Theorem dfom3 7558

Description: The class of natural numbers omega can be defined as the smallest "inductive set," which is valid provided we assume the Axiom of Infinity. Definition 6.3 of [Eisenberg] p. 82. (Contributed by NM, 6-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
dfom3	|- om = |^| { x | ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) }

Distinct variable group:   x, y

Proof of Theorem dfom3

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4299	. . . . 5 |- (/) e. _V
2	1	elintab 4021	. . . 4 |- ( (/) e. |^| { x | ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) } <-> A. x ( ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) -> (/) e. x ) )
3		simpl 444	. . . 4 |- ( ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) -> (/) e. x )
4	2, 3	mpgbir 1556	. . 3 |- (/) e. |^| { x | ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) }
5		suceq 4606	. . . . . . . . . 10 |- ( y = z -> suc y = suc z )
6	5	eleq1d 2470	. . . . . . . . 9 |- ( y = z -> ( suc y e. x <-> suc z e. x ) )
7	6	rspccv 3009	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. x suc y e. x -> ( z e. x -> suc z e. x ) )
8	7	adantl 453	. . . . . . 7 |- ( ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) -> ( z e. x -> suc z e. x ) )
9	8	a2i 13	. . . . . 6 |- ( ( ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) -> z e. x ) -> ( ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) -> suc z e. x ) )
10	9	alimi 1565	. . . . 5 |- ( A. x ( ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) -> z e. x ) -> A. x ( ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) -> suc z e. x ) )
11		vex 2919	. . . . . 6 |- z e. _V
12	11	elintab 4021	. . . . 5 |- ( z e. |^| { x | ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) } <-> A. x ( ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) -> z e. x ) )
13	11	sucex 4750	. . . . . 6 |- suc z e. _V
14	13	elintab 4021	. . . . 5 |- ( suc z e. |^| { x | ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) } <-> A. x ( ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) -> suc z e. x ) )
15	10, 12, 14	3imtr4i 258	. . . 4 |- ( z e. |^| { x | ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) } -> suc z e. |^| { x | ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) } )
16	15	rgenw 2733	. . 3 |- A. z e. om ( z e. |^| { x | ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) } -> suc z e. |^| { x | ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) } )
17		peano5 4827	. . 3 |- ( ( (/) e. |^| { x | ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) } /\ A. z e. om ( z e. |^| { x | ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) } -> suc z e. |^| { x | ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) } ) ) -> om C_ |^| { x | ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) } )
18	4, 16, 17	mp2an 654	. 2 |- om C_ |^| { x | ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) }
19		peano1 4823	. . . 4 |- (/) e. om
20		peano2 4824	. . . . 5 |- ( y e. om -> suc y e. om )
21	20	rgen 2731	. . . 4 |- A. y e. om suc y e. om
22		omex 7554	. . . . . 6 |- om e. _V
23		eleq2 2465	. . . . . . . 8 |- ( x = om -> ( (/) e. x <-> (/) e. om ) )
24		eleq2 2465	. . . . . . . . 9 |- ( x = om -> ( suc y e. x <-> suc y e. om ) )
25	24	raleqbi1dv 2872	. . . . . . . 8 |- ( x = om -> ( A. y e. x suc y e. x <-> A. y e. om suc y e. om ) )
26	23, 25	anbi12d 692	. . . . . . 7 |- ( x = om -> ( ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) <-> ( (/) e. om /\ A. y e. om suc y e. om ) ) )
27		eleq2 2465	. . . . . . 7 |- ( x = om -> ( z e. x <-> z e. om ) )
28	26, 27	imbi12d 312	. . . . . 6 |- ( x = om -> ( ( ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) -> z e. x ) <-> ( ( (/) e. om /\ A. y e. om suc y e. om ) -> z e. om ) ) )
29	22, 28	spcv 3002	. . . . 5 |- ( A. x ( ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) -> z e. x ) -> ( ( (/) e. om /\ A. y e. om suc y e. om ) -> z e. om ) )
30	12, 29	sylbi 188	. . . 4 |- ( z e. |^| { x | ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) } -> ( ( (/) e. om /\ A. y e. om suc y e. om ) -> z e. om ) )
31	19, 21, 30	mp2ani 660	. . 3 |- ( z e. |^| { x | ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) } -> z e. om )
32	31	ssriv 3312	. 2 |- |^| { x | ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) } C_ om
33	18, 32	eqssi 3324	1 |- om = |^| { x | ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) }

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 359   A.wal 1546   = wceq 1649   e. wcel 1721   {cab 2390   A.wral 2666   C_ wss 3280   (/)c0 3588   |^|cint 4010   suc csuc 4543   omcom 4804

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-br 4173  df-opab 4227  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805