MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dfitg Structured version   Unicode version

Theorem dfitg 22713
Description: Evaluate the class substitution in df-itg 22567. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
dfitg.1  |-  T  =  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) )
Assertion
Ref Expression
dfitg  |-  S. A B  _d x  =  sum_ k  e.  ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^ k
)  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  T ) ,  T ,  0 ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, k    A, k    B, k
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x)    T( x, k)

Proof of Theorem dfitg
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-itg 22567 . 2  |-  S. A B  _d x  =  sum_ k  e.  ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^ k
)  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  [_ ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) )  /  y ]_ if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
y ) ,  y ,  0 ) ) ) )
2 fvex 5887 . . . . . . . 8  |-  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) )  e. 
_V
3 id 23 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) )  ->  y  =  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) )
4 dfitg.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  T  =  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) )
53, 4syl6eqr 2481 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) )  ->  y  =  T )
65breq2d 4432 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) )  ->  (
0  <_  y  <->  0  <_  T ) )
76anbi2d 708 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  0  <_  y )  <-> 
( x  e.  A  /\  0  <_  T ) ) )
87, 5ifbieq1d 3932 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
y ) ,  y ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  T ) ,  T ,  0 ) )
92, 8csbie 3421 . . . . . . 7  |-  [_ (
Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) )  /  y ]_ if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
y ) ,  y ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  T ) ,  T ,  0 )
109mpteq2i 4504 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR  |->  [_ (
Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) )  /  y ]_ if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
y ) ,  y ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  T ) ,  T ,  0 ) )
1110fveq2i 5880 . . . . 5  |-  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  [_ ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) )  /  y ]_ if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
y ) ,  y ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  T ) ,  T ,  0 ) ) )
1211oveq2i 6312 . . . 4  |-  ( ( _i ^ k )  x.  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  [_ ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) )  /  y ]_ if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
y ) ,  y ,  0 ) ) ) )  =  ( ( _i ^ k
)  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  T ) ,  T ,  0 ) ) ) )
1312a1i 11 . . 3  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  (
( _i ^ k
)  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  [_ ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) )  /  y ]_ if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
y ) ,  y ,  0 ) ) ) )  =  ( ( _i ^ k
)  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  T ) ,  T ,  0 ) ) ) ) )
1413sumeq2i 13752 . 2  |-  sum_ k  e.  ( 0 ... 3
) ( ( _i
^ k )  x.  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  [_ ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) )  /  y ]_ if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
y ) ,  y ,  0 ) ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^ k
)  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  T ) ,  T ,  0 ) ) ) )
151, 14eqtri 2451 1  |-  S. A B  _d x  =  sum_ k  e.  ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^ k
)  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  T ) ,  T ,  0 ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1868   [_csb 3395   ifcif 3909   class class class wbr 4420    |-> cmpt 4479   ` cfv 5597  (class class class)co 6301   RRcr 9538   0cc0 9539   _ici 9541    x. cmul 9544    <_ cle 9676    / cdiv 10269   3c3 10660   ...cfz 11784   ^cexp 12271   Recre 13148   sum_csu 13739   S.2citg2 22560   S.citg 22562
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-om 6703  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-er 7367  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-seq 12213  df-sum 13740  df-itg 22567
This theorem is referenced by:  itgeq1f  22715  nfitg  22718  cbvitg  22719  itgeq2  22721  itgresr  22722  itg0  22723  itgz  22724  itgcl  22727  itgcnlem  22733  itgss  22755  itgeqa  22757  itgsplit  22779  itgeq12dv  29154
  Copyright terms: Public domain W3C validator