Theorem dfint3 30769

Description: Quantifier-free definition of class intersection. (Contributed by Scott Fenton, 13-Apr-2018.)

Assertion

Ref	Expression
dfint3	|- |^| A = ( _V \ ( `' ( _V \ _E ) " A ) )

Proof of Theorem dfint3

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfint2 4250	. 2 |- |^| A = { x | A. y e. A x e. y }
2		ralnex 2846	. . . 4 |- ( A. y e. A -. y `' ( _V \ _E ) x <-> -. E. y e. A y `' ( _V \ _E ) x )
3		vex 3060	. . . . . . . . 9 |- y e. _V
4		vex 3060	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
5	3, 4	brcnv 5039	. . . . . . . 8 |- ( y `' ( _V \ _E ) x <-> x ( _V \ _E ) y )
6		brv 30694	. . . . . . . . 9 |- x _V y
7		brdif 4469	. . . . . . . . 9 |- ( x ( _V \ _E ) y <-> ( x _V y /\ -. x _E y ) )
8	6, 7	mpbiran 934	. . . . . . . 8 |- ( x ( _V \ _E ) y <-> -. x _E y )
9	5, 8	bitr2i 258	. . . . . . 7 |- ( -. x _E y <-> y `' ( _V \ _E ) x )
10	9	con1bii 337	. . . . . 6 |- ( -. y `' ( _V \ _E ) x <-> x _E y )
11		epel 4770	. . . . . 6 |- ( x _E y <-> x e. y )
12	10, 11	bitr2i 258	. . . . 5 |- ( x e. y <-> -. y `' ( _V \ _E ) x )
13	12	ralbii 2831	. . . 4 |- ( A. y e. A x e. y <-> A. y e. A -. y `' ( _V \ _E ) x )
14		eldif 3426	. . . . . 6 |- ( x e. ( _V \ ( `' ( _V \ _E ) " A ) ) <-> ( x e. _V /\ -. x e. ( `' ( _V \ _E ) " A ) ) )
15	4, 14	mpbiran 934	. . . . 5 |- ( x e. ( _V \ ( `' ( _V \ _E ) " A ) ) <-> -. x e. ( `' ( _V \ _E ) " A ) )
16	4	elima 5195	. . . . 5 |- ( x e. ( `' ( _V \ _E ) " A ) <-> E. y e. A y `' ( _V \ _E ) x )
17	15, 16	xchbinx 316	. . . 4 |- ( x e. ( _V \ ( `' ( _V \ _E ) " A ) ) <-> -. E. y e. A y `' ( _V \ _E ) x )
18	2, 13, 17	3bitr4ri 286	. . 3 |- ( x e. ( _V \ ( `' ( _V \ _E ) " A ) ) <-> A. y e. A x e. y )
19	18	abbi2i 2577	. 2 |- ( _V \ ( `' ( _V \ _E ) " A ) ) = { x | A. y e. A x e. y }
20	1, 19	eqtr4i 2487	1 |- |^| A = ( _V \ ( `' ( _V \ _E ) " A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   = wceq 1455   e. wcel 1898   {cab 2448   A.wral 2749   E.wrex 2750   _Vcvv 3057   \ cdif 3413   |^|cint 4248   class class class wbr 4418   _E cep 4765   `'ccnv 4855   "cima 4859

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-sep 4541  ax-nul 4550  ax-pr 4656

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-ral 2754  df-rex 2755  df-rab 2758  df-v 3059  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3744  df-if 3894  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-int 4249  df-br 4419  df-opab 4478  df-eprel 4767  df-xp 4862  df-cnv 4864  df-dm 4866  df-rn 4867  df-res 4868  df-ima 4869

This theorem is referenced by: (None)