Theorem dfom3 8055

Description: The class of natural numbers omega can be defined as the smallest "inductive set," which is valid provided we assume the Axiom of Infinity. Definition 6.3 of [Eisenberg] p. 82. (Contributed by NM, 6-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
dfom3	|- om = |^| { x | ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) }

Distinct variable group:   x, y

Proof of Theorem dfom3

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4572	. . . . 5 |- (/) e. _V
2	1	elintab 4288	. . . 4 |- ( (/) e. |^| { x | ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) } <-> A. x ( ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) -> (/) e. x ) )
3		simpl 457	. . . 4 |- ( ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) -> (/) e. x )
4	2, 3	mpgbir 1600	. . 3 |- (/) e. |^| { x | ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) }
5		suceq 4938	. . . . . . . . . 10 |- ( y = z -> suc y = suc z )
6	5	eleq1d 2531	. . . . . . . . 9 |- ( y = z -> ( suc y e. x <-> suc z e. x ) )
7	6	rspccv 3206	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. x suc y e. x -> ( z e. x -> suc z e. x ) )
8	7	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) -> ( z e. x -> suc z e. x ) )
9	8	a2i 13	. . . . . 6 |- ( ( ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) -> z e. x ) -> ( ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) -> suc z e. x ) )
10	9	alimi 1609	. . . . 5 |- ( A. x ( ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) -> z e. x ) -> A. x ( ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) -> suc z e. x ) )
11		vex 3111	. . . . . 6 |- z e. _V
12	11	elintab 4288	. . . . 5 |- ( z e. |^| { x | ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) } <-> A. x ( ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) -> z e. x ) )
13	11	sucex 6619	. . . . . 6 |- suc z e. _V
14	13	elintab 4288	. . . . 5 |- ( suc z e. |^| { x | ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) } <-> A. x ( ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) -> suc z e. x ) )
15	10, 12, 14	3imtr4i 266	. . . 4 |- ( z e. |^| { x | ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) } -> suc z e. |^| { x | ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) } )
16	15	rgenw 2820	. . 3 |- A. z e. om ( z e. |^| { x | ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) } -> suc z e. |^| { x | ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) } )
17		peano5 6696	. . 3 |- ( ( (/) e. |^| { x | ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) } /\ A. z e. om ( z e. |^| { x | ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) } -> suc z e. |^| { x | ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) } ) ) -> om C_ |^| { x | ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) } )
18	4, 16, 17	mp2an 672	. 2 |- om C_ |^| { x | ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) }
19		peano1 6692	. . . 4 |- (/) e. om
20		peano2 6693	. . . . 5 |- ( y e. om -> suc y e. om )
21	20	rgen 2819	. . . 4 |- A. y e. om suc y e. om
22		omex 8051	. . . . . 6 |- om e. _V
23		eleq2 2535	. . . . . . . 8 |- ( x = om -> ( (/) e. x <-> (/) e. om ) )
24		eleq2 2535	. . . . . . . . 9 |- ( x = om -> ( suc y e. x <-> suc y e. om ) )
25	24	raleqbi1dv 3061	. . . . . . . 8 |- ( x = om -> ( A. y e. x suc y e. x <-> A. y e. om suc y e. om ) )
26	23, 25	anbi12d 710	. . . . . . 7 |- ( x = om -> ( ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) <-> ( (/) e. om /\ A. y e. om suc y e. om ) ) )
27		eleq2 2535	. . . . . . 7 |- ( x = om -> ( z e. x <-> z e. om ) )
28	26, 27	imbi12d 320	. . . . . 6 |- ( x = om -> ( ( ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) -> z e. x ) <-> ( ( (/) e. om /\ A. y e. om suc y e. om ) -> z e. om ) ) )
29	22, 28	spcv 3199	. . . . 5 |- ( A. x ( ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) -> z e. x ) -> ( ( (/) e. om /\ A. y e. om suc y e. om ) -> z e. om ) )
30	12, 29	sylbi 195	. . . 4 |- ( z e. |^| { x | ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) } -> ( ( (/) e. om /\ A. y e. om suc y e. om ) -> z e. om ) )
31	19, 21, 30	mp2ani 678	. . 3 |- ( z e. |^| { x | ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) } -> z e. om )
32	31	ssriv 3503	. 2 |- |^| { x | ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) } C_ om
33	18, 32	eqssi 3515	1 |- om = |^| { x | ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) }

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   A.wal 1372   = wceq 1374   e. wcel 1762   {cab 2447   A.wral 2809   C_ wss 3471   (/)c0 3780   |^|cint 4277   suc csuc 4875   omcom 6673

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-inf2 8049

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-ral 2814  df-rex 2815  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-br 4443  df-opab 4501  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-om 6674

This theorem is referenced by: (None)