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Theorem dfnn2 9969
Description: Alternate definition of the set of natural numbers. This was our original definition, before the current df-nn 9957 replaced it. This definition requires the axiom of infinity to ensure it has the properties we expect. (Contributed by Jeff Hankins, 12-Sep-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 3-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
dfnn2  |-  NN  =  |^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }
Distinct variable group:    x, y

Proof of Theorem dfnn2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1ex 9042 . . . . 5  |-  1  e.  _V
21elintab 4021 . . . 4  |-  ( 1  e.  |^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }  <->  A. x ( ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x )  -> 
1  e.  x ) )
3 simpl 444 . . . 4  |-  ( ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x )  -> 
1  e.  x )
42, 3mpgbir 1556 . . 3  |-  1  e.  |^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }
5 oveq1 6047 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  z  ->  (
y  +  1 )  =  ( z  +  1 ) )
65eleq1d 2470 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  z  ->  (
( y  +  1 )  e.  x  <->  ( z  +  1 )  e.  x ) )
76rspccv 3009 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  x  (
y  +  1 )  e.  x  ->  (
z  e.  x  -> 
( z  +  1 )  e.  x ) )
87adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x )  -> 
( z  e.  x  ->  ( z  +  1 )  e.  x ) )
98a2i 13 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x )  ->  z  e.  x
)  ->  ( (
1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x )  -> 
( z  +  1 )  e.  x ) )
109alimi 1565 . . . . 5  |-  ( A. x ( ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  (
y  +  1 )  e.  x )  -> 
z  e.  x )  ->  A. x ( ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x )  -> 
( z  +  1 )  e.  x ) )
11 vex 2919 . . . . . 6  |-  z  e. 
_V
1211elintab 4021 . . . . 5  |-  ( z  e.  |^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }  <->  A. x ( ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x )  -> 
z  e.  x ) )
13 ovex 6065 . . . . . 6  |-  ( z  +  1 )  e. 
_V
1413elintab 4021 . . . . 5  |-  ( ( z  +  1 )  e.  |^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }  <->  A. x ( ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x )  -> 
( z  +  1 )  e.  x ) )
1510, 12, 143imtr4i 258 . . . 4  |-  ( z  e.  |^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }  ->  ( z  +  1 )  e. 
|^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) } )
1615rgen 2731 . . 3  |-  A. z  e.  |^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }  ( z  +  1 )  e.  |^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  (
y  +  1 )  e.  x ) }
17 peano5nni 9959 . . 3  |-  ( ( 1  e.  |^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }  /\  A. z  e.  |^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }  (
z  +  1 )  e.  |^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) } )  ->  NN  C_ 
|^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) } )
184, 16, 17mp2an 654 . 2  |-  NN  C_  |^|
{ x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }
19 1nn 9967 . . . 4  |-  1  e.  NN
20 peano2nn 9968 . . . . 5  |-  ( y  e.  NN  ->  (
y  +  1 )  e.  NN )
2120rgen 2731 . . . 4  |-  A. y  e.  NN  ( y  +  1 )  e.  NN
22 nnex 9962 . . . . 5  |-  NN  e.  _V
23 eleq2 2465 . . . . . 6  |-  ( x  =  NN  ->  (
1  e.  x  <->  1  e.  NN ) )
24 eleq2 2465 . . . . . . 7  |-  ( x  =  NN  ->  (
( y  +  1 )  e.  x  <->  ( y  +  1 )  e.  NN ) )
2524raleqbi1dv 2872 . . . . . 6  |-  ( x  =  NN  ->  ( A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x  <->  A. y  e.  NN  ( y  +  1 )  e.  NN ) )
2623, 25anbi12d 692 . . . . 5  |-  ( x  =  NN  ->  (
( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x )  <-> 
( 1  e.  NN  /\ 
A. y  e.  NN  ( y  +  1 )  e.  NN ) ) )
2722, 26elab 3042 . . . 4  |-  ( NN  e.  { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }  <->  ( 1  e.  NN  /\  A. y  e.  NN  ( y  +  1 )  e.  NN ) )
2819, 21, 27mpbir2an 887 . . 3  |-  NN  e.  { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  (
y  +  1 )  e.  x ) }
29 intss1 4025 . . 3  |-  ( NN  e.  { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }  ->  |^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }  C_  NN )
3028, 29ax-mp 8 . 2  |-  |^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }  C_  NN
3118, 30eqssi 3324 1  |-  NN  =  |^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359   A.wal 1546    = wceq 1649    e. wcel 1721   {cab 2390   A.wral 2666    C_ wss 3280   |^|cint 4010  (class class class)co 6040   1c1 8947    + caddc 8949   NNcn 9956
This theorem is referenced by:  dfnn3  9970
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-nn 9957
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