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Theorem dflt2 11407
Description: Alternative definition of 'less than' in terms of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Nov-2015.)
Assertion
Ref Expression
dflt2  |-  <  =  (  <_  \  _I  )

Proof of Theorem dflt2
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltrel 9679 . 2  |-  Rel  <
2 difss 3570 . . 3  |-  (  <_  \  _I  )  C_  <_
3 lerel 9681 . . 3  |-  Rel  <_
4 relss 4911 . . 3  |-  ( (  <_  \  _I  )  C_ 
<_  ->  ( Rel  <_  ->  Rel  (  <_  \  _I  ) ) )
52, 3, 4mp2 9 . 2  |-  Rel  (  <_  \  _I  )
6 ltrelxr 9678 . . . 4  |-  <  C_  ( RR*  X.  RR* )
76brel 4872 . . 3  |-  ( x  <  y  ->  (
x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* ) )
8 lerelxr 9680 . . . . 5  |-  <_  C_  ( RR*  X.  RR* )
92, 8sstri 3451 . . . 4  |-  (  <_  \  _I  )  C_  ( RR*  X.  RR* )
109brel 4872 . . 3  |-  ( x (  <_  \  _I  )
y  ->  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )
11 xrltlen 11405 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
x  <  y  <->  ( x  <_  y  /\  y  =/=  x ) ) )
12 equcom 1818 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  <->  x  =  y )
13 vex 3062 . . . . . . . . 9  |-  y  e. 
_V
1413ideq 4976 . . . . . . . 8  |-  ( x  _I  y  <->  x  =  y )
1512, 14bitr4i 252 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  <->  x  _I  y )
1615necon3abii 2663 . . . . . 6  |-  ( y  =/=  x  <->  -.  x  _I  y )
1716anbi2i 692 . . . . 5  |-  ( ( x  <_  y  /\  y  =/=  x )  <->  ( x  <_  y  /\  -.  x  _I  y ) )
1811, 17syl6bb 261 . . . 4  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
x  <  y  <->  ( x  <_  y  /\  -.  x  _I  y ) ) )
19 brdif 4445 . . . 4  |-  ( x (  <_  \  _I  )
y  <->  ( x  <_ 
y  /\  -.  x  _I  y ) )
2018, 19syl6bbr 263 . . 3  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
x  <  y  <->  x (  <_  \  _I  ) y ) )
217, 10, 20pm5.21nii 351 . 2  |-  ( x  <  y  <->  x (  <_  \  _I  ) y )
221, 5, 21eqbrriv 4919 1  |-  <  =  (  <_  \  _I  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598    \ cdif 3411    C_ wss 3414   class class class wbr 4395    _I cid 4733    X. cxp 4821   Rel wrel 4828   RR*cxr 9657    < clt 9658    <_ cle 9659
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664
This theorem is referenced by:  relt  18949  xrslt  28116
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