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Theorem dfod2 17293
Description: An alternative definition of the order of a group element is as the cardinality of the cyclic subgroup generated by the element. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odf1.1  |-  X  =  ( Base `  G
)
odf1.2  |-  O  =  ( od `  G
)
odf1.3  |-  .x.  =  (.g
`  G )
odf1.4  |-  F  =  ( x  e.  ZZ  |->  ( x  .x.  A ) )
Assertion
Ref Expression
dfod2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( O `  A
)  =  if ( ran  F  e.  Fin ,  ( # `  ran  F ) ,  0 ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, G    x, O    x,  .x.    x, X
Allowed substitution hint:    F( x)

Proof of Theorem dfod2
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 12224 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  ->  ( 0 ... ( ( O `  A )  -  1 ) )  e.  Fin )
2 odf1.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  X  =  ( Base `  G
)
3 odf1.3 . . . . . . . . . . . . 13  |-  .x.  =  (.g
`  G )
42, 3mulgcl 16853 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  ZZ  /\  A  e.  X )  ->  (
x  .x.  A )  e.  X )
543expa 1231 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  ZZ )  /\  A  e.  X
)  ->  ( x  .x.  A )  e.  X
)
65an32s 821 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( x  .x.  A )  e.  X
)
76adantlr 729 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  x  e.  ZZ )  ->  (
x  .x.  A )  e.  X )
8 odf1.4 . . . . . . . . 9  |-  F  =  ( x  e.  ZZ  |->  ( x  .x.  A ) )
97, 8fmptd 6061 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  ->  F : ZZ --> X )
10 frn 5747 . . . . . . . 8  |-  ( F : ZZ --> X  ->  ran  F  C_  X )
11 fvex 5889 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  G )  e.  _V
122, 11eqeltri 2545 . . . . . . . . 9  |-  X  e. 
_V
1312ssex 4540 . . . . . . . 8  |-  ( ran 
F  C_  X  ->  ran 
F  e.  _V )
149, 10, 133syl 18 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  ->  ran  F  e.  _V )
15 elfzelz 11826 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( 0 ... ( ( O `  A )  -  1 ) )  ->  y  e.  ZZ )
1615adantl 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  y  e.  ( 0 ... (
( O `  A
)  -  1 ) ) )  ->  y  e.  ZZ )
17 ovex 6336 . . . . . . . . . 10  |-  ( y 
.x.  A )  e. 
_V
18 oveq1 6315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
x  .x.  A )  =  ( y  .x.  A ) )
198, 18elrnmpt1s 5088 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  ( y  .x.  A
)  e.  _V )  ->  ( y  .x.  A
)  e.  ran  F
)
2016, 17, 19sylancl 675 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  y  e.  ( 0 ... (
( O `  A
)  -  1 ) ) )  ->  (
y  .x.  A )  e.  ran  F )
2120ralrimiva 2809 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  ->  A. y  e.  ( 0 ... ( ( O `  A )  -  1 ) ) ( y  .x.  A
)  e.  ran  F
)
22 zmodfz 12151 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( x  mod  ( O `  A )
)  e.  ( 0 ... ( ( O `
 A )  - 
1 ) ) )
2322ancoms 460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( O `  A
)  e.  NN  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( x  mod  ( O `  A )
)  e.  ( 0 ... ( ( O `
 A )  - 
1 ) ) )
2423adantll 728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  x  e.  ZZ )  ->  (
x  mod  ( O `  A ) )  e.  ( 0 ... (
( O `  A
)  -  1 ) ) )
25 simpllr 777 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  x  e.  ZZ )  /\  y  e.  ( 0 ... (
( O `  A
)  -  1 ) ) )  ->  ( O `  A )  e.  NN )
26 simplr 770 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  x  e.  ZZ )  /\  y  e.  ( 0 ... (
( O `  A
)  -  1 ) ) )  ->  x  e.  ZZ )
2715adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  x  e.  ZZ )  /\  y  e.  ( 0 ... (
( O `  A
)  -  1 ) ) )  ->  y  e.  ZZ )
28 moddvds 14389 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( O `  A
)  e.  NN  /\  x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  (
( x  mod  ( O `  A )
)  =  ( y  mod  ( O `  A ) )  <->  ( O `  A )  ||  (
x  -  y ) ) )
2925, 26, 27, 28syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  x  e.  ZZ )  /\  y  e.  ( 0 ... (
( O `  A
)  -  1 ) ) )  ->  (
( x  mod  ( O `  A )
)  =  ( y  mod  ( O `  A ) )  <->  ( O `  A )  ||  (
x  -  y ) ) )
3027zred 11063 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  x  e.  ZZ )  /\  y  e.  ( 0 ... (
( O `  A
