Theorem dffun3 5592

Description: Alternate definition of function. (Contributed by NM, 29-Dec-1996.)

Assertion

Ref	Expression
dffun3	|- ( Fun A <-> ( Rel A /\ A. x E. z A. y ( x A y -> y = z ) ) )

Distinct variable group:   x, y, z, A

Proof of Theorem dffun3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dffun2 5591	. 2 |- ( Fun A <-> ( Rel A /\ A. x A. y A. z ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) ) )
2		breq2 4446	. . . . . 6 |- ( y = z -> ( x A y <-> x A z ) )
3	2	mo4 2334	. . . . 5 |- ( E* y x A y <-> A. y A. z ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) )
4		mo2v 2277	. . . . 5 |- ( E* y x A y <-> E. z A. y ( x A y -> y = z ) )
5	3, 4	bitr3i 251	. . . 4 |- ( A. y A. z ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) <-> E. z A. y ( x A y -> y = z ) )
6	5	albii 1615	. . 3 |- ( A. x A. y A. z ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) <-> A. x E. z A. y ( x A y -> y = z ) )
7	6	anbi2i 694	. 2 |- ( ( Rel A /\ A. x A. y A. z ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) ) <-> ( Rel A /\ A. x E. z A. y ( x A y -> y = z ) ) )
8	1, 7	bitri 249	1 |- ( Fun A <-> ( Rel A /\ A. x E. z A. y ( x A y -> y = z ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   A.wal 1372   E.wex 1591   E*wmo 2271   class class class wbr 4442   Rel wrel 4999   Fun wfun 5575

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pr 4681

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-ral 2814  df-rab 2818  df-v 3110  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3781  df-if 3935  df-sn 4023  df-pr 4025  df-op 4029  df-br 4443  df-opab 4501  df-id 4790  df-cnv 5002  df-co 5003  df-fun 5583

This theorem is referenced by:  dffun5  5594  dffun6f  5595  sbcfung  5604  dffv2  5933