MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dfinfmr Structured version   Unicode version

Theorem dfinfmr 10419
Description: The infimum (expressed as supremum with converse 'less-than') of a set of reals  A. (Contributed by NM, 9-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
dfinfmr  |-  ( A 
C_  RR  ->  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  =  U. { x  e.  RR  |  ( A. y  e.  A  x  <_  y  /\  A. y  e.  RR  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) } )
Distinct variable group:    x, y, z, A

Proof of Theorem dfinfmr
StepHypRef Expression
1 df-sup 7803 . 2  |-  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  =  U. { x  e.  RR  |  ( A. y  e.  A  -.  x `'  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) }
2 ssel2 3460 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  RR  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  RR )
3 lenlt 9565 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  <_  y  <->  -.  y  <  x ) )
4 vex 3081 . . . . . . . . . . . 12  |-  x  e. 
_V
5 vex 3081 . . . . . . . . . . . 12  |-  y  e. 
_V
64, 5brcnv 5131 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x `'  <  y  <->  y  <  x )
76notbii 296 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  x `'  <  y  <->  -.  y  <  x )
83, 7syl6rbbr 264 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( -.  x `'  <  y  <->  x  <_  y ) )
92, 8sylan2 474 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( A  C_  RR  /\  y  e.  A )
)  ->  ( -.  x `'  <  y  <->  x  <_  y ) )
109ancoms 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  y  e.  A )  /\  x  e.  RR )  ->  ( -.  x `'  <  y  <->  x  <_  y ) )
1110an32s 802 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  x  e.  RR )  /\  y  e.  A
)  ->  ( -.  x `'  <  y  <->  x  <_  y ) )
1211ralbidva 2844 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. y  e.  A  -.  x `'  <  y  <->  A. y  e.  A  x  <_  y ) )
135, 4brcnv 5131 . . . . . . . 8  |-  ( y `'  <  x  <->  x  <  y )
14 vex 3081 . . . . . . . . . 10  |-  z  e. 
_V
155, 14brcnv 5131 . . . . . . . . 9  |-  ( y `'  <  z  <->  z  <  y )
1615rexbii 2862 . . . . . . . 8  |-  ( E. z  e.  A  y `'  <  z  <->  E. z  e.  A  z  <  y )
1713, 16imbi12i 326 . . . . . . 7  |-  ( ( y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z )  <-> 
( x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) )
1817ralbii 2839 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  RR  (
y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z )  <->  A. y  e.  RR  ( x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) )
1918a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. y  e.  RR  ( y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z )  <->  A. y  e.  RR  ( x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
2012, 19anbi12d 710 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  x  e.  RR )  ->  (
( A. y  e.  A  -.  x `'  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) )  <->  ( A. y  e.  A  x  <_  y  /\  A. y  e.  RR  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) ) )
2120rabbidva 3069 . . 3  |-  ( A 
C_  RR  ->  { x  e.  RR  |  ( A. y  e.  A  -.  x `'  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) }  =  {
x  e.  RR  | 
( A. y  e.  A  x  <_  y  /\  A. y  e.  RR  ( x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) } )
2221unieqd 4210 . 2  |-  ( A 
C_  RR  ->  U. {
x  e.  RR  | 
( A. y  e.  A  -.  x `'  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) }  =  U. { x  e.  RR  |  ( A. y  e.  A  x  <_  y  /\  A. y  e.  RR  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) } )
231, 22syl5eq 2507 1  |-  ( A 
C_  RR  ->  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  =  U. { x  e.  RR  |  ( A. y  e.  A  x  <_  y  /\  A. y  e.  RR  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2799   E.wrex 2800   {crab 2803    C_ wss 3437   U.cuni 4200   class class class wbr 4401   `'ccnv 4948   supcsup 7802   RRcr 9393    < clt 9530    <_ cle 9531
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pr 4640
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-rab 2808  df-v 3080  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3747  df-if 3901  df-sn 3987  df-pr 3989  df-op 3993  df-uni 4201  df-br 4402  df-opab 4460  df-xp 4955  df-cnv 4957  df-sup 7803  df-xr 9534  df-le 9536
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator