Theorem dfms2 9076

Description: Alternate definition for the class of all metric spaces (replaces old version of df-ms 9071).

Assertion

Ref	Expression
dfms2	|- MetSp = {<.x, y>. | (y:(x X. x)-->RR /\ A.z e. x A.w e. x (((zyw) = 0 <-> z = w) /\ A.v e. x (zyw) <_ ((vyz) + (vyw))))}

Distinct variable group:   x,y,z,w,v

Proof of Theorem dfms2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ms 9071	. 2 |- MetSp = {<.x, y>. | (y e. Met /\ x = dom dom y)}
2		xpeq1 4016	. . . . . . . 8 |- (x = dom dom y -> (x X. x) = (dom dom y X. x))
3		xpeq2 4017	. . . . . . . 8 |- (x = dom dom y -> (dom dom y X. x) = (dom dom y X. dom dom y))
4	2, 3	eqtrd 1925	. . . . . . 7 |- (x = dom dom y -> (x X. x) = (dom dom y X. dom dom y))
5	4	feq2d 4557	. . . . . 6 |- (x = dom dom y -> (y:(x X. x)-->RR <-> y:(dom dom y X. dom dom y)-->RR))
6		raleq 2266	. . . . . . . . 9 |- (x = dom dom y -> (A.v e. x (zyw) <_ ((vyz) + (vyw)) <-> A.v e. dom dom y(zyw) <_ ((vyz) + (vyw))))
7	6	anbi2d 678	. . . . . . . 8 |- (x = dom dom y -> ((((zyw) = 0 <-> z = w) /\ A.v e. x (zyw) <_ ((vyz) + (vyw))) <-> (((zyw) = 0 <-> z = w) /\ A.v e. dom dom y(zyw) <_ ((vyz) + (vyw)))))
8	7	raleqbi1dv 2271	. . . . . . 7 |- (x = dom dom y -> (A.w e. x (((zyw) = 0 <-> z = w) /\ A.v e. x (zyw) <_ ((vyz) + (vyw))) <-> A.w e. dom dom y(((zyw) = 0 <-> z = w) /\ A.v e. dom dom y(zyw) <_ ((vyz) + (vyw)))))
9	8	raleqbi1dv 2271	. . . . . 6 |- (x = dom dom y -> (A.z e. x A.w e. x (((zyw) = 0 <-> z = w) /\ A.v e. x (zyw) <_ ((vyz) + (vyw))) <-> A.z e. dom dom yA.w e. dom dom y(((zyw) = 0 <-> z = w) /\ A.v e. dom dom y(zyw) <_ ((vyz) + (vyw)))))
10	5, 9	anbi12d 690	. . . . 5 |- (x = dom dom y -> ((y:(x X. x)-->RR /\ A.z e. x A.w e. x (((zyw) = 0 <-> z = w) /\ A.v e. x (zyw) <_ ((vyz) + (vyw)))) <-> (y:(dom dom y X. dom dom y)-->RR /\ A.z e. dom dom yA.w e. dom dom y(((zyw) = 0 <-> z = w) /\ A.v e. dom dom y(zyw) <_ ((vyz) + (vyw))))))
11	10	pm5.32ri 708	. . . 4 |- (((y:(x X. x)-->RR /\ A.z e. x A.w e. x (((zyw) = 0 <-> z = w) /\ A.v e. x (zyw) <_ ((vyz) + (vyw)))) /\ x = dom dom y) <-> ((y:(dom dom y X. dom dom y)-->RR /\ A.z e. dom dom yA.w e. dom dom y(((zyw) = 0 <-> z = w) /\ A.v e. dom dom y(zyw) <_ ((vyz) + (vyw)))) /\ x = dom dom y))
12		fdm 4567	. . . . . . 7 |- (y:(x X. x)-->RR -> dom y = (x X. x))
13		dmeq 4157	. . . . . . 7 |- (dom y = (x X. x) -> dom dom y = dom ( x X. x))
14		dmxpid 4179	. . . . . . . . . 10 |- dom ( x X. x) = x
15	14	eqeq2i 1894	. . . . . . . . 9 |- (dom dom y = dom ( x X. x) <-> dom dom y = x)
16	15	biimpi 168	. . . . . . . 8 |- (dom dom y = dom ( x X. x) -> dom dom y = x)
17	16	eqcomd 1889	. . . . . . 7 |- (dom dom y = dom ( x X. x) -> x = dom dom y)
18	12, 13, 17	3syl 24	. . . . . 6 |- (y:(x X. x)-->RR -> x = dom dom y)
19	18	adantr 425	. . . . 5 |- ((y:(x X. x)-->RR /\ A.z e. x A.w e. x (((zyw) = 0 <-> z = w) /\ A.v e. x (zyw) <_ ((vyz) + (vyw)))) -> x = dom dom y)
20	19	pm4.71i 699	. . . 4 |- ((y:(x X. x)-->RR /\ A.z e. x A.w e. x (((zyw) = 0 <-> z = w) /\ A.v e. x (zyw) <_ ((vyz) + (vyw)))) <-> ((y:(x X. x)-->RR /\ A.z e. x A.w e. x (((zyw) = 0 <-> z = w) /\ A.v e. x (zyw) <_ ((vyz) + (vyw)))) /\ x = dom dom y))
21		visset 2295	. . . . . 6 |- y e. _V
22		eqid 1884	. . . . . . 7 |- dom dom y = dom dom y
23	22	ismet 9075	. . . . . 6 |- (y e. _V -> (y e. Met <-> (y:(dom dom y X. dom dom y)-->RR /\ A.z e. dom dom yA.w e. dom dom y(((zyw) = 0 <-> z = w) /\ A.v e. dom dom y(zyw) <_ ((vyz) + (vyw))))))
24	21, 23	ax-mp 7	. . . . 5 |- (y e. Met <-> (y:(dom dom y X. dom dom y)-->RR /\ A.z e. dom dom yA.w e. dom dom y(((zyw) = 0 <-> z = w) /\ A.v e. dom dom y(zyw) <_ ((vyz) + (vyw)))))
25	24	anbi1i 539	. . . 4 |- ((y e. Met /\ x = dom dom y) <-> ((y:(dom dom y X. dom dom y)-->RR /\ A.z e. dom dom yA.w e. dom dom y(((zyw) = 0 <-> z = w) /\ A.v e. dom dom y(zyw) <_ ((vyz) + (vyw)))) /\ x = dom dom y))
26	11, 20, 25	3bitr4ri 201	. . 3 |- ((y e. Met /\ x = dom dom y) <-> (y:(x X. x)-->RR /\ A.z e. x A.w e. x (((zyw) = 0 <-> z = w) /\ A.v e. x (zyw) <_ ((vyz) + (vyw)))))
27	26	opabbii 3402	. 2 |- {<.x, y>. | (y e. Met /\ x = dom dom y)} = {<.x, y>. | (y:(x X. x)-->RR /\ A.z e. x A.w e. x (((zyw) = 0 <-> z = w) /\ A.v e. x (zyw) <_ ((vyz) + (vyw))))}
28	1, 27	eqtri 1908	1 |- MetSp = {<.x, y>. | (y:(x X. x)-->RR /\ A.z e. x A.w e. x (((zyw) = 0 <-> z = w) /\ A.v e. x (zyw) <_ ((vyz) + (vyw))))}

Syntax hints:   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  _Vcvv 2292   class class class wbr 3338  {copab 3395   X. cxp 3984  dom cdm 3986  -->wf 3994  (class class class)co 4884  RRcr 6385  0cc0 6386   + caddc 6389   <_ cle 6448  Metcme 9066  MetSpcmt 9067

This theorem is referenced by:  ismsg 9077  msflem 9080

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fv 4014  df-opr 4886  df-met 9070  df-ms 9071

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