MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dfioo2 Structured version   Unicode version

Theorem dfioo2 11511
Description: Alternate definition of the set of open intervals of extended reals. (Contributed by NM, 1-Mar-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
dfioo2  |-  (,)  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { w  e.  RR  |  ( x  <  w  /\  w  <  y ) } )
Distinct variable group:    x, w, y

Proof of Theorem dfioo2
StepHypRef Expression
1 ioof 11508 . . . 4  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR
2 ffn 5670 . . . 4  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> ~P RR  ->  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
)
31, 2ax-mp 5 . . 3  |-  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
4 fnov 6311 . . 3  |-  ( (,) 
Fn  ( RR*  X.  RR* ) 
<->  (,)  =  ( x  e.  RR* ,  y  e. 
RR*  |->  ( x (,) y ) ) )
53, 4mpbi 208 . 2  |-  (,)  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  ( x (,) y ) )
6 iooval2 11448 . . 3  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
x (,) y )  =  { w  e.  RR  |  ( x  <  w  /\  w  <  y ) } )
76mpt2eq3ia 6263 . 2  |-  ( x  e.  RR* ,  y  e. 
RR*  |->  ( x (,) y ) )  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { w  e.  RR  |  ( x  <  w  /\  w  <  y ) } )
85, 7eqtri 2483 1  |-  (,)  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { w  e.  RR  |  ( x  <  w  /\  w  <  y ) } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    = wceq 1370   {crab 2803   ~Pcpw 3971   class class class wbr 4403    X. cxp 4949    Fn wfn 5524   -->wf 5525  (class class class)co 6203    |-> cmpt2 6205   RRcr 9396   RR*cxr 9532    < clt 9533   (,)cioo 11415
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-ioo 11419
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator