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Theorem dfod2 15155
Description: An alternative definition of the order of a group element is as the cardinality of the cyclic subgroup generated by the element. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odf1.1  |-  X  =  ( Base `  G
)
odf1.2  |-  O  =  ( od `  G
)
odf1.3  |-  .x.  =  (.g
`  G )
odf1.4  |-  F  =  ( x  e.  ZZ  |->  ( x  .x.  A ) )
Assertion
Ref Expression
dfod2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( O `  A
)  =  if ( ran  F  e.  Fin ,  ( # `  ran  F ) ,  0 ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, G    x, O    x,  .x.    x, X
Allowed substitution hint:    F( x)

Proof of Theorem dfod2
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 11267 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  ->  ( 0 ... ( ( O `  A )  -  1 ) )  e.  Fin )
2 odf1.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  X  =  ( Base `  G
)
3 odf1.3 . . . . . . . . . . . . 13  |-  .x.  =  (.g
`  G )
42, 3mulgcl 14862 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  ZZ  /\  A  e.  X )  ->  (
x  .x.  A )  e.  X )
543expa 1153 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  ZZ )  /\  A  e.  X
)  ->  ( x  .x.  A )  e.  X
)
65an32s 780 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( x  .x.  A )  e.  X
)
76adantlr 696 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  x  e.  ZZ )  ->  (
x  .x.  A )  e.  X )
8 odf1.4 . . . . . . . . 9  |-  F  =  ( x  e.  ZZ  |->  ( x  .x.  A ) )
97, 8fmptd 5852 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  ->  F : ZZ --> X )
10 frn 5556 . . . . . . . 8  |-  ( F : ZZ --> X  ->  ran  F  C_  X )
11 fvex 5701 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  G )  e.  _V
122, 11eqeltri 2474 . . . . . . . . 9  |-  X  e. 
_V
1312ssex 4307 . . . . . . . 8  |-  ( ran 
F  C_  X  ->  ran 
F  e.  _V )
149, 10, 133syl 19 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  ->  ran  F  e.  _V )
15 elfzelz 11015 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( 0 ... ( ( O `  A )  -  1 ) )  ->  y  e.  ZZ )
1615adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  y  e.  ( 0 ... (
( O `  A
)  -  1 ) ) )  ->  y  e.  ZZ )
17 ovex 6065 . . . . . . . . . 10  |-  ( y 
.x.  A )  e. 
_V
18 oveq1 6047 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
x  .x.  A )  =  ( y  .x.  A ) )
198, 18elrnmpt1s 5077 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  ( y  .x.  A
)  e.  _V )  ->  ( y  .x.  A
)  e.  ran  F
)
2016, 17, 19sylancl 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  y  e.  ( 0 ... (
( O `  A
)  -  1 ) ) )  ->  (
y  .x.  A )  e.  ran  F )
2120ralrimiva 2749 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  ->  A. y  e.  ( 0 ... ( ( O `  A )  -  1 ) ) ( y  .x.  A
)  e.  ran  F
)
22 zmodfz 11223 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( x  mod  ( O `  A )
)  e.  ( 0 ... ( ( O `
 A )  - 
1 ) ) )
2322ancoms 440 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( O `  A
)  e.  NN  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( x  mod  ( O `  A )
)  e.  ( 0 ... ( ( O `
 A )  - 
1 ) ) )
2423adantll 695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  x  e.  ZZ )  ->  (
x  mod  ( O `  A ) )  e.  ( 0 ... (
( O `  A
)  -  1 ) ) )
25 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  x  e.  ZZ )  /\  y  e.  ( 0 ... (
( O `  A
)  -  1 ) ) )  ->  ( O `  A )  e.  NN )
26 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  x  e.  ZZ )  /\  y  e.  ( 0 ... (
( O `  A
)  -  1 ) ) )  ->  x  e.  ZZ )
2715adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  x  e.  ZZ )  /\  y  e.  ( 0 ... (
( O `  A
)  -  1 ) ) )  ->  y  e.  ZZ )
28 moddvds 12814 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( O `  A
)  e.  NN  /\  x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  (
( x  mod  ( O `  A )
)  =  ( y  mod  ( O `  A ) )  <->  ( O `  A )  ||  (
x  -  y ) ) )
2925, 26, 27, 28syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  x  e.  ZZ )  /\  y  e.  ( 0 ... (
( O `  A
)  -  1 ) ) )  ->  (
( x  mod  ( O `  A )
)  =  ( y  mod  ( O `  A ) )  <->  ( O `  A )  ||  (
x  -  y ) ) )
3027zred 10331 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  x  e.  ZZ )  /\  y  e.  ( 0 ... (
( O `  A
)  -  1 ) ) )  ->  y  e.  RR )
3125nnrpd 10603 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  x  e.  ZZ )  /\  y  e.  ( 0 ... (
( O `  A
)  -  1 ) ) )  ->  ( O `  A )  e.  RR+ )
32 0z 10249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  0  e.  ZZ
33 nnz 10259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( O `  A )  e.  NN  ->  ( O `  A )  e.  ZZ )
3433adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  ->  ( O `  A )  e.  ZZ )
3534adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( O `  A )  e.  ZZ )
36 elfzm11 11071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  ( O `  A )  e.  ZZ )  -> 
( y  e.  ( 0 ... ( ( O `  A )  -  1 ) )  <-> 
( y  e.  ZZ  /\  0  <_  y  /\  y  <  ( O `  A ) ) ) )
3732, 35, 36sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  x  e.  ZZ )  ->  (
y  e.  ( 0 ... ( ( O `
 A )  - 
1 ) )  <->  ( y  e.  ZZ  /\  0  <_ 
y  /\  y  <  ( O `  A ) ) ) )
3837biimpa 471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  x  e.  ZZ )  /\  y  e.  ( 0 ... (
( O `  A
)  -  1 ) ) )  ->  (
y  e.  ZZ  /\  0  <_  y  /\  y  <  ( O `  A
) ) )
3938simp2d 970 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  x  e.  ZZ )  /\  y  e.  ( 0 ... (
( O `  A
)  -  1 ) ) )  ->  0  <_  y )
4038simp3d 971 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  x  e.  ZZ )  /\  y  e.  ( 0 ... (
( O `  A
)  -  1 ) ) )  ->  y  <  ( O `  A
) )
41 modid 11225 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( y  e.  RR  /\  ( O `  A
)  e.  RR+ )  /\  ( 0  <_  y  /\  y  <  ( O `
 A ) ) )  ->  ( y  mod  ( O `  A
) )  =  y )
4230, 31, 39, 40, 41syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  x  e.  ZZ )  /\  y  e.  ( 0 ... (
( O `  A
)  -  1 ) ) )  ->  (
y  mod  ( O `  A ) )  =  y )
4342eqeq2d 2415 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  x  e.  ZZ )  /\  y  e.  ( 0 ... (
( O `  A
)  -  1 ) ) )  ->  (
( x  mod  ( O `  A )
)  =  ( y  mod  ( O `  A ) )  <->  ( x  mod  ( O `  A
) )  =  y ) )
44 eqcom 2406 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  mod  ( O `
 A ) )  =  y  <->  y  =  ( x  mod  ( O `
 A ) ) )
4543, 44syl6bb 253 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  x  e.  ZZ )  /\  y  e.  ( 0 ... (
( O `  A
)  -  1 ) ) )  ->  (
( x  mod  ( O `  A )
)  =  ( y  mod  ( O `  A ) )  <->  y  =  ( x  mod  ( O `
 A ) ) ) )
46 simp-4l 743 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  x  e.  ZZ )  /\  y  e.  ( 0 ... (
( O `  A
)  -  1 ) ) )  ->  G  e.  Grp )
47 simp-4r 744 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  x  e.  ZZ )  /\  y  e.  ( 0 ... (
( O `  A
)  -  1 ) ) )  ->  A  e.  X )
48 odf1.2 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  O  =  ( od `  G
)
49 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
502, 48, 3, 49odcong 15142 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( ( O `  A )  ||  ( x  -  y
)  <->  ( x  .x.  A )  =  ( y  .x.  A ) ) )
5146, 47, 26, 27, 50syl112anc 1188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  x  e.  ZZ )  /\  y  e.  ( 0 ... (
( O `  A
)  -  1 ) ) )  ->  (
( O `  A
)  ||  ( x  -  y )  <->  ( x  .x.  A )  =  ( y  .x.  A ) ) )
5229, 45, 513bitr3rd 276 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  x  e.  ZZ )  /\  y  e.  ( 0 ... (
( O `  A
)  -  1 ) ) )  ->  (
( x  .x.  A
)  =  ( y 
.x.  A )  <->  y  =  ( x  mod  ( O `
 A ) ) ) )
5352ralrimiva 2749 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  x  e.  ZZ )  ->  A. y  e.  ( 0 ... (
( O `  A
)  -  1 ) ) ( ( x 
.x.  A )  =  ( y  .x.  A
)  <->  y  =  ( x  mod  ( O `
 A ) ) ) )
54 reu6i 3085 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  mod  ( O `  A )
)  e.  ( 0 ... ( ( O `
 A )  - 
1 ) )  /\  A. y  e.  ( 0 ... ( ( O `
 A )  - 
1 ) ) ( ( x  .x.  A
)  =  ( y 
.x.  A )  <->  y  =  ( x  mod  ( O `
 A ) ) ) )  ->  E! y  e.  ( 0 ... ( ( O `
 A )  - 
1 ) ) ( x  .x.  A )  =  ( y  .x.  A ) )
5524, 53, 54syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  x  e.  ZZ )  ->  E! y  e.  ( 0 ... ( ( O `
 A )  - 
1 ) ) ( x  .x.  A )  =  ( y  .x.  A ) )
5655ralrimiva 2749 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  ->  A. x  e.  ZZ  E! y  e.  (
0 ... ( ( O `
 A )  - 
1 ) ) ( x  .x.  A )  =  ( y  .x.  A ) )
57 ovex 6065 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x 
.x.  A )  e. 
_V
5857rgenw 2733 . . . . . . . . . 10  |-  A. x  e.  ZZ  ( x  .x.  A )  e.  _V
59 eqeq1 2410 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( x  .x.  A )  ->  (
z  =  ( y 
.x.  A )  <->  ( x  .x.  A )  =  ( y  .x.  A ) ) )
6059reubidv 2852 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( x  .x.  A )  ->  ( E! y  e.  (
0 ... ( ( O `
 A )  - 
1 ) ) z  =  ( y  .x.  A )  <->  E! y  e.  ( 0 ... (
( O `  A
)  -  1 ) ) ( x  .x.  A )  =  ( y  .x.  A ) ) )
618, 60ralrnmpt 5837 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  ZZ  (
x  .x.  A )  e.  _V  ->  ( A. z  e.  ran  F E! y  e.  ( 0 ... ( ( O `
 A )  - 
1 ) ) z  =  ( y  .x.  A )  <->  A. x  e.  ZZ  E! y  e.  ( 0 ... (
( O `  A
)  -  1 ) ) ( x  .x.  A )  =  ( y  .x.  A ) ) )
6258, 61ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  ran  F E! y  e.  ( 0 ... ( ( O `
 A )  - 
