Theorem dfom3 8067

Description: The class of natural numbers omega can be defined as the smallest "inductive set," which is valid provided we assume the Axiom of Infinity. Definition 6.3 of [Eisenberg] p. 82. (Contributed by NM, 6-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
dfom3	|- om = |^| { x | ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) }

Distinct variable group:   x, y

Proof of Theorem dfom3

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4567	. . . . 5 |- (/) e. _V
2	1	elintab 4282	. . . 4 |- ( (/) e. |^| { x | ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) } <-> A. x ( ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) -> (/) e. x ) )
3		simpl 457	. . . 4 |- ( ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) -> (/) e. x )
4	2, 3	mpgbir 1609	. . 3 |- (/) e. |^| { x | ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) }
5		suceq 4933	. . . . . . . . . 10 |- ( y = z -> suc y = suc z )
6	5	eleq1d 2512	. . . . . . . . 9 |- ( y = z -> ( suc y e. x <-> suc z e. x ) )
7	6	rspccv 3193	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. x suc y e. x -> ( z e. x -> suc z e. x ) )
8	7	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) -> ( z e. x -> suc z e. x ) )
9	8	a2i 13	. . . . . 6 |- ( ( ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) -> z e. x ) -> ( ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) -> suc z e. x ) )
10	9	alimi 1620	. . . . 5 |- ( A. x ( ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) -> z e. x ) -> A. x ( ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) -> suc z e. x ) )
11		vex 3098	. . . . . 6 |- z e. _V
12	11	elintab 4282	. . . . 5 |- ( z e. |^| { x | ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) } <-> A. x ( ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) -> z e. x ) )
13	11	sucex 6631	. . . . . 6 |- suc z e. _V
14	13	elintab 4282	. . . . 5 |- ( suc z e. |^| { x | ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) } <-> A. x ( ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) -> suc z e. x ) )
15	10, 12, 14	3imtr4i 266	. . . 4 |- ( z e. |^| { x | ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) } -> suc z e. |^| { x | ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) } )
16	15	rgenw 2804	. . 3 |- A. z e. om ( z e. |^| { x | ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) } -> suc z e. |^| { x | ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) } )
17		peano5 6708	. . 3 |- ( ( (/) e. |^| { x | ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) } /\ A. z e. om ( z e. |^| { x | ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) } -> suc z e. |^| { x | ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) } ) ) -> om C_ |^| { x | ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) } )
18	4, 16, 17	mp2an 672	. 2 |- om C_ |^| { x | ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) }
19		peano1 6704	. . . 4 |- (/) e. om
20		peano2 6705	. . . . 5 |- ( y e. om -> suc y e. om )
21	20	rgen 2803	. . . 4 |- A. y e. om suc y e. om
22		omex 8063	. . . . . 6 |- om e. _V
23		eleq2 2516	. . . . . . . 8 |- ( x = om -> ( (/) e. x <-> (/) e. om ) )
24		eleq2 2516	. . . . . . . . 9 |- ( x = om -> ( suc y e. x <-> suc y e. om ) )
25	24	raleqbi1dv 3048	. . . . . . . 8 |- ( x = om -> ( A. y e. x suc y e. x <-> A. y e. om suc y e. om ) )
26	23, 25	anbi12d 710	. . . . . . 7 |- ( x = om -> ( ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) <-> ( (/) e. om /\ A. y e. om suc y e. om ) ) )
27		eleq2 2516	. . . . . . 7 |- ( x = om -> ( z e. x <-> z e. om ) )
28	26, 27	imbi12d 320	. . . . . 6 |- ( x = om -> ( ( ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) -> z e. x ) <-> ( ( (/) e. om /\ A. y e. om suc y e. om ) -> z e. om ) ) )
29	22, 28	spcv 3186	. . . . 5 |- ( A. x ( ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) -> z e. x ) -> ( ( (/) e. om /\ A. y e. om suc y e. om ) -> z e. om ) )
30	12, 29	sylbi 195	. . . 4 |- ( z e. |^| { x | ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) } -> ( ( (/) e. om /\ A. y e. om suc y e. om ) -> z e. om ) )
31	19, 21, 30	mp2ani 678	. . 3 |- ( z e. |^| { x | ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) } -> z e. om )
32	31	ssriv 3493	. 2 |- |^| { x | ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) } C_ om
33	18, 32	eqssi 3505	1 |- om = |^| { x | ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) }

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   A.wal 1381   = wceq 1383   e. wcel 1804   {cab 2428   A.wral 2793   C_ wss 3461   (/)c0 3770   |^|cint 4271   suc csuc 4870   omcom 6685

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-br 4438  df-opab 4496  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-om 6686

This theorem is referenced by: (None)