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Theorem dfhe3 36372
Description: The property of relation  R being hereditary in class  A. (Contributed by RP, 27-Mar-2020.)
Assertion
Ref Expression
dfhe3  |-  ( R hereditary  A 
<-> 
A. x ( x  e.  A  ->  A. y
( x R y  ->  y  e.  A
) ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, R, y

Proof of Theorem dfhe3
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-he 36370 . 2  |-  ( R hereditary  A 
<->  ( R " A
)  C_  A )
2 19.21v 1790 . . . . . 6  |-  ( A. y ( x  e.  A  ->  ( x R y  ->  y  e.  A ) )  <->  ( x  e.  A  ->  A. y
( x R y  ->  y  e.  A
) ) )
32bicomi 207 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  ->  A. y ( x R y  ->  y  e.  A ) )  <->  A. y
( x  e.  A  ->  ( x R y  ->  y  e.  A
) ) )
43albii 1695 . . . 4  |-  ( A. x ( x  e.  A  ->  A. y
( x R y  ->  y  e.  A
) )  <->  A. x A. y ( x  e.  A  ->  ( x R y  ->  y  e.  A ) ) )
5 alcom 1927 . . . 4  |-  ( A. x A. y ( x  e.  A  ->  (
x R y  -> 
y  e.  A ) )  <->  A. y A. x
( x  e.  A  ->  ( x R y  ->  y  e.  A
) ) )
6 impexp 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  x R y )  ->  y  e.  A
)  <->  ( x  e.  A  ->  ( x R y  ->  y  e.  A ) ) )
76bicomi 207 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  -> 
( x R y  ->  y  e.  A
) )  <->  ( (
x  e.  A  /\  x R y )  -> 
y  e.  A ) )
87albii 1695 . . . . . 6  |-  ( A. x ( x  e.  A  ->  ( x R y  ->  y  e.  A ) )  <->  A. x
( ( x  e.  A  /\  x R y )  ->  y  e.  A ) )
9 19.23v 1822 . . . . . 6  |-  ( A. x ( ( x  e.  A  /\  x R y )  -> 
y  e.  A )  <-> 
( E. x ( x  e.  A  /\  x R y )  -> 
y  e.  A ) )
108, 9bitri 257 . . . . 5  |-  ( A. x ( x  e.  A  ->  ( x R y  ->  y  e.  A ) )  <->  ( E. x ( x  e.  A  /\  x R y )  ->  y  e.  A ) )
1110albii 1695 . . . 4  |-  ( A. y A. x ( x  e.  A  ->  (
x R y  -> 
y  e.  A ) )  <->  A. y ( E. x ( x  e.  A  /\  x R y )  ->  y  e.  A ) )
124, 5, 113bitri 279 . . 3  |-  ( A. x ( x  e.  A  ->  A. y
( x R y  ->  y  e.  A
) )  <->  A. y
( E. x ( x  e.  A  /\  x R y )  -> 
y  e.  A ) )
13 dfss2 3389 . . . . 5  |-  ( { z  |  E. x
( x  e.  A  /\  <. x ,  z
>.  e.  R ) } 
C_  A  <->  A. y
( y  e.  {
z  |  E. x
( x  e.  A  /\  <. x ,  z
>.  e.  R ) }  ->  y  e.  A
) )
14 vex 3016 . . . . . . . 8  |-  y  e. 
_V
15 opeq2 4137 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  y  ->  <. x ,  z >.  =  <. x ,  y >. )
1615eleq1d 2514 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  y  ->  ( <. x ,  z >.  e.  R  <->  <. x ,  y
>.  e.  R ) )
17 df-br 4375 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x R y  <->  <. x ,  y >.  e.  R
)
1816, 17syl6bbr 271 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  y  ->  ( <. x ,  z >.  e.  R  <->  x R y ) )
1918anbi2d 715 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  y  ->  (
( x  e.  A  /\  <. x ,  z
>.  e.  R )  <->  ( x  e.  A  /\  x R y ) ) )
2019exbidv 1772 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  y  ->  ( E. x ( x  e.  A  /\  <. x ,  z >.  e.  R
)  <->  E. x ( x  e.  A  /\  x R y ) ) )
2114, 20elab 3153 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  { z  |  E. x ( x  e.  A  /\  <. x ,  z >.  e.  R
) }  <->  E. x
( x  e.  A  /\  x R y ) )
2221imbi1i 331 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  { z  |  E. x ( x  e.  A  /\  <.
x ,  z >.  e.  R ) }  ->  y  e.  A )  <->  ( E. x ( x  e.  A  /\  x R y )  ->  y  e.  A ) )
2322albii 1695 . . . . 5  |-  ( A. y ( y  e. 
{ z  |  E. x ( x  e.  A  /\  <. x ,  z >.  e.  R
) }  ->  y  e.  A )  <->  A. y
( E. x ( x  e.  A  /\  x R y )  -> 
y  e.  A ) )
2413, 23bitr2i 258 . . . 4  |-  ( A. y ( E. x
( x  e.  A  /\  x R y )  ->  y  e.  A
)  <->  { z  |  E. x ( x  e.  A  /\  <. x ,  z >.  e.  R
) }  C_  A
)
25 dfima3 5149 . . . . . 6  |-  ( R
" A )  =  { z  |  E. x ( x  e.  A  /\  <. x ,  z >.  e.  R
) }
2625eqcomi 2461 . . . . 5  |-  { z  |  E. x ( x  e.  A  /\  <.
x ,  z >.  e.  R ) }  =  ( R " A )
2726sseq1i 3424 . . . 4  |-  ( { z  |  E. x
( x  e.  A  /\  <. x ,  z
>.  e.  R ) } 
C_  A  <->  ( R " A )  C_  A
)
2824, 27bitri 257 . . 3  |-  ( A. y ( E. x
( x  e.  A  /\  x R y )  ->  y  e.  A
)  <->  ( R " A )  C_  A
)
2912, 28bitr2i 258 . 2  |-  ( ( R " A ) 
C_  A  <->  A. x
( x  e.  A  ->  A. y ( x R y  ->  y  e.  A ) ) )
301, 29bitri 257 1  |-  ( R hereditary  A 
<-> 
A. x ( x  e.  A  ->  A. y
( x R y  ->  y  e.  A
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375   A.wal 1446   E.wex 1667    e. wcel 1891   {cab 2438    C_ wss 3372   <.cop 3942   class class class wbr 4374   "cima 4815   hereditary whe 36369
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1673  ax-4 1686  ax-5 1762  ax-6 1809  ax-7 1855  ax-9 1900  ax-10 1919  ax-11 1924  ax-12 1937  ax-13 2092  ax-ext 2432  ax-sep 4497  ax-nul 4506  ax-pr 4612
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3an 988  df-tru 1451  df-ex 1668  df-nf 1672  df-sb 1802  df-eu 2304  df-mo 2305  df-clab 2439  df-cleq 2445  df-clel 2448  df-nfc 2582  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-rab 2746  df-v 3015  df-dif 3375  df-un 3377  df-in 3379  df-ss 3386  df-nul 3700  df-if 3850  df-sn 3937  df-pr 3939  df-op 3943  df-br 4375  df-opab 4434  df-xp 4818  df-cnv 4820  df-dm 4822  df-rn 4823  df-res 4824  df-ima 4825  df-he 36370
This theorem is referenced by:  psshepw  36386  dffrege69  36530
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