Theorem dfnn2 9969

Description: Alternate definition of the set of natural numbers. This was our original definition, before the current df-nn 9957 replaced it. This definition requires the axiom of infinity to ensure it has the properties we expect. (Contributed by Jeff Hankins, 12-Sep-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 3-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
dfnn2	|- NN = |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) }

Distinct variable group:   x, y

Proof of Theorem dfnn2

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1ex 9042	. . . . 5 |- 1 e. _V
2	1	elintab 4021	. . . 4 |- ( 1 e. |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } <-> A. x ( ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) -> 1 e. x ) )
3		simpl 444	. . . 4 |- ( ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) -> 1 e. x )
4	2, 3	mpgbir 1556	. . 3 |- 1 e. |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) }
5		oveq1 6047	. . . . . . . . . 10 |- ( y = z -> ( y + 1 ) = ( z + 1 ) )
6	5	eleq1d 2470	. . . . . . . . 9 |- ( y = z -> ( ( y + 1 ) e. x <-> ( z + 1 ) e. x ) )
7	6	rspccv 3009	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. x ( y + 1 ) e. x -> ( z e. x -> ( z + 1 ) e. x ) )
8	7	adantl 453	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) -> ( z e. x -> ( z + 1 ) e. x ) )
9	8	a2i 13	. . . . . 6 |- ( ( ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) -> z e. x ) -> ( ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) -> ( z + 1 ) e. x ) )
10	9	alimi 1565	. . . . 5 |- ( A. x ( ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) -> z e. x ) -> A. x ( ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) -> ( z + 1 ) e. x ) )
11		vex 2919	. . . . . 6 |- z e. _V
12	11	elintab 4021	. . . . 5 |- ( z e. |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } <-> A. x ( ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) -> z e. x ) )
13		ovex 6065	. . . . . 6 |- ( z + 1 ) e. _V
14	13	elintab 4021	. . . . 5 |- ( ( z + 1 ) e. |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } <-> A. x ( ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) -> ( z + 1 ) e. x ) )
15	10, 12, 14	3imtr4i 258	. . . 4 |- ( z e. |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } -> ( z + 1 ) e. |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } )
16	15	rgen 2731	. . 3 |- A. z e. |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } ( z + 1 ) e. |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) }
17		peano5nni 9959	. . 3 |- ( ( 1 e. |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } /\ A. z e. |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } ( z + 1 ) e. |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } ) -> NN C_ |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } )
18	4, 16, 17	mp2an 654	. 2 |- NN C_ |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) }
19		1nn 9967	. . . 4 |- 1 e. NN
20		peano2nn 9968	. . . . 5 |- ( y e. NN -> ( y + 1 ) e. NN )
21	20	rgen 2731	. . . 4 |- A. y e. NN ( y + 1 ) e. NN
22		nnex 9962	. . . . 5 |- NN e. _V
23		eleq2 2465	. . . . . 6 |- ( x = NN -> ( 1 e. x <-> 1 e. NN ) )
24		eleq2 2465	. . . . . . 7 |- ( x = NN -> ( ( y + 1 ) e. x <-> ( y + 1 ) e. NN ) )
25	24	raleqbi1dv 2872	. . . . . 6 |- ( x = NN -> ( A. y e. x ( y + 1 ) e. x <-> A. y e. NN ( y + 1 ) e. NN ) )
26	23, 25	anbi12d 692	. . . . 5 |- ( x = NN -> ( ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) <-> ( 1 e. NN /\ A. y e. NN ( y + 1 ) e. NN ) ) )
27	22, 26	elab 3042	. . . 4 |- ( NN e. { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } <-> ( 1 e. NN /\ A. y e. NN ( y + 1 ) e. NN ) )
28	19, 21, 27	mpbir2an 887	. . 3 |- NN e. { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) }
29		intss1 4025	. . 3 |- ( NN e. { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } -> |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } C_ NN )
30	28, 29	ax-mp 8	. 2 |- |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } C_ NN
31	18, 30	eqssi 3324	1 |- NN = |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) }

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 359   A.wal 1546   = wceq 1649   e. wcel 1721   {cab 2390   A.wral 2666   C_ wss 3280   |^|cint 4010  (class class class)co 6040   1c1 8947   + caddc 8949   NNcn 9956

This theorem is referenced by:  dfnn3  9970

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-nn 9957