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Theorem dflt2 11343
Description: Alternative definition of 'less than' in terms of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Nov-2015.)
Assertion
Ref Expression
dflt2  |-  <  =  (  <_  \  _I  )

Proof of Theorem dflt2
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltrel 9638 . 2  |-  Rel  <
2 difss 3624 . . 3  |-  (  <_  \  _I  )  C_  <_
3 lerel 9640 . . 3  |-  Rel  <_
4 relss 5081 . . 3  |-  ( (  <_  \  _I  )  C_ 
<_  ->  ( Rel  <_  ->  Rel  (  <_  \  _I  ) ) )
52, 3, 4mp2 9 . 2  |-  Rel  (  <_  \  _I  )
6 ltrelxr 9637 . . . 4  |-  <  C_  ( RR*  X.  RR* )
76brel 5040 . . 3  |-  ( x  <  y  ->  (
x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* ) )
8 lerelxr 9639 . . . . 5  |-  <_  C_  ( RR*  X.  RR* )
92, 8sstri 3506 . . . 4  |-  (  <_  \  _I  )  C_  ( RR*  X.  RR* )
109brel 5040 . . 3  |-  ( x (  <_  \  _I  )
y  ->  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )
11 xrltlen 11341 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
x  <  y  <->  ( x  <_  y  /\  y  =/=  x ) ) )
12 equcom 1738 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  <->  x  =  y )
13 vex 3109 . . . . . . . . 9  |-  y  e. 
_V
1413ideq 5146 . . . . . . . 8  |-  ( x  _I  y  <->  x  =  y )
1512, 14bitr4i 252 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  <->  x  _I  y )
1615necon3abii 2720 . . . . . 6  |-  ( y  =/=  x  <->  -.  x  _I  y )
1716anbi2i 694 . . . . 5  |-  ( ( x  <_  y  /\  y  =/=  x )  <->  ( x  <_  y  /\  -.  x  _I  y ) )
1811, 17syl6bb 261 . . . 4  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
x  <  y  <->  ( x  <_  y  /\  -.  x  _I  y ) ) )
19 brdif 4490 . . . 4  |-  ( x (  <_  \  _I  )
y  <->  ( x  <_ 
y  /\  -.  x  _I  y ) )
2018, 19syl6bbr 263 . . 3  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
x  <  y  <->  x (  <_  \  _I  ) y ) )
217, 10, 20pm5.21nii 353 . 2  |-  ( x  <  y  <->  x (  <_  \  _I  ) y )
221, 5, 21eqbrriv 5089 1  |-  <  =  (  <_  \  _I  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762    =/= wne 2655    \ cdif 3466    C_ wss 3469   class class class wbr 4440    _I cid 4783    X. cxp 4990   Rel wrel 4997   RR*cxr 9616    < clt 9617    <_ cle 9618
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623
This theorem is referenced by:  relt  18411  xrslt  27312
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