y e. x)}
63	1, 62	eqtri 1908	1 |- On = {x | A.y((y C. x /\ Tr y) -> y e. x)}

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 240   \/ w3o 857  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300  {cab 1871   =/= wne 2017  A.wral 2105  _Vcvv 2292   C_ wss 2593   C. wpss 2594   class class class wbr 3338  Tr wtr 3411   _E cep 3581   Fr wfr 3623   We wwe 3624  Ord word 3656  Oncon0 3657

This theorem is referenced by:  dfon3 14072

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-suc 3663

Copyright terms: Public domain