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Theorem dfnn2 10629
Description: Alternate definition of the set of positive integers. This was our original definition, before the current df-nn 10617 replaced it. This definition requires the axiom of infinity to ensure it has the properties we expect. (Contributed by Jeff Hankins, 12-Sep-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 3-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
dfnn2  |-  NN  =  |^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }
Distinct variable group:    x, y

Proof of Theorem dfnn2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1ex 9645 . . . . 5  |-  1  e.  _V
21elintab 4266 . . . 4  |-  ( 1  e.  |^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }  <->  A. x ( ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x )  -> 
1  e.  x ) )
3 simpl 458 . . . 4  |-  ( ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x )  -> 
1  e.  x )
42, 3mpgbir 1667 . . 3  |-  1  e.  |^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }
5 oveq1 6312 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  z  ->  (
y  +  1 )  =  ( z  +  1 ) )
65eleq1d 2491 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  z  ->  (
( y  +  1 )  e.  x  <->  ( z  +  1 )  e.  x ) )
76rspccv 3179 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  x  (
y  +  1 )  e.  x  ->  (
z  e.  x  -> 
( z  +  1 )  e.  x ) )
87adantl 467 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x )  -> 
( z  e.  x  ->  ( z  +  1 )  e.  x ) )
98a2i 14 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x )  ->  z  e.  x
)  ->  ( (
1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x )  -> 
( z  +  1 )  e.  x ) )
109alimi 1678 . . . . 5  |-  ( A. x ( ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  (
y  +  1 )  e.  x )  -> 
z  e.  x )  ->  A. x ( ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x )  -> 
( z  +  1 )  e.  x ) )
11 vex 3083 . . . . . 6  |-  z  e. 
_V
1211elintab 4266 . . . . 5  |-  ( z  e.  |^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }  <->  A. x ( ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x )  -> 
z  e.  x ) )
13 ovex 6333 . . . . . 6  |-  ( z  +  1 )  e. 
_V
1413elintab 4266 . . . . 5  |-  ( ( z  +  1 )  e.  |^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }  <->  A. x ( ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x )  -> 
( z  +  1 )  e.  x ) )
1510, 12, 143imtr4i 269 . . . 4  |-  ( z  e.  |^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }  ->  ( z  +  1 )  e. 
|^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) } )
1615rgen 2781 . . 3  |-  A. z  e.  |^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }  ( z  +  1 )  e.  |^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  (
y  +  1 )  e.  x ) }
17 peano5nni 10619 . . 3  |-  ( ( 1  e.  |^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }  /\  A. z  e.  |^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }  (
z  +  1 )  e.  |^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) } )  ->  NN  C_ 
|^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) } )
184, 16, 17mp2an 676 . 2  |-  NN  C_  |^|
{ x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }
19 1nn 10627 . . . 4  |-  1  e.  NN
20 peano2nn 10628 . . . . 5  |-  ( y  e.  NN  ->  (
y  +  1 )  e.  NN )
2120rgen 2781 . . . 4  |-  A. y  e.  NN  ( y  +  1 )  e.  NN
22 nnex 10622 . . . . 5  |-  NN  e.  _V
23 eleq2 2496 . . . . . 6  |-  ( x  =  NN  ->  (
1  e.  x  <->  1  e.  NN ) )
24 eleq2 2496 . . . . . . 7  |-  ( x  =  NN  ->  (
( y  +  1 )  e.  x  <->  ( y  +  1 )  e.  NN ) )
2524raleqbi1dv 3030 . . . . . 6  |-  ( x  =  NN  ->  ( A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x  <->  A. y  e.  NN  ( y  +  1 )  e.  NN ) )
2623, 25anbi12d 715 . . . . 5  |-  ( x  =  NN  ->  (
( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x )  <-> 
( 1  e.  NN  /\ 
A. y  e.  NN  ( y  +  1 )  e.  NN ) ) )
2722, 26elab 3217 . . . 4  |-  ( NN  e.  { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }  <->  ( 1  e.  NN  /\  A. y  e.  NN  ( y  +  1 )  e.  NN ) )
2819, 21, 27mpbir2an 928 . . 3  |-  NN  e.  { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  (
y  +  1 )  e.  x ) }
29 intss1 4270 . . 3  |-  ( NN  e.  { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }  ->  |^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }  C_  NN )
3028, 29ax-mp 5 . 2  |-  |^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }  C_  NN
3118, 30eqssi 3480 1  |-  NN  =  |^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370   A.wal 1435    = wceq 1437    e. wcel 1872   {cab 2407   A.wral 2771    C_ wss 3436   |^|cint 4255  (class class class)co 6305   1c1 9547    + caddc 9549   NNcn 10616
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-ov 6308  df-om 6707  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-nn 10617
This theorem is referenced by:  dfnn3  10630
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