MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dffun4 Structured version   Unicode version

Theorem dffun4 5606
Description: Alternate definition of a function. Definition 6.4(4) of [TakeutiZaring] p. 24. (Contributed by NM, 29-Dec-1996.)
Assertion
Ref Expression
dffun4  |-  ( Fun 
A  <->  ( Rel  A  /\  A. x A. y A. z ( ( <.
x ,  y >.  e.  A  /\  <. x ,  z >.  e.  A
)  ->  y  =  z ) ) )
Distinct variable group:    x, y, z, A

Proof of Theorem dffun4
StepHypRef Expression
1 dffun2 5604 . 2  |-  ( Fun 
A  <->  ( Rel  A  /\  A. x A. y A. z ( ( x A y  /\  x A z )  -> 
y  =  z ) ) )
2 df-br 4454 . . . . . . 7  |-  ( x A y  <->  <. x ,  y >.  e.  A
)
3 df-br 4454 . . . . . . 7  |-  ( x A z  <->  <. x ,  z >.  e.  A
)
42, 3anbi12i 697 . . . . . 6  |-  ( ( x A y  /\  x A z )  <->  ( <. x ,  y >.  e.  A  /\  <. x ,  z
>.  e.  A ) )
54imbi1i 325 . . . . 5  |-  ( ( ( x A y  /\  x A z )  ->  y  =  z )  <->  ( ( <. x ,  y >.  e.  A  /\  <. x ,  z >.  e.  A
)  ->  y  =  z ) )
65albii 1620 . . . 4  |-  ( A. z ( ( x A y  /\  x A z )  -> 
y  =  z )  <->  A. z ( ( <.
x ,  y >.  e.  A  /\  <. x ,  z >.  e.  A
)  ->  y  =  z ) )
762albii 1621 . . 3  |-  ( A. x A. y A. z
( ( x A y  /\  x A z )  ->  y  =  z )  <->  A. x A. y A. z ( ( <. x ,  y
>.  e.  A  /\  <. x ,  z >.  e.  A
)  ->  y  =  z ) )
87anbi2i 694 . 2  |-  ( ( Rel  A  /\  A. x A. y A. z
( ( x A y  /\  x A z )  ->  y  =  z ) )  <-> 
( Rel  A  /\  A. x A. y A. z ( ( <.
x ,  y >.  e.  A  /\  <. x ,  z >.  e.  A
)  ->  y  =  z ) ) )
91, 8bitri 249 1  |-  ( Fun 
A  <->  ( Rel  A  /\  A. x A. y A. z ( ( <.
x ,  y >.  e.  A  /\  <. x ,  z >.  e.  A
)  ->  y  =  z ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1377    e. wcel 1767   <.cop 4039   class class class wbr 4453   Rel wrel 5010   Fun wfun 5588
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pr 4692
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rab 2826  df-v 3120  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-br 4454  df-opab 4512  df-id 4801  df-cnv 5013  df-co 5014  df-fun 5596
This theorem is referenced by:  funopg  5626  funun  5636  fununi  5660  tfrlem7  7064  hashfun  12476  dffun10  29491  elfuns  29492  bnj1379  33369
  Copyright terms: Public domain W3C validator