Theorem dffun3 5611

Description: Alternate definition of function. (Contributed by NM, 29-Dec-1996.)

Assertion

Ref	Expression
dffun3	|- ( Fun A <-> ( Rel A /\ A. x E. z A. y ( x A y -> y = z ) ) )

Distinct variable group:   x, y, z, A

Proof of Theorem dffun3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dffun2 5610	. 2 |- ( Fun A <-> ( Rel A /\ A. x A. y A. z ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) ) )
2		breq2 4419	. . . . . 6 |- ( y = z -> ( x A y <-> x A z ) )
3	2	mo4 2356	. . . . 5 |- ( E* y x A y <-> A. y A. z ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) )
4		mo2v 2316	. . . . 5 |- ( E* y x A y <-> E. z A. y ( x A y -> y = z ) )
5	3, 4	bitr3i 259	. . . 4 |- ( A. y A. z ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) <-> E. z A. y ( x A y -> y = z ) )
6	5	albii 1701	. . 3 |- ( A. x A. y A. z ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) <-> A. x E. z A. y ( x A y -> y = z ) )
7	6	anbi2i 705	. 2 |- ( ( Rel A /\ A. x A. y A. z ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) ) <-> ( Rel A /\ A. x E. z A. y ( x A y -> y = z ) ) )
8	1, 7	bitri 257	1 |- ( Fun A <-> ( Rel A /\ A. x E. z A. y ( x A y -> y = z ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 375   A.wal 1452   E.wex 1673   E*wmo 2310   class class class wbr 4415   Rel wrel 4857   Fun wfun 5594

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pr 4652

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-ral 2753  df-rab 2757  df-v 3058  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-nul 3743  df-if 3893  df-sn 3980  df-pr 3982  df-op 3986  df-br 4416  df-opab 4475  df-id 4767  df-cnv 4860  df-co 4861  df-fun 5602

This theorem is referenced by:  dffun5  5613  dffun6f  5614  sbcfung  5623  dffv2  5960