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Theorem dflt2 11146
Description: Alternative definition of 'less than' in terms of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Nov-2015.)
Assertion
Ref Expression
dflt2  |-  <  =  (  <_  \  _I  )

Proof of Theorem dflt2
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltrel 9460 . 2  |-  Rel  <
2 difss 3504 . . 3  |-  (  <_  \  _I  )  C_  <_
3 lerel 9462 . . 3  |-  Rel  <_
4 relss 4948 . . 3  |-  ( (  <_  \  _I  )  C_ 
<_  ->  ( Rel  <_  ->  Rel  (  <_  \  _I  ) ) )
52, 3, 4mp2 9 . 2  |-  Rel  (  <_  \  _I  )
6 ltrelxr 9459 . . . 4  |-  <  C_  ( RR*  X.  RR* )
76brel 4908 . . 3  |-  ( x  <  y  ->  (
x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* ) )
8 lerelxr 9461 . . . . 5  |-  <_  C_  ( RR*  X.  RR* )
92, 8sstri 3386 . . . 4  |-  (  <_  \  _I  )  C_  ( RR*  X.  RR* )
109brel 4908 . . 3  |-  ( x (  <_  \  _I  )
y  ->  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )
11 xrltlen 11144 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
x  <  y  <->  ( x  <_  y  /\  y  =/=  x ) ) )
12 equcom 1732 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  <->  x  =  y )
13 vex 2996 . . . . . . . . 9  |-  y  e. 
_V
1413ideq 5013 . . . . . . . 8  |-  ( x  _I  y  <->  x  =  y )
1512, 14bitr4i 252 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  <->  x  _I  y )
1615necon3abii 2632 . . . . . 6  |-  ( y  =/=  x  <->  -.  x  _I  y )
1716anbi2i 694 . . . . 5  |-  ( ( x  <_  y  /\  y  =/=  x )  <->  ( x  <_  y  /\  -.  x  _I  y ) )
1811, 17syl6bb 261 . . . 4  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
x  <  y  <->  ( x  <_  y  /\  -.  x  _I  y ) ) )
19 brdif 4363 . . . 4  |-  ( x (  <_  \  _I  )
y  <->  ( x  <_ 
y  /\  -.  x  _I  y ) )
2018, 19syl6bbr 263 . . 3  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
x  <  y  <->  x (  <_  \  _I  ) y ) )
217, 10, 20pm5.21nii 353 . 2  |-  ( x  <  y  <->  x (  <_  \  _I  ) y )
221, 5, 21eqbrriv 4956 1  |-  <  =  (  <_  \  _I  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2620    \ cdif 3346    C_ wss 3349   class class class wbr 4313    _I cid 4652    X. cxp 4859   Rel wrel 4866   RR*cxr 9438    < clt 9439    <_ cle 9440
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-op 3905  df-uni 4113  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-er 7122  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445
This theorem is referenced by:  relt  18067  xrslt  26159
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