MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dfii5 Structured version   Unicode version

Theorem dfii5 21497
Description: The unit interval expressed as an order topology. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
dfii5  |-  II  =  (ordTop `  (  <_  i^i  ( ( 0 [,] 1 )  X.  (
0 [,] 1 ) ) ) )

Proof of Theorem dfii5
StepHypRef Expression
1 dfii2 21494 . 2  |-  II  =  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( 0 [,] 1
) )
2 unitssre 11610 . . 3  |-  ( 0 [,] 1 )  C_  RR
3 eqid 2396 . . . 4  |-  (ordTop `  <_  )  =  (ordTop `  <_  )
4 eqid 2396 . . . 4  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  (
topGen `  ran  (,) )
53, 4xrrest 21420 . . 3  |-  ( ( 0 [,] 1 ) 
C_  RR  ->  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] 1 ) )  =  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( 0 [,] 1
) ) )
62, 5ax-mp 5 . 2  |-  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] 1 ) )  =  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( 0 [,] 1
) )
7 ordtresticc 19833 . 2  |-  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] 1 ) )  =  (ordTop `  (  <_  i^i  ( ( 0 [,] 1 )  X.  (
0 [,] 1 ) ) ) )
81, 6, 73eqtr2i 2431 1  |-  II  =  (ordTop `  (  <_  i^i  ( ( 0 [,] 1 )  X.  (
0 [,] 1 ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1399    i^i cin 3405    C_ wss 3406    X. cxp 4928   ran crn 4931   ` cfv 5513  (class class class)co 6218   RRcr 9424   0cc0 9425   1c1 9426    <_ cle 9562   (,)cioo 11472   [,]cicc 11475   ↾t crest 14851   topGenctg 14868  ordTopcordt 14929   IIcii 21487
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1633  ax-4 1646  ax-5 1719  ax-6 1765  ax-7 1808  ax-8 1838  ax-9 1840  ax-10 1855  ax-11 1860  ax-12 1872  ax-13 2020  ax-ext 2374  ax-rep 4495  ax-sep 4505  ax-nul 4513  ax-pow 4560  ax-pr 4618  ax-un 6513  ax-cnex 9481  ax-resscn 9482  ax-1cn 9483  ax-icn 9484  ax-addcl 9485  ax-addrcl 9486  ax-mulcl 9487  ax-mulrcl 9488  ax-mulcom 9489  ax-addass 9490  ax-mulass 9491  ax-distr 9492  ax-i2m1 9493  ax-1ne0 9494  ax-1rid 9495  ax-rnegex 9496  ax-rrecex 9497  ax-cnre 9498  ax-pre-lttri 9499  ax-pre-lttrn 9500  ax-pre-ltadd 9501  ax-pre-mulgt0 9502  ax-pre-sup 9503
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1628  df-nf 1632  df-sb 1758  df-eu 2236  df-mo 2237  df-clab 2382  df-cleq 2388  df-clel 2391  df-nfc 2546  df-ne 2593  df-nel 2594  df-ral 2751  df-rex 2752  df-reu 2753  df-rmo 2754  df-rab 2755  df-v 3053  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3729  df-if 3875  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-uni 4181  df-int 4217  df-iun 4262  df-iin 4263  df-br 4385  df-opab 4443  df-mpt 4444  df-tr 4478  df-eprel 4722  df-id 4726  df-po 4731  df-so 4732  df-fr 4769  df-we 4771  df-ord 4812  df-on 4813  df-lim 4814  df-suc 4815  df-xp 4936  df-rel 4937  df-cnv 4938  df-co 4939  df-dm 4940  df-rn 4941  df-res 4942  df-ima 4943  df-iota 5477  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-riota 6180  df-ov 6221  df-oprab 6222  df-mpt2 6223  df-om 6622  df-1st 6721  df-2nd 6722  df-recs 6982  df-rdg 7016  df-1o 7070  df-oadd 7074  df-er 7251  df-map 7362  df-en 7458  df-dom 7459  df-sdom 7460  df-fin 7461  df-fi 7808  df-sup 7838  df-pnf 9563  df-mnf 9564  df-xr 9565  df-ltxr 9566  df-le 9567  df-sub 9742  df-neg 9743  df-div 10146  df-nn 10475  df-2 10533  df-3 10534  df-n0 10735  df-z 10804  df-uz 11024  df-q 11124  df-rp 11162  df-xneg 11261  df-xadd 11262  df-xmul 11263  df-ioo 11476  df-ioc 11477  df-ico 11478  df-icc 11479  df-seq 12034  df-exp 12093  df-cj 12957  df-re 12958  df-im 12959  df-sqrt 13093  df-abs 13094  df-rest 14853  df-topgen 14874  df-ordt 14931  df-ps 15970  df-tsr 15971  df-psmet 18547  df-xmet 18548  df-met 18549  df-bl 18550  df-mopn 18551  df-top 19507  df-bases 19509  df-topon 19510  df-ii 21489
This theorem is referenced by:  iccpnfhmeo  21553  xrge0iifhmeo  28107
  Copyright terms: Public domain W3C validator