MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dffun4 Structured version   Unicode version

Theorem dffun4 5556
Description: Alternate definition of a function. Definition 6.4(4) of [TakeutiZaring] p. 24. (Contributed by NM, 29-Dec-1996.)
Assertion
Ref Expression
dffun4  |-  ( Fun 
A  <->  ( Rel  A  /\  A. x A. y A. z ( ( <.
x ,  y >.  e.  A  /\  <. x ,  z >.  e.  A
)  ->  y  =  z ) ) )
Distinct variable group:    x, y, z, A

Proof of Theorem dffun4
StepHypRef Expression
1 dffun2 5554 . 2  |-  ( Fun 
A  <->  ( Rel  A  /\  A. x A. y A. z ( ( x A y  /\  x A z )  -> 
y  =  z ) ) )
2 df-br 4367 . . . . . . 7  |-  ( x A y  <->  <. x ,  y >.  e.  A
)
3 df-br 4367 . . . . . . 7  |-  ( x A z  <->  <. x ,  z >.  e.  A
)
42, 3anbi12i 701 . . . . . 6  |-  ( ( x A y  /\  x A z )  <->  ( <. x ,  y >.  e.  A  /\  <. x ,  z
>.  e.  A ) )
54imbi1i 326 . . . . 5  |-  ( ( ( x A y  /\  x A z )  ->  y  =  z )  <->  ( ( <. x ,  y >.  e.  A  /\  <. x ,  z >.  e.  A
)  ->  y  =  z ) )
65albii 1685 . . . 4  |-  ( A. z ( ( x A y  /\  x A z )  -> 
y  =  z )  <->  A. z ( ( <.
x ,  y >.  e.  A  /\  <. x ,  z >.  e.  A
)  ->  y  =  z ) )
762albii 1686 . . 3  |-  ( A. x A. y A. z
( ( x A y  /\  x A z )  ->  y  =  z )  <->  A. x A. y A. z ( ( <. x ,  y
>.  e.  A  /\  <. x ,  z >.  e.  A
)  ->  y  =  z ) )
87anbi2i 698 . 2  |-  ( ( Rel  A  /\  A. x A. y A. z
( ( x A y  /\  x A z )  ->  y  =  z ) )  <-> 
( Rel  A  /\  A. x A. y A. z ( ( <.
x ,  y >.  e.  A  /\  <. x ,  z >.  e.  A
)  ->  y  =  z ) ) )
91, 8bitri 252 1  |-  ( Fun 
A  <->  ( Rel  A  /\  A. x A. y A. z ( ( <.
x ,  y >.  e.  A  /\  <. x ,  z >.  e.  A
)  ->  y  =  z ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370   A.wal 1435    e. wcel 1872   <.cop 3947   class class class wbr 4366   Rel wrel 4801   Fun wfun 5538
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pr 4603
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-ral 2719  df-rab 2723  df-v 3024  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-nul 3705  df-if 3855  df-sn 3942  df-pr 3944  df-op 3948  df-br 4367  df-opab 4426  df-id 4711  df-cnv 4804  df-co 4805  df-fun 5546
This theorem is referenced by:  funopg  5576  funun  5586  fununi  5610  tfrlem7  7056  hashfun  12557  bnj1379  29594  dffun10  30630  elfuns  30631
  Copyright terms: Public domain W3C validator