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Theorem dffv2 5931
Description: Alternate definition of function value df-fv 5586 that doesn't require dummy variables. (Contributed by NM, 4-Aug-2010.)
Assertion
Ref Expression
dffv2  |-  ( F `
 A )  = 
U. ( ( F
" { A }
)  \  U. U. (
( ( F  |`  { A } )  o.  `' ( F  |`  { A } ) ) 
\  _I  ) )

Proof of Theorem dffv2
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snidb 4041 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  <->  A  e.  { A } )
2 fvres 5870 . . . . 5  |-  ( A  e.  { A }  ->  ( ( F  |`  { A } ) `  A )  =  ( F `  A ) )
31, 2sylbi 195 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  (
( F  |`  { A } ) `  A
)  =  ( F `
 A ) )
4 fvprc 5850 . . . . 5  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( ( F  |`  { A } ) `  A
)  =  (/) )
5 fvprc 5850 . . . . 5  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( F `  A )  =  (/) )
64, 5eqtr4d 2487 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( ( F  |`  { A } ) `  A
)  =  ( F `
 A ) )
73, 6pm2.61i 164 . . 3  |-  ( ( F  |`  { A } ) `  A
)  =  ( F `
 A )
8 funfv 5925 . . . 4  |-  ( Fun  ( F  |`  { A } )  ->  (
( F  |`  { A } ) `  A
)  =  U. (
( F  |`  { A } ) " { A } ) )
9 df-fun 5580 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Fun  ( F  |`  { A } )  <->  ( Rel  ( F  |`  { A } )  /\  (
( F  |`  { A } )  o.  `' ( F  |`  { A } ) )  C_  _I  ) )
109simprbi 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Fun  ( F  |`  { A } )  ->  (
( F  |`  { A } )  o.  `' ( F  |`  { A } ) )  C_  _I  )
11 ssdif0 3871 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F  |`  { A } )  o.  `' ( F  |`  { A } ) )  C_  _I 
<->  ( ( ( F  |`  { A } )  o.  `' ( F  |`  { A } ) )  \  _I  )  =  (/) )
1210, 11sylib 196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Fun  ( F  |`  { A } )  ->  (
( ( F  |`  { A } )  o.  `' ( F  |`  { A } ) ) 
\  _I  )  =  (/) )
1312unieqd 4244 . . . . . . . . . 10  |-  ( Fun  ( F  |`  { A } )  ->  U. (
( ( F  |`  { A } )  o.  `' ( F  |`  { A } ) ) 
\  _I  )  = 
U. (/) )
14 uni0 4261 . . . . . . . . . 10  |-  U. (/)  =  (/)
1513, 14syl6eq 2500 . . . . . . . . 9  |-  ( Fun  ( F  |`  { A } )  ->  U. (
( ( F  |`  { A } )  o.  `' ( F  |`  { A } ) ) 
\  _I  )  =  (/) )
1615unieqd 4244 . . . . . . . 8  |-  ( Fun  ( F  |`  { A } )  ->  U. U. ( ( ( F  |`  { A } )  o.  `' ( F  |`  { A } ) )  \  _I  )  =  U. (/) )
1716, 14syl6eq 2500 . . . . . . 7  |-  ( Fun  ( F  |`  { A } )  ->  U. U. ( ( ( F  |`  { A } )  o.  `' ( F  |`  { A } ) )  \  _I  )  =  (/) )
1817difeq2d 3607 . . . . . 6  |-  ( Fun  ( F  |`  { A } )  ->  (
( F " { A } )  \  U. U. ( ( ( F  |`  { A } )  o.  `' ( F  |`  { A } ) )  \  _I  )
)  =  ( ( F " { A } )  \  (/) ) )
19 resima 5296 . . . . . . 7  |-  ( ( F  |`  { A } ) " { A } )  =  ( F " { A } )
20 dif0 3884 . . . . . . 7  |-  ( ( F " { A } )  \  (/) )  =  ( F " { A } )
2119, 20eqtr4i 2475 . . . . . 6  |-  ( ( F  |`  { A } ) " { A } )  =  ( ( F " { A } )  \  (/) )
