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Theorem dfif5 3888
Description: Alternate definition of the conditional operator df-if 3873. Note that  ph is independent of  x i.e. a constant true or false (see also ab0orv 3753). (Contributed by Gérard Lang, 18-Aug-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
dfif3.1  |-  C  =  { x  |  ph }
Assertion
Ref Expression
dfif5  |-  if (
ph ,  A ,  B )  =  ( ( A  i^i  B
)  u.  ( ( ( A  \  B
)  i^i  C )  u.  ( ( B  \  A )  i^i  ( _V  \  C ) ) ) )
Distinct variable group:    ph, x
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x)    C( x)

Proof of Theorem dfif5
StepHypRef Expression
1 inindi 3640 . 2  |-  ( ( A  u.  B )  i^i  ( ( A  u.  ( _V  \  C ) )  i^i  ( B  u.  C
) ) )  =  ( ( ( A  u.  B )  i^i  ( A  u.  ( _V  \  C ) ) )  i^i  ( ( A  u.  B )  i^i  ( B  u.  C ) ) )
2 dfif3.1 . . 3  |-  C  =  { x  |  ph }
32dfif4 3887 . 2  |-  if (
ph ,  A ,  B )  =  ( ( A  u.  B
)  i^i  ( ( A  u.  ( _V  \  C ) )  i^i  ( B  u.  C
) ) )
4 undir 3683 . . 3  |-  ( ( A  i^i  B )  u.  ( ( ( A  \  B )  i^i  C )  u.  ( ( B  \  A )  i^i  ( _V  \  C ) ) ) )  =  ( ( A  u.  (
( ( A  \  B )  i^i  C
)  u.  ( ( B  \  A )  i^i  ( _V  \  C ) ) ) )  i^i  ( B  u.  ( ( ( A  \  B )  i^i  C )  u.  ( ( B  \  A )  i^i  ( _V  \  C ) ) ) ) )
5 unidm 3568 . . . . . . . 8  |-  ( A  u.  A )  =  A
65uneq1i 3575 . . . . . . 7  |-  ( ( A  u.  A )  u.  ( B  i^i  ( _V  \  C ) ) )  =  ( A  u.  ( B  i^i  ( _V  \  C ) ) )
7 unass 3582 . . . . . . 7  |-  ( ( A  u.  A )  u.  ( B  i^i  ( _V  \  C ) ) )  =  ( A  u.  ( A  u.  ( B  i^i  ( _V  \  C ) ) ) )
8 undi 3681 . . . . . . 7  |-  ( A  u.  ( B  i^i  ( _V  \  C ) ) )  =  ( ( A  u.  B
)  i^i  ( A  u.  ( _V  \  C
) ) )
96, 7, 83eqtr3ri 2502 . . . . . 6  |-  ( ( A  u.  B )  i^i  ( A  u.  ( _V  \  C ) ) )  =  ( A  u.  ( A  u.  ( B  i^i  ( _V  \  C ) ) ) )
10 undi 3681 . . . . . . . 8  |-  ( A  u.  ( ( A 
\  B )  i^i 
C ) )  =  ( ( A  u.  ( A  \  B ) )  i^i  ( A  u.  C ) )
11 undifabs 3835 . . . . . . . . 9  |-  ( A  u.  ( A  \  B ) )  =  A
1211ineq1i 3621 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  u.  ( A 
\  B ) )  i^i  ( A  u.  C ) )  =  ( A  i^i  ( A  u.  C )
)
13 inabs 3665 . . . . . . . 8  |-  ( A  i^i  ( A  u.  C ) )  =  A
1410, 12, 133eqtri 2497 . . . . . . 7  |-  ( A  u.  ( ( A 
\  B )  i^i 
C ) )  =  A
15 undif2 3834 . . . . . . . . 9  |-  ( A  u.  ( B  \  A ) )  =  ( A  u.  B
)
1615ineq1i 3621 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  u.  ( B 
\  A ) )  i^i  ( A  u.  ( _V  \  C ) ) )  =  ( ( A  u.  B
)  i^i  ( A  u.  ( _V  \  C
) ) )
17 undi 3681 . . . . . . . 8  |-  ( A  u.  ( ( B 
\  A )  i^i  ( _V  \  C
) ) )  =  ( ( A  u.  ( B  \  A ) )  i^i  ( A  u.  ( _V  \  C ) ) )
1816, 17, 83eqtr4i 2503 . . . . . . 7  |-  ( A  u.  ( ( B 
\  A )  i^i  ( _V  \  C
) ) )  =  ( A  u.  ( B  i^i  ( _V  \  C ) ) )
1914, 18uneq12i 3577 . . . . . 6  |-  ( ( A  u.  ( ( A  \  B )  i^i  C ) )  u.  ( A  u.  ( ( B  \  A )  i^i  ( _V  \  C ) ) ) )  =  ( A  u.  ( A  u.  ( B  i^i  ( _V  \  C ) ) ) )
209, 19eqtr4i 2496 . . . . 5  |-  ( ( A  u.  B )  i^i  ( A  u.  ( _V  \  C ) ) )  =  ( ( A  u.  (
( A  \  B
)  i^i  C )
)  u.  ( A  u.  ( ( B 
\  A )  i^i  ( _V  \  C
) ) ) )
21 unundi 3586 . . . . 5  |-  ( A  u.  ( ( ( A  \  B )  i^i  C )  u.  ( ( B  \  A )  i^i  ( _V  \  C ) ) ) )  =  ( ( A  u.  (
( A  \  B
)  i^i  C )
)  u.  ( A  u.  ( ( B 
\  A )  i^i  ( _V  \  C
) ) ) )
2220, 21eqtr4i 2496 . . . 4  |-  ( ( A  u.  B )  i^i  ( A  u.  ( _V  \  C ) ) )  =  ( A  u.  ( ( ( A  \  B
)  i^i  C )  u.  ( ( B  \  A )  i^i  ( _V  \  C ) ) ) )
23 unass 3582 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  i^i  C
)  u.  B )  u.  B )  =  ( ( A  i^i  C )  u.  ( B  u.  B ) )
24 undi 3681 . . . . . . . . 9  |-  ( B  u.  ( A  i^i  C ) )  =  ( ( B  u.  A
)  i^i  ( B  u.  C ) )
25 uncom 3569 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  i^i  C )  u.  B )  =  ( B  u.  ( A  i^i  C ) )
26 undif2 3834 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  u.  ( A  \  B ) )  =  ( B  u.  A
)
2726ineq1i 3621 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  u.  ( A 
\  B ) )  i^i  ( B  u.  C ) )  =  ( ( B  u.  A )  i^i  ( B  u.  C )
)
2824, 25, 273eqtr4i 2503 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  i^i  C )  u.  B )  =  ( ( B  u.  ( A  \  B ) )  i^i  ( B  u.  C ) )
29 undi 3681 . . . . . . . 8  |-  ( B  u.  ( ( A 
\  B )  i^i 
C ) )  =  ( ( B  u.  ( A  \  B ) )  i^i  ( B  u.  C ) )
3028, 29eqtr4i 2496 . . . . . . 7  |-  ( ( A  i^i  C )  u.  B )  =  ( B  u.  (
( A  \  B
)  i^i  C )
)
31 undi 3681 . . . . . . . 8  |-  ( B  u.  ( ( B 
\  A )  i^i  ( _V  \  C
) ) )  =  ( ( B  u.  ( B  \  A ) )  i^i  ( B  u.  ( _V  \  C ) ) )
32 undifabs 3835 . . . . . . . . 9  |-  ( B  u.  ( B  \  A ) )  =  B
3332ineq1i 3621 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  u.  ( B 
