MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dffun3 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem dffun3 5611
Description: Alternate definition of function. (Contributed by NM, 29-Dec-1996.)
Assertion
Ref Expression
dffun3  |-  ( Fun 
A  <->  ( Rel  A  /\  A. x E. z A. y ( x A y  ->  y  =  z ) ) )
Distinct variable group:    x, y, z, A

Proof of Theorem dffun3
StepHypRef Expression
1 dffun2 5610 . 2  |-  ( Fun 
A  <->  ( Rel  A  /\  A. x A. y A. z ( ( x A y  /\  x A z )  -> 
y  =  z ) ) )
2 breq2 4419 . . . . . 6  |-  ( y  =  z  ->  (
x A y  <->  x A
z ) )
32mo4 2356 . . . . 5  |-  ( E* y  x A y  <->  A. y A. z ( ( x A y  /\  x A z )  ->  y  =  z ) )
4 mo2v 2316 . . . . 5  |-  ( E* y  x A y  <->  E. z A. y ( x A y  -> 
y  =  z ) )
53, 4bitr3i 259 . . . 4  |-  ( A. y A. z ( ( x A y  /\  x A z )  -> 
y  =  z )  <->  E. z A. y ( x A y  -> 
y  =  z ) )
65albii 1701 . . 3  |-  ( A. x A. y A. z
( ( x A y  /\  x A z )  ->  y  =  z )  <->  A. x E. z A. y ( x A y  -> 
y  =  z ) )
76anbi2i 705 . 2  |-  ( ( Rel  A  /\  A. x A. y A. z
( ( x A y  /\  x A z )  ->  y  =  z ) )  <-> 
( Rel  A  /\  A. x E. z A. y ( x A y  ->  y  =  z ) ) )
81, 7bitri 257 1  |-  ( Fun 
A  <->  ( Rel  A  /\  A. x E. z A. y ( x A y  ->  y  =  z ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375   A.wal 1452   E.wex 1673   E*wmo 2310   class class class wbr 4415   Rel wrel 4857   Fun wfun 5594
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pr 4652
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-ral 2753  df-rab 2757  df-v 3058  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-nul 3743  df-if 3893  df-sn 3980  df-pr 3982  df-op 3986  df-br 4416  df-opab 4475  df-id 4767  df-cnv 4860  df-co 4861  df-fun 5602
This theorem is referenced by:  dffun5  5613  dffun6f  5614  sbcfung  5623  dffv2  5960
  Copyright terms: Public domain W3C validator