2218, 21syl6reqr 2503 . . . . 5  |-  ( Fun  ( F  |`  { A } )  ->  (
( F  |`  { A } ) " { A } )  =  ( ( F " { A } )  \  U. U. ( ( ( F  |`  { A } )  o.  `' ( F  |`  { A } ) )  \  _I  )
) )
2322unieqd 4244 . . . 4  |-  ( Fun  ( F  |`  { A } )  ->  U. (
( F  |`  { A } ) " { A } )  =  U. ( ( F " { A } )  \  U. U. ( ( ( F  |`  { A } )  o.  `' ( F  |`  { A } ) )  \  _I  ) ) )
248, 23eqtrd 2484 . . 3  |-  ( Fun  ( F  |`  { A } )  ->  (
( F  |`  { A } ) `  A
)  =  U. (
( F " { A } )  \  U. U. ( ( ( F  |`  { A } )  o.  `' ( F  |`  { A } ) )  \  _I  )
) )
257, 24syl5eqr 2498 . 2  |-  ( Fun  ( F  |`  { A } )  ->  ( F `  A )  =  U. ( ( F
" { A }
)  \  U. U. (
( ( F  |`  { A } )  o.  `' ( F  |`  { A } ) ) 
\  _I  ) ) )
26 nfunsn 5887 . . 3  |-  ( -. 
Fun  ( F  |`  { A } )  -> 
( F `  A
)  =  (/) )
27 relres 5291 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  Rel  ( F  |`  { A }
)
28 dffun3 5589 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Fun  ( F  |`  { A } )  <->  ( Rel  ( F  |`  { A } )  /\  A. x E. y A. z
( x ( F  |`  { A } ) z  ->  z  =  y ) ) )
2927, 28mpbiran 918 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Fun  ( F  |`  { A } )  <->  A. x E. y A. z ( x ( F  |`  { A } ) z  ->  z  =  y ) )
30 iman 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x ( F  |`  { A } ) z  ->  z  =  y )  <->  -.  ( x
( F  |`  { A } ) z  /\  -.  z  =  y
) )
3130albii 1627 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. z ( x ( F  |`  { A } ) z  -> 
z  =  y )  <->  A. z  -.  (
x ( F  |`  { A } ) z  /\  -.  z  =  y ) )
32 alnex 1601 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. z  -.  ( x ( F  |`  { A } ) z  /\  -.  z  =  y
)  <->  -.  E. z
( x ( F  |`  { A } ) z  /\  -.  z  =  y ) )
3331, 32bitri 249 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. z ( x ( F  |`  { A } ) z  -> 
z  =  y )  <->  -.  E. z ( x ( F  |`  { A } ) z  /\  -.  z  =  y
) )
3433exbii 1654 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. y A. z ( x ( F  |`  { A } ) z  ->  z  =  y )  <->  E. y  -.  E. z ( x ( F  |`  { A } ) z  /\  -.  z  =  y
) )
35 exnal 1635 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. y  -.  E. z
( x ( F  |`  { A } ) z  /\  -.  z  =  y )  <->  -.  A. y E. z ( x ( F  |`  { A } ) z  /\  -.  z  =  y
) )
3634, 35bitri 249 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. y A. z ( x ( F  |`  { A } ) z  ->  z  =  y )  <->  -.  A. y E. z ( x ( F  |`  { A } ) z  /\  -.  z  =  y
) )
3736albii 1627 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. x E. y A. z
( x ( F  |`  { A } ) z  ->  z  =  y )  <->  A. x  -.  A. y E. z
( x ( F  |`  { A } ) z  /\  -.  z  =  y ) )
38 alnex 1601 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. x  -.  A. y E. z ( x ( F  |`  { A } ) z  /\  -.  z  =  y
)  <->  -.  E. x A. y E. z ( x ( F  |`  { A } ) z  /\  -.  z  =  y ) )
3929, 37, 383bitrri 272 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -. 