\  A ) )  i^i  ( B  u.  ( _V  \  C ) ) )  =  ( B  i^i  ( B  u.  ( _V  \  C ) ) )
34 inabs 3665 . . . . . . . 8  |-  ( B  i^i  ( B  u.  ( _V  \  C ) ) )  =  B
3531, 33, 343eqtrri 2498 . . . . . . 7  |-  B  =  ( B  u.  (
( B  \  A
)  i^i  ( _V  \  C ) ) )
3630, 35uneq12i 3577 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  i^i  C
)  u.  B )  u.  B )  =  ( ( B  u.  ( ( A  \  B )  i^i  C
) )  u.  ( B  u.  ( ( B  \  A )  i^i  ( _V  \  C
) ) ) )
37 unidm 3568 . . . . . . 7  |-  ( B  u.  B )  =  B
3837uneq2i 3576 . . . . . 6  |-  ( ( A  i^i  C )  u.  ( B  u.  B ) )  =  ( ( A  i^i  C )  u.  B )
3923, 36, 383eqtr3ri 2502 . . . . 5  |-  ( ( A  i^i  C )  u.  B )  =  ( ( B  u.  ( ( A  \  B )  i^i  C
) )  u.  ( B  u.  ( ( B  \  A )  i^i  ( _V  \  C
) ) ) )
40 uncom 3569 . . . . . . 7  |-  ( B  u.  C )  =  ( C  u.  B
)
4140ineq2i 3622 . . . . . 6  |-  ( ( A  u.  B )  i^i  ( B  u.  C ) )  =  ( ( A  u.  B )  i^i  ( C  u.  B )
)
42 undir 3683 . . . . . 6  |-  ( ( A  i^i  C )  u.  B )  =  ( ( A  u.  B )  i^i  ( C  u.  B )
)
4341, 42eqtr4i 2496 . . . . 5  |-  ( ( A  u.  B )  i^i  ( B  u.  C ) )  =  ( ( A  i^i  C )  u.  B )
44 unundi 3586 . . . . 5  |-  ( B  u.  ( ( ( A  \  B )  i^i  C )  u.  ( ( B  \  A )  i^i  ( _V  \  C ) ) ) )  =  ( ( B  u.  (
( A  \  B
)  i^i  C )
)  u.  ( B  u.  ( ( B 
\  A )  i^i  ( _V  \  C
) ) ) )
4539, 43, 443eqtr4i 2503 . . . 4  |-  ( ( A  u.  B )  i^i  ( B  u.  C ) )  =  ( B  u.  (
( ( A  \  B )  i^i  C
)  u.  ( ( B  \  A )  i^i  ( _V  \  C ) ) ) )
4622, 45ineq12i 3623 . . 3  |-  ( ( ( A  u.  B
)  i^i  ( A  u.  ( _V  \  C
) ) )  i^i  ( ( A  u.  B )  i^i  ( B  u.  C )
) )  =  ( ( A  u.  (
( ( A  \  B )  i^i  C
)  u.  ( ( B  \  A )  i^i  ( _V  \  C ) ) ) )  i^i  ( B  u.  ( ( ( A  \  B )  i^i  C )  u.  ( ( B  \  A )  i^i  ( _V  \  C ) ) ) ) )
474, 46eqtr4i 2496 . 2  |-  ( ( A  i^i  B )  u.  ( ( ( A  \  B )  i^i  C )  u.  ( ( B  \  A )  i^i  ( _V  \  C ) ) ) )  =  ( ( ( A  u.  B )  i^i  ( A  u.  ( _V  \  C ) ) )  i^i  ( ( A  u.  B )  i^i  ( B  u.  C
) ) )
481, 3, 473eqtr4i 2503 1  |-  if (
ph ,  A ,  B )  =  ( ( A  i^i  B
)  u.  ( ( ( A  \  B
)  i^i  C )  u.  ( ( B  \  A )  i^i  ( _V  \  C ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1452   {cab 2457   _Vcvv 3031    \ cdif 3387    u. cun 3388    i^i cin 3389   ifcif 3872
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rab 2765  df-v 3033  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873
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