Theorem dfinfmr 7276

Description: The infimum (expressed as supremum with converse 'less-than') of a set of reals A.

Assertion

Ref	Expression
dfinfmr	|- (A C_ RR -> sup(A, RR, `' < ) = U.{x e. RR | (A.y e. A x <_ y /\ A.y e. RR (x < y -> E.z e. A z < y))})

Distinct variable group:   x,y,z,A

Proof of Theorem dfinfmr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lenlt 6679	. . . . . . . . . 10 |- ((x e. RR /\ y e. RR) -> (x <_ y <-> -. y < x))
2		visset 2295	. . . . . . . . . . . 12 |- x e. _V
3		visset 2295	. . . . . . . . . . . 12 |- y e. _V
4	2, 3	brcnv 4144	. . . . . . . . . . 11 |- (x`' < y <-> y < x)
5	4	notbii 204	. . . . . . . . . 10 |- (-. x`' < y <-> -. y < x)
6	1, 5	syl6rbbr 598	. . . . . . . . 9 |- ((x e. RR /\ y e. RR) -> (-. x`' < y <-> x <_ y))
7		ssel2 2616	. . . . . . . . 9 |- ((A C_ RR /\ y e. A) -> y e. RR)
8	6, 7	sylan2 500	. . . . . . . 8 |- ((x e. RR /\ (A C_ RR /\ y e. A)) -> (-. x`' < y <-> x <_ y))
9	8	ancoms 484	. . . . . . 7 |- (((A C_ RR /\ y e. A) /\ x e. RR) -> (-. x`' < y <-> x <_ y))
10	9	an1rs 547	. . . . . 6 |- (((A C_ RR /\ x e. RR) /\ y e. A) -> (-. x`' < y <-> x <_ y))
11	10	ralbidva 2119	. . . . 5 |- ((A C_ RR /\ x e. RR) -> (A.y e. A -. x`' < y <-> A.y e. A x <_ y))
12	3, 2	brcnv 4144	. . . . . . . 8 |- (y`' < x <-> x < y)
13		visset 2295	. . . . . . . . . 10 |- z e. _V
14	3, 13	brcnv 4144	. . . . . . . . 9 |- (y`' < z <-> z < y)
15	14	rexbii 2128	. . . . . . . 8 |- (E.z e. A y`' < z <-> E.z e. A z < y)
16	12, 15	imbi12i 205	. . . . . . 7 |- ((y`' < x -> E.z e. A y`' < z) <-> (x < y -> E.z e. A z < y))
17	16	ralbii 2127	. . . . . 6 |- (A.y e. RR (y`' < x -> E.z e. A y`' < z) <-> A.y e. RR (x < y -> E.z e. A z < y))
18	17	a1i 8	. . . . 5 |- ((A C_ RR /\ x e. RR) -> (A.y e. RR (y`' < x -> E.z e. A y`' < z) <-> A.y e. RR (x < y -> E.z e. A z < y)))
19	11, 18	anbi12d 690	. . . 4 |- ((A C_ RR /\ x e. RR) -> ((A.y e. A -. x`' < y /\ A.y e. RR (y`' < x -> E.z e. A y`' < z)) <-> (A.y e. A x <_ y /\ A.y e. RR (x < y -> E.z e. A z < y))))
20	19	rabbidva 2286	. . 3 |- (A C_ RR -> {x e. RR | (A.y e. A -. x`' < y /\ A.y e. RR (y`' < x -> E.z e. A y`' < z))} = {x e. RR | (A.y e. A x <_ y /\ A.y e. RR (x < y -> E.z e. A z < y))})
21	20	unieqd 3188	. 2 |- (A C_ RR -> U.{x e. RR | (A.y e. A -. x`' < y /\ A.y e. RR (y`' < x -> E.z e. A y`' < z))} = U.{x e. RR | (A.y e. A x <_ y /\ A.y e. RR (x < y -> E.z e. A z < y))})
22		df-sup 5664	. 2 |- sup(A, RR, `' < ) = U.{x e. RR | (A.y e. A -. x`' < y /\ A.y e. RR (y`' < x -> E.z e. A y`' < z))}
23	21, 22	syl5eq 1940	1 |- (A C_ RR -> sup(A, RR, `' < ) = U.{x e. RR | (A.y e. A x <_ y /\ A.y e. RR (x < y -> E.z e. A z < y))})

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106  {crab 2108   C_ wss 2593  U.cuni 3177   class class class wbr 3338  `'ccnv 3985  supcsup 5663  RRcr 6385   <_ cle 6448   < clt 6653

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-xp 4000  df-cnv 4002  df-sup 5664  df-xr 6656  df-le 6658

Copyright terms: Public domain