MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dfn2 Structured version   Unicode version

Theorem dfn2 10804
Description: The set of positive integers defined in terms of nonnegative integers. (Contributed by NM, 23-Sep-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
dfn2  |-  NN  =  ( NN0  \  { 0 } )

Proof of Theorem dfn2
StepHypRef Expression
1 df-n0 10792 . . 3  |-  NN0  =  ( NN  u.  { 0 } )
21difeq1i 3618 . 2  |-  ( NN0  \  { 0 } )  =  ( ( NN  u.  { 0 } )  \  { 0 } )
3 difun2 3906 . 2  |-  ( ( NN  u.  { 0 } )  \  {
0 } )  =  ( NN  \  {
0 } )
4 0nnn 10563 . . 3  |-  -.  0  e.  NN
5 difsn 4161 . . 3  |-  ( -.  0  e.  NN  ->  ( NN  \  { 0 } )  =  NN )
64, 5ax-mp 5 . 2  |-  ( NN 
\  { 0 } )  =  NN
72, 3, 63eqtrri 2501 1  |-  NN  =  ( NN0  \  { 0 } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1379    e. wcel 1767    \ cdif 3473    u. cun 3474   {csn 4027   0cc0 9488   NNcn 10532   NN0cn0 10791
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-n0 10792
This theorem is referenced by:  elnnne0  10805  frnnn0supp  10845  nn0suppOLD  10846  frnnn0fsupp  10847  facnn  12319  fac0  12320  ruclem4  13824  fzo0dvdseq  13894  domnchr  18336  logexprlim  23228  eulerpartgbij  27951  eulerpartlemmf  27954  eulerpartlemgf  27958
  Copyright terms: Public domain W3C validator