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Theorem dffv2 5752
Description: Alternate definition of function value df-fv 5414 that doesn't require dummy variables. (Contributed by NM, 4-Aug-2010.)
Assertion
Ref Expression
dffv2  |-  ( F `
 A )  = 
U. ( ( F
" { A }
)  \  U. U. (
( ( F  |`  { A } )  o.  `' ( F  |`  { A } ) ) 
\  _I  ) )

Proof of Theorem dffv2
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snidb 3892 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  <->  A  e.  { A } )
2 fvres 5692 . . . . 5  |-  ( A  e.  { A }  ->  ( ( F  |`  { A } ) `  A )  =  ( F `  A ) )
31, 2sylbi 195 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  (
( F  |`  { A } ) `  A
)  =  ( F `
 A ) )
4 fvprc 5673 . . . . 5  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( ( F  |`  { A } ) `  A
)  =  (/) )
5 fvprc 5673 . . . . 5  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( F `  A )  =  (/) )
64, 5eqtr4d 2468 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( ( F  |`  { A } ) `  A
)  =  ( F `
 A ) )
73, 6pm2.61i 164 . . 3  |-  ( ( F  |`  { A } ) `  A
)  =  ( F `
 A )
8 funfv 5746 . . . 4  |-  ( Fun  ( F  |`  { A } )  ->  (
( F  |`  { A } ) `  A
)  =  U. (
( F  |`  { A } ) " { A } ) )
9 df-fun 5408 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Fun  ( F  |`  { A } )  <->  ( Rel  ( F  |`  { A } )  /\  (
( F  |`  { A } )  o.  `' ( F  |`  { A } ) )  C_  _I  ) )
109simprbi 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Fun  ( F  |`  { A } )  ->  (
( F  |`  { A } )  o.  `' ( F  |`  { A } ) )  C_  _I  )
11 ssdif0 3725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F  |`  { A } )  o.  `' ( F  |`  { A } ) )  C_  _I 
<->  ( ( ( F  |`  { A } )  o.  `' ( F  |`  { A } ) )  \  _I  )  =  (/) )
1210, 11sylib 196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Fun  ( F  |`  { A } )  ->  (
( ( F  |`  { A } )  o.  `' ( F  |`  { A } ) ) 
\  _I  )  =  (/) )
1312unieqd 4089 . . . . . . . . . 10  |-  ( Fun  ( F  |`  { A } )  ->  U. (
( ( F  |`  { A } )  o.  `' ( F  |`  { A } ) ) 
\  _I  )  = 
U. (/) )
14 uni0 4106 . . . . . . . . . 10  |-  U. (/)  =  (/)
1513, 14syl6eq 2481 . . . . . . . . 9  |-  ( Fun  ( F  |`  { A } )  ->  U. (
( ( F  |`  { A } )  o.  `' ( F  |`  { A } ) ) 
\  _I  )  =  (/) )
1615unieqd 4089 . . . . . . . 8  |-  ( Fun  ( F  |`  { A } )  ->  U. U. ( ( ( F  |`  { A } )  o.  `' ( F  |`  { A } ) )  \  _I  )  =  U. (/) )
1716, 14syl6eq 2481 . . . . . . 7  |-  ( Fun  ( F  |`  { A } )  ->  U. U. ( ( ( F  |`  { A } )  o.  `' ( F  |`  { A } ) )  \  _I  )  =  (/) )
1817difeq2d 3462 . . . . . 6  |-  ( Fun  ( F  |`  { A } )  ->  (
( F " { A } )  \  U. U. ( ( ( F  |`  { A } )  o.  `' ( F  |`  { A } ) )  \  _I  )
)  =  ( ( F " { A } )  \  (/) ) )
19 resima 5130 . . . . . . 7  |-  ( ( F  |`  { A } ) " { A } )  =  ( F " { A } )
20 dif0 3737 . . . . . . 7  |-  ( ( F " { A } )  \  (/) )  =  ( F " { A } )
2119, 20eqtr4i 2456 . . . . . 6  |-  ( ( F  |`  { A } ) " { A } )  =  ( ( F " { A } )  \  (/) )
2218, 21syl6reqr 2484 . . . . 5  |-  ( Fun  ( F  |`  { A } )  ->  (
( F  |`  { A } ) " { A } )  =  ( ( F " { A } )  \  U. U. ( ( ( F  |`  { A } )  o.  `' ( F  |`  { A } ) )  \  _I  )
) )
2322unieqd 4089 . . . 4  |-  ( Fun  ( F  |`  { A } )  ->  U. (
( F  |`  { A } ) " { A } )  =  U. ( ( F " { A } )  \  U. U. ( ( ( F  |`  { A } )  o.  `' ( F  |`  { A } ) )  \  _I  ) ) )
248, 23eqtrd 2465 . . 3  |-  ( Fun  ( F  |`  { A } )  ->  (
( F  |`  { A } ) `  A
)  =  U. (
( F " { A } )  \  U. U. ( ( ( F  |`  { A } )  o.  `' ( F  |`  { A } ) )  \  _I  )
) )
257, 24syl5eqr 2479 . 2  |-  ( Fun  ( F  |`  { A } )  ->  ( F `  A )  =  U. ( ( F
" { A }
)  \  U. U. (
( ( F  |`  { A } )  o.  `' ( F  |`  { A } ) ) 
\  _I  ) ) )
26 nfunsn 5709 . . 3  |-  ( -. 
Fun  ( F  |`  { A } )  -> 
( F `  A
)  =  (/) )
27 relres 5126 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  Rel  ( F  |`  { A }
)
28 dffun3 5417 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Fun  ( F  |`  { A } )  <->  ( Rel  ( F  |`  { A } )  /\  A. x E. y A. z
( x ( F  |`  { A } ) z  ->  z  =  y ) ) )
2927, 28mpbiran 902 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Fun  ( F  |`  { A } )  <->  A. x E. y A. z ( x ( F  |`  { A } ) z  ->  z  =  y ) )
30 iman 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x ( F  |`  { A } ) z  ->  z  =  y )  <->  -.  ( x
( F  |`  { A } ) z  /\  -.  z  =  y
) )
3130albii 1613 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. z ( x ( F  |`  { A } ) z  -> 
z  =  y )  <->  A. z  -.  (
x ( F  |`  { A } ) z  /\  -.  z  =  y ) )
32 alnex 1591 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. z  -.  ( x ( F  |`  { A } ) z  /\  -.  z  =  y
)  <->  -.  E. z
( x ( F  |`  { A } ) z  /\  -.  z  =  y ) )
3331, 32bitri 249 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. z ( x ( F  |`  { A } ) z  -> 
z  =  y )  <->  -.  E. z ( x ( F  |`  { A } ) z  /\  -.  z  =  y
) )
3433exbii 1634 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. y A. z ( x ( F  |`  { A } ) z  ->  z  =  y )  <->  E. y  -.  E. z ( x ( F  |`  { A } ) z  /\  -.  z  =  y
) )
35 exnal 1621 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. y  -.  E. z
( x ( F  |`  { A } ) z  /\  -.  z  =  y )  <->  -.  A. y E. z ( x ( F  |`  { A } ) z  /\  -.  z  =  y
) )
3634, 35bitri 249 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. y A. z ( x ( F  |`  { A } ) z  ->  z  =  y )  <->  -.  A. y E. z ( x ( F  |`  { A } ) z  /\  -.  z  =  y
) )
3736albii 1613 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. x E. y A. z
( x ( F  |`  { A } ) z  ->  z  =  y )  <->  A. x  -.  A. y E. z
( x ( F  |`  { A } ) z  /\  -.  z  =  y ) )
38 alnex 1591 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. x  -.  A. y E. z ( x ( F  |`  { A } ) z  /\  -.  z  =  y
)  <->  -.  E. x A. y E. z ( x ( F  |`  { A } ) z  /\  -.  z  =  y ) )
3929, 37, 383bitrri 272 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -. 
E. x A. y E. z ( x ( F  |`  { A } ) z  /\  -.  z  =  y
)  <->  Fun  ( F  |`  { A } ) )
4039con1bii 331 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -. 
Fun  ( F  |`  { A } )  <->  E. x A. y E. z ( x ( F  |`  { A } ) z  /\  -.  z  =  y ) )
41 sp 1793 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. y E. z ( x ( F  |`  { A } ) z  /\  -.  z  =  y
)  ->  E. z
( x ( F  |`  { A } ) z  /\  -.  z  =  y ) )
4241eximi 1626 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. x A. y E. z ( x ( F  |`  { A } ) z  /\  -.  z  =  y
)  ->  E. x E. z ( x ( F  |`  { A } ) z  /\  -.  z  =  y
) )
4340, 42sylbi 195 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -. 
Fun  ( F  |`  { A } )  ->  E. x E. z ( x ( F  |`  { A } ) z  /\  -.  z  =  y ) )
44 snssi 4005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A  e.  dom  ( F  |`  { A } )  ->  { A }  C_ 
dom  ( F  |`  { A } ) )
45 residm 5129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( F  |`  { A } )  |`  { A } )  =  ( F  |`  { A } )
4645dmeqi 5028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  dom  (
( F  |`  { A } )  |`  { A } )  =  dom  ( F  |`  { A } )
47 ssdmres 5120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( { A }  C_  dom  ( F  |`  { A } )  <->  dom  ( ( F  |`  { A } )  |`  { A } )  =  { A } )
4847biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( { A }  C_  dom  ( F  |`  { A } )  ->  dom  ( ( F  |`  { A } )  |`  { A } )  =  { A } )
4946, 48syl5eqr 2479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( { A }  C_  dom  ( F  |`  { A } )  ->  dom  ( F  |`  { A } )  =  { A } )
5044, 49syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  e.  dom  ( F  |`  { A } )  ->  dom  ( F  |` 
{ A } )  =  { A }
)
51 vex 2965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  x  e. 
_V
52 vex 2965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  z  e. 
_V
5351, 52breldm 5031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x ( F  |`  { A } ) z  ->  x  e.  dom  ( F  |`  { A } ) )
54 eleq2 2494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( dom  ( F  |`  { A } )  =  { A }  ->  ( x  e.  dom  ( F  |`  { A } )  <-> 
x  e.  { A } ) )
55 elsn 3879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  { A }  <->  x  =  A )
5654, 55syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( dom  ( F  |`  { A } )  =  { A }  ->  ( x  e.  dom  ( F  |`  { A } )  <-> 
x  =  A ) )
5756biimpa 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( dom  ( F  |`  { A } )  =  { A }  /\  x  e.  dom  ( F  |`  { A } ) )  ->  x  =  A )
5850, 53, 57syl2an 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  dom  ( F  |`  { A }
)  /\  x ( F  |`  { A }
) z )  ->  x  =  A )
5958breq1d 4290 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  dom  ( F  |`  { A }
)  /\  x ( F  |`  { A }
) z )  -> 
( x ( F  |`  { A } ) z  <->  A ( F  |`  { A } ) z ) )
6059biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  dom  ( F  |`  { A }
)  /\  x ( F  |`  { A }
) z )  -> 
( x ( F  |`  { A } ) z  ->  A ( F  |`  { A }
) z ) )
6160ex 434 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  dom  ( F  |`  { A } )  ->  ( x ( F  |`  { A } ) z  -> 
( x ( F  |`  { A } ) z  ->  A ( F  |`  { A }
) z ) ) )
6261pm2.43d 48 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  dom  ( F  |`  { A } )  ->  ( x ( F  |`  { A } ) z  ->  A ( F  |`  { A } ) z ) )
6362anim1d 559 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  dom  ( F  |`  { A } )  ->  ( ( x ( F  |`  { A } ) z  /\  -.  z  =  y
)  ->  ( A
( F  |`  { A } ) z  /\  -.  z  =  y
) ) )
6463eximdv 1675 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  dom  ( F  |`  { A } )  ->  ( E. z
( x ( F  |`  { A } ) z  /\  -.  z  =  y )  ->  E. z ( A ( F  |`  { A } ) z  /\  -.  z  =  y
) ) )
6564exlimdv 1689 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  dom  ( F  |`  { A } )  ->  ( E. x E. z ( x ( F  |`  { A } ) z  /\  -.  z  =  y
)  ->  E. z
( A ( F  |`  { A } ) z  /\  -.  z  =  y ) ) )
6643, 65mpan9 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  Fun  ( F  |`  { A } )  /\  A  e.  dom  ( F  |`  { A } ) )  ->  E. z ( A ( F  |`  { A } ) z  /\  -.  z  =  y
) )
6719eleq2i 2497 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( ( F  |`  { A } )
" { A }
)  <->  y  e.  ( F " { A } ) )
68 elimasni 5184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( ( F  |`  { A } )
" { A }
)  ->  A ( F  |`  { A }
) y )
6967, 68sylbir 213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( F " { A } )  ->  A ( F  |`  { A } ) y )
70 vex 2965 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  y  e. 
_V
7170, 52uniop 4582 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  U. <. y ,  z >.  =  {
y ,  z }
72 opex 4544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  <. y ,  z >.  e.  _V
7372unisn 4094 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  U. { <. y ,  z >. }  =  <. y ,  z >.
7427brrelexi 4866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( A ( F  |`  { A } ) z  ->  A  e.  _V )
75 brcnvg 5007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( y  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( y `' ( F  |`  { A } ) A  <->  A ( F  |`  { A }
) y ) )
7670, 74, 75sylancr 656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( A ( F  |`  { A } ) z  -> 
( y `' ( F  |`  { A } ) A  <->  A ( F  |`  { A }
) y ) )
7776biimpar 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A ( F  |`  { A } ) z  /\  A ( F  |`  { A } ) y )  ->  y `' ( F  |`  { A } ) A )
7874adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( y `' ( F  |`  { A } ) A  /\  A ( F  |`  { A } ) z )  ->  A  e.  _V )
79 breq2 4284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( x  =  A  ->  (
y `' ( F  |`  { A } ) x  <->  y `' ( F  |`  { A } ) A ) )
80 breq1 4283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( x  =  A  ->  (
x ( F  |`  { A } ) z  <-> 
A ( F  |`  { A } ) z ) )
8179, 80anbi12d 703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( x  =  A  ->  (
( y `' ( F  |`  { A } ) x  /\  x ( F  |`  { A } ) z )  <->  ( y `' ( F  |`  { A } ) A  /\  A ( F  |`  { A } ) z ) ) )
8281rspcev 3062 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( A  e.  _V  /\  ( y `' ( F  |`  { A } ) A  /\  A ( F  |`  { A } ) z ) )  ->  E. x  e.  _V  ( y `' ( F  |`  { A } ) x  /\  x ( F  |`  { A } ) z ) )
8378, 82mpancom 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( y `' ( F  |`  { A } ) A  /\  A ( F  |`  { A } ) z )  ->  E. x  e.  _V  ( y `' ( F  |`  { A } ) x  /\  x ( F  |`  { A } ) z ) )
8483ancoms 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A ( F  |`  { A } ) z  /\  y `' ( F  |`  { A } ) A )  ->  E. x  e.  _V  ( y `' ( F  |`  { A } ) x  /\  x ( F  |`  { A } ) z ) )
8577, 84syldan 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A ( F  |`  { A } ) z  /\  A ( F  |`  { A } ) y )  ->  E. x  e.  _V  ( y `' ( F  |`  { A } ) x  /\  x ( F  |`  { A } ) z ) )
8685anim1i 563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A ( F  |`  { A } ) z  /\  A ( F  |`  { A } ) y )  /\  -.  z  =  y )  ->  ( E. x  e.  _V  ( y `' ( F  |`  { A } ) x  /\  x ( F  |`  { A } ) z )  /\  -.  z  =  y ) )
8786an32s 795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A ( F  |`  { A } ) z  /\  -.  z  =  y )  /\  A ( F  |`  { A } ) y )  ->  ( E. x  e.  _V  (
y `' ( F  |`  { A } ) x  /\  x ( F  |`  { A } ) z )  /\  -.  z  =  y ) )
88 eldif 3326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  ( ( ( F  |`  { A } )  o.  `' ( F  |`  { A } ) )  \  _I  )  <->  (
<. y ,  z >.  e.  ( ( F  |`  { A } )  o.  `' ( F  |`  { A } ) )  /\  -.  <. y ,  z >.  e.  _I  ) )
89 rexv 2977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( E. x  e.  _V  (
y `' ( F  |`  { A } ) x  /\  x ( F  |`  { A } ) z )  <->  E. x ( y `' ( F  |`  { A } ) x  /\  x ( F  |`  { A } ) z ) )
9070, 52brco 4997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( y ( ( F  |`  { A } )  o.  `' ( F  |`  { A } ) ) z  <->  E. x ( y `' ( F  |`  { A } ) x  /\  x ( F  |`  { A } ) z ) )
91 df-br 4281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( y ( ( F  |`  { A } )  o.  `' ( F  |`  { A } ) ) z  <->  <. y ,  z
>.  e.  ( ( F  |`  { A } )  o.  `' ( F  |`  { A } ) ) )
9289, 90, 913bitr2ri 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  ( ( F  |`  { A } )  o.  `' ( F  |`  { A } ) )  <->  E. x  e.  _V  ( y `' ( F  |`  { A } ) x  /\  x ( F  |`  { A } ) z ) )
9352ideq 4979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  _I  z  <->  y  =  z )
94 df-br 4281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  _I  z  <->  <. y ,  z >.  e.  _I  )
95 equcom 1731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  =  z  <->  z  =  y )
9693, 94, 953bitr3i 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  _I  <->  z  =  y )
9796notbii 296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( -. 
<. y ,  z >.  e.  _I  <->  -.  z  =  y )
9892, 97anbi12i 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
<. y ,  z >.  e.  ( ( F  |`  { A } )  o.  `' ( F  |`  { A } ) )  /\  -.  <. y ,  z >.  e.  _I  ) 
<->  ( E. x  e. 
_V  ( y `' ( F  |`  { A } ) x  /\  x ( F  |`  { A } ) z )  /\  -.  z  =  y ) )
9988, 98bitr2i 250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( E. x  e.  _V  ( y `' ( F  |`  { A } ) x  /\  x ( F  |`  { A } ) z )  /\  -.  z  =  y )  <->  <. y ,  z >.  e.  (
( ( F  |`  { A } )  o.  `' ( F  |`  { A } ) ) 
\  _I  ) )
10087, 99sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A ( F  |`  { A } ) z  /\  -.  z  =  y )  /\  A ( F  |`  { A } ) y )  ->  <. y ,  z >.  e.  (
( ( F  |`  { A } )  o.  `' ( F  |`  { A } ) ) 
\  _I  ) )
101 snssi 4005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  ( ( ( F  |`  { A } )  o.  `' ( F  |`  { A } ) )  \  _I  )  ->  { <. y ,  z
>. }  C_  ( (
( F  |`  { A } )  o.  `' ( F  |`  { A } ) )  \  _I  ) )
102 uniss 4100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( {
<. y ,  z >. }  C_  ( ( ( F  |`  { A } )  o.  `' ( F  |`  { A } ) )  \  _I  )  ->  U. { <. y ,  z >. }  C_  U. ( ( ( F  |`  { A } )  o.  `' ( F  |`  { A } ) )  \  _I  ) )
103100, 101, 1023syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A ( F  |`  { A } ) z  /\  -.  z  =  y )  /\  A ( F  |`  { A } ) y )  ->  U. { <. y ,  z >. }  C_  U. ( ( ( F  |`  { A } )  o.  `' ( F  |`  { A } ) )  \  _I  )
)
10473, 103syl5eqssr 3389 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A ( F  |`  { A } ) z  /\  -.  z  =  y )  /\  A ( F  |`  { A } ) y )  ->  <. y ,  z >.  C_  U. (
( ( F  |`  { A } )  o.  `' ( F  |`  { A } ) ) 
\  _I  ) )
105104unissd 4103 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A ( F  |`  { A } ) z  /\  -.  z  =  y )  /\  A ( F  |`  { A } ) y )  ->  U. <. y ,  z >.  C_  U. U. ( ( ( F  |`  { A } )  o.  `' ( F  |`  { A } ) )  \  _I  )
)
10671, 105syl5eqssr 3389 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A ( F  |`  { A } ) z  /\  -.  z  =  y )  /\  A ( F  |`  { A } ) y )  ->  { y ,  z }  C_  U.
U. ( ( ( F  |`  { A } )  o.  `' ( F  |`  { A } ) )  \  _I  ) )
10770, 52prss 4015 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  U. U. ( ( ( F  |`  { A } )  o.  `' ( F  |`  { A } ) )  \  _I  )  /\  z  e.  U. U. ( ( ( F  |`  { A } )  o.  `' ( F  |`  { A } ) )  \  _I  )
)  <->  { y ,  z }  C_  U. U. (
( ( F  |`  { A } )  o.  `' ( F  |`  { A } ) ) 
\  _I  ) )
108106, 107sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A ( F  |`  { A } ) z  /\  -.  z  =  y )  /\  A ( F  |`  { A } ) y )  ->  ( y  e.  U. U. ( ( ( F  |`  { A } )  o.  `' ( F  |`  { A } ) )  \  _I  )  /\  z  e.  U. U. ( ( ( F  |`  { A } )  o.  `' ( F  |`  { A } ) )  \  _I  ) ) )
109108simpld 456 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A ( F  |`  { A } ) z  /\  -.  z  =  y )  /\  A ( F  |`  { A } ) y )  ->  y  e.  U.
U. ( ( ( F  |`  { A } )  o.  `' ( F  |`  { A } ) )  \  _I  ) )
110109ex 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A ( F  |`  { A } ) z  /\  -.  z  =  y )  ->  ( A ( F  |`  { A } ) y  ->  y  e.  U. U. ( ( ( F  |`  { A } )  o.  `' ( F  |`  { A } ) )  \  _I  )
) )
11169, 110syl5 32 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A ( F  |`  { A } ) z  /\  -.  z  =  y )  ->  (
y  e.  ( F
" { A }
)  ->  y  e.  U.
U. ( ( ( F  |`  { A } )  o.  `' ( F  |`  { A } ) )  \  _I  ) ) )
112111exlimiv 1687 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. z ( A ( F  |`  { A } ) z  /\  -.  z  =  y
)  ->  ( y  e.  ( F " { A } )  ->  y  e.  U. U. ( ( ( F  |`  { A } )  o.  `' ( F  |`  { A } ) )  \  _I  ) ) )
11366, 112syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  Fun  ( F  |`  { A } )  /\  A  e.  dom  ( F  |`  { A } ) )  -> 
( y  e.  ( F " { A } )  ->  y  e.  U. U. ( ( ( F  |`  { A } )  o.  `' ( F  |`  { A } ) )  \  _I  ) ) )
114113ssrdv 3350 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  Fun  ( F  |`  { A } )  /\  A  e.  dom  ( F  |`  { A } ) )  -> 
( F " { A } )  C_  U. U. ( ( ( F  |`  { A } )  o.  `' ( F  |`  { A } ) )  \  _I  )
)
115 ssdif0 3725 . . . . . . . 8  |-  ( ( F " { A } )  C_  U. U. ( ( ( F  |`  { A } )  o.  `' ( F  |`  { A } ) )  \  _I  )  <->  ( ( F " { A } )  \  U. U. ( ( ( F  |`  { A } )  o.  `' ( F  |`  { A } ) )  \  _I  )
)  =  (/) )
116114, 115sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  Fun  ( F  |`  { A } )  /\  A  e.  dom  ( F  |`  { A } ) )  -> 
( ( F " { A } )  \  U. U. ( ( ( F  |`  { A } )  o.  `' ( F  |`  { A } ) )  \  _I  ) )  =  (/) )
117116ex 434 . . . . . 6  |-  ( -. 
Fun  ( F  |`  { A } )  -> 
( A  e.  dom  ( F  |`  { A } )  ->  (
( F " { A } )  \  U. U. ( ( ( F  |`  { A } )  o.  `' ( F  |`  { A } ) )  \  _I  )
)  =  (/) ) )
118 ndmima 5193 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  A  e.  dom  ( F  |`  { A }
)  ->  ( ( F  |`  { A }
) " { A } )  =  (/) )
11919, 118syl5eqr 2479 . . . . . . . 8  |-  ( -.  A  e.  dom  ( F  |`  { A }
)  ->  ( F " { A } )  =  (/) )
120119difeq1d 3461 . . . . . . 7  |-  ( -.  A  e.  dom  ( F  |`  { A }
)  ->  ( ( F " { A }
)  \  U. U. (
( ( F  |`  { A } )  o.  `' ( F  |`  { A } ) ) 
\  _I  ) )  =  ( (/)  \  U. U. ( ( ( F  |`  { A } )  o.  `' ( F  |`  { A } ) )  \  _I  )
) )
121 0dif 3738 . . . . . . 7  |-  ( (/)  \ 
U. U. ( ( ( F  |`  { A } )  o.  `' ( F  |`  { A } ) )  \  _I  ) )  =  (/)
122120, 121syl6eq 2481 . . . . . 6  |-  ( -.  A  e.  dom  ( F  |`  { A }
)  ->  ( ( F " { A }
)  \  U. U. (
( ( F  |`  { A } )  o.  `' ( F  |`  { A } ) ) 
\  _I  ) )  =  (/) )
123117, 122pm2.61d1 159 . . . . 5  |-  ( -. 
Fun  ( F  |`  { A } )  -> 
( ( F " { A } )  \  U. U. ( ( ( F  |`  { A } )  o.  `' ( F  |`  { A } ) )  \  _I  ) )  =  (/) )
124123unieqd 4089 . . . 4  |-  ( -. 
Fun  ( F  |`  { A } )  ->  U. ( ( F " { A } )  \  U. U. ( ( ( F  |`  { A } )  o.  `' ( F  |`  { A } ) )  \  _I  ) )  =  U. (/) )
125124, 14syl6eq 2481 . . 3  |-  ( -. 
Fun  ( F  |`  { A } )  ->  U. ( ( F " { A } )  \  U. U. ( ( ( F  |`  { A } )  o.  `' ( F  |`  { A } ) )  \  _I  ) )  =  (/) )
12626, 125eqtr4d 2468 . 2  |-  ( -. 
Fun  ( F  |`  { A } )  -> 
( F `  A
)  =  U. (
( F " { A } )  \  U. U. ( ( ( F  |`  { A } )  o.  `' ( F  |`  { A } ) )  \  _I  )
) )
12725, 126pm2.61i 164 1  |-  ( F `
 A )  = 
U. ( ( F
" { A }
)  \  U. U. (
( ( F  |`  { A } )  o.  `' ( F  |`  { A } ) ) 
\  _I  ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1360    = wceq 1362   E.wex 1589    e. wcel 1755   E.wrex 2706   _Vcvv 2962    \ cdif 3313    C_ wss 3316   (/)c0 3625   {csn 3865   {cpr 3867   <.cop 3871   U.cuni 4079   class class class wbr 4280    _I cid 4618   `'ccnv 4826   dom cdm 4827    |` cres 4829   "cima 4830    o. ccom 4831   Rel wrel 4832   Fun wfun 5400   ` cfv 5406
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-nul 3626  df-if 3780  df-sn 3866  df-pr 3868  df-op 3872  df-uni 4080  df-br 4281  df-opab 4339  df-id 4623  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-fv 5414
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