MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dfitg Structured version   Unicode version

Theorem dfitg 21222
Description: Evaluate the class substitution in df-itg 21078. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
dfitg.1  |-  T  =  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) )
Assertion
Ref Expression
dfitg  |-  S. A B  _d x  =  sum_ k  e.  ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^ k
)  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  T ) ,  T ,  0 ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, k    A, k    B, k
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x)    T( x, k)

Proof of Theorem dfitg
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-itg 21078 . 2  |-  S. A B  _d x  =  sum_ k  e.  ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^ k
)  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  [_ ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) )  /  y ]_ if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
y ) ,  y ,  0 ) ) ) )
2 fvex 5696 . . . . . . . 8  |-  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) )  e. 
_V
3 nfcv 2574 . . . . . . . 8  |-  F/_ y if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  T ) ,  T ,  0 )
4 id 22 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) )  ->  y  =  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) )
5 dfitg.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  T  =  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) )
64, 5syl6eqr 2488 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) )  ->  y  =  T )
76breq2d 4299 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) )  ->  (
0  <_  y  <->  0  <_  T ) )
87anbi2d 703 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  0  <_  y )  <-> 
( x  e.  A  /\  0  <_  T ) ) )
98, 6ifbieq1d 3807 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
y ) ,  y ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  T ) ,  T ,  0 ) )
102, 3, 9csbief 3308 . . . . . . 7  |-  [_ (
Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) )  /  y ]_ if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
y ) ,  y ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  T ) ,  T ,  0 )
1110mpteq2i 4370 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR  |->  [_ (
Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) )  /  y ]_ if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
y ) ,  y ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  T ) ,  T ,  0 ) )
1211fveq2i 5689 . . . . 5  |-  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  [_ ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) )  /  y ]_ if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
y ) ,  y ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  T ) ,  T ,  0 ) ) )
1312oveq2i 6097 . . . 4  |-  ( ( _i ^ k )  x.  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  [_ ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) )  /  y ]_ if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
y ) ,  y ,  0 ) ) ) )  =  ( ( _i ^ k
)  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  T ) ,  T ,  0 ) ) ) )
1413a1i 11 . . 3  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  (
( _i ^ k
)  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  [_ ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) )  /  y ]_ if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
y ) ,  y ,  0 ) ) ) )  =  ( ( _i ^ k
)  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  T ) ,  T ,  0 ) ) ) ) )
1514sumeq2i 13168 . 2  |-  sum_ k  e.  ( 0 ... 3
) ( ( _i
^ k )  x.  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  [_ ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) )  /  y ]_ if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
y ) ,  y ,  0 ) ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^ k
)  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  T ) ,  T ,  0 ) ) ) )
161, 15eqtri 2458 1  |-  S. A B  _d x  =  sum_ k  e.  ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^ k
)  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  T ) ,  T ,  0 ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   [_csb 3283   ifcif 3786   class class class wbr 4287    e. cmpt 4345   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   RRcr 9273   0cc0 9274   _ici 9276    x. cmul 9279    <_ cle 9411    / cdiv 9985   3c3 10364   ...cfz 11429   ^cexp 11857   Recre 12578   sum_csu 13155   S.2citg2 21071   S.citg 21073
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-fz 11430  df-seq 11799  df-sum 13156  df-itg 21078
This theorem is referenced by:  itgeq1f  21224  nfitg  21227  cbvitg  21228  itgeq2  21230  itgresr  21231  itg0  21232  itgz  21233  itgcl  21236  itgcnlem  21242  itgss  21264  itgeqa  21266  itgsplit  21288  itgeq12dv  26664
  Copyright terms: Public domain W3C validator