MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dffun3 Structured version   Unicode version

Theorem dffun3 5610
Description: Alternate definition of function. (Contributed by NM, 29-Dec-1996.)
Assertion
Ref Expression
dffun3  |-  ( Fun 
A  <->  ( Rel  A  /\  A. x E. z A. y ( x A y  ->  y  =  z ) ) )
Distinct variable group:    x, y, z, A

Proof of Theorem dffun3
StepHypRef Expression
1 dffun2 5609 . 2  |-  ( Fun 
A  <->  ( Rel  A  /\  A. x A. y A. z ( ( x A y  /\  x A z )  -> 
y  =  z ) ) )
2 breq2 4425 . . . . . 6  |-  ( y  =  z  ->  (
x A y  <->  x A
z ) )
32mo4 2314 . . . . 5  |-  ( E* y  x A y  <->  A. y A. z ( ( x A y  /\  x A z )  ->  y  =  z ) )
4 mo2v 2273 . . . . 5  |-  ( E* y  x A y  <->  E. z A. y ( x A y  -> 
y  =  z ) )
53, 4bitr3i 255 . . . 4  |-  ( A. y A. z ( ( x A y  /\  x A z )  -> 
y  =  z )  <->  E. z A. y ( x A y  -> 
y  =  z ) )
65albii 1688 . . 3  |-  ( A. x A. y A. z
( ( x A y  /\  x A z )  ->  y  =  z )  <->  A. x E. z A. y ( x A y  -> 
y  =  z ) )
76anbi2i 699 . 2  |-  ( ( Rel  A  /\  A. x A. y A. z
( ( x A y  /\  x A z )  ->  y  =  z ) )  <-> 
( Rel  A  /\  A. x E. z A. y ( x A y  ->  y  =  z ) ) )
81, 7bitri 253 1  |-  ( Fun 
A  <->  ( Rel  A  /\  A. x E. z A. y ( x A y  ->  y  =  z ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371   A.wal 1436   E.wex 1660   E*wmo 2267   class class class wbr 4421   Rel wrel 4856   Fun wfun 5593
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pr 4658
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-ral 2781  df-rab 2785  df-v 3084  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3763  df-if 3911  df-sn 3998  df-pr 4000  df-op 4004  df-br 4422  df-opab 4481  df-id 4766  df-cnv 4859  df-co 4860  df-fun 5601
This theorem is referenced by:  dffun5  5612  dffun6f  5613  sbcfung  5622  dffv2  5952
  Copyright terms: Public domain W3C validator