)  -  1 ) ) )  ->  y  e.  RR )
3125nnrpd 11362 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  x  e.  ZZ )  /\  y  e.  ( 0 ... (
( O `  A
)  -  1 ) ) )  ->  ( O `  A )  e.  RR+ )
32 0z 10972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  0  e.  ZZ
33 nnz 10983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( O `  A )  e.  NN  ->  ( O `  A )  e.  ZZ )
3433adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  ->  ( O `  A )  e.  ZZ )
3534adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( O `  A )  e.  ZZ )
36 elfzm11 11891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  ( O `  A )  e.  ZZ )  -> 
( y  e.  ( 0 ... ( ( O `  A )  -  1 ) )  <-> 
( y  e.  ZZ  /\  0  <_  y  /\  y  <  ( O `  A ) ) ) )
3732, 35, 36sylancr 676 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  x  e.  ZZ )  ->  (
y  e.  ( 0 ... ( ( O `
 A )  - 
1 ) )  <->  ( y  e.  ZZ  /\  0  <_ 
y  /\  y  <  ( O `  A ) ) ) )
3837biimpa 492 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  x  e.  ZZ )  /\  y  e.  ( 0 ... (
( O `  A
)  -  1 ) ) )  ->  (
y  e.  ZZ  /\  0  <_  y  /\  y  <  ( O `  A
) ) )
3938simp2d 1043 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  x  e.  ZZ )  /\  y  e.  ( 0 ... (
( O `  A
)  -  1 ) ) )  ->  0  <_  y )
4038simp3d 1044 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  x  e.  ZZ )  /\  y  e.  ( 0 ... (
( O `  A
)  -  1 ) ) )  ->  y  <  ( O `  A
) )
41 modid 12154 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( y  e.  RR  /\  ( O `  A
)  e.  RR+ )  /\  ( 0  <_  y  /\  y  <  ( O `
 A ) ) )  ->  ( y  mod  ( O `  A
) )  =  y )
4230, 31, 39, 40, 41syl22anc 1293 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  x  e.  ZZ )  /\  y  e.  ( 0 ... (
( O `  A
)  -  1 ) ) )  ->  (
y  mod  ( O `  A ) )  =  y )
4342eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  x  e.  ZZ )  /\  y  e.  ( 0 ... (
( O `  A
)  -  1 ) ) )  ->  (
( x  mod  ( O `  A )
)  =  ( y  mod  ( O `  A ) )  <->  ( x  mod  ( O `  A
) )  =  y ) )
44 eqcom 2478 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  mod  ( O `
 A ) )  =  y  <->  y  =  ( x  mod  ( O `
 A ) ) )
4543, 44syl6bb 269 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  x  e.  ZZ )  /\  y  e.  ( 0 ... (
( O `  A
)  -  1 ) ) )  ->  (
( x  mod  ( O `  A )
)  =  ( y  mod  ( O `  A ) )  <->  y  =  ( x  mod  ( O `
 A ) ) ) )
46 simp-4l 784 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  x  e.  ZZ )  /\  y  e.  ( 0 ... (
( O `  A
)  -  1 ) ) )  ->  G  e.  Grp )
47 simp-4r 785 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  x  e.  ZZ )  /\  y  e.  ( 0 ... (
( O `  A
)  -  1 ) ) )  ->  A  e.  X )
48 odf1.2 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  O  =  ( od `  G
)
49 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
502, 48, 3, 49odcong 17276 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( ( O `  A )  ||  ( x  -  y
)  <->  ( x  .x.  A )  =  ( y  .x.  A ) ) )
5146, 47, 26, 27, 50syl112anc 1296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  x  e.  ZZ )  /\  y  e.  ( 0 ... (
( O `  A
)  -  1 ) ) )  ->  (
( O `  A
)  ||  ( x  -  y )  <->  ( x  .x.  A )  =  ( y  .x.  A ) ) )
5229, 45, 513bitr3rd 292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  x  e.  ZZ )  /\  y  e.  ( 0 ... (
( O `  A
)  -  1 ) ) )  ->  (
( x  .x.  A
)  =  ( y 
.x.  A )  <->  y  =  ( x  mod  ( O `
 A ) ) ) )
5352ralrimiva 2809 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  x  e.  ZZ )  ->  A. y  e.  ( 0 ... (
( O `  A
)  -  1 ) ) ( ( x 
.x.  A )  =  ( y  .x.  A
)  <->  y  =  ( x  mod  ( O `
 A ) ) ) )
54 reu6i 3217 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  mod  ( O `  A )
)  e.  ( 0 ... ( ( O `
 A )  - 
1 ) )  /\  A. y  e.  ( 0 ... ( ( O `
 A )  - 
1 ) ) ( ( x  .x.  A
)  =  ( y 
.x.  A )  <->  y  =  ( x  mod  ( O `
 A ) ) ) )  ->  E! y  e.  ( 0 ... ( ( O `
 A )  - 
1 ) ) ( x  .x.  A )  =  ( y  .x.  A ) )
5524, 53, 54syl2anc 673 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  x  e.  ZZ )  ->  E! y  e.  ( 0 ... ( ( O `
 A )  - 
1 ) ) ( x  .x.  A )  =  ( y  .x.  A ) )
5655ralrimiva 2809 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  ->  A. x  e.  ZZ  E! y  e.  (
0 ... ( ( O `
 A )  - 
1 ) ) ( x  .x.  A )  =  ( y  .x.  A ) )
57 ovex 6336 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x 
.x.  A )  e. 