1 ) ) z  =  ( y  .x.  A )  <->  A. x  e.  ZZ  E! y  e.  ( 0 ... (
( O `  A
)  -  1 ) ) ( x  .x.  A )  =  ( y  .x.  A ) )
6356, 62sylibr 204 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  ->  A. z  e.  ran  F E! y  e.  ( 0 ... ( ( O `  A )  -  1 ) ) z  =  ( y 
.x.  A ) )
64 eqid 2404 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( 0 ... ( ( O `  A )  -  1 ) )  |->  ( y 
.x.  A ) )  =  ( y  e.  ( 0 ... (
( O `  A
)  -  1 ) )  |->  ( y  .x.  A ) )
6564f1ompt 5850 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ( 0 ... ( ( O `
 A )  - 
1 ) )  |->  ( y  .x.  A ) ) : ( 0 ... ( ( O `
 A )  - 
1 ) ) -1-1-onto-> ran  F  <->  ( A. y  e.  ( 0 ... ( ( O `  A )  -  1 ) ) ( y  .x.  A
)  e.  ran  F  /\  A. z  e.  ran  F E! y  e.  ( 0 ... ( ( O `  A )  -  1 ) ) z  =  ( y 
.x.  A ) ) )
6621, 63, 65sylanbrc 646 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  ->  ( y  e.  ( 0 ... (
( O `  A
)  -  1 ) )  |->  ( y  .x.  A ) ) : ( 0 ... (
( O `  A
)  -  1 ) ) -1-1-onto-> ran  F )
67 f1oen2g 7083 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 0 ... (
( O `  A
)  -  1 ) )  e.  Fin  /\  ran  F  e.  _V  /\  ( y  e.  ( 0 ... ( ( O `  A )  -  1 ) ) 
|->  ( y  .x.  A
) ) : ( 0 ... ( ( O `  A )  -  1 ) ) -1-1-onto-> ran 
F )  ->  (
0 ... ( ( O `
 A )  - 
1 ) )  ~~  ran  F )
681, 14, 66, 67syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  ->  ( 0 ... ( ( O `  A )  -  1 ) )  ~~  ran  F )
69 enfi 7284 . . . . . 6  |-  ( ( 0 ... ( ( O `  A )  -  1 ) ) 
~~  ran  F  ->  ( ( 0 ... (
( O `  A
)  -  1 ) )  e.  Fin  <->  ran  F  e. 
Fin ) )
7068, 69syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  ->  ( ( 0 ... ( ( O `
 A )  - 
1 ) )  e. 
Fin 
<->  ran  F  e.  Fin ) )
711, 70mpbid 202 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  ->  ran  F  e.  Fin )
72 iftrue 3705 . . . 4  |-  ( ran 
F  e.  Fin  ->  if ( ran  F  e. 
Fin ,  ( # `  ran  F ) ,  0 )  =  ( # `  ran  F ) )
7371, 72syl 16 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  ->  if ( ran 
F  e.  Fin , 
( # `  ran  F
) ,  0 )  =  ( # `  ran  F ) )
74 fz01en 11035 . . . . . 6  |-  ( ( O `  A )  e.  ZZ  ->  (
0 ... ( ( O `
 A )  - 
1 ) )  ~~  ( 1 ... ( O `  A )
) )
75 ensym 7115 . . . . . 6  |-  ( ( 0 ... ( ( O `  A )  -  1 ) ) 
~~  ( 1 ... ( O `  A
) )  ->  (
1 ... ( O `  A ) )  ~~  ( 0 ... (
( O `  A
)  -  1 ) ) )
7634, 74, 753syl 19 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  ->  ( 1 ... ( O `  A
) )  ~~  (
0 ... ( ( O `
 A )  - 
1 ) ) )
77 entr 7118 . . . . 5  |-  ( ( ( 1 ... ( O `  A )
)  ~~  ( 0 ... ( ( O `
 A )  - 
1 ) )  /\  ( 0 ... (
( O `  A
)  -  1 ) )  ~~  ran  F
)  ->  ( 1 ... ( O `  A ) )  ~~  ran  F )
7876, 68, 77syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  ->  ( 1 ... ( O `  A
) )  ~~  ran  F )
79 fzfid 11267 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  ->  ( 1 ... ( O `  A
) )  e.  Fin )
80 hashen 11586 . . . . 5  |-  ( ( ( 1 ... ( O `  A )
)  e.  Fin  /\  ran  F  e.  Fin )  ->  ( ( # `  (
1 ... ( O `  A ) ) )  =  ( # `  ran  F )  <->  ( 1 ... ( O `  A
) )  ~~  ran  F ) )
8179, 71, 80syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  ->  ( ( # `  ( 1 ... ( O `  A )
