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Theorem dfif5 3955
Description: Alternate definition of the conditional operator df-if 3940. Note that  ph is independent of  x i.e. a constant true or false (see also abvor0 3803). (Contributed by Gérard Lang, 18-Aug-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
dfif3.1  |-  C  =  { x  |  ph }
Assertion
Ref Expression
dfif5  |-  if (
ph ,  A ,  B )  =  ( ( A  i^i  B
)  u.  ( ( ( A  \  B
)  i^i  C )  u.  ( ( B  \  A )  i^i  ( _V  \  C ) ) ) )
Distinct variable group:    ph, x
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x)    C( x)

Proof of Theorem dfif5
StepHypRef Expression
1 inindi 3715 . 2  |-  ( ( A  u.  B )  i^i  ( ( A  u.  ( _V  \  C ) )  i^i  ( B  u.  C
) ) )  =  ( ( ( A  u.  B )  i^i  ( A  u.  ( _V  \  C ) ) )  i^i  ( ( A  u.  B )  i^i  ( B  u.  C ) ) )
2 dfif3.1 . . 3  |-  C  =  { x  |  ph }
32dfif4 3954 . 2  |-  if (
ph ,  A ,  B )  =  ( ( A  u.  B
)  i^i  ( ( A  u.  ( _V  \  C ) )  i^i  ( B  u.  C
) ) )
4 undir 3747 . . 3  |-  ( ( A  i^i  B )  u.  ( ( ( A  \  B )  i^i  C )  u.  ( ( B  \  A )  i^i  ( _V  \  C ) ) ) )  =  ( ( A  u.  (
( ( A  \  B )  i^i  C
)  u.  ( ( B  \  A )  i^i  ( _V  \  C ) ) ) )  i^i  ( B  u.  ( ( ( A  \  B )  i^i  C )  u.  ( ( B  \  A )  i^i  ( _V  \  C ) ) ) ) )
5 unidm 3647 . . . . . . . 8  |-  ( A  u.  A )  =  A
65uneq1i 3654 . . . . . . 7  |-  ( ( A  u.  A )  u.  ( B  i^i  ( _V  \  C ) ) )  =  ( A  u.  ( B  i^i  ( _V  \  C ) ) )
7 unass 3661 . . . . . . 7  |-  ( ( A  u.  A )  u.  ( B  i^i  ( _V  \  C ) ) )  =  ( A  u.  ( A  u.  ( B  i^i  ( _V  \  C ) ) ) )
8 undi 3745 . . . . . . 7  |-  ( A  u.  ( B  i^i  ( _V  \  C ) ) )  =  ( ( A  u.  B
)  i^i  ( A  u.  ( _V  \  C
) ) )
96, 7, 83eqtr3ri 2505 . . . . . 6  |-  ( ( A  u.  B )  i^i  ( A  u.  ( _V  \  C ) ) )  =  ( A  u.  ( A  u.  ( B  i^i  ( _V  \  C ) ) ) )
10 undi 3745 . . . . . . . 8  |-  ( A  u.  ( ( A 
\  B )  i^i 
C ) )  =  ( ( A  u.  ( A  \  B ) )  i^i  ( A  u.  C ) )
11 undifabs 3904 . . . . . . . . 9  |-  ( A  u.  ( A  \  B ) )  =  A
1211ineq1i 3696 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  u.  ( A 
\  B ) )  i^i  ( A  u.  C ) )  =  ( A  i^i  ( A  u.  C )
)
13 inabs 3729 . . . . . . . 8  |-  ( A  i^i  ( A  u.  C ) )  =  A
1410, 12, 133eqtri 2500 . . . . . . 7  |-  ( A  u.  ( ( A 
\  B )  i^i 
C ) )  =  A
15 undif2 3903 . . . . . . . . 9  |-  ( A  u.  ( B  \  A ) )  =  ( A  u.  B
)
