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Theorem dfhe3 38007
Description: The property of relation  R being hereditary in class  A. (Contributed by RP, 27-Mar-2020.)
Assertion
Ref Expression
dfhe3  |-  ( R hereditary  A 
<-> 
A. x ( x  e.  A  ->  A. y
( x R y  ->  y  e.  A
) ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, R, y

Proof of Theorem dfhe3
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-he 38005 . 2  |-  ( R hereditary  A 
<->  ( R " A
)  C_  A )
2 19.21v 1730 . . . . . 6  |-  ( A. y ( x  e.  A  ->  ( x R y  ->  y  e.  A ) )  <->  ( x  e.  A  ->  A. y
( x R y  ->  y  e.  A
) ) )
32bicomi 202 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  ->  A. y ( x R y  ->  y  e.  A ) )  <->  A. y
( x  e.  A  ->  ( x R y  ->  y  e.  A
) ) )
43albii 1641 . . . 4  |-  ( A. x ( x  e.  A  ->  A. y
( x R y  ->  y  e.  A
) )  <->  A. x A. y ( x  e.  A  ->  ( x R y  ->  y  e.  A ) ) )
5 alcom 1846 . . . 4  |-  ( A. x A. y ( x  e.  A  ->  (
x R y  -> 
y  e.  A ) )  <->  A. y A. x
( x  e.  A  ->  ( x R y  ->  y  e.  A
) ) )
6 impexp 446 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  x R y )  ->  y  e.  A
)  <->  ( x  e.  A  ->  ( x R y  ->  y  e.  A ) ) )
76bicomi 202 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  -> 
( x R y  ->  y  e.  A
) )  <->  ( (
x  e.  A  /\  x R y )  -> 
y  e.  A ) )
87albii 1641 . . . . . 6  |-  ( A. x ( x  e.  A  ->  ( x R y  ->  y  e.  A ) )  <->  A. x
( ( x  e.  A  /\  x R y )  ->  y  e.  A ) )
9 19.23v 1761 . . . . . 6  |-  ( A. x ( ( x  e.  A  /\  x R y )  -> 
y  e.  A )  <-> 
( E. x ( x  e.  A  /\  x R y )  -> 
y  e.  A ) )
108, 9bitri 249 . . . . 5  |-  ( A. x ( x  e.  A  ->  ( x R y  ->  y  e.  A ) )  <->  ( E. x ( x  e.  A  /\  x R y )  ->  y  e.  A ) )
1110albii 1641 . . . 4  |-  ( A. y A. x ( x  e.  A  ->  (
x R y  -> 
y  e.  A ) )  <->  A. y ( E. x ( x  e.  A  /\  x R y )  ->  y  e.  A ) )
124, 5, 113bitri 271 . . 3  |-  ( A. x ( x  e.  A  ->  A. y
( x R y  ->  y  e.  A
) )  <->  A. y
( E. x ( x  e.  A  /\  x R y )  -> 
y  e.  A ) )
13 dfss2 3488 . . . . 5  |-  ( { z  |  E. x
( x  e.  A  /\  <. x ,  z
>.  e.  R ) } 
C_  A  <->  A. y
( y  e.  {
z  |  E. x
( x  e.  A  /\  <. x ,  z
>.  e.  R ) }  ->  y  e.  A
) )
14 vex 3112 . . . . . . . 8  |-  y  e. 
_V
15 opeq2 4220 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  y  ->  <. x ,  z >.  =  <. x ,  y >. )
1615eleq1d 2526 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  y  ->  ( <. x ,  z >.  e.  R  <->  <. x ,  y
>.  e.  R ) )
17 df-br 4457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x R y  <->  <. x ,  y >.  e.  R
)
1816, 17syl6bbr 263 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  y  ->  ( <. x ,  z >.  e.  R  <->  x R y ) )
1918anbi2d 703 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  y  ->  (
( x  e.  A  /\  <. x ,  z
>.  e.  R )  <->  ( x  e.  A  /\  x R y ) ) )
2019exbidv 1715 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  y  ->  ( E. x ( x  e.  A  /\  <. x ,  z >.  e.  R
)  <->  E. x ( x  e.  A  /\  x R y ) ) )
2114, 20elab 3246 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  { z  |  E. x ( x  e.  A  /\  <. x ,  z >.  e.  R
) }  <->  E. x
( x  e.  A  /\  x R y ) )
2221imbi1i 325 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  { z  |  E. x ( x  e.  A  /\  <.
x ,  z >.  e.  R ) }  ->  y  e.  A )  <->  ( E. x ( x  e.  A  /\  x R y )  ->  y  e.  A ) )
2322albii 1641 . . . . 5  |-  ( A. y ( y  e. 
{ z  |  E. x ( x  e.  A  /\  <. x ,  z >.  e.  R
) }  ->  y  e.  A )  <->  A. y
( E. x ( x  e.  A  /\  x R y )  -> 
y  e.  A ) )
2413, 23bitr2i 250 . . . 4  |-  ( A. y ( E. x
( x  e.  A  /\  x R y )  ->  y  e.  A
)  <->  { z  |  E. x ( x  e.  A  /\  <. x ,  z >.  e.  R
) }  C_  A
)
25 dfima3 5350 . . . . . 6  |-  ( R
" A )  =  { z  |  E. x ( x  e.  A  /\  <. x ,  z >.  e.  R
) }
2625eqcomi 2470 . . . . 5  |-  { z  |  E. x ( x  e.  A  /\  <.
x ,  z >.  e.  R ) }  =  ( R " A )
2726sseq1i 3523 . . . 4  |-  ( { z  |  E. x
( x  e.  A  /\  <. x ,  z
>.  e.  R ) } 
C_  A  <->  ( R " A )  C_  A
)
2824, 27bitri 249 . . 3  |-  ( A. y ( E. x
( x  e.  A  /\  x R y )  ->  y  e.  A
)  <->  ( R " A )  C_  A
)
2912, 28bitr2i 250 . 2  |-  ( ( R " A ) 
C_  A  <->  A. x
( x  e.  A  ->  A. y ( x R y  ->  y  e.  A ) ) )
301, 29bitri 249 1  |-  ( R hereditary  A 
<-> 
A. x ( x  e.  A  ->  A. y
( x R y  ->  y  e.  A
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1393   E.wex 1613    e. wcel 1819   {cab 2442    C_ wss 3471   <.cop 4038   class class class wbr 4456   "cima 5011   hereditary whe 38004
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pr 4695
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-br 4457  df-opab 4516  df-xp 5014  df-cnv 5016  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-he 38005
This theorem is referenced by:  psshepw  38019  dffrege69  38167
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