Theorem dfom3 8177

Description: The class of natural numbers omega can be defined as the smallest "inductive set," which is valid provided we assume the Axiom of Infinity. Definition 6.3 of [Eisenberg] p. 82. (Contributed by NM, 6-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
dfom3	|- om = |^| { x | ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) }

Distinct variable group:   x, y

Proof of Theorem dfom3

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4548	. . . . 5 |- (/) e. _V
2	1	elintab 4258	. . . 4 |- ( (/) e. |^| { x | ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) } <-> A. x ( ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) -> (/) e. x ) )
3		simpl 463	. . . 4 |- ( ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) -> (/) e. x )
4	2, 3	mpgbir 1683	. . 3 |- (/) e. |^| { x | ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) }
5		suceq 5506	. . . . . . . . . 10 |- ( y = z -> suc y = suc z )
6	5	eleq1d 2523	. . . . . . . . 9 |- ( y = z -> ( suc y e. x <-> suc z e. x ) )
7	6	rspccv 3158	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. x suc y e. x -> ( z e. x -> suc z e. x ) )
8	7	adantl 472	. . . . . . 7 |- ( ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) -> ( z e. x -> suc z e. x ) )
9	8	a2i 14	. . . . . 6 |- ( ( ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) -> z e. x ) -> ( ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) -> suc z e. x ) )
10	9	alimi 1694	. . . . 5 |- ( A. x ( ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) -> z e. x ) -> A. x ( ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) -> suc z e. x ) )
11		vex 3059	. . . . . 6 |- z e. _V
12	11	elintab 4258	. . . . 5 |- ( z e. |^| { x | ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) } <-> A. x ( ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) -> z e. x ) )
13	11	sucex 6664	. . . . . 6 |- suc z e. _V
14	13	elintab 4258	. . . . 5 |- ( suc z e. |^| { x | ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) } <-> A. x ( ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) -> suc z e. x ) )
15	10, 12, 14	3imtr4i 274	. . . 4 |- ( z e. |^| { x | ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) } -> suc z e. |^| { x | ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) } )
16	15	rgenw 2760	. . 3 |- A. z e. om ( z e. |^| { x | ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) } -> suc z e. |^| { x | ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) } )
17		peano5 6742	. . 3 |- ( ( (/) e. |^| { x | ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) } /\ A. z e. om ( z e. |^| { x | ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) } -> suc z e. |^| { x | ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) } ) ) -> om C_ |^| { x | ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) } )
18	4, 16, 17	mp2an 683	. 2 |- om C_ |^| { x | ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) }
19		peano1 6738	. . . 4 |- (/) e. om
20		peano2 6739	. . . . 5 |- ( y e. om -> suc y e. om )
21	20	rgen 2758	. . . 4 |- A. y e. om suc y e. om
22		omex 8173	. . . . . 6 |- om e. _V
23		eleq2 2528	. . . . . . . 8 |- ( x = om -> ( (/) e. x <-> (/) e. om ) )
24		eleq2 2528	. . . . . . . . 9 |- ( x = om -> ( suc y e. x <-> suc y e. om ) )
25	24	raleqbi1dv 3006	. . . . . . . 8 |- ( x = om -> ( A. y e. x suc y e. x <-> A. y e. om suc y e. om ) )
26	23, 25	anbi12d 722	. . . . . . 7 |- ( x = om -> ( ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) <-> ( (/) e. om /\ A. y e. om suc y e. om ) ) )
27		eleq2 2528	. . . . . . 7 |- ( x = om -> ( z e. x <-> z e. om ) )
28	26, 27	imbi12d 326	. . . . . 6 |- ( x = om -> ( ( ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) -> z e. x ) <-> ( ( (/) e. om /\ A. y e. om suc y e. om ) -> z e. om ) ) )
29	22, 28	spcv 3151	. . . . 5 |- ( A. x ( ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) -> z e. x ) -> ( ( (/) e. om /\ A. y e. om suc y e. om ) -> z e. om ) )
30	12, 29	sylbi 200	. . . 4 |- ( z e. |^| { x | ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) } -> ( ( (/) e. om /\ A. y e. om suc y e. om ) -> z e. om ) )
31	19, 21, 30	mp2ani 689	. . 3 |- ( z e. |^| { x | ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) } -> z e. om )
32	31	ssriv 3447	. 2 |- |^| { x | ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) } C_ om
33	18, 32	eqssi 3459	1 |- om = |^| { x | ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) }

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 375   A.wal 1452   = wceq 1454   e. wcel 1897   {cab 2447   A.wral 2748   C_ wss 3415   (/)c0 3742   |^|cint 4247   suc csuc 5443   omcom 6718

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-inf2 8171

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-ral 2753  df-rex 2754  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-int 4248  df-br 4416  df-opab 4475  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-we 4813  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-om 6719

This theorem is referenced by: (None)