1615ineq1i 3696 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  u.  ( B 
\  A ) )  i^i  ( A  u.  ( _V  \  C ) ) )  =  ( ( A  u.  B
)  i^i  ( A  u.  ( _V  \  C
) ) )
17 undi 3745 . . . . . . . 8  |-  ( A  u.  ( ( B 
\  A )  i^i  ( _V  \  C
) ) )  =  ( ( A  u.  ( B  \  A ) )  i^i  ( A  u.  ( _V  \  C ) ) )
1816, 17, 83eqtr4i 2506 . . . . . . 7  |-  ( A  u.  ( ( B 
\  A )  i^i  ( _V  \  C
) ) )  =  ( A  u.  ( B  i^i  ( _V  \  C ) ) )
1914, 18uneq12i 3656 . . . . . 6  |-  ( ( A  u.  ( ( A  \  B )  i^i  C ) )  u.  ( A  u.  ( ( B  \  A )  i^i  ( _V  \  C ) ) ) )  =  ( A  u.  ( A  u.  ( B  i^i  ( _V  \  C ) ) ) )
209, 19eqtr4i 2499 . . . . 5  |-  ( ( A  u.  B )  i^i  ( A  u.  ( _V  \  C ) ) )  =  ( ( A  u.  (
( A  \  B
)  i^i  C )
)  u.  ( A  u.  ( ( B 
\  A )  i^i  ( _V  \  C
) ) ) )
21 unundi 3665 . . . . 5  |-  ( A  u.  ( ( ( A  \  B )  i^i  C )  u.  ( ( B  \  A )  i^i  ( _V  \  C ) ) ) )  =  ( ( A  u.  (
( A  \  B
)  i^i  C )
)  u.  ( A  u.  ( ( B 
\  A )  i^i  ( _V  \  C
) ) ) )
2220, 21eqtr4i 2499 . . . 4  |-  ( ( A  u.  B )  i^i  ( A  u.  ( _V  \  C ) ) )  =  ( A  u.  ( ( ( A  \  B
)  i^i  C )  u.  ( ( B  \  A )  i^i  ( _V  \  C ) ) ) )
23 unass 3661 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  i^i  C
)  u.  B )  u.  B )  =  ( ( A  i^i  C )  u.  ( B  u.  B ) )
24 undi 3745 . . . . . . . . 9  |-  ( B  u.  ( A  i^i  C ) )  =  ( ( B  u.  A
)  i^i  ( B  u.  C ) )
25 uncom 3648 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  i^i  C )  u.  B )  =  ( B  u.  ( A  i^i  C ) )
26 undif2 3903 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  u.  ( A  \  B ) )  =  ( B  u.  A
)
2726ineq1i 3696 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  u.  ( A 
\  B ) )  i^i  ( B  u.  C ) )  =  ( ( B  u.  A )  i^i  ( B  u.  C )
)
2824, 25, 273eqtr4i 2506 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  i^i  C )  u.  B )  =  ( ( B  u.  ( A  \  B ) )  i^i  ( B  u.  C ) )
29 undi 3745 . . . . . . . 8  |-  ( B  u.  ( ( A 
\  B )  i^i 
C ) )  =  ( ( B  u.  ( A  \  B ) )  i^i  ( B  u.  C ) )
3028, 29eqtr4i 2499 . . . . . . 7  |-  ( ( A  i^i  C )  u.  B )  =  ( B  u.  (
( A  \  B
)  i^i  C )
)
31 undi 3745 . . . . . . . 8  |-  ( B  u.  ( ( B 
\  A )  i^i  ( _V  \  C
) ) )  =  ( ( B  u.  ( B  \  A ) )  i^i  ( B  u.  ( _V  \  C ) ) )
32 undifabs 3904 . . . . . . . . 9  |-  ( B  u.  ( B  \  A ) )  =  B
3332ineq1i 3696 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  u.  ( B 
