Theorem dffun8OLD 4449

Description: Alternate definition of a function. One possibility for the definition of a function in [Enderton] p. 42. Compare dffun7 4447.

Assertion

Ref	Expression
dffun8OLD	|- (Fun A <-> (Rel A /\ A.x e. dom AE!y xAy))

Distinct variable group:   x,y,A

Proof of Theorem dffun8OLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funrel 4438	. . 3 |- (Fun A -> Rel A)
2		ax-17 1317	. . . . . 6 |- (Fun A -> A.yFun A)
3		hbeu1 1781	. . . . . 6 |- (E!y<.x, y>. e. A -> A.yE!y<.x, y>. e. A)
4		funeu2 4446	. . . . . . 7 |- ((Fun A /\ <.x, y>. e. A) -> E!y<.x, y>. e. A)
5	4	ex 402	. . . . . 6 |- (Fun A -> (<.x, y>. e. A -> E!y<.x, y>. e. A))
6	2, 3, 5	19.23ad 1415	. . . . 5 |- (Fun A -> (E.y<.x, y>. e. A -> E!y<.x, y>. e. A))
7		visset 2295	. . . . . 6 |- x e. _V
8	7	eldm2 4154	. . . . 5 |- (x e. dom A <-> E.y<.x, y>. e. A)
9		df-br 3339	. . . . . 6 |- (xAy <-> <.x, y>. e. A)
10	9	eubii 1780	. . . . 5 |- (E!y xAy <-> E!y<.x, y>. e. A)
11	6, 8, 10	3imtr4g 612	. . . 4 |- (Fun A -> (x e. dom A -> E!y xAy))
12	11	r19.21aiv 2175	. . 3 |- (Fun A -> A.x e. dom AE!y xAy)
13	1, 12	jca 310	. 2 |- (Fun A -> (Rel A /\ A.x e. dom AE!y xAy))
14		eumo 1807	. . . . 5 |- (E!y xAy -> E*y xAy)
15	14	ralimi 2168	. . . 4 |- (A.x e. dom AE!y xAy -> A.x e. dom AE*y xAy)
16	15	anim2i 362	. . 3 |- ((Rel A /\ A.x e. dom AE!y xAy) -> (Rel A /\ A.x e. dom AE*y xAy))
17		dffun7 4447	. . 3 |- (Fun A <-> (Rel A /\ A.x e. dom AE*y xAy))
18	16, 17	sylibr 217	. 2 |- ((Rel A /\ A.x e. dom AE!y xAy) -> Fun A)
19	13, 18	impbii 174	1 |- (Fun A <-> (Rel A /\ A.x e. dom AE!y xAy))

Syntax hints:   <-> wb 163   /\ wa 240   e. wcel 1300  E.wex 1326  E!weu 1771  E*wmo 1772  A.wral 2105  <.cop 3046   class class class wbr 3338  dom cdm 3986  Rel wrel 3991  Fun wfun 3992

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-fun 4008

Copyright terms: Public domain