E. x A. y E. z ( x ( F  |`  { A } ) z  /\  -.  z  =  y
)  <->  Fun  ( F  |`  { A } ) )
4039con1bii 331 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -. 
Fun  ( F  |`  { A } )  <->  E. x A. y E. z ( x ( F  |`  { A } ) z  /\  -.  z  =  y ) )
41 sp 1845 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. y E. z ( x ( F  |`  { A } ) z  /\  -.  z  =  y
)  ->  E. z
( x ( F  |`  { A } ) z  /\  -.  z  =  y ) )
4241eximi 1643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. x A. y E. z ( x ( F  |`  { A } ) z  /\  -.  z  =  y
)  ->  E. x E. z ( x ( F  |`  { A } ) z  /\  -.  z  =  y
) )
4340, 42sylbi 195 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -. 
Fun  ( F  |`  { A } )  ->  E. x E. z ( x ( F  |`  { A } ) z  /\  -.  z  =  y ) )
44 snssi 4159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A  e.  dom  ( F  |`  { A } )  ->  { A }  C_ 
dom  ( F  |`  { A } ) )
45 residm 5295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( F  |`  { A } )  |`  { A } )  =  ( F  |`  { A } )
4645dmeqi 5194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  dom  (
( F  |`  { A } )  |`  { A } )  =  dom  ( F  |`  { A } )
47 ssdmres 5285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( { A }  C_  dom  ( F  |`  { A } )  <->  dom  ( ( F  |`  { A } )  |`  { A } )  =  { A } )
4847biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( { A }  C_  dom  ( F  |`  { A } )  ->  dom  ( ( F  |`  { A } )  |`  { A } )  =  { A } )
4946, 48syl5eqr 2498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( { A }  C_  dom  ( F  |`  { A } )  ->  dom  ( F  |`  { A } )  =  { A } )
5044, 49syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  e.  dom  ( F  |`  { A } )  ->  dom  ( F  |` 
{ A } )  =  { A }
)
51 vex 3098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  x  e. 
_V
52 vex 3098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  z  e. 
_V
5351, 52breldm 5197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x ( F  |`  { A } ) z  ->  x  e.  dom  ( F  |`  { A } ) )
54 eleq2 2516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( dom  ( F  |`  { A } )  =  { A }  ->  ( x  e.  dom  ( F  |`  { A } )  <-> 
x  e.  { A } ) )
55 elsn 4028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  { A }  <->  x  =  A )
5654, 55syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( dom  ( F  |`  { A } )  =  { A }  ->  ( x  e.  dom  ( F  |`  { A } )  <-> 
x  =  A ) )
5756biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( dom  ( F  |`  { A } )  =  { A }  /\  x  e.  dom  ( F  |`  { A } ) )  ->  x  =  A )
5850, 53, 57syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  dom  ( F  |`  { A }
)  /\  x ( F  |`  { A }
) z )  ->  x  =  A )
5958breq1d 4447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  dom  ( F  |`  { A }
)  /\  x ( F  |`  { A }
) z )  -> 
( x ( F  |`  { A } ) z  <->  A ( F  |`  { A } ) z ) )
6059biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  dom  ( F  |`  { A }
)  /\  x ( F  |`  { A }
) z )  -> 
( x ( F  |`  { A } ) z  ->  A ( F  |`  { A }
) z ) )
6160ex 434 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  dom  ( F  |`  { A } )  ->  ( x ( F  |`  { A } ) z  -> 
( x ( F  |`  { A } ) z  ->  A ( F  |`  { A }
) z ) ) )
6261pm2.43d 48 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  dom  ( F  |`  { A } )  ->  ( x ( F  |`  { A } ) z  ->  A ( F  |`  { A } ) z ) )
6362anim1d 564 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  dom  ( F  |`  { A } )  ->  ( ( x ( F  |`  { A } ) z  /\  -.  z  =  y
)  ->  ( A
( F  |`  { A } ) z  /\  -.  z  =  y
) ) )
6463eximdv 1697 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  dom  ( F  |`  { A } )  ->  ( E. z
( x ( F  |`  { A } ) z  /\  -.  z  =  y )  ->  E. z ( A ( F  |`  { A } ) z  /\  -.  z  =  y
) ) )
6564exlimdv 1711 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  dom  ( F  |`  { A } )  ->  ( E. x E. z ( x ( F  |`  { A } ) z  /\  -.  z  =  y
)  ->  E. z
( A ( F  |`  { A } ) z  /\  -.  z  =  y ) ) )
6643, 65mpan9 469 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  Fun  ( F  |`  { A } )  /\  A  e.  dom  ( F  |`  { A } ) )  ->  E. z ( A ( F  |`  { A } ) z  /\  -.  z  =  y
) )
6719eleq2i 2521 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( ( F  |`  { A } )
" { A }
)  <->  y  e.  ( F " { A } ) )
68 elimasni 5354 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( ( F  |`  { A } )
" { A }
)  ->  A ( F  |`  { A }
) y )
6967, 68sylbir 213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( F " { A } )  ->  A ( F  |`  { A } ) y )
70 vex 3098 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  y  e. 
_V
7170, 52uniop 4740 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  U. <. y ,  z >.  =  {
y ,  z }
72 opex 4701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  <. y ,  z >.  e.  _V
7372unisn 4249 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  U. { <. y ,  z >. }  =  <. y ,  z >.
7427brrelexi 5030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( A ( F  |`  { A } ) z  ->  A  e.  _V )
75 brcnvg 5173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( y  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( y `' ( F  |`  { A } ) A  <->  A ( F  |`  { A }
) y ) )
7670, 74, 75sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( A ( F  |`  { A } ) z  -> 
( y `' ( F  |`  { A } ) A  <->  A ( F  |`  { A }
) y ) )
7776biimpar 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A ( F  |`  { A } ) z  /\  A ( F  |`  { A } ) y )  ->  y `' ( F  |`  { A } ) A )
7874adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( y `' ( F  |`  { A } ) A  /\  A ( F  |`  { A } ) z )  ->  A  e.  _V )
79 breq2 4441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( x  =  A  ->  (
y `' ( F  |`  { A } ) x  <->  y `' ( F  |`  { A } ) A ) )
80 breq1 4440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( x  =  A  ->  (
x ( F  |`  { A } ) z  <-> 
A ( F  |`  { A } ) z ) )
8179, 80anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( x  =  A  ->  (
( y `' ( F  |`  { A } ) x  /\  x ( F  |`  { A } ) z )  <->  ( y `' ( F  |`  { A } ) A  /\  A ( F  |`  { A } ) z ) ) )
8281rspcev 3196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( A  e.  _V  /\  ( y `' ( F  |`  { A } ) A  /\  A ( F  |`  { A } ) z ) )  ->  E. x  e.  _V  ( y `' ( F  |`  { A } ) x  /\  x ( F  |`  { A } ) z ) )
8378, 82mpancom 669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( y `' ( F  |`  { A } ) A  /\  A ( F  |`  { A } ) z )  ->  E. x  e.  _V  ( y `' ( F  |`  { A } ) x  /\  x ( F  |`  { A } ) z ) )
8483ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A ( F  |`  { A } ) z  /\  y `' ( F  |`  { A } ) A )  ->  E. x  e.  _V  ( y `' ( F  |`  { A } ) x  /\  x ( F  |`  { A } ) z ) )
8577, 84syldan 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A ( F  |`  { A } ) z  /\  A ( F  |`  { A } ) y )  ->  E. x  e.  _V  ( y `' ( F  |`  { A } ) x  /\  x ( F  |`  { A } ) z ) )
8685anim1i 568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A ( F  |`  { A } ) z  /\  A ( F  |`  { A } ) y )  /\  -.  z  =  y )  ->  ( E. x  e.  _V  ( y `' ( F  |`  { A } ) x  /\  x ( F  |`  { A } ) z )  /\  -.  z  =  y ) )
8786an32s 804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A ( F  |`  { A } ) z  /\  -.  z  =  y )  /\  A ( F  |`  { A } ) y )  ->  ( E. x  e.  _V  (
y `' ( F  |`  { A } ) x  /\  x ( F  |`  { A } ) z )  /\  -.  z  =  y ) )
88 eldif 3471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  ( ( ( F  |`  { A } )  o.  `' ( F  |`  { A } ) )  \  _I  )  <->  (
<. y ,  z >.  e.  ( ( F  |`  { A } )  o.  `' ( F  |`  { A } ) )  /\  -.  <. y ,  z >.  e.  _I  ) )
89 rexv 3110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( E. x  e.  _V  (
y `' ( F  |`  { A } ) x  /\  x ( F  |`  { A } ) z )  <->  E. x ( y `' ( F  |`  { A } ) x  /\  x ( F  |`  { A } ) z ) )
9070, 52brco 5163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( y ( ( F  |`  { A } )  o.  `' ( F  |`  { A } ) ) z  <->  E. x ( y `' ( F  |`  { A } ) x  /\  x ( F  |`  { A } ) z ) )
91 df-br 4438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( y ( ( F  |`  { A } )  o.  `' ( F  |`  { A } ) ) z  <->  <. y ,  z
>.  e.  ( ( F  |`  { A } )  o.  `' ( F  |`  { A } ) ) )
9289, 90, 913bitr2ri 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  ( ( F  |`  { A } )  o.  `' ( F  |`  { A } ) )  <->  E. x  e.  _V  ( y `' ( F  |`  { A } ) x  /\  x ( F  |`  { A } ) z ) )
9352ideq 5145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  _I  z  <->  y  =  z )
94 df-br 4438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  _I  z  <->  <. y ,  z >.  e.  _I  )
95 equcom 1780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  =  z  <->  z  =  y )
9693, 94, 953bitr3i 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  _I  <->  z  =  y )
9796notbii 296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( -. 
<. y ,  z >.  e.  _I  <->  -.  z  =  y )
9892, 97anbi12i 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
<. y ,  z >.  e.  ( ( F  |`  { A } )  o.  `' ( F  |`  { A } ) )  /\  -.  <. y ,  z >.  e.  _I  ) 
<->  ( E. x  e. 
_V  ( y `' ( F  |`  { A } ) x  /\  x ( F  |`  { A } ) z )  /\  -.  z  =  y ) )
9988, 98bitr2i 250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( E. x  e.  _V  ( y `' ( F  |`  { A } ) x  /\  x ( F  |`  { A } ) z )  /\  -.  z  =  y )  <->  <. y ,  z >.  e.  (
( ( F  |`  { A } )  o.  `' ( F  |`  { A } ) ) 
\  _I  ) )
10087, 99sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A ( F  |`  { A } ) z  /\  -.  z  =  y )  /\  A ( F  |`  { A } ) y )  ->  <. y ,  z >.  e.  (
( ( F  |`  { A } )  o.  `' ( F  |`  { A } ) ) 
\  _I  ) )
101 snssi 4159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  ( ( ( F  |`  { A } )  o.  `' ( F  |`  { A } ) )  \  _I  )  ->  { <. y ,  z
>. }  C_  ( (
( F  |`  { A } )  o.  `' ( F  |`  { A } ) )  \  _I  ) )
102 uniss 4255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( {
<. y ,  z >. }  C_  ( ( ( F  |`  { A } )  o.  `' ( F  |`  { A } ) )  \  _I  )  ->  U. { <. y ,  z >. }  C_  U. ( ( ( F  |`  { A } )  o.  `' ( F  |`  { A } ) )  \  _I  ) )
103100, 101, 1023syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A ( F  |`  { A } ) z  /\  -.  z  =  y )  /\  A ( F  |`  { A } ) y )  ->  U. { <. y ,  z >. }  C_  U. ( ( ( F  |`  { A } )  o.  `' ( F  |`  { A } ) )  \  _I  )
)
10473, 103syl5eqssr 3534 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A ( F  |`  { A } ) z  /\  -.  z  =  y )  /\  A ( F  |`  { A } ) y )  ->  <. y ,  z >.  C_  U. (
( ( F  |`  { A } )  o.  `' ( F  |`  { A } ) ) 
\  _I  ) )
105104unissd 4258 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A ( F  |`  { A } ) z  /\  -.  z  =  y )  /\  A ( F  |`  { A } ) y )  ->  U. <. y ,  z >.  C_  U. U. ( ( ( F  |`  { A } )  o.  `' ( F  |`  { A } ) )  \  _I  )
)
10671, 105syl5eqssr 3534 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A ( F  |`  { A } ) z  /\  -.  z  =  y )  /\  A ( F  |`  { A } ) y )  ->  { y ,  z }  C_  U.
U. ( ( ( F  |`  { A } )  o.  `' ( F  |`  { A } ) )  \  _I  ) )
10770, 52prss 4169 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  U. U. ( ( ( F  |`  { A } )  o.  `' ( F  |`  { A } ) )  \  _I  )  /\  z  e.  U. U. ( ( ( F  |`  { A } )  o.  `' ( F  |`  { A } ) )  \  _I  )
)  <->  { y ,  z }  C_  U. U. (
( ( F  |`  { A } )  o.  `' ( F  |`  { A } ) ) 
\  _I  ) )
108106, 107sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A ( F  |`  { A } ) z  /\  -.  z  =  y )  /\  A ( F  |`  { A } ) y )  ->  ( y  e.  U. U. ( ( ( F  |`  { A } )  o.  `' ( F  |`  { A } ) )  \  _I  )  /\  z  e.  U. U. ( ( ( F  |`  { A } )  o.  `' ( F  |`  { A } ) )  \  _I  ) ) )
109108simpld 459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A ( F  |`  { A } ) z  /\  -.  z  =  y )  /\  A ( F  |`  { A } ) y )  ->  y  e.  U.
U. ( ( ( F  |`  { A } )  o.  `' ( F  |`  { A } ) )  \  _I  ) )
110109ex 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A ( F  |`  { A } ) z  /\  -.  z  =  y )  ->  ( A ( F  |`  { A } ) y  ->  y  e.  U. U. ( ( ( F  |`  { A } )  o.  `' ( F  |`  { A } ) )  \  _I  )
) )
11169, 110syl5 32 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A ( F  |`  { A } ) z  /\  -.  z  =  y )  ->  (
y  e.  ( F
" { A }
)  ->  y  e.  U.
U. ( ( ( F  |`  { A } )  o.  `' ( F  |`  { A } ) )  \  _I  ) ) )
112111exlimiv 1709 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. z ( A ( F  |`  { A } ) z  /\  -.  z  =  y
)  ->  ( y  e.  ( F " { A } )  ->  y  e.  U. U. ( ( ( F  |`  { A } )  o.  `' ( F  |`  { A } ) )  \  _I  ) ) )
11366, 112syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  Fun  ( F  |`  { A } )  /\  A  e.  dom  ( F  |`  { A } ) )  -> 
( y  e.  ( F " { A } )  ->  y  e.  U. U. ( ( ( F  |`  { A } )  o.  `' ( F  |`  { A } ) )  \  _I  ) ) )
114113ssrdv 3495 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  Fun  ( F  |`  { A } )  /\  A  e.  dom  ( F  |`  { A } ) )  -> 
( F " { A } )  C_  U. U. ( ( ( F  |`  { A } )  o.  `' ( F  |`  { A } ) )  \  _I  )
)
115 ssdif0 3871 . . . . . . . 8  |-  ( ( F " { A } )  C_  U. U. ( ( ( F  |`  { A } )  o.  `' ( F  |`  { A } ) )  \  _I  )  <->  ( ( F " { A } )  \  U. U. ( ( ( F  |`  { A } )  o.  `' ( F  |`  { A } ) )  \  _I  )
)  =  (/) )
116114, 115sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  Fun  ( F  |`  { A } )  /\  A  e.  dom  ( F  |`  { A } ) )  -> 
( ( F " { A } )  \  U. U. ( ( ( F  |`  { A } )  o.  `' ( F  |`  { A } ) )  \  _I  ) )  =  (/) )
117116ex 434 . . . . . 6  |-  ( -. 
Fun  ( F  |`  { A } )  -> 
( A  e.  dom  ( F  |`  { A } )  ->  (
( F " { A } )  \  U. U. ( ( ( F  |`  { A } )  o.  `' ( F  |`  { A } ) )  \  _I  )
)  =  (/) ) )
118 ndmima 5363 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  A  e.  dom  ( F  |`  { A }
)  ->  ( ( F  |`  { A }
) " { A } )  =  (/) )
11919, 118syl5eqr 2498 . . . . . . . 8  |-  ( -.  A  e.  dom  ( F  |`  { A }
)  ->  ( F " { A } )  =  (/) )
120119difeq1d 3606 . . . . . . 7  |-  ( -.  A  e.  dom  ( F  |`  { A }
)  ->  ( ( F " { A }
)  \  U. U. (
( ( F  |`  { A } )  o.  `' ( F  |`  { A } ) ) 
\  _I  ) )  =  ( (/)  \  U. U. ( ( ( F  |`  { A } )  o.  `' ( F  |`  { A } ) )  \  _I  )
) )
121 0dif 3885 . . . . . . 7  |-  ( (/)  \ 
U. U. ( ( ( F  |`  { A } )  o.  `' ( F  |`  { A } ) )  \  _I  ) )  =  (/)
122120, 121syl6eq 2500 . . . . . 6  |-  ( -.  A  e.  dom  ( F  |`  { A }
)  ->  ( ( F " { A }
)  \  U. U. (
( ( F  |`  { A } )  o.  `' ( F  |`  { A } ) ) 
\  _I  ) )  =  (/) )
123117, 122pm2.61d1 159 . . . . 5  |-  ( -. 
Fun  ( F  |`  { A } )  -> 
( ( F " { A } )  \  U. U. ( ( ( F  |`  { A } )  o.  `' ( F  |`  { A } ) )  \  _I  ) )  =  (/) )
124123unieqd 4244 . . . 4  |-  ( -. 
Fun  ( F  |`  { A } )  ->  U. ( ( F " { A } )  \  U. U. ( ( ( F  |`  { A } )  o.  `' ( F  |`  { A } ) )  \  _I  ) )  =  U. (/) )
125124, 14syl6eq 2500 . . 3  |-  ( -. 
Fun  ( F  |`  { A } )  ->  U. ( ( F " { A } )  \  U. U. ( ( ( F  |`  { A } )  o.  `' ( F  |`  { A } ) )  \  _I  ) )  =  (/) )
12626, 125eqtr4d 2487 . 2  |-  ( -. 
Fun  ( F  |`  { A } )  -> 
( F `  A
)  =  U. (
( F " { A } )  \  U. U. ( ( ( F  |`  { A } )  o.  `' ( F  |`  { A } ) )  \  _I  )
) )
12725, 126pm2.61i 164 1  |-  ( F `
 A )  = 
U. ( ( F
" { A }
)  \  U. U. (
( ( F  |`  { A } )  o.  `' ( F  |`  { A } ) ) 
\  _I  ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1381    = wceq 1383   E.wex 1599    e. wcel 1804   E.wrex 2794   _Vcvv 3095    \ cdif 3458    C_ wss 3461   (/)c0 3770   {csn 4014   {cpr 4016   <.cop 4020   U.cuni 4234   class class class wbr 4437    _I cid 4780   `'ccnv 4988   dom cdm 4989    |` cres 4991   "cima 4992    o. ccom 4993   Rel wrel 4994   Fun wfun 5572   ` cfv 5578
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-br 4438  df-opab 4496  df-id 4785  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-fv 5586
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