Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dfint3 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem dfint3 30769
Description: Quantifier-free definition of class intersection. (Contributed by Scott Fenton, 13-Apr-2018.)
Assertion
Ref Expression
dfint3  |-  |^| A  =  ( _V  \ 
( `' ( _V 
\  _E  ) " A ) )

Proof of Theorem dfint3
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfint2 4250 . 2  |-  |^| A  =  { x  |  A. y  e.  A  x  e.  y }
2 ralnex 2846 . . . 4  |-  ( A. y  e.  A  -.  y `' ( _V  \  _E  ) x  <->  -.  E. y  e.  A  y `' ( _V  \  _E  )
x )
3 vex 3060 . . . . . . . . 9  |-  y  e. 
_V
4 vex 3060 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
_V
53, 4brcnv 5039 . . . . . . . 8  |-  ( y `' ( _V  \  _E  ) x  <->  x ( _V  \  _E  ) y )
6 brv 30694 . . . . . . . . 9  |-  x _V y
7 brdif 4469 . . . . . . . . 9  |-  ( x ( _V  \  _E  ) y  <->  ( x _V y  /\  -.  x  _E  y ) )
86, 7mpbiran 934 . . . . . . . 8  |-  ( x ( _V  \  _E  ) y  <->  -.  x  _E  y )
95, 8bitr2i 258 . . . . . . 7  |-  ( -.  x  _E  y  <->  y `' ( _V  \  _E  )
x )
109con1bii 337 . . . . . 6  |-  ( -.  y `' ( _V 
\  _E  ) x  <-> 
x  _E  y )
11 epel 4770 . . . . . 6  |-  ( x  _E  y  <->  x  e.  y )
1210, 11bitr2i 258 . . . . 5  |-  ( x  e.  y  <->  -.  y `' ( _V  \  _E  ) x )
1312ralbii 2831 . . . 4  |-  ( A. y  e.  A  x  e.  y  <->  A. y  e.  A  -.  y `' ( _V 
\  _E  ) x )
14 eldif 3426 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( _V  \ 
( `' ( _V 
\  _E  ) " A ) )  <->  ( x  e.  _V  /\  -.  x  e.  ( `' ( _V 
\  _E  ) " A ) ) )
154, 14mpbiran 934 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( _V  \ 
( `' ( _V 
\  _E  ) " A ) )  <->  -.  x  e.  ( `' ( _V 
\  _E  ) " A ) )
164elima 5195 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( `' ( _V  \  _E  ) " A )  <->  E. y  e.  A  y `' ( _V  \  _E  )
x )
1715, 16xchbinx 316 . . . 4  |-  ( x  e.  ( _V  \ 
( `' ( _V 
\  _E  ) " A ) )  <->  -.  E. y  e.  A  y `' ( _V  \  _E  )
x )
182, 13, 173bitr4ri 286 . . 3  |-  ( x  e.  ( _V  \ 
( `' ( _V 
\  _E  ) " A ) )  <->  A. y  e.  A  x  e.  y )
1918abbi2i 2577 . 2  |-  ( _V 
\  ( `' ( _V  \  _E  ) " A ) )  =  { x  |  A. y  e.  A  x  e.  y }
201, 19eqtr4i 2487 1  |-  |^| A  =  ( _V  \ 
( `' ( _V 
\  _E  ) " A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1455    e. wcel 1898   {cab 2448   A.wral 2749   E.wrex 2750   _Vcvv 3057    \ cdif 3413   |^|cint 4248   class class class wbr 4418    _E cep 4765   `'ccnv 4855   "cima 4859
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-sep 4541  ax-nul 4550  ax-pr 4656
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-ral 2754  df-rex 2755  df-rab 2758  df-v 3059  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3744  df-if 3894  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-int 4249  df-br 4419  df-opab 4478  df-eprel 4767  df-xp 4862  df-cnv 4864  df-dm 4866  df-rn 4867  df-res 4868  df-ima 4869
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator