Theorem dffv2 5921

Description: Alternate definition of function value df-fv 5578 that doesn't require dummy variables. (Contributed by NM, 4-Aug-2010.)

Assertion

Ref	Expression
dffv2	|- ( F ` A ) = U. ( ( F " { A } ) \ U. U. ( ( ( F |` { A } ) o. `' ( F |` { A } ) ) \ _I ) )

Proof of Theorem dffv2

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snidb 4043	. . . . 5 |- ( A e. _V <-> A e. { A } )
2		fvres 5862	. . . . 5 |- ( A e. { A } -> ( ( F |` { A } ) ` A ) = ( F ` A ) )
3	1, 2	sylbi 195	. . . 4 |- ( A e. _V -> ( ( F |` { A } ) ` A ) = ( F ` A ) )
4		fvprc 5842	. . . . 5 |- ( -. A e. _V -> ( ( F |` { A } ) ` A ) = (/) )
5		fvprc 5842	. . . . 5 |- ( -. A e. _V -> ( F ` A ) = (/) )
6	4, 5	eqtr4d 2498	. . . 4 |- ( -. A e. _V -> ( ( F |` { A } ) ` A ) = ( F ` A ) )
7	3, 6	pm2.61i 164	. . 3 |- ( ( F |` { A } ) ` A ) = ( F ` A )
8		funfv 5915	. . . 4 |- ( Fun ( F |` { A } ) -> ( ( F |` { A } ) ` A ) = U. ( ( F |` { A } ) " { A } ) )
9		df-fun 5572	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Fun ( F |` { A } ) <-> ( Rel ( F |` { A } ) /\ ( ( F |` { A } ) o. `' ( F |` { A } ) ) C_ _I ) )
10	9	simprbi 462	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Fun ( F |` { A } ) -> ( ( F |` { A } ) o. `' ( F |` { A } ) ) C_ _I )
11		ssdif0 3873	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F |` { A } ) o. `' ( F |` { A } ) ) C_ _I <-> ( ( ( F |` { A } ) o. `' ( F |` { A } ) ) \ _I ) = (/) )
12	10, 11	sylib 196	. . . . . . . . . . 11 |- ( Fun ( F |` { A } ) -> ( ( ( F |` { A } ) o. `' ( F |` { A } ) ) \ _I ) = (/) )
13	12	unieqd 4245	. . . . . . . . . 10 |- ( Fun ( F |` { A } ) -> U. ( ( ( F |` { A } ) o. `' ( F |` { A } ) ) \ _I ) = U. (/) )
14		uni0 4262	. . . . . . . . . 10 |- U. (/) = (/)
15	13, 14	syl6eq 2511	. . . . . . . . 9 |- ( Fun ( F |` { A } ) -> U. ( ( ( F |` { A } ) o. `' ( F |` { A } ) ) \ _I ) = (/) )
16	15	unieqd 4245	. . . . . . . 8 |- ( Fun ( F |` { A } ) -> U. U. ( ( ( F |` { A } ) o. `' ( F |` { A } ) ) \ _I ) = U. (/) )
17	16, 14	syl6eq 2511	. . . . . . 7 |- ( Fun ( F |` { A } ) -> U. U. ( ( ( F |` { A } ) o. `' ( F |` { A } ) ) \ _I ) = (/) )
18	17	difeq2d 3608	. . . . . 6 |- ( Fun ( F |` { A } ) -> ( ( F " { A } ) \ U. U. ( ( ( F |` { A } ) o. `' ( F |` { A } ) ) \ _I ) ) = ( ( F " { A } ) \ (/) ) )
19		resima 5294	. . . . . . 7 |- ( ( F |` { A } ) " { A } ) = ( F " { A } )
20		dif0 3886	. . . . . . 7 |- ( ( F " { A } ) \ (/) ) = ( F " { A } )
21	19, 20	eqtr4i 2486	. . . . . 6 |- ( ( F |` { A } ) " { A } ) = ( ( F " { A } ) \ (/) )
22	18, 21	syl6reqr 2514	. . . . 5 |- ( Fun ( F |` { A } ) -> ( ( F |` { A } ) " { A } ) = ( ( F " { A } ) \ U. U. ( ( ( F |` { A } ) o. `' ( F |` { A } ) ) \ _I ) ) )
23	22	unieqd 4245	. . . 4 |- ( Fun ( F |` { A } ) -> U. ( ( F |` { A } ) " { A } ) = U. ( ( F " { A } ) \ U. U. ( ( ( F |` { A } ) o. `' ( F |` { A } ) ) \ _I ) ) )
24	8, 23	eqtrd 2495	. . 3 |- ( Fun ( F |` { A } ) -> ( ( F |` { A } ) ` A ) = U. ( ( F " { A } ) \ U. U. ( ( ( F |` { A } ) o. `' ( F |` { A } ) ) \ _I ) ) )
25	7, 24	syl5eqr 2509	. 2 |- ( Fun ( F |` { A } ) -> ( F ` A ) = U. ( ( F " { A } ) \ U. U. ( ( ( F |` { A } ) o. `' ( F |` { A } ) ) \ _I ) ) )
26		nfunsn 5879	. . 3 |- ( -. Fun ( F |` { A } ) -> ( F ` A ) = (/) )
27		relres 5289	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- Rel ( F |` { A } )
28		dffun3 5581	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Fun ( F |` { A } ) <-> ( Rel ( F |` { A } ) /\ A. x E. y A. z ( x ( F |` { A } ) z -> z = y ) ) )
29	27, 28	mpbiran 916	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Fun ( F |` { A } ) <-> A. x E. y A. z ( x ( F |` { A } ) z -> z = y ) )
30		iman 422	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x ( F |` { A } ) z -> z = y ) <-> -. ( x ( F |` { A } ) z /\ -. z = y ) )
31	30	albii 1645	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A. z ( x ( F |` { A } ) z -> z = y ) <-> A. z -. ( x ( F |` { A } ) z /\ -. z = y ) )
32		alnex 1619	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A. z -. ( x ( F |` { A } ) z /\ -. z = y ) <-> -. E. z ( x ( F |` { A } ) z /\ -. z = y ) )
33	31, 32	bitri 249	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A. z ( x ( F |` { A } ) z -> z = y ) <-> -. E. z ( x ( F |` { A } ) z /\ -. z = y ) )
34	33	exbii 1672	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( E. y A. z ( x ( F |` { A } ) z -> z = y ) <-> E. y -. E. z ( x ( F |` { A } ) z /\ -. z = y ) )
35		exnal 1653	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( E. y -. E. z ( x ( F |` { A } ) z /\ -. z = y ) <-> -. A. y E. z ( x ( F |` { A } ) z /\ -. z = y ) )
36	34, 35	bitri 249	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( E. y A. z ( x ( F |` { A } ) z -> z = y ) <-> -. A. y E. z ( x ( F |` { A } ) z /\ -. z = y ) )
37	36	albii 1645	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. x E. y A. z ( x ( F |` { A } ) z -> z = y ) <-> A. x -. A. y E. z ( x ( F |` { A } ) z /\ -. z = y ) )
38		alnex 1619	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. x -. A. y E. z ( x ( F |` { A } ) z /\ -. z = y ) <-> -. E. x A. y E. z ( x ( F |` { A } ) z /\ -. z = y ) )
39	29, 37, 38	3bitrri 272	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. E. x A. y E. z ( x ( F |` { A } ) z /\ -. z = y ) <-> Fun ( F |` { A } ) )
40	39	con1bii 329	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. Fun ( F |` { A } ) <-> E. x A. y E. z ( x ( F |` { A } ) z /\ -. z = y ) )
41		sp 1864	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. y E. z ( x ( F |` { A } ) z /\ -. z = y ) -> E. z ( x ( F |` { A } ) z /\ -. z = y ) )
42	41	eximi 1661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. x A. y E. z ( x ( F |` { A } ) z /\ -. z = y ) -> E. x E. z ( x ( F |` { A } ) z /\ -. z = y ) )
43	40, 42	sylbi 195	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. Fun ( F |` { A } ) -> E. x E. z ( x ( F |` { A } ) z /\ -. z = y ) )
44		snssi 4160	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( A e. dom ( F |` { A } ) -> { A } C_ dom ( F |` { A } ) )
45		residm 5293	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( F |` { A } ) |` { A } ) = ( F |` { A } )
46	45	dmeqi 5193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- dom ( ( F |` { A } ) |` { A } ) = dom ( F |` { A } )
47		ssdmres 5283	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( { A } C_ dom ( F |` { A } ) <-> dom ( ( F |` { A } ) |` { A } ) = { A } )
48	47	biimpi 194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( { A } C_ dom ( F |` { A } ) -> dom ( ( F |` { A } ) |` { A } ) = { A } )
49	46, 48	syl5eqr 2509	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( { A } C_ dom ( F |` { A } ) -> dom ( F |` { A } ) = { A } )
50	44, 49	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A e. dom ( F |` { A } ) -> dom ( F |` { A } ) = { A } )
51		vex 3109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- x e. _V
52		vex 3109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- z e. _V
53	51, 52	breldm 5196	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x ( F |` { A } ) z -> x e. dom ( F |` { A } ) )
54		eleq2 2527	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( dom ( F |` { A } ) = { A } -> ( x e. dom ( F |` { A } ) <-> x e. { A } ) )
55		elsn 4030	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. { A } <-> x = A )
56	54, 55	syl6bb 261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( dom ( F |` { A } ) = { A } -> ( x e. dom ( F |` { A } ) <-> x = A ) )
57	56	biimpa 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( dom ( F |` { A } ) = { A } /\ x e. dom ( F |` { A } ) ) -> x = A )
58	50, 53, 57	syl2an 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A e. dom ( F |` { A } ) /\ x ( F |` { A } ) z ) -> x = A )
59	58	breq1d 4449	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. dom ( F |` { A } ) /\ x ( F |` { A } ) z ) -> ( x ( F |` { A } ) z <-> A ( F |` { A } ) z ) )
60	59	biimpd 207	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. dom ( F |` { A } ) /\ x ( F |` { A } ) z ) -> ( x ( F |` { A } ) z -> A ( F |` { A } ) z ) )
61	60	ex 432	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. dom ( F |` { A } ) -> ( x ( F |` { A } ) z -> ( x ( F |` { A } ) z -> A ( F |` { A } ) z ) ) )
62	61	pm2.43d 48	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. dom ( F |` { A } ) -> ( x ( F |` { A } ) z -> A ( F |` { A } ) z ) )
63	62	anim1d 562	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. dom ( F |` { A } ) -> ( ( x ( F |` { A } ) z /\ -. z = y ) -> ( A ( F |` { A } ) z /\ -. z = y ) ) )
64	63	eximdv 1715	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. dom ( F |` { A } ) -> ( E. z ( x ( F |` { A } ) z /\ -. z = y ) -> E. z ( A ( F |` { A } ) z /\ -. z = y ) ) )
65	64	exlimdv 1729	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. dom ( F |` { A } ) -> ( E. x E. z ( x ( F |` { A } ) z /\ -. z = y ) -> E. z ( A ( F |` { A } ) z /\ -. z = y ) ) )
66	43, 65	mpan9 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -. Fun ( F |` { A } ) /\ A e. dom ( F |` { A } ) ) -> E. z ( A ( F |` { A } ) z /\ -. z = y ) )
67	19	eleq2i 2532	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ( ( F |` { A } ) " { A } ) <-> y e. ( F " { A } ) )
68		elimasni 5352	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ( ( F |` { A } ) " { A } ) -> A ( F |` { A } ) y )
69	67, 68	sylbir 213	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ( F " { A } ) -> A ( F |` { A } ) y )
70		vex 3109	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- y e. _V
71	70, 52	uniop 4739	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- U. <. y , z >. = { y , z }
72		opex 4701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- <. y , z >. e. _V
73	72	unisn 4250	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- U. { <. y , z >. } = <. y , z >.
74	27	brrelexi 5029	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( A ( F |` { A } ) z -> A e. _V )
75		brcnvg 5172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( y e. _V /\ A e. _V ) -> ( y `' ( F |` { A } ) A <-> A ( F |` { A } ) y ) )
76	70, 74, 75	sylancr 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( A ( F |` { A } ) z -> ( y `' ( F |` { A } ) A <-> A ( F |` { A } ) y ) )
77	76	biimpar 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( A ( F |` { A } ) z /\ A ( F |` { A } ) y ) -> y `' ( F |` { A } ) A )
78	74	adantl 464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( y `' ( F |` { A } ) A /\ A ( F |` { A } ) z ) -> A e. _V )
79		breq2 4443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( x = A -> ( y `' ( F |` { A } ) x <-> y `' ( F |` { A } ) A ) )
80		breq1 4442	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( x = A -> ( x ( F |` { A } ) z <-> A ( F |` { A } ) z ) )
81	79, 80	anbi12d 708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( x = A -> ( ( y `' ( F |` { A } ) x /\ x ( F |` { A } ) z ) <-> ( y `' ( F |` { A } ) A /\ A ( F |` { A } ) z ) ) )
82	81	rspcev 3207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( A e. _V /\ ( y `' ( F |` { A } ) A /\ A ( F |` { A } ) z ) ) -> E. x e. _V ( y `' ( F |` { A } ) x /\ x ( F |` { A } ) z ) )
83	78, 82	mpancom 667	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( y `' ( F |` { A } ) A /\ A ( F |` { A } ) z ) -> E. x e. _V ( y `' ( F |` { A } ) x /\ x ( F |` { A } ) z ) )
84	83	ancoms 451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( A ( F |` { A } ) z /\ y `' ( F |` { A } ) A ) -> E. x e. _V ( y `' ( F |` { A } ) x /\ x ( F |` { A } ) z ) )
85	77, 84	syldan 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( A ( F |` { A } ) z /\ A ( F |` { A } ) y ) -> E. x e. _V ( y `' ( F |` { A } ) x /\ x ( F |` { A } ) z ) )
86	85	anim1i 566	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( A ( F |` { A } ) z /\ A ( F |` { A } ) y ) /\ -. z = y ) -> ( E. x e. _V ( y `' ( F |` { A } ) x /\ x ( F |` { A } ) z ) /\ -. z = y ) )
87	86	an32s 802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( A ( F |` { A } ) z /\ -. z = y ) /\ A ( F |` { A } ) y ) -> ( E. x e. _V ( y `' ( F |` { A } ) x /\ x ( F |` { A } ) z ) /\ -. z = y ) )
88		eldif 3471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( <. y , z >. e. ( ( ( F |` { A } ) o. `' ( F |` { A } ) ) \ _I ) <-> ( <. y , z >. e. ( ( F |` { A } ) o. `' ( F |` { A } ) ) /\ -. <. y , z >. e. _I ) )
89		rexv 3121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( E. x e. _V ( y `' ( F |` { A } ) x /\ x ( F |` { A } ) z ) <-> E. x ( y `' ( F |` { A } ) x /\ x ( F |` { A } ) z ) )
90	70, 52	brco 5162	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( y ( ( F |` { A } ) o. `' ( F |` { A } ) ) z <-> E. x ( y `' ( F |` { A } ) x /\ x ( F |` { A } ) z ) )
91		df-br 4440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( y ( ( F |` { A } ) o. `' ( F |` { A } ) ) z <-> <. y , z >. e. ( ( F |` { A } ) o. `' ( F |` { A } ) ) )
92	89, 90, 91	3bitr2ri 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( <. y , z >. e. ( ( F |` { A } ) o. `' ( F |` { A } ) ) <-> E. x e. _V ( y `' ( F |` { A } ) x /\ x ( F |` { A } ) z ) )
93	52	ideq 5144	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( y _I z <-> y = z )
94		df-br 4440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( y _I z <-> <. y , z >. e. _I )
95		equcom 1799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( y = z <-> z = y )
96	93, 94, 95	3bitr3i 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( <. y , z >. e. _I <-> z = y )
97	96	notbii 294	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( -. <. y , z >. e. _I <-> -. z = y )
98	92, 97	anbi12i 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( <. y , z >. e. ( ( F |` { A } ) o. `' ( F |` { A } ) ) /\ -. <. y , z >. e. _I ) <-> ( E. x e. _V ( y `' ( F |` { A } ) x /\ x ( F |` { A } ) z ) /\ -. z = y ) )
99	88, 98	bitr2i 250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( E. x e. _V ( y `' ( F |` { A } ) x /\ x ( F |` { A } ) z ) /\ -. z = y ) <-> <. y , z >. e. ( ( ( F |` { A } ) o. `' ( F |` { A } ) ) \ _I ) )
100	87, 99	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A ( F |` { A } ) z /\ -. z = y ) /\ A ( F |` { A } ) y ) -> <. y , z >. e. ( ( ( F |` { A } ) o. `' ( F |` { A } ) ) \ _I ) )
101		snssi 4160	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( <. y , z >. e. ( ( ( F |` { A } ) o. `' ( F |` { A } ) ) \ _I ) -> { <. y , z >. } C_ ( ( ( F |` { A } ) o. `' ( F |` { A } ) ) \ _I ) )
102		uniss 4256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( { <. y , z >. } C_ ( ( ( F |` { A } ) o. `' ( F |` { A } ) ) \ _I ) -> U. { <. y , z >. } C_ U. ( ( ( F |` { A } ) o. `' ( F |` { A } ) ) \ _I ) )
103	100, 101, 102	3syl 20	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A ( F |` { A } ) z /\ -. z = y ) /\ A ( F |` { A } ) y ) -> U. { <. y , z >. } C_ U. ( ( ( F |` { A } ) o. `' ( F |` { A } ) ) \ _I ) )
104	73, 103	syl5eqssr 3534	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A ( F |` { A } ) z /\ -. z = y ) /\ A ( F |` { A } ) y ) -> <. y , z >. C_ U. ( ( ( F |` { A } ) o. `' ( F |` { A } ) ) \ _I ) )
105	104	unissd 4259	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A ( F |` { A } ) z /\ -. z = y ) /\ A ( F |` { A } ) y ) -> U. <. y , z >. C_ U. U. ( ( ( F |` { A } ) o. `' ( F |` { A } ) ) \ _I ) )
106	71, 105	syl5eqssr 3534	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A ( F |` { A } ) z /\ -. z = y ) /\ A ( F |` { A } ) y ) -> { y , z } C_ U. U. ( ( ( F |` { A } ) o. `' ( F |` { A } ) ) \ _I ) )
107	70, 52	prss 4170	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. U. U. ( ( ( F |` { A } ) o. `' ( F |` { A } ) ) \ _I ) /\ z e. U. U. ( ( ( F |` { A } ) o. `' ( F |` { A } ) ) \ _I ) ) <-> { y , z } C_ U. U. ( ( ( F |` { A } ) o. `' ( F |` { A } ) ) \ _I ) )
108	106, 107	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A ( F |` { A } ) z /\ -. z = y ) /\ A ( F |` { A } ) y ) -> ( y e. U. U. ( ( ( F |` { A } ) o. `' ( F |` { A } ) ) \ _I ) /\ z e. U. U. ( ( ( F |` { A } ) o. `' ( F |` { A } ) ) \ _I ) ) )
109	108	simpld 457	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A ( F |` { A } ) z /\ -. z = y ) /\ A ( F |` { A } ) y ) -> y e. U. U. ( ( ( F |` { A } ) o. `' ( F |` { A } ) ) \ _I ) )
110	109	ex 432	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A ( F |` { A } ) z /\ -. z = y ) -> ( A ( F |` { A } ) y -> y e. U. U. ( ( ( F |` { A } ) o. `' ( F |` { A } ) ) \ _I ) ) )
