Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dffun10 Structured version   Unicode version

Theorem dffun10 28084
Description: Another potential definition of functionhood. Based on statements in http://people.math.gatech.edu/~belinfan/research/autoreas/otter/sum/fs/. (Contributed by Scott Fenton, 30-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
dffun10  |-  ( Fun 
F  <->  F  C_  (  _I  o.  ( _V  \ 
( ( _V  \  _I  )  o.  F
) ) ) )

Proof of Theorem dffun10
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrel 5031 . . . 4  |-  ( Rel 
F  ->  ( F  C_  ( _V  \  (
( _V  \  _I  )  o.  F )
)  <->  A. x A. y
( <. x ,  y
>.  e.  F  ->  <. x ,  y >.  e.  ( _V  \  ( ( _V  \  _I  )  o.  F ) ) ) ) )
2 impexp 446 . . . . . . 7  |-  ( ( ( <. x ,  y
>.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  ->  y  =  z )  <->  ( <. x ,  y >.  e.  F  ->  ( <. x