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Theorem dfom3 8177
Description: The class of natural numbers omega can be defined as the smallest "inductive set," which is valid provided we assume the Axiom of Infinity. Definition 6.3 of [Eisenberg] p. 82. (Contributed by NM, 6-Aug-1994.)
Assertion
Ref Expression
dfom3  |-  om  =  |^| { x  |  (
(/)  e.  x  /\  A. y  e.  x  suc  y  e.  x ) }
Distinct variable group:    x, y

Proof of Theorem dfom3
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ex 4548 . . . . 5  |-  (/)  e.  _V
21elintab 4258 . . . 4  |-  ( (/)  e.  |^| { x  |  ( (/)  e.  x  /\  A. y  e.  x  suc  y  e.  x
) }  <->  A. x
( ( (/)  e.  x  /\  A. y  e.  x  suc  y  e.  x
)  ->  (/)  e.  x
) )
3 simpl 463 . . . 4  |-  ( (
(/)  e.  x  /\  A. y  e.  x  suc  y  e.  x )  -> 
(/)  e.  x )
42, 3mpgbir 1683 . . 3  |-  (/)  e.  |^| { x  |  ( (/)  e.  x  /\  A. y  e.  x  suc  y  e.  x ) }
5 suceq 5506 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  z  ->  suc  y  =  suc  z )
65eleq1d 2523 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  z  ->  ( suc  y  e.  x  <->  suc  z  e.  x ) )
76rspccv 3158 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  x  suc  y  e.  x  ->  ( z  e.  x  ->  suc  z  e.  x
) )
87adantl 472 . . . . . . 7  |-  ( (
(/)  e.  x  /\  A. y  e.  x  suc  y  e.  x )  ->  ( z  e.  x  ->  suc  z  e.  x
) )
98a2i 14 . . . . . 6  |-  ( ( ( (/)  e.  x  /\  A. y  e.  x  suc  y  e.  x
)  ->  z  e.  x )  ->  (
( (/)  e.  x  /\  A. y  e.  x  suc  y  e.  x )  ->  suc  z  e.  x
) )
109alimi 1694 . . . . 5  |-  ( A. x ( ( (/)  e.  x  /\  A. y  e.  x  suc  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  ->  A. x
( ( (/)  e.  x  /\  A. y  e.  x  suc  y  e.  x
)  ->  suc  z  e.  x ) )
11 vex 3059 . . . . . 6  |-  z  e. 
_V
1211elintab 4258 . . . . 5  |-  ( z  e.  |^| { x  |  ( (/)  e.  x  /\  A. y  e.  x  suc  y  e.  x
) }  <->  A. x
( ( (/)  e.  x  /\  A. y  e.  x  suc  y  e.  x
)  ->  z  e.  x ) )
1311sucex 6664 . . . . . 6  |-  suc  z  e.  _V
1413elintab 4258 . . . . 5  |-  ( suc  z  e.  |^| { x  |  ( (/)  e.  x  /\  A. y  e.  x  suc  y  e.  x
) }  <->  A. x
( ( (/)  e.  x  /\  A. y  e.  x  suc  y  e.  x
)  ->  suc  z  e.  x ) )
1510, 12, 143imtr4i 274 . . . 4  |-  ( z  e.  |^| { x  |  ( (/)  e.  x  /\  A. y  e.  x  suc  y  e.  x
) }  ->  suc  z  e.  |^| { x  |  ( (/)  e.  x  /\  A. y  e.  x  suc  y  e.  x
) } )
1615rgenw 2760 . . 3  |-  A. z  e.  om  ( z  e. 
|^| { x  |  (
(/)  e.  x  /\  A. y  e.  x  suc  y  e.  x ) }  ->  suc  z  e.  |^|
{ x  |  (
(/)  e.  x  /\  A. y  e.  x  suc  y  e.  x ) } )
17 peano5 6742 . . 3  |-  ( (
(/)  e.  |^| { x  |  ( (/)  e.  x  /\  A. y  e.  x  suc  y  e.  x
) }  /\  A. z  e.  om  (
z  e.  |^| { x  |  ( (/)  e.  x  /\  A. y  e.  x  suc  y  e.  x
) }  ->  suc  z  e.  |^| { x  |  ( (/)  e.  x  /\  A. y  e.  x  suc  y  e.  x
) } ) )  ->  om  C_  |^| { x  |  ( (/)  e.  x  /\  A. y  e.  x  suc  y  e.  x
) } )
184, 16, 17mp2an 683 . 2  |-  om  C_  |^| { x  |  ( (/)  e.  x  /\  A. y  e.  x  suc  y  e.  x
) }
19 peano1 6738 . . . 4  |-  (/)  e.  om
20 peano2 6739 . . . . 5  |-  ( y  e.  om  ->  suc  y  e.  om )
2120rgen 2758 . . . 4  |-  A. y  e.  om  suc  y  e. 
om
22 omex 8173 . . . . . 6  |-  om  e.  _V
23 eleq2 2528 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  om  ->  ( (/) 
e.  x  <->  (/)  e.  om ) )
24 eleq2 2528 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  om  ->  ( suc  y  e.  x  <->  suc  y  e.  om )
)
2524raleqbi1dv 3006 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  om  ->  ( A. y  e.  x  suc  y  e.  x  <->  A. y  e.  om  suc  y  e.  om )
)
2623, 25anbi12d 722 . . . . . . 7  |-  ( x  =  om  ->  (
( (/)  e.  x  /\  A. y  e.  x  suc  y  e.  x )  <->  (
(/)  e.  om  /\  A. y  e.  om  suc  y  e.  om ) ) )
27 eleq2 2528 . . . . . . 7  |-  ( x  =  om  ->  (
z  e.  x  <->  z  e.  om ) )
2826, 27imbi12d 326 . . . . . 6  |-  ( x  =  om  ->  (
( ( (/)  e.  x  /\  A. y  e.  x  suc  y  e.  x
)  ->  z  e.  x )  <->  ( ( (/) 
e.  om  /\  A. y  e.  om  suc  y  e. 
om )  ->  z  e.  om ) ) )
2922, 28spcv 3151 . . . . 5  |-  ( A. x ( ( (/)  e.  x  /\  A. y  e.  x  suc  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  ->  (
( (/)  e.  om  /\  A. y  e.  om  suc  y  e.  om )  ->  z  e.  om )
)
3012, 29sylbi 200 . . . 4  |-  ( z  e.  |^| { x  |  ( (/)  e.  x  /\  A. y  e.  x  suc  y  e.  x
) }  ->  (
( (/)  e.  om  /\  A. y  e.  om  suc  y  e.  om )  ->  z  e.  om )
)
3119, 21, 30mp2ani 689 . . 3  |-  ( z  e.  |^| { x  |  ( (/)  e.  x  /\  A. y  e.  x  suc  y  e.  x
) }  ->  z  e.  om )
3231ssriv 3447 . 2  |-  |^| { x  |  ( (/)  e.  x  /\  A. y  e.  x  suc  y  e.  x
) }  C_  om
3318, 32eqssi 3459 1  |-  om  =  |^| { x  |  (
(/)  e.  x  /\  A. y  e.  x  suc  y  e.  x ) }
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 375   A.wal 1452    = wceq 1454    e. wcel 1897   {cab 2447   A.wral 2748    C_ wss 3415   (/)c0 3742   |^|cint 4247   suc csuc 5443   omcom 6718
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-inf2 8171
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-ral 2753  df-rex 2754  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-int 4248  df-br 4416  df-opab 4475  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-we 4813  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-om 6719
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