111	69, 110	syl5 32	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A ( F |` { A } ) z /\ -. z = y ) -> ( y e. ( F " { A } ) -> y e. U. U. ( ( ( F |` { A } ) o. `' ( F |` { A } ) ) \ _I ) ) )
112	111	exlimiv 1727	. . . . . . . . . 10 |- ( E. z ( A ( F |` { A } ) z /\ -. z = y ) -> ( y e. ( F " { A } ) -> y e. U. U. ( ( ( F |` { A } ) o. `' ( F |` { A } ) ) \ _I ) ) )
113	66, 112	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. Fun ( F |` { A } ) /\ A e. dom ( F |` { A } ) ) -> ( y e. ( F " { A } ) -> y e. U. U. ( ( ( F |` { A } ) o. `' ( F |` { A } ) ) \ _I ) ) )
114	113	ssrdv 3495	. . . . . . . 8 |- ( ( -. Fun ( F |` { A } ) /\ A e. dom ( F |` { A } ) ) -> ( F " { A } ) C_ U. U. ( ( ( F |` { A } ) o. `' ( F |` { A } ) ) \ _I ) )
115		ssdif0 3873	. . . . . . . 8 |- ( ( F " { A } ) C_ U. U. ( ( ( F |` { A } ) o. `' ( F |` { A } ) ) \ _I ) <-> ( ( F " { A } ) \ U. U. ( ( ( F |` { A } ) o. `' ( F |` { A } ) ) \ _I ) ) = (/) )
116	114, 115	sylib 196	. . . . . . 7 |- ( ( -. Fun ( F |` { A } ) /\ A e. dom ( F |` { A } ) ) -> ( ( F " { A } ) \ U. U. ( ( ( F |` { A } ) o. `' ( F |` { A } ) ) \ _I ) ) = (/) )
117	116	ex 432	. . . . . 6 |- ( -. Fun ( F |` { A } ) -> ( A e. dom ( F |` { A } ) -> ( ( F " { A } ) \ U. U. ( ( ( F |` { A } ) o. `' ( F |` { A } ) ) \ _I ) ) = (/) ) )
118		ndmima 5361	. . . . . . . . 9 |- ( -. A e. dom ( F |` { A } ) -> ( ( F |` { A } ) " { A } ) = (/) )
119	19, 118	syl5eqr 2509	. . . . . . . 8 |- ( -. A e. dom ( F |` { A } ) -> ( F " { A } ) = (/) )
120	119	difeq1d 3607	. . . . . . 7 |- ( -. A e. dom ( F |` { A } ) -> ( ( F " { A } ) \ U. U. ( ( ( F |` { A } ) o. `' ( F |` { A } ) ) \ _I ) ) = ( (/) \ U. U. ( ( ( F |` { A } ) o. `' ( F |` { A } ) ) \ _I ) ) )
121		0dif 3887	. . . . . . 7 |- ( (/) \ U. U. ( ( ( F |` { A } ) o. `' ( F |` { A } ) ) \ _I ) ) = (/)
122	120, 121	syl6eq 2511	. . . . . 6 |- ( -. A e. dom ( F |` { A } ) -> ( ( F " { A } ) \ U. U. ( ( ( F |` { A } ) o. `' ( F |` { A } ) ) \ _I ) ) = (/) )
123	117, 122	pm2.61d1 159	. . . . 5 |- ( -. Fun ( F |` { A } ) -> ( ( F " { A } ) \ U. U. ( ( ( F |` { A } ) o. `' ( F |` { A } ) ) \ _I ) ) = (/) )
124	123	unieqd 4245	. . . 4 |- ( -. Fun ( F |` { A } ) -> U. ( ( F " { A } ) \ U. U. ( ( ( F |` { A } ) o. `' ( F |` { A } ) ) \ _I ) ) = U. (/) )
125	124, 14	syl6eq 2511	. . 3 |- ( -. Fun ( F |` { A } ) -> U. ( ( F " { A } ) \ U. U. ( ( ( F |` { A } ) o. `' ( F |` { A } ) ) \ _I ) ) = (/) )
126	26, 125	eqtr4d 2498	. 2 |- ( -. Fun ( F |` { A } ) -> ( F ` A ) = U. ( ( F " { A } ) \ U. U. ( ( ( F |` { A } ) o. `' ( F |` { A } ) ) \ _I ) ) )
127	25, 126	pm2.61i 164	1 |- ( F ` A ) = U. ( ( F " { A } ) \ U. U. ( ( ( F |` { A } ) o. `' ( F |` { A } ) ) \ _I ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   A.wal 1396   = wceq 1398   E.wex 1617   e. wcel 1823   E.wrex 2805   _Vcvv 3106   \ cdif 3458   C_ wss 3461   (/)c0 3783   {csn 4016   {cpr 4018   <.cop 4022   U.cuni 4235   class class class wbr 4439   _I cid 4779   `'ccnv 4987   dom cdm 4988   |` cres 4990   "cima 4991   o. ccom 4992   Rel wrel 4993   Fun wfun 5564   ` cfv 5570

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-br 4440  df-opab 4498  df-id 4784  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-fv 5578

This theorem is referenced by: (None)