\  A ) )  i^i  ( B  u.  ( _V  \  C ) ) )  =  ( B  i^i  ( B  u.  ( _V  \  C ) ) )
34 inabs 3729 . . . . . . . 8  |-  ( B  i^i  ( B  u.  ( _V  \  C ) ) )  =  B
3531, 33, 343eqtrri 2501 . . . . . . 7  |-  B  =  ( B  u.  (
( B  \  A
)  i^i  ( _V  \  C ) ) )
3630, 35uneq12i 3656 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  i^i  C
)  u.  B )  u.  B )  =  ( ( B  u.  ( ( A  \  B )  i^i  C
) )  u.  ( B  u.  ( ( B  \  A )  i^i  ( _V  \  C
) ) ) )
37 unidm 3647 . . . . . . 7  |-  ( B  u.  B )  =  B
3837uneq2i 3655 . . . . . 6  |-  ( ( A  i^i  C )  u.  ( B  u.  B ) )  =  ( ( A  i^i  C )  u.  B )
3923, 36, 383eqtr3ri 2505 . . . . 5  |-  ( ( A  i^i  C )  u.  B )  =  ( ( B  u.  ( ( A  \  B )  i^i  C
) )  u.  ( B  u.  ( ( B  \  A )  i^i  ( _V  \  C
) ) ) )
40 uncom 3648 . . . . . . 7  |-  ( B  u.  C )  =  ( C  u.  B
)
4140ineq2i 3697 . . . . . 6  |-  ( ( A  u.  B )  i^i  ( B  u.  C ) )  =  ( ( A  u.  B )  i^i  ( C  u.  B )
)
42 undir 3747 . . . . . 6  |-  ( ( A  i^i  C )  u.  B )  =  ( ( A  u.  B )  i^i  ( C  u.  B )
)
4341, 42eqtr4i 2499 . . . . 5  |-  ( ( A  u.  B )  i^i  ( B  u.  C ) )  =  ( ( A  i^i  C )  u.  B )
44 unundi 3665 . . . . 5  |-  ( B  u.  ( ( ( A  \  B )  i^i  C )  u.  ( ( B  \  A )  i^i  ( _V  \  C ) ) ) )  =  ( ( B  u.  (
( A  \  B
)  i^i  C )
)  u.  ( B  u.  ( ( B 
\  A )  i^i  ( _V  \  C
) ) ) )
4539, 43, 443eqtr4i 2506 . . . 4  |-  ( ( A  u.  B )  i^i  ( B  u.  C ) )  =  ( B  u.  (
( ( A  \  B )  i^i  C
)  u.  ( ( B  \  A )  i^i  ( _V  \  C ) ) ) )
4622, 45ineq12i 3698 . . 3  |-  ( ( ( A  u.  B
)  i^i  ( A  u.  ( _V  \  C
) ) )  i^i  ( ( A  u.  B )  i^i  ( B  u.  C )
) )  =  ( ( A  u.  (
( ( A  \  B )  i^i  C
)  u.  ( ( B  \  A )  i^i  ( _V  \  C ) ) ) )  i^i  ( B  u.  ( ( ( A  \  B )  i^i  C )  u.  ( ( B  \  A )  i^i  ( _V  \  C ) ) ) ) )
474, 46eqtr4i 2499 . 2  |-  ( ( A  i^i  B )  u.  ( ( ( A  \  B )  i^i  C )  u.  ( ( B  \  A )  i^i  ( _V  \  C ) ) ) )  =  ( ( ( A  u.  B )  i^i  ( A  u.  ( _V  \  C ) ) )  i^i  ( ( A  u.  B )  i^i  ( B  u.  C
) ) )
481, 3, 473eqtr4i 2506 1  |-  if (
ph ,  A ,  B )  =  ( ( A  i^i  B
)  u.  ( ( ( A  \  B
)  i^i  C )  u.  ( ( B  \  A )  i^i  ( _V  \  C ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1379   {cab 2452   _Vcvv 3113    \ cdif 3473    u. cun 3474    i^i cin 3475   ifcif 3939
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rab 2823  df-v 3115  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940
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