MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dfiunv2 Structured version   Unicode version

Theorem dfiunv2 4329
Description: Define double indexed union. (Contributed by FL, 6-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
dfiunv2  |-  U_ x  e.  A  U_ y  e.  B  C  =  {
z  |  E. x  e.  A  E. y  e.  B  z  e.  C }
Distinct variable groups:    x, z    y, z    z, A    z, B    z, C
Allowed substitution hints:    A( x, y)    B( x, y)    C( x, y)

Proof of Theorem dfiunv2
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-iun 4295 . . . 4  |-  U_ y  e.  B  C  =  { w  |  E. y  e.  B  w  e.  C }
21a1i 11 . . 3  |-  ( x  e.  A  ->  U_ y  e.  B  C  =  { w  |  E. y  e.  B  w  e.  C } )
32iuneq2i 4312 . 2  |-  U_ x  e.  A  U_ y  e.  B  C  =  U_ x  e.  A  {
w  |  E. y  e.  B  w  e.  C }
4 df-iun 4295 . 2  |-  U_ x  e.  A  { w  |  E. y  e.  B  w  e.  C }  =  { z  |  E. x  e.  A  z  e.  { w  |  E. y  e.  B  w  e.  C } }
5 vex 3081 . . . . 5  |-  z  e. 
_V
6 eleq1 2492 . . . . . 6  |-  ( w  =  z  ->  (
w  e.  C  <->  z  e.  C ) )
76rexbidv 2937 . . . . 5  |-  ( w  =  z  ->  ( E. y  e.  B  w  e.  C  <->  E. y  e.  B  z  e.  C ) )
85, 7elab 3215 . . . 4  |-  ( z  e.  { w  |  E. y  e.  B  w  e.  C }  <->  E. y  e.  B  z  e.  C )
98rexbii 2925 . . 3  |-  ( E. x  e.  A  z  e.  { w  |  E. y  e.  B  w  e.  C }  <->  E. x  e.  A  E. y  e.  B  z  e.  C )
109abbii 2554 . 2  |-  { z  |  E. x  e.  A  z  e.  {
w  |  E. y  e.  B  w  e.  C } }  =  {
z  |  E. x  e.  A  E. y  e.  B  z  e.  C }
113, 4, 103eqtri 2453 1  |-  U_ x  e.  A  U_ y  e.  B  C  =  {
z  |  E. x  e.  A  E. y  e.  B  z  e.  C }
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1437    e. wcel 1867   {cab 2405   E.wrex 2774   U_ciun 4293
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-an 372  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ral 2778  df-rex 2779  df-v 3080  df-in 3440  df-ss 3447  df-iun 4295
This theorem is referenced by:  2wot2wont  25590  2spot2iun2spont  25595  usg2spot2nb  25769
  Copyright terms: Public domain W3C validator