_V
5857rgenw 2768 . . . . . . . . . 10  |-  A. x  e.  ZZ  ( x  .x.  A )  e.  _V
59 eqeq1 2475 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( x  .x.  A )  ->  (
z  =  ( y 
.x.  A )  <->  ( x  .x.  A )  =  ( y  .x.  A ) ) )
6059reubidv 2961 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( x  .x.  A )  ->  ( E! y  e.  (
0 ... ( ( O `
 A )  - 
1 ) ) z  =  ( y  .x.  A )  <->  E! y  e.  ( 0 ... (
( O `  A
)  -  1 ) ) ( x  .x.  A )  =  ( y  .x.  A ) ) )
618, 60ralrnmpt 6046 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  ZZ  (
x  .x.  A )  e.  _V  ->  ( A. z  e.  ran  F E! y  e.  ( 0 ... ( ( O `
 A )  - 
1 ) ) z  =  ( y  .x.  A )  <->  A. x  e.  ZZ  E! y  e.  ( 0 ... (
( O `  A
)  -  1 ) ) ( x  .x.  A )  =  ( y  .x.  A ) ) )
6258, 61ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  ran  F E! y  e.  ( 0 ... ( ( O `
 A )  - 
1 ) ) z  =  ( y  .x.  A )  <->  A. x  e.  ZZ  E! y  e.  ( 0 ... (
( O `  A
)  -  1 ) ) ( x  .x.  A )  =  ( y  .x.  A ) )
6356, 62sylibr 217 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  ->  A. z  e.  ran  F E! y  e.  ( 0 ... ( ( O `  A )  -  1 ) ) z  =  ( y 
.x.  A ) )
64 eqid 2471 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( 0 ... ( ( O `  A )  -  1 ) )  |->  ( y 
.x.  A ) )  =  ( y  e.  ( 0 ... (
( O `  A
)  -  1 ) )  |->  ( y  .x.  A ) )
6564f1ompt 6059 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ( 0 ... ( ( O `
 A )  - 
1 ) )  |->  ( y  .x.  A ) ) : ( 0 ... ( ( O `
 A )  - 
1 ) ) -1-1-onto-> ran  F  <->  ( A. y  e.  ( 0 ... ( ( O `  A )  -  1 ) ) ( y  .x.  A
)  e.  ran  F  /\  A. z  e.  ran  F E! y  e.  ( 0 ... ( ( O `  A )  -  1 ) ) z  =  ( y 
.x.  A ) ) )
6621, 63, 65sylanbrc 677 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  ->  ( y  e.  ( 0 ... (
( O `  A
)  -  1 ) )  |->  ( y  .x.  A ) ) : ( 0 ... (
( O `  A
)  -  1 ) ) -1-1-onto-> ran  F )
67 f1oen2g 7604 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 0 ... (
( O `  A
)  -  1 ) )  e.  Fin  /\  ran  F  e.  _V  /\  ( y  e.  ( 0 ... ( ( O `  A )  -  1 ) ) 
|->  ( y  .x.  A
) ) : ( 0 ... ( ( O `  A )  -  1 ) ) -1-1-onto-> ran 
F )  ->  (
0 ... ( ( O `
 A )  - 
1 ) )  ~~  ran  F )
681, 14, 66, 67syl3anc 1292 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  ->  ( 0 ... ( ( O `  A )  -  1 ) )  ~~  ran  F )
69 enfi 7806 . . . . . 6  |-  ( ( 0 ... ( ( O `  A )  -  1 ) ) 
~~  ran  F  ->  ( ( 0 ... (
( O `  A
)  -  1 ) )  e.  Fin  <->  ran  F  e. 
Fin ) )
7068, 69syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  ->  ( ( 0 ... ( ( O `
 A )  - 
1 ) )  e. 
