Theorem dffun3 5579

Description: Alternate definition of function. (Contributed by NM, 29-Dec-1996.)

Assertion

Ref	Expression
dffun3	|- ( Fun A <-> ( Rel A /\ A. x E. z A. y ( x A y -> y = z ) ) )

Distinct variable group:   x, y, z, A

Proof of Theorem dffun3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dffun2 5578	. 2 |- ( Fun A <-> ( Rel A /\ A. x A. y A. z ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) ) )
2		breq2 4398	. . . . . 6 |- ( y = z -> ( x A y <-> x A z ) )
3	2	mo4 2289	. . . . 5 |- ( E* y x A y <-> A. y A. z ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) )
4		mo2v 2245	. . . . 5 |- ( E* y x A y <-> E. z A. y ( x A y -> y = z ) )
5	3, 4	bitr3i 251	. . . 4 |- ( A. y A. z ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) <-> E. z A. y ( x A y -> y = z ) )
6	5	albii 1661	. . 3 |- ( A. x A. y A. z ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) <-> A. x E. z A. y ( x A y -> y = z ) )
7	6	anbi2i 692	. 2 |- ( ( Rel A /\ A. x A. y A. z ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) ) <-> ( Rel A /\ A. x E. z A. y ( x A y -> y = z ) ) )
8	1, 7	bitri 249	1 |- ( Fun A <-> ( Rel A /\ A. x E. z A. y ( x A y -> y = z ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   A.wal 1403   E.wex 1633   E*wmo 2239   class class class wbr 4394   Rel wrel 4827   Fun wfun 5562

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pr 4629

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rab 2762  df-v 3060  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-br 4395  df-opab 4453  df-id 4737  df-cnv 4830  df-co 4831  df-fun 5570

This theorem is referenced by:  dffun5  5581  dffun6f  5582  sbcfung  5591  dffv2  5921