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Theorem dfiun2g 3833
Description: Alternate definition of indexed union when  B is a set. Definition 15(a) of [Suppes] p. 44. (Contributed by NM, 23-Mar-2006.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 25-Jul-2011.)
Assertion
Ref Expression
dfiun2g  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  C  ->  U_ x  e.  A  B  =  U. { y  |  E. x  e.  A  y  =  B } )
Distinct variable groups:    y, A    y, B    x, y
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x)    C( x, y)

Proof of Theorem dfiun2g
StepHypRef Expression
1 nfra1 2555 . . . . . 6  |-  F/ x A. x  e.  A  B  e.  C
2 ra4 2565 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  C  ->  ( x  e.  A  ->  B  e.  C ) )
3 clel3g 2842 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  C  ->  (
z  e.  B  <->  E. y
( y  =  B  /\  z  e.  y ) ) )
42, 3syl6 31 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  C  ->  ( x  e.  A  ->  (
z  e.  B  <->  E. y
( y  =  B  /\  z  e.  y ) ) ) )
54imp 420 . . . . . 6  |-  ( ( A. x  e.  A  B  e.  C  /\  x  e.  A )  ->  ( z  e.  B  <->  E. y ( y  =  B  /\  z  e.  y ) ) )
61, 5rexbida 2522 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  C  ->  ( E. x  e.  A  z  e.  B  <->  E. x  e.  A  E. y
( y  =  B  /\  z  e.  y ) ) )
7 rexcom4 2745 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  A  E. y ( y  =  B  /\  z  e.  y )  <->  E. y E. x  e.  A  ( y  =  B  /\  z  e.  y ) )
86, 7syl6bb 254 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  C  ->  ( E. x  e.  A  z  e.  B  <->  E. y E. x  e.  A  ( y  =  B  /\  z  e.  y ) ) )
9 r19.41v 2655 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  A  ( y  =  B  /\  z  e.  y )  <->  ( E. x  e.  A  y  =  B  /\  z  e.  y )
)
109exbii 1580 . . . . 5  |-  ( E. y E. x  e.  A  ( y  =  B  /\  z  e.  y )  <->  E. y
( E. x  e.  A  y  =  B  /\  z  e.  y ) )
11 exancom 1584 . . . . 5  |-  ( E. y ( E. x  e.  A  y  =  B  /\  z  e.  y )  <->  E. y ( z  e.  y  /\  E. x  e.  A  y  =  B ) )
1210, 11bitri 242 . . . 4  |-  ( E. y E. x  e.  A  ( y  =  B  /\  z  e.  y )  <->  E. y
( z  e.  y  /\  E. x  e.  A  y  =  B ) )
138, 12syl6bb 254 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  C  ->  ( E. x  e.  A  z  e.  B  <->  E. y
( z  e.  y  /\  E. x  e.  A  y  =  B ) ) )
14 eliun 3807 . . 3  |-  ( z  e.  U_ x  e.  A  B  <->  E. x  e.  A  z  e.  B )
15 eluniab 3739 . . 3  |-  ( z  e.  U. { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  <->  E. y ( z  e.  y  /\  E. x  e.  A  y  =  B ) )
1613, 14, 153bitr4g 281 . 2  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  C  ->  ( z  e.  U_ x  e.  A  B  <->  z  e.  U. { y  |  E. x  e.  A  y  =  B } ) )
1716eqrdv 2251 1  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  C  ->  U_ x  e.  A  B  =  U. { y  |  E. x  e.  A  y  =  B } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360   E.wex 1537    = wceq 1619    e. wcel 1621   {cab 2239   A.wral 2509   E.wrex 2510   U.cuni 3727   U_ciun 3803
This theorem is referenced by:  dfiun2  3835  dfiun3g  4838  iunexg  5619  uniqs  6605  ac6num  7990  iunopn  16476  pnrmopn  16903  cncmp  16951  ptcmplem3  17580  iunmbl  18742  voliun  18743
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2729  df-uni 3728  df-iun 3805
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