Theorem dfima2OLD 4266

Description: Alternate definition of image. Compare definition (d) of [Enderton] p. 44.

Assertion

Ref	Expression
dfima2OLD	|- (A"B) = {y | E.x e. B xAy}

Distinct variable groups:   x,y,A   x,B,y

Proof of Theorem dfima2OLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ima 4007	. 2 |- (A"B) = ran ( A |` B)
2		dfrn3 4150	. 2 |- ran ( A |` B) = {y | E.x<.x, y>. e. (A |` B)}
3		df-res 4006	. . . . . . 7 |- (A |` B) = (A i^i (B X. _V))
4	3	eleq2i 1961	. . . . . 6 |- (<.x, y>. e. (A |` B) <-> <.x, y>. e. (A i^i (B X. _V)))
5		elin 2786	. . . . . 6 |- (<.x, y>. e. (A i^i (B X. _V)) <-> (<.x, y>. e. A /\ <.x, y>. e. (B X. _V)))
6		ancom 482	. . . . . . 7 |- ((x e. B /\ xAy) <-> (xAy /\ x e. B))
7		df-br 3339	. . . . . . . 8 |- (xAy <-> <.x, y>. e. A)
8		visset 2295	. . . . . . . . . 10 |- y e. _V
9	8	biantru 793	. . . . . . . . 9 |- (x e. B <-> (x e. B /\ y e. _V))
10	8	opelxp 4036	. . . . . . . . 9 |- (<.x, y>. e. (B X. _V) <-> (x e. B /\ y e. _V))
11	9, 10	bitr4i 193	. . . . . . . 8 |- (x e. B <-> <.x, y>. e. (B X. _V))
12	7, 11	anbi12i 540	. . . . . . 7 |- ((xAy /\ x e. B) <-> (<.x, y>. e. A /\ <.x, y>. e. (B X. _V)))
13	6, 12	bitr2i 191	. . . . . 6 |- ((<.x, y>. e. A /\ <.x, y>. e. (B X. _V)) <-> (x e. B /\ xAy))
14	4, 5, 13	3bitri 194	. . . . 5 |- (<.x, y>. e. (A |` B) <-> (x e. B /\ xAy))
15	14	exbii 1398	. . . 4 |- (E.x<.x, y>. e. (A |` B) <-> E.x(x e. B /\ xAy))
16		df-rex 2110	. . . 4 |- (E.x e. B xAy <-> E.x(x e. B /\ xAy))
17	15, 16	bitr4i 193	. . 3 |- (E.x<.x, y>. e. (A |` B) <-> E.x e. B xAy)
18	17	abbii 2006	. 2 |- {y | E.x<.x, y>. e. (A |` B)} = {y | E.x e. B xAy}
19	1, 2, 18	3eqtri 1912	1 |- (A"B) = {y | E.x e. B xAy}

Syntax hints:   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  {cab 1871  E.wrex 2106  _Vcvv 2292   i^i cin 2592  <.cop 3046   class class class wbr 3338   X. cxp 3984  ran crn 3987   |` cres 3988  "cima 3989

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-br 3339  df-opab 3396  df-xp 4000  df-cnv 4002  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007

Copyright terms: Public domain