Theorem dfiin2g 4201

Description: Alternate definition of indexed intersection when B is a set. (Contributed by Jeff Hankins, 27-Aug-2009.)

Assertion

Ref	Expression
dfiin2g	|- ( A. x e. A B e. C -> |^|_ x e. A B = |^| { y | E. x e. A y = B } )

Distinct variable groups:   y, A   y, B   x, y

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x)   C( x, y)

Proof of Theorem dfiin2g

Dummy variables z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ral 2718	. . . 4 |- ( A. x e. A w e. B <-> A. x ( x e. A -> w e. B ) )
2		df-ral 2718	. . . . . 6 |- ( A. x e. A B e. C <-> A. x ( x e. A -> B e. C ) )
3		eleq2 2502	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = B -> ( w e. z <-> w e. B ) )
4	3	biimprcd 225	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w e. B -> ( z = B -> w e. z ) )
5	4	alrimiv 1685	. . . . . . . . . . 11 |- ( w e. B -> A. z ( z = B -> w e. z ) )
6		eqid 2441	. . . . . . . . . . . 12 |- B = B
7		eqeq1 2447	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = B -> ( z = B <-> B = B ) )
8	7, 3	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = B -> ( ( z = B -> w e. z ) <-> ( B = B -> w e. B ) ) )
9	8	spcgv 3055	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B e. C -> ( A. z ( z = B -> w e. z ) -> ( B = B -> w e. B ) ) )
10	6, 9	mpii 43	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. C -> ( A. z ( z = B -> w e. z ) -> w e. B ) )
11	5, 10	impbid2 204	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. C -> ( w e. B <-> A. z ( z = B -> w e. z ) ) )
12	11	imim2i 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. A -> B e. C ) -> ( x e. A -> ( w e. B <-> A. z ( z = B -> w e. z ) ) ) )
13	12	pm5.74d 247	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. A -> B e. C ) -> ( ( x e. A -> w e. B ) <-> ( x e. A -> A. z ( z = B -> w e. z ) ) ) )
14	13	alimi 1604	. . . . . . 7 |- ( A. x ( x e. A -> B e. C ) -> A. x ( ( x e. A -> w e. B ) <-> ( x e. A -> A. z ( z = B -> w e. z ) ) ) )
15		albi 1609	. . . . . . 7 |- ( A. x ( ( x e. A -> w e. B ) <-> ( x e. A -> A. z ( z = B -> w e. z ) ) ) -> ( A. x ( x e. A -> w e. B ) <-> A. x ( x e. A -> A. z ( z = B -> w e. z ) ) ) )
16	14, 15	syl 16	. . . . . 6 |- ( A. x ( x e. A -> B e. C ) -> ( A. x ( x e. A -> w e. B ) <-> A. x ( x e. A -> A. z ( z = B -> w e. z ) ) ) )
17	2, 16	sylbi 195	. . . . 5 |- ( A. x e. A B e. C -> ( A. x ( x e. A -> w e. B ) <-> A. x ( x e. A -> A. z ( z = B -> w e. z ) ) ) )
18		df-ral 2718	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. A ( z = B -> w e. z ) <-> A. x ( x e. A -> ( z = B -> w e. z ) ) )
19	18	albii 1610	. . . . . . 7 |- ( A. z A. x e. A ( z = B -> w e. z ) <-> A. z A. x ( x e. A -> ( z = B -> w e. z ) ) )
20		alcom 1783	. . . . . . 7 |- ( A. x A. z ( x e. A -> ( z = B -> w e. z ) ) <-> A. z A. x ( x e. A -> ( z = B -> w e. z ) ) )
21	19, 20	bitr4i 252	. . . . . 6 |- ( A. z A. x e. A ( z = B -> w e. z ) <-> A. x A. z ( x e. A -> ( z = B -> w e. z ) ) )
22		r19.23v 2831	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. A ( z = B -> w e. z ) <-> ( E. x e. A z = B -> w e. z ) )
23		vex 2973	. . . . . . . . . 10 |- z e. _V
24		eqeq1 2447	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = z -> ( y = B <-> z = B ) )
25	24	rexbidv 2734	. . . . . . . . . 10 |- ( y = z -> ( E. x e. A y = B <-> E. x e. A z = B ) )
26	23, 25	elab 3104	. . . . . . . . 9 |- ( z e. { y | E. x e. A y = B } <-> E. x e. A z = B )
27	26	imbi1i 325	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. { y | E. x e. A y = B } -> w e. z ) <-> ( E. x e. A z = B -> w e. z ) )
28	22, 27	bitr4i 252	. . . . . . 7 |- ( A. x e. A ( z = B -> w e. z ) <-> ( z e. { y | E. x e. A y = B } -> w e. z ) )
29	28	albii 1610	. . . . . 6 |- ( A. z A. x e. A ( z = B -> w e. z ) <-> A. z ( z e. { y | E. x e. A y = B } -> w e. z ) )
30		19.21v 1909	. . . . . . 7 |- ( A. z ( x e. A -> ( z = B -> w e. z ) ) <-> ( x e. A -> A. z ( z = B -> w e. z ) ) )
31	30	albii 1610	. . . . . 6 |- ( A. x A. z ( x e. A -> ( z = B -> w e. z ) ) <-> A. x ( x e. A -> A. z ( z = B -> w e. z ) ) )
32	21, 29, 31	3bitr3ri 276	. . . . 5 |- ( A. x ( x e. A -> A. z ( z = B -> w e. z ) ) <-> A. z ( z e. { y | E. x e. A y = B } -> w e. z ) )
33	17, 32	syl6bb 261	. . . 4 |- ( A. x e. A B e. C -> ( A. x ( x e. A -> w e. B ) <-> A. z ( z e. { y | E. x e. A y = B } -> w e. z ) ) )
34	1, 33	syl5bb 257	. . 3 |- ( A. x e. A B e. C -> ( A. x e. A w e. B <-> A. z ( z e. { y | E. x e. A y = B } -> w e. z ) ) )
35	34	abbidv 2555	. 2 |- ( A. x e. A B e. C -> { w | A. x e. A w e. B } = { w | A. z ( z e. { y | E. x e. A y = B } -> w e. z ) } )
36		df-iin 4172	. 2 |- |^|_ x e. A B = { w | A. x e. A w e. B }
37		df-int 4127	. 2 |- |^| { y | E. x e. A y = B } = { w | A. z ( z e. { y | E. x e. A y = B } -> w e. z ) }
38	35, 36, 37	3eqtr4g 2498	1 |- ( A. x e. A B e. C -> |^|_ x e. A B = |^| { y | E. x e. A y = B } )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   A.wal 1367   = wceq 1369   e. wcel 1756   {cab 2427   A.wral 2713   E.wrex 2714   |^|cint 4126   |^|_ciin 4170

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ral 2718  df-rex 2719  df-v 2972  df-int 4127  df-iin 4172

This theorem is referenced by:  dfiin2  4203  iinexg  4450  dfiin3g  5091  iinfi  7665  mreiincl  14532  iinopn  18513  clsval2  18652  alexsublem  19614