Theorem dfiunv2 4211

Description: Define double indexed union. (Contributed by FL, 6-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
dfiunv2	|- U_ x e. A U_ y e. B C = { z | E. x e. A E. y e. B z e. C }

Distinct variable groups:   x, z   y, z   z, A   z, B   z, C

Allowed substitution hints:   A( x, y)   B( x, y)   C( x, y)

Proof of Theorem dfiunv2

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-iun 4178	. . . 4 |- U_ y e. B C = { w | E. y e. B w e. C }
2	1	a1i 11	. . 3 |- ( x e. A -> U_ y e. B C = { w | E. y e. B w e. C } )
3	2	iuneq2i 4194	. 2 |- U_ x e. A U_ y e. B C = U_ x e. A { w | E. y e. B w e. C }
4		df-iun 4178	. 2 |- U_ x e. A { w | E. y e. B w e. C } = { z | E. x e. A z e. { w | E. y e. B w e. C } }
5		vex 2980	. . . . 5 |- z e. _V
6		eleq1 2503	. . . . . 6 |- ( w = z -> ( w e. C <-> z e. C ) )
7	6	rexbidv 2741	. . . . 5 |- ( w = z -> ( E. y e. B w e. C <-> E. y e. B z e. C ) )
8	5, 7	elab 3111	. . . 4 |- ( z e. { w | E. y e. B w e. C } <-> E. y e. B z e. C )
9	8	rexbii 2745	. . 3 |- ( E. x e. A z e. { w | E. y e. B w e. C } <-> E. x e. A E. y e. B z e. C )
10	9	abbii 2560	. 2 |- { z | E. x e. A z e. { w | E. y e. B w e. C } } = { z | E. x e. A E. y e. B z e. C }
11	3, 4, 10	3eqtri 2467	1 |- U_ x e. A U_ y e. B C = { z | E. x e. A E. y e. B z e. C }

Syntax hints:   = wceq 1369   e. wcel 1756   {cab 2429   E.wrex 2721   U_ciun 4176

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ral 2725  df-rex 2726  df-v 2979  df-in 3340  df-ss 3347  df-iun 4178

This theorem is referenced by:  2wot2wont  30410  2spot2iun2spont  30415  usg2spot2nb  30663