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Theorem dfiin2g 4348
Description: Alternate definition of indexed intersection when  B is a set. (Contributed by Jeff Hankins, 27-Aug-2009.)
Assertion
Ref Expression
dfiin2g  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  C  ->  |^|_ x  e.  A  B  =  |^| { y  |  E. x  e.  A  y  =  B } )
Distinct variable groups:    y, A    y, B    x, y
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x)    C( x, y)

Proof of Theorem dfiin2g
Dummy variables  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ral 2809 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  w  e.  B  <->  A. x ( x  e.  A  ->  w  e.  B ) )
2 df-ral 2809 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  C  <->  A. x ( x  e.  A  ->  B  e.  C ) )
3 eleq2 2527 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  B  ->  (
w  e.  z  <->  w  e.  B ) )
43biimprcd 225 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  B  ->  (
z  =  B  ->  w  e.  z )
)
54alrimiv 1724 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  B  ->  A. z
( z  =  B  ->  w  e.  z ) )
6 eqid 2454 . . . . . . . . . . . 12  |-  B  =  B
7 eqeq1 2458 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  B  ->  (
z  =  B  <->  B  =  B ) )
87, 3imbi12d 318 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  B  ->  (
( z  =  B  ->  w  e.  z )  <->  ( B  =  B  ->  w  e.  B ) ) )
98spcgv 3191 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  C  ->  ( A. z ( z  =  B  ->  w  e.  z )  ->  ( B  =  B  ->  w  e.  B ) ) )
106, 9mpii 43 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  C  ->  ( A. z ( z  =  B  ->  w  e.  z )  ->  w  e.  B ) )
115, 10impbid2 204 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  C  ->  (
w  e.  B  <->  A. z
( z  =  B  ->  w  e.  z ) ) )
1211imim2i 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  ->  B  e.  C )  ->  ( x  e.  A  ->  ( w  e.  B  <->  A. z ( z  =  B  ->  w  e.  z ) ) ) )
1312pm5.74d 247 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  ->  B  e.  C )  ->  ( ( x  e.  A  ->  w  e.  B )  <->  ( x  e.  A  ->  A. z
( z  =  B  ->  w  e.  z ) ) ) )
1413alimi 1638 . . . . . . 7  |-  ( A. x ( x  e.  A  ->  B  e.  C )  ->  A. x
( ( x  e.  A  ->  w  e.  B )  <->  ( x  e.  A  ->  A. z
( z  =  B  ->  w  e.  z ) ) ) )
15 albi 1644 . . . . . . 7  |-  ( A. x ( ( x  e.  A  ->  w  e.  B )  <->  ( x  e.  A  ->  A. z
( z  =  B  ->  w  e.  z ) ) )  -> 
( A. x ( x  e.  A  ->  w  e.  B )  <->  A. x ( x  e.  A  ->  A. z
( z  =  B  ->  w  e.  z ) ) ) )
1614, 15syl 16 . . . . . 6  |-  ( A. x ( x  e.  A  ->  B  e.  C )  ->  ( A. x ( x  e.  A  ->  w  e.  B )  <->  A. x
( x  e.  A  ->  A. z ( z  =  B  ->  w  e.  z ) ) ) )
172, 16sylbi 195 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  C  ->  ( A. x ( x  e.  A  ->  w  e.  B )  <->  A. x
( x  e.  A  ->  A. z ( z  =  B  ->  w  e.  z ) ) ) )
18 df-ral 2809 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  A  (
z  =  B  ->  w  e.  z )  <->  A. x ( x  e.  A  ->  ( z  =  B  ->  w  e.  z ) ) )
1918albii 1645 . . . . . . 7  |-  ( A. z A. x  e.  A  ( z  =  B  ->  w  e.  z )  <->  A. z A. x
( x  e.  A  ->  ( z  =  B  ->  w  e.  z ) ) )
20 alcom 1850 . . . . . . 7  |-  ( A. x A. z ( x  e.  A  ->  (
z  =  B  ->  w  e.  z )
)  <->  A. z A. x
( x  e.  A  ->  ( z  =  B  ->  w  e.  z ) ) )
2119, 20bitr4i 252 . . . . . 6  |-  ( A. z A. x  e.  A  ( z  =  B  ->  w  e.  z )  <->  A. x A. z
( x  e.  A  ->  ( z  =  B  ->  w  e.  z ) ) )
22 r19.23v 2934 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  A  (
z  =  B  ->  w  e.  z )  <->  ( E. x  e.  A  z  =  B  ->  w  e.  z ) )
23 vex 3109 . . . . . . . . . 10  |-  z  e. 
_V
24 eqeq1 2458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  z  ->  (
y  =  B  <->  z  =  B ) )
2524rexbidv 2965 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  z  ->  ( E. x  e.  A  y  =  B  <->  E. x  e.  A  z  =  B ) )
2623, 25elab 3243 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  <->  E. x  e.  A  z  =  B )
2726imbi1i 323 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  ->  w  e.  z )  <->  ( E. x  e.  A  z  =  B  ->  w  e.  z ) )
2822, 27bitr4i 252 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  (
z  =  B  ->  w  e.  z )  <->  ( z  e.  { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  ->  w  e.  z ) )
2928albii 1645 . . . . . 6  |-  ( A. z A. x  e.  A  ( z  =  B  ->  w  e.  z )  <->  A. z ( z  e.  { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  ->  w  e.  z ) )
30 19.21v 1734 . . . . . . 7  |-  ( A. z ( x  e.  A  ->  ( z  =  B  ->  w  e.  z ) )  <->  ( x  e.  A  ->  A. z
( z  =  B  ->  w  e.  z ) ) )
3130albii 1645 . . . . . 6  |-  ( A. x A. z ( x  e.  A  ->  (
z  =  B  ->  w  e.  z )
)  <->  A. x ( x  e.  A  ->  A. z
( z  =  B  ->  w  e.  z ) ) )
3221, 29, 313bitr3ri 276 . . . . 5  |-  ( A. x ( x  e.  A  ->  A. z
( z  =  B  ->  w  e.  z ) )  <->  A. z
( z  e.  {
y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  ->  w  e.  z ) )
3317, 32syl6bb 261 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  C  ->  ( A. x ( x  e.  A  ->  w  e.  B )  <->  A. z
( z  e.  {
y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  ->  w  e.  z ) ) )
341, 33syl5bb 257 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  C  ->  ( A. x  e.  A  w  e.  B  <->  A. z ( z  e.  { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  ->  w  e.  z ) ) )
3534abbidv 2590 . 2  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  C  ->  { w  |  A. x  e.  A  w  e.  B }  =  { w  |  A. z ( z  e. 
{ y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  ->  w  e.  z ) } )
36 df-iin 4318 . 2  |-  |^|_ x  e.  A  B  =  { w  |  A. x  e.  A  w  e.  B }
37 df-int 4272 . 2  |-  |^| { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  =  { w  |  A. z ( z  e.  { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  ->  w  e.  z ) }
3835, 36, 373eqtr4g 2520 1  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  C  ->  |^|_ x  e.  A  B  =  |^| { y  |  E. x  e.  A  y  =  B } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184   A.wal 1396    = wceq 1398    e. wcel 1823   {cab 2439   A.wral 2804   E.wrex 2805   |^|cint 4271   |^|_ciin 4316
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-an 369  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ral 2809  df-rex 2810  df-v 3108  df-int 4272  df-iin 4318
This theorem is referenced by:  dfiin2  4350  iinexg  4597  dfiin3g  5245  iinfi  7869  mreiincl  15085  iinopn  19578  clsval2  19718  alexsublem  20710
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