Fin 
<->  ran  F  e.  Fin ) )
711, 70mpbid 215 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  ->  ran  F  e.  Fin )
7271iftrued 3880 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  ->  if ( ran 
F  e.  Fin , 
( # `  ran  F
) ,  0 )  =  ( # `  ran  F ) )
73 fz01en 11853 . . . . . 6  |-  ( ( O `  A )  e.  ZZ  ->  (
0 ... ( ( O `
 A )  - 
1 ) )  ~~  ( 1 ... ( O `  A )
) )
74 ensym 7636 . . . . . 6  |-  ( ( 0 ... ( ( O `  A )  -  1 ) ) 
~~  ( 1 ... ( O `  A
) )  ->  (
1 ... ( O `  A ) )  ~~  ( 0 ... (
( O `  A
)  -  1 ) ) )
7534, 73, 743syl 18 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  ->  ( 1 ... ( O `  A
) )  ~~  (
0 ... ( ( O `
 A )  - 
1 ) ) )
76 entr 7639 . . . . 5  |-  ( ( ( 1 ... ( O `  A )
)  ~~  ( 0 ... ( ( O `
 A )  - 
1 ) )  /\  ( 0 ... (
( O `  A
)  -  1 ) )  ~~  ran  F
)  ->  ( 1 ... ( O `  A ) )  ~~  ran  F )
7775, 68, 76syl2anc 673 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  ->  ( 1 ... ( O `  A
) )  ~~  ran  F )
78 fzfid 12224 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  ->  ( 1 ... ( O `  A
) )  e.  Fin )
79 hashen 12568 . . . . 5  |-  ( ( ( 1 ... ( O `  A )
)  e.  Fin  /\  ran  F  e.  Fin )  ->  ( ( # `  (
1 ... ( O `  A ) ) )  =  ( # `  ran  F )  <->  ( 1 ... ( O `  A
) )  ~~  ran  F ) )
8078, 71, 79syl2anc 673 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  ->  ( ( # `  ( 1 ... ( O `  A )
) )  =  (
# `  ran  F )  <-> 
( 1 ... ( O `  A )
)  ~~  ran  F ) )
8177, 80mpbird 240 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  ->  ( # `  (
1 ... ( O `  A ) ) )  =  ( # `  ran  F ) )
82 nnnn0 10900 . . . . 5  |-  ( ( O `  A )  e.  NN  ->  ( O `  A )  e.  NN0 )
8382adantl 473 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  ->  ( O `  A )  e.  NN0 )
84 hashfz1 12567 . . . 4  |-  ( ( O `  A )  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... ( O `  A )
) )  =  ( O `  A ) )
8583, 84syl 17 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  ->  ( # `  (
1 ... ( O `  A ) ) )  =  ( O `  A ) )
8672, 81, 853eqtr2rd 2512 . 2  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  ->  ( O `  A )  =  if ( ran  F  e. 
Fin ,  ( # `  ran  F ) ,  0 ) )
87 simp3 1032 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  =  0 )  -> 
( O `  A
)  =  0 )
882, 48, 3, 8odinf 17292 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  =  0 )  ->  -.  ran  F  e.  Fin )
8988iffalsed 3883 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  =  0 )  ->  if ( ran  F  e. 
Fin ,  ( # `  ran  F ) ,  0 )  =  0 )
9087, 89eqtr4d 2508 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  =  0 )  -> 
( O `  A
)  =  if ( ran  F  e.  Fin ,  ( # `  ran  F ) ,  0 ) )
91903expa 1231 . 2  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  =  0 )  ->  ( O `  A )  =  if ( ran  F  e. 
Fin ,  ( # `  ran  F ) ,  0 ) )
922, 48odcl 17263 . . . 4  |-  ( A  e.  X  ->  ( O `  A )  e.  NN0 )
9392adantl 473 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( O `  A
)  e.  NN0 )
94 elnn0 10895 . . 3  |-  ( ( O `  A )  e.  NN0  <->  ( ( O `
 A )  e.  NN  \/  ( O `
 A )  =  0 ) )
9593, 94sylib 201 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( ( O `  A )  e.  NN  \/  ( O `  A
)  =  0 ) )
9686, 91, 95mpjaodan 803 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( O `  A
)  =  if ( ran  F  e.  Fin ,  ( # `  ran  F ) ,  0 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    \/ wo 375    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756   E!wreu 2758   _Vcvv 3031    C_ wss 3390   ifcif 3872   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   ran crn 4840   -->wf 5585   -1-1-onto->wf1o 5588   ` cfv 5589  (class class class)co 6308    ~~ cen 7584   Fincfn 7587   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558    < clt 9693    <_ cle 9694    - cmin 9880   NNcn 10631   NN0cn0 10893   ZZcz 10961   RR+crp 11325   ...cfz 11810    mod cmo 12129   #chash 12553    || cdvds 14382   Basecbs 15199   0gc0g 15416   Grpcgrp 16747  .gcmg 16750   odcod 17243
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-omul 7205  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-acn 8394  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-fz 11811  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-dvds 14383  df-0g 15418  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-sbg 16753  df-mulg 16754  df-od 17250
This theorem is referenced by:  oddvds2  17295  cyggenod  17597  cyggenod2  17598
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