Theorem dfiunv2 4313

Description: Define double indexed union. (Contributed by FL, 6-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
dfiunv2	|- U_ x e. A U_ y e. B C = { z | E. x e. A E. y e. B z e. C }

Distinct variable groups:   x, z   y, z   z, A   z, B   z, C

Allowed substitution hints:   A( x, y)   B( x, y)   C( x, y)

Proof of Theorem dfiunv2

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-iun 4279	. . . 4 |- U_ y e. B C = { w | E. y e. B w e. C }
2	1	a1i 11	. . 3 |- ( x e. A -> U_ y e. B C = { w | E. y e. B w e. C } )
3	2	iuneq2i 4296	. 2 |- U_ x e. A U_ y e. B C = U_ x e. A { w | E. y e. B w e. C }
4		df-iun 4279	. 2 |- U_ x e. A { w | E. y e. B w e. C } = { z | E. x e. A z e. { w | E. y e. B w e. C } }
5		vex 3047	. . . . 5 |- z e. _V
6		eleq1 2516	. . . . . 6 |- ( w = z -> ( w e. C <-> z e. C ) )
7	6	rexbidv 2900	. . . . 5 |- ( w = z -> ( E. y e. B w e. C <-> E. y e. B z e. C ) )
8	5, 7	elab 3184	. . . 4 |- ( z e. { w | E. y e. B w e. C } <-> E. y e. B z e. C )
9	8	rexbii 2888	. . 3 |- ( E. x e. A z e. { w | E. y e. B w e. C } <-> E. x e. A E. y e. B z e. C )
10	9	abbii 2566	. 2 |- { z | E. x e. A z e. { w | E. y e. B w e. C } } = { z | E. x e. A E. y e. B z e. C }
11	3, 4, 10	3eqtri 2476	1 |- U_ x e. A U_ y e. B C = { z | E. x e. A E. y e. B z e. C }

Syntax hints:   = wceq 1443   e. wcel 1886   {cab 2436   E.wrex 2737   U_ciun 4277

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-an 373  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ral 2741  df-rex 2742  df-v 3046  df-in 3410  df-ss 3417  df-iun 4279

This theorem is referenced by:  2wot2wont  25607  2spot2iun2spont  25612  usg2spot2nb  25786