) )  =  (
# `  ran  F )  <-> 
( 1 ... ( O `  A )
)  ~~  ran  F ) )
8278, 81mpbird 224 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  ->  ( # `  (
1 ... ( O `  A ) ) )  =  ( # `  ran  F ) )
83 nnnn0 10184 . . . . 5  |-  ( ( O `  A )  e.  NN  ->  ( O `  A )  e.  NN0 )
8483adantl 453 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  ->  ( O `  A )  e.  NN0 )
85 hashfz1 11585 . . . 4  |-  ( ( O `  A )  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... ( O `  A )
) )  =  ( O `  A ) )
8684, 85syl 16 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  ->  ( # `  (
1 ... ( O `  A ) ) )  =  ( O `  A ) )
8773, 82, 863eqtr2rd 2443 . 2  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  ->  ( O `  A )  =  if ( ran  F  e. 
Fin ,  ( # `  ran  F ) ,  0 ) )
88 simp3 959 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  =  0 )  -> 
( O `  A
)  =  0 )
892, 48, 3, 8odinf 15154 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  =  0 )  ->  -.  ran  F  e.  Fin )
90 iffalse 3706 . . . . 5  |-  ( -. 
ran  F  e.  Fin  ->  if ( ran  F  e.  Fin ,  ( # `  ran  F ) ,  0 )  =  0 )
9189, 90syl 16 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  =  0 )  ->  if ( ran  F  e. 
Fin ,  ( # `  ran  F ) ,  0 )  =  0 )
9288, 91eqtr4d 2439 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  =  0 )  -> 
( O `  A
)  =  if ( ran  F  e.  Fin ,  ( # `  ran  F ) ,  0 ) )
93923expa 1153 . 2  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  =  0 )  ->  ( O `  A )  =  if ( ran  F  e. 
Fin ,  ( # `  ran  F ) ,  0 ) )
942, 48odcl 15129 . . . 4  |-  ( A  e.  X  ->  ( O `  A )  e.  NN0 )
9594adantl 453 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( O `  A
)  e.  NN0 )
96 elnn0 10179 . . 3  |-  ( ( O `  A )  e.  NN0  <->  ( ( O `
 A )  e.  NN  \/  ( O `
 A )  =  0 ) )
9795, 96sylib 189 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( ( O `  A )  e.  NN  \/  ( O `  A
)  =  0 ) )
9887, 93, 97mpjaodan 762 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( O `  A
)  =  if ( ran  F  e.  Fin ,  ( # `  ran  F ) ,  0 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   E!wreu 2668   _Vcvv 2916    C_ wss 3280   ifcif 3699   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   ran crn 4838   -->wf 5409   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    ~~ cen 7065   Fincfn 7068   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247   NNcn 9956   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   RR+crp 10568   ...cfz 10999    mod cmo 11205   #chash 11573    || cdivides 12807   Basecbs 13424   0gc0g 13678   Grpcgrp 14640  .gcmg 14644   odcod 15118
This theorem is referenced by:  oddvds2  15157  cyggenod  15449  cyggenod2  15450
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-omul 6688  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-acn 7785  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-fz 11000  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-dvds 12808  df-0g 13682  df-mnd 14645  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-sbg 14769  df-mulg 14770  df-od 15122
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