Theorem dfhe3 36372

Description: The property of relation R being hereditary in class A. (Contributed by RP, 27-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
dfhe3	|- ( R hereditary A <-> A. x ( x e. A -> A. y ( x R y -> y e. A ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, R, y

Proof of Theorem dfhe3

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-he 36370	. 2 |- ( R hereditary A <-> ( R " A ) C_ A )
2		19.21v 1790	. . . . . 6 |- ( A. y ( x e. A -> ( x R y -> y e. A ) ) <-> ( x e. A -> A. y ( x R y -> y e. A ) ) )
3	2	bicomi 207	. . . . 5 |- ( ( x e. A -> A. y ( x R y -> y e. A ) ) <-> A. y ( x e. A -> ( x R y -> y e. A ) ) )
4	3	albii 1695	. . . 4 |- ( A. x ( x e. A -> A. y ( x R y -> y e. A ) ) <-> A. x A. y ( x e. A -> ( x R y -> y e. A ) ) )
5		alcom 1927	. . . 4 |- ( A. x A. y ( x e. A -> ( x R y -> y e. A ) ) <-> A. y A. x ( x e. A -> ( x R y -> y e. A ) ) )
6		impexp 452	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. A /\ x R y ) -> y e. A ) <-> ( x e. A -> ( x R y -> y e. A ) ) )
7	6	bicomi 207	. . . . . . 7 |- ( ( x e. A -> ( x R y -> y e. A ) ) <-> ( ( x e. A /\ x R y ) -> y e. A ) )
8	7	albii 1695	. . . . . 6 |- ( A. x ( x e. A -> ( x R y -> y e. A ) ) <-> A. x ( ( x e. A /\ x R y ) -> y e. A ) )
9		19.23v 1822	. . . . . 6 |- ( A. x ( ( x e. A /\ x R y ) -> y e. A ) <-> ( E. x ( x e. A /\ x R y ) -> y e. A ) )
10	8, 9	bitri 257	. . . . 5 |- ( A. x ( x e. A -> ( x R y -> y e. A ) ) <-> ( E. x ( x e. A /\ x R y ) -> y e. A ) )
11	10	albii 1695	. . . 4 |- ( A. y A. x ( x e. A -> ( x R y -> y e. A ) ) <-> A. y ( E. x ( x e. A /\ x R y ) -> y e. A ) )
12	4, 5, 11	3bitri 279	. . 3 |- ( A. x ( x e. A -> A. y ( x R y -> y e. A ) ) <-> A. y ( E. x ( x e. A /\ x R y ) -> y e. A ) )
13		dfss2 3389	. . . . 5 |- ( { z | E. x ( x e. A /\ <. x , z >. e. R ) } C_ A <-> A. y ( y e. { z | E. x ( x e. A /\ <. x , z >. e. R ) } -> y e. A ) )
14		vex 3016	. . . . . . . 8 |- y e. _V
15		opeq2 4137	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = y -> <. x , z >. = <. x , y >. )
16	15	eleq1d 2514	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = y -> ( <. x , z >. e. R <-> <. x , y >. e. R ) )
17		df-br 4375	. . . . . . . . . . 11 |- ( x R y <-> <. x , y >. e. R )
18	16, 17	syl6bbr 271	. . . . . . . . . 10 |- ( z = y -> ( <. x , z >. e. R <-> x R y ) )
19	18	anbi2d 715	. . . . . . . . 9 |- ( z = y -> ( ( x e. A /\ <. x , z >. e. R ) <-> ( x e. A /\ x R y ) ) )
20	19	exbidv 1772	. . . . . . . 8 |- ( z = y -> ( E. x ( x e. A /\ <. x , z >. e. R ) <-> E. x ( x e. A /\ x R y ) ) )
21	14, 20	elab 3153	. . . . . . 7 |- ( y e. { z | E. x ( x e. A /\ <. x , z >. e. R ) } <-> E. x ( x e. A /\ x R y ) )
22	21	imbi1i 331	. . . . . 6 |- ( ( y e. { z | E. x ( x e. A /\ <. x , z >. e. R ) } -> y e. A ) <-> ( E. x ( x e. A /\ x R y ) -> y e. A ) )
23	22	albii 1695	. . . . 5 |- ( A. y ( y e. { z | E. x ( x e. A /\ <. x , z >. e. R ) } -> y e. A ) <-> A. y ( E. x ( x e. A /\ x R y ) -> y e. A ) )
24	13, 23	bitr2i 258	. . . 4 |- ( A. y ( E. x ( x e. A /\ x R y ) -> y e. A ) <-> { z | E. x ( x e. A /\ <. x , z >. e. R ) } C_ A )
25		dfima3 5149	. . . . . 6 |- ( R " A ) = { z | E. x ( x e. A /\ <. x , z >. e. R ) }
26	25	eqcomi 2461	. . . . 5 |- { z | E. x ( x e. A /\ <. x , z >. e. R ) } = ( R " A )
27	26	sseq1i 3424	. . . 4 |- ( { z | E. x ( x e. A /\ <. x , z >. e. R ) } C_ A <-> ( R " A ) C_ A )
28	24, 27	bitri 257	. . 3 |- ( A. y ( E. x ( x e. A /\ x R y ) -> y e. A ) <-> ( R " A ) C_ A )
29	12, 28	bitr2i 258	. 2 |- ( ( R " A ) C_ A <-> A. x ( x e. A -> A. y ( x R y -> y e. A ) ) )
30	1, 29	bitri 257	1 |- ( R hereditary A <-> A. x ( x e. A -> A. y ( x R y -> y e. A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 375   A.wal 1446   E.wex 1667   e. wcel 1891   {cab 2438   C_ wss 3372   <.cop 3942   class class class wbr 4374   "cima 4815   hereditary whe 36369

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1673  ax-4 1686  ax-5 1762  ax-6 1809  ax-7 1855  ax-9 1900  ax-10 1919  ax-11 1924  ax-12 1937  ax-13 2092  ax-ext 2432  ax-sep 4497  ax-nul 4506  ax-pr 4612

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3an 988  df-tru 1451  df-ex 1668  df-nf 1672  df-sb 1802  df-eu 2304  df-mo 2305  df-clab 2439  df-cleq 2445  df-clel 2448  df-nfc 2582  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-rab 2746  df-v 3015  df-dif 3375  df-un 3377  df-in 3379  df-ss 3386  df-nul 3700  df-if 3850  df-sn 3937  df-pr 3939  df-op 3943  df-br 4375  df-opab 4434  df-xp 4818  df-cnv 4820  df-dm 4822  df-rn 4823  df-res 4824  df-ima 4825  df-he 36370

This theorem is referenced by:  psshepw  36386  dffrege69  36530