Theorem dfnn2 7119

Description: Alternate definition of the set of natural numbers. Definition of positive integers in [Apostol] p. 22.

Assertion

Ref	Expression
dfnn2	|- NN = |^|{x | (x C_ RR /\ 1 e. x /\ A.y e. x (y + 1) e. x)}

Distinct variable group:   x,y

Proof of Theorem dfnn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq2 1958	. . . 4 |- (x = z -> (1 e. x <-> 1 e. z))
2		eleq2 1958	. . . . 5 |- (x = z -> ((y + 1) e. x <-> (y + 1) e. z))
3	2	raleqbi1dv 2271	. . . 4 |- (x = z -> (A.y e. x (y + 1) e. x <-> A.y e. z (y + 1) e. z))
4	1, 3	anbi12d 690	. . 3 |- (x = z -> ((1 e. x /\ A.y e. x (y + 1) e. x) <-> (1 e. z /\ A.y e. z (y + 1) e. z)))
5		df-n 7108	. . . . 5 |- NN = |^|{z | (1 e. z /\ A.y e. z (y + 1) e. z)}
6	5	eqeq2i 1894	. . . 4 |- (x = NN <-> x = |^|{z | (1 e. z /\ A.y e. z (y + 1) e. z)})
7		eleq2 1958	. . . . 5 |- (x = NN -> (1 e. x <-> 1 e. NN))
8		eleq2 1958	. . . . . 6 |- (x = NN -> ((y + 1) e. x <-> (y + 1) e. NN))
9	8	raleqbi1dv 2271	. . . . 5 |- (x = NN -> (A.y e. x (y + 1) e. x <-> A.y e. NN (y + 1) e. NN))
10	7, 9	anbi12d 690	. . . 4 |- (x = NN -> ((1 e. x /\ A.y e. x (y + 1) e. x) <-> (1 e. NN /\ A.y e. NN (y + 1) e. NN)))
11	6, 10	sylbir 218	. . 3 |- (x = |^|{z | (1 e. z /\ A.y e. z (y + 1) e. z)} -> ((1 e. x /\ A.y e. x (y + 1) e. x) <-> (1 e. NN /\ A.y e. NN (y + 1) e. NN)))
12		nnssre 7110	. . . . 5 |- NN C_ RR
13	5, 12	eqsstr3i 2648	. . . 4 |- |^|{z | (1 e. z /\ A.y e. z (y + 1) e. z)} C_ RR
14		1nn 7117	. . . . 5 |- 1 e. NN
15		peano2nn 7118	. . . . . 6 |- (y e. NN -> (y + 1) e. NN)
16	15	rgen 2159	. . . . 5 |- A.y e. NN (y + 1) e. NN
17	14, 16	pm3.2i 307	. . . 4 |- (1 e. NN /\ A.y e. NN (y + 1) e. NN)
18	13, 17	pm3.2i 307	. . 3 |- (|^|{z | (1 e. z /\ A.y e. z (y + 1) e. z)} C_ RR /\ (1 e. NN /\ A.y e. NN (y + 1) e. NN))
19	4, 11, 18	intabs 3469	. 2 |- |^|{x | (x C_ RR /\ (1 e. x /\ A.y e. x (y + 1) e. x))} = |^|{x | (1 e. x /\ A.y e. x (y + 1) e. x)}
20		3anass 862	. . . 4 |- ((x C_ RR /\ 1 e. x /\ A.y e. x (y + 1) e. x) <-> (x C_ RR /\ (1 e. x /\ A.y e. x (y + 1) e. x)))
21	20	abbii 2006	. . 3 |- {x | (x C_ RR /\ 1 e. x /\ A.y e. x (y + 1) e. x)} = {x | (x C_ RR /\ (1 e. x /\ A.y e. x (y + 1) e. x))}
22	21	inteqi 3218	. 2 |- |^|{x | (x C_ RR /\ 1 e. x /\ A.y e. x (y + 1) e. x)} = |^|{x | (x C_ RR /\ (1 e. x /\ A.y e. x (y + 1) e. x))}
23		df-n 7108	. 2 |- NN = |^|{x | (1 e. x /\ A.y e. x (y + 1) e. x)}
24	19, 22, 23	3eqtr4ri 1923	1 |- NN = |^|{x | (x C_ RR /\ 1 e. x /\ A.y e. x (y + 1) e. x)}

Syntax hints:   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  {cab 1871  A.wral 2105   C_ wss 2593  |^|cint 3214  (class class class)co 4884  RRcr 6385  1c1 6387   + caddc 6389  NNcn 6449

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-sub 6511  df-neg 6513  df-n 7108

Copyright terms: Public domain