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Theorem dffun2 5423
Description: Alternate definition of a function. (Contributed by NM, 29-Dec-1996.)
Assertion
Ref Expression
dffun2  |-  ( Fun 
A  <->  ( Rel  A  /\  A. x A. y A. z ( ( x A y  /\  x A z )  -> 
y  =  z ) ) )
Distinct variable group:    x, y, z, A

Proof of Theorem dffun2
StepHypRef Expression
1 df-fun 5415 . 2  |-  ( Fun 
A  <->  ( Rel  A  /\  ( A  o.  `' A )  C_  _I  ) )
2 df-id 4458 . . . . . 6  |-  _I  =  { <. y ,  z
>.  |  y  =  z }
32sseq2i 3333 . . . . 5  |-  ( ( A  o.  `' A
)  C_  _I  <->  ( A  o.  `' A )  C_  { <. y ,  z >.  |  y  =  z } )
4 df-co 4846 . . . . . 6  |-  ( A  o.  `' A )  =  { <. y ,  z >.  |  E. x ( y `' A x  /\  x A z ) }
54sseq1i 3332 . . . . 5  |-  ( ( A  o.  `' A
)  C_  { <. y ,  z >.  |  y  =  z }  <->  { <. y ,  z >.  |  E. x ( y `' A x  /\  x A z ) } 
C_  { <. y ,  z >.  |  y  =  z } )
6 ssopab2b 4441 . . . . 5  |-  ( {
<. y ,  z >.  |  E. x ( y `' A x  /\  x A z ) } 
C_  { <. y ,  z >.  |  y  =  z }  <->  A. y A. z ( E. x
( y `' A x  /\  x A z )  ->  y  =  z ) )
73, 5, 63bitri 263 . . . 4  |-  ( ( A  o.  `' A
)  C_  _I  <->  A. y A. z ( E. x
( y `' A x  /\  x A z )  ->  y  =  z ) )
8 vex 2919 . . . . . . . . . . . 12  |-  y  e. 
_V
9 vex 2919 . . . . . . . . . . . 12  |-  x  e. 
_V
108, 9brcnv 5014 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y `' A x  <->  x A
y )
1110anbi1i 677 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y `' A x  /\  x A z )  <->  ( x A y  /\  x A z ) )
1211exbii 1589 . . . . . . . . 9  |-  ( E. x ( y `' A x  /\  x A z )  <->  E. x
( x A y  /\  x A z ) )
1312imbi1i 316 . . . . . . . 8  |-  ( ( E. x ( y `' A x  /\  x A z )  -> 
y  =  z )  <-> 
( E. x ( x A y  /\  x A z )  -> 
y  =  z ) )
14 19.23v 1910 . . . . . . . 8  |-  ( A. x ( ( x A y  /\  x A z )  -> 
y  =  z )  <-> 
( E. x ( x A y  /\  x A z )  -> 
y  =  z ) )
1513, 14bitr4i 244 . . . . . . 7  |-  ( ( E. x ( y `' A x  /\  x A z )  -> 
y  =  z )  <->  A. x ( ( x A y  /\  x A z )  -> 
y  =  z ) )
1615albii 1572 . . . . . 6  |-  ( A. z ( E. x
( y `' A x  /\  x A z )  ->  y  =  z )  <->  A. z A. x ( ( x A y  /\  x A z )  -> 
y  =  z ) )
17 alcom 1748 . . . . . 6  |-  ( A. z A. x ( ( x A y  /\  x A z )  -> 
y  =  z )  <->  A. x A. z ( ( x A y  /\  x A z )  ->  y  =  z ) )
1816, 17bitri 241 . . . . 5  |-  ( A. z ( E. x
( y `' A x  /\  x A z )  ->  y  =  z )  <->  A. x A. z ( ( x A y  /\  x A z )  -> 
y  =  z ) )
1918albii 1572 . . . 4  |-  ( A. y A. z ( E. x ( y `' A x  /\  x A z )  -> 
y  =  z )  <->  A. y A. x A. z ( ( x A y  /\  x A z )  -> 
y  =  z ) )
20 alcom 1748 . . . 4  |-  ( A. y A. x A. z
( ( x A y  /\  x A z )  ->  y  =  z )  <->  A. x A. y A. z ( ( x A y  /\  x A z )  ->  y  =  z ) )
217, 19, 203bitri 263 . . 3  |-  ( ( A  o.  `' A
)  C_  _I  <->  A. x A. y A. z ( ( x A y  /\  x A z )  ->  y  =  z ) )
2221anbi2i 676 . 2  |-  ( ( Rel  A  /\  ( A  o.  `' A
)  C_  _I  )  <->  ( Rel  A  /\  A. x A. y A. z
( ( x A y  /\  x A z )  ->  y  =  z ) ) )
231, 22bitri 241 1  |-  ( Fun 
A  <->  ( Rel  A  /\  A. x A. y A. z ( ( x A y  /\  x A z )  -> 
y  =  z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   A.wal 1546   E.wex 1547    C_ wss 3280   class class class wbr 4172   {copab 4225    _I cid 4453   `'ccnv 4836    o. ccom 4841   Rel wrel 4842   Fun wfun 5407
This theorem is referenced by:  dffun3  5424  dffun4  5425  fliftfun  5993  fpwwe2lem11  8471  fclim  12302  invfun  13944  lmfun  17399  ulmdm  20262  fundmpss  25336  fununiq  25340  wfrlem5  25474  wfrlem11  25480  frrlem5  25499  frrlem5c  25501  dffun10  25667  fnsingle  25672  funimage  25681  funpartfun  25696
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pr 4363
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rab 2675  df-v 2918  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-br 4173  df-opab 4227  df-id 4458  df-cnv 4845  df-co 4846  df-fun 5415
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