Theorem dfhe3 38007

Description: The property of relation R being hereditary in class A. (Contributed by RP, 27-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
dfhe3	|- ( R hereditary A <-> A. x ( x e. A -> A. y ( x R y -> y e. A ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, R, y

Proof of Theorem dfhe3

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-he 38005	. 2 |- ( R hereditary A <-> ( R " A ) C_ A )
2		19.21v 1730	. . . . . 6 |- ( A. y ( x e. A -> ( x R y -> y e. A ) ) <-> ( x e. A -> A. y ( x R y -> y e. A ) ) )
3	2	bicomi 202	. . . . 5 |- ( ( x e. A -> A. y ( x R y -> y e. A ) ) <-> A. y ( x e. A -> ( x R y -> y e. A ) ) )
4	3	albii 1641	. . . 4 |- ( A. x ( x e. A -> A. y ( x R y -> y e. A ) ) <-> A. x A. y ( x e. A -> ( x R y -> y e. A ) ) )
5		alcom 1846	. . . 4 |- ( A. x A. y ( x e. A -> ( x R y -> y e. A ) ) <-> A. y A. x ( x e. A -> ( x R y -> y e. A ) ) )
6		impexp 446	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. A /\ x R y ) -> y e. A ) <-> ( x e. A -> ( x R y -> y e. A ) ) )
7	6	bicomi 202	. . . . . . 7 |- ( ( x e. A -> ( x R y -> y e. A ) ) <-> ( ( x e. A /\ x R y ) -> y e. A ) )
8	7	albii 1641	. . . . . 6 |- ( A. x ( x e. A -> ( x R y -> y e. A ) ) <-> A. x ( ( x e. A /\ x R y ) -> y e. A ) )
9		19.23v 1761	. . . . . 6 |- ( A. x ( ( x e. A /\ x R y ) -> y e. A ) <-> ( E. x ( x e. A /\ x R y ) -> y e. A ) )
10	8, 9	bitri 249	. . . . 5 |- ( A. x ( x e. A -> ( x R y -> y e. A ) ) <-> ( E. x ( x e. A /\ x R y ) -> y e. A ) )
11	10	albii 1641	. . . 4 |- ( A. y A. x ( x e. A -> ( x R y -> y e. A ) ) <-> A. y ( E. x ( x e. A /\ x R y ) -> y e. A ) )
12	4, 5, 11	3bitri 271	. . 3 |- ( A. x ( x e. A -> A. y ( x R y -> y e. A ) ) <-> A. y ( E. x ( x e. A /\ x R y ) -> y e. A ) )
13		dfss2 3488	. . . . 5 |- ( { z | E. x ( x e. A /\ <. x , z >. e. R ) } C_ A <-> A. y ( y e. { z | E. x ( x e. A /\ <. x , z >. e. R ) } -> y e. A ) )
14		vex 3112	. . . . . . . 8 |- y e. _V
15		opeq2 4220	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = y -> <. x , z >. = <. x , y >. )
16	15	eleq1d 2526	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = y -> ( <. x , z >. e. R <-> <. x , y >. e. R ) )
17		df-br 4457	. . . . . . . . . . 11 |- ( x R y <-> <. x , y >. e. R )
18	16, 17	syl6bbr 263	. . . . . . . . . 10 |- ( z = y -> ( <. x , z >. e. R <-> x R y ) )
19	18	anbi2d 703	. . . . . . . . 9 |- ( z = y -> ( ( x e. A /\ <. x , z >. e. R ) <-> ( x e. A /\ x R y ) ) )
20	19	exbidv 1715	. . . . . . . 8 |- ( z = y -> ( E. x ( x e. A /\ <. x , z >. e. R ) <-> E. x ( x e. A /\ x R y ) ) )
21	14, 20	elab 3246	. . . . . . 7 |- ( y e. { z | E. x ( x e. A /\ <. x , z >. e. R ) } <-> E. x ( x e. A /\ x R y ) )
22	21	imbi1i 325	. . . . . 6 |- ( ( y e. { z | E. x ( x e. A /\ <. x , z >. e. R ) } -> y e. A ) <-> ( E. x ( x e. A /\ x R y ) -> y e. A ) )
23	22	albii 1641	. . . . 5 |- ( A. y ( y e. { z | E. x ( x e. A /\ <. x , z >. e. R ) } -> y e. A ) <-> A. y ( E. x ( x e. A /\ x R y ) -> y e. A ) )
24	13, 23	bitr2i 250	. . . 4 |- ( A. y ( E. x ( x e. A /\ x R y ) -> y e. A ) <-> { z | E. x ( x e. A /\ <. x , z >. e. R ) } C_ A )
25		dfima3 5350	. . . . . 6 |- ( R " A ) = { z | E. x ( x e. A /\ <. x , z >. e. R ) }
26	25	eqcomi 2470	. . . . 5 |- { z | E. x ( x e. A /\ <. x , z >. e. R ) } = ( R " A )
27	26	sseq1i 3523	. . . 4 |- ( { z | E. x ( x e. A /\ <. x , z >. e. R ) } C_ A <-> ( R " A ) C_ A )
28	24, 27	bitri 249	. . 3 |- ( A. y ( E. x ( x e. A /\ x R y ) -> y e. A ) <-> ( R " A ) C_ A )
29	12, 28	bitr2i 250	. 2 |- ( ( R " A ) C_ A <-> A. x ( x e. A -> A. y ( x R y -> y e. A ) ) )
30	1, 29	bitri 249	1 |- ( R hereditary A <-> A. x ( x e. A -> A. y ( x R y -> y e. A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   A.wal 1393   E.wex 1613   e. wcel 1819   {cab 2442   C_ wss 3471   <.cop 4038   class class class wbr 4456   "cima 5011   hereditary whe 38004

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pr 4695

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-br 4457  df-opab 4516  df-xp 5014  df-cnv 5016  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-he 38005

This theorem is referenced by:  psshepw  38019  dffrege69  38167