Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dfodd5 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem dfodd5 38934
Description: Alternate definition for odd numbers. (Contributed by AV, 18-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
dfodd5  |- Odd  =  {
z  e.  ZZ  | 
( z  mod  2
)  =/=  0 }

Proof of Theorem dfodd5
StepHypRef Expression
1 dfodd4 38933 . 2  |- Odd  =  {
z  e.  ZZ  | 
( z  mod  2
)  =  1 }
2 elmod2 38869 . . . 4  |-  ( z  e.  ZZ  ->  (
z  mod  2 )  e.  { 0 ,  1 } )
3 prcom 4041 . . . . . . 7  |-  { 0 ,  1 }  =  { 1 ,  0 }
43eleq2i 2541 . . . . . 6  |-  ( ( z  mod  2 )  e.  { 0 ,  1 }  <->  ( z  mod  2 )  e.  {
1 ,  0 } )
54biimpi 199 . . . . 5  |-  ( ( z  mod  2 )  e.  { 0 ,  1 }  ->  (
z  mod  2 )  e.  { 1 ,  0 } )
6 ax-1ne0 9626 . . . . 5  |-  1  =/=  0
7 elprneb 38857 . . . . 5  |-  ( ( ( z  mod  2
)  e.  { 1 ,  0 }  /\  1  =/=  0 )  -> 
( ( z  mod  2 )  =  1  <-> 
( z  mod  2
)  =/=  0 ) )
85, 6, 7sylancl 675 . . . 4  |-  ( ( z  mod  2 )  e.  { 0 ,  1 }  ->  (
( z  mod  2
)  =  1  <->  (
z  mod  2 )  =/=  0 ) )
92, 8syl 17 . . 3  |-  ( z  e.  ZZ  ->  (
( z  mod  2
)  =  1  <->  (
z  mod  2 )  =/=  0 ) )
109rabbiia 3019 . 2  |-  { z  e.  ZZ  |  ( z  mod  2 )  =  1 }  =  { z  e.  ZZ  |  ( z  mod  2 )  =/=  0 }
111, 10eqtri 2493 1  |- Odd  =  {
z  e.  ZZ  | 
( z  mod  2
)  =/=  0 }
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 189    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   {crab 2760   {cpr 3961  (class class class)co 6308   0cc0 9557   1c1 9558   2c2 10681   ZZcz 10961    mod cmo 12129   Odd codd 38899
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-sup 7974  df-inf 7975  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-odd 38901
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator