Theorem dfiunv2 4329

Description: Define double indexed union. (Contributed by FL, 6-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
dfiunv2	|- U_ x e. A U_ y e. B C = { z | E. x e. A E. y e. B z e. C }

Distinct variable groups:   x, z   y, z   z, A   z, B   z, C

Allowed substitution hints:   A( x, y)   B( x, y)   C( x, y)

Proof of Theorem dfiunv2

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-iun 4295	. . . 4 |- U_ y e. B C = { w | E. y e. B w e. C }
2	1	a1i 11	. . 3 |- ( x e. A -> U_ y e. B C = { w | E. y e. B w e. C } )
3	2	iuneq2i 4312	. 2 |- U_ x e. A U_ y e. B C = U_ x e. A { w | E. y e. B w e. C }
4		df-iun 4295	. 2 |- U_ x e. A { w | E. y e. B w e. C } = { z | E. x e. A z e. { w | E. y e. B w e. C } }
5		vex 3081	. . . . 5 |- z e. _V
6		eleq1 2492	. . . . . 6 |- ( w = z -> ( w e. C <-> z e. C ) )
7	6	rexbidv 2937	. . . . 5 |- ( w = z -> ( E. y e. B w e. C <-> E. y e. B z e. C ) )
8	5, 7	elab 3215	. . . 4 |- ( z e. { w | E. y e. B w e. C } <-> E. y e. B z e. C )
9	8	rexbii 2925	. . 3 |- ( E. x e. A z e. { w | E. y e. B w e. C } <-> E. x e. A E. y e. B z e. C )
10	9	abbii 2554	. 2 |- { z | E. x e. A z e. { w | E. y e. B w e. C } } = { z | E. x e. A E. y e. B z e. C }
11	3, 4, 10	3eqtri 2453	1 |- U_ x e. A U_ y e. B C = { z | E. x e. A E. y e. B z e. C }

Syntax hints:   = wceq 1437   e. wcel 1867   {cab 2405   E.wrex 2774   U_ciun 4293

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-an 372  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ral 2778  df-rex 2779  df-v 3080  df-in 3440  df-ss 3447  df-iun 4295

This theorem is referenced by:  2wot2wont  25590  2spot2iun2spont  25595  usg2spot2nb  25769