MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dfitg Structured version   Unicode version

Theorem dfitg 21390
Description: Evaluate the class substitution in df-itg 21246. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
dfitg.1  |-  T  =  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) )
Assertion
Ref Expression
dfitg  |-  S. A B  _d x  =  sum_ k  e.  ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^ k
)  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  T ) ,  T ,  0 ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, k    A, k    B, k
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x)    T( x, k)

Proof of Theorem dfitg
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-itg 21246 . 2  |-  S. A B  _d x  =  sum_ k  e.  ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^ k
)  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  [_ ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) )  /  y ]_ if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
y ) ,  y ,  0 ) ) ) )
2 fvex 5812 . . . . . . . 8  |-  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) )  e. 
_V
3 nfcv 2616 . . . . . . . 8  |-  F/_ y if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  T ) ,  T ,  0 )
4 id 22 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) )  ->  y  =  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) )
5 dfitg.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  T  =  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) )
64, 5syl6eqr 2513 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) )  ->  y  =  T )
76breq2d 4415 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) )  ->  (
0  <_  y  <->  0  <_  T ) )
87anbi2d 703 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  0  <_  y )  <-> 
( x  e.  A  /\  0  <_  T ) ) )
98, 6ifbieq1d 3923 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
y ) ,  y ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  T ) ,  T ,  0 ) )
102, 3, 9csbief 3423 . . . . . . 7  |-  [_ (
Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) )  /  y ]_ if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
y ) ,  y ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  T ) ,  T ,  0 )
1110mpteq2i 4486 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR  |->  [_ (
Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) )  /  y ]_ if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
y ) ,  y ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  T ) ,  T ,  0 ) )
1211fveq2i 5805 . . . . 5  |-  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  [_ ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) )  /  y ]_ if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
y ) ,  y ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  T ) ,  T ,  0 ) ) )
1312oveq2i 6214 . . . 4  |-  ( ( _i ^ k )  x.  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  [_ ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) )  /  y ]_ if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
y ) ,  y ,  0 ) ) ) )  =  ( ( _i ^ k
)  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  T ) ,  T ,  0 ) ) ) )
1413a1i 11 . . 3  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  (
( _i ^ k
)  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  [_ ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) )  /  y ]_ if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
y ) ,  y ,  0 ) ) ) )  =  ( ( _i ^ k
)  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  T ) ,  T ,  0 ) ) ) ) )
1514sumeq2i 13298 . 2  |-  sum_ k  e.  ( 0 ... 3
) ( ( _i
^ k )  x.  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  [_ ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) )  /  y ]_ if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
y ) ,  y ,  0 ) ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^ k
)  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  T ) ,  T ,  0 ) ) ) )
161, 15eqtri 2483 1  |-  S. A B  _d x  =  sum_ k  e.  ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^ k
)  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  T ) ,  T ,  0 ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   [_csb 3398   ifcif 3902   class class class wbr 4403    |-> cmpt 4461   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   RRcr 9396   0cc0 9397   _ici 9399    x. cmul 9402    <_ cle 9534    / cdiv 10108   3c3 10487   ...cfz 11558   ^cexp 11986   Recre 12708   sum_csu 13285   S.2citg2 21239   S.citg 21241
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-nn 10438  df-n0 10695  df-z 10762  df-uz 10977  df-fz 11559  df-seq 11928  df-sum 13286  df-itg 21246
This theorem is referenced by:  itgeq1f  21392  nfitg  21395  cbvitg  21396  itgeq2  21398  itgresr  21399  itg0  21400  itgz  21401  itgcl  21404  itgcnlem  21410  itgss  21432  itgeqa  21434  itgsplit  21456  itgeq12dv  26879
  Copyright terms: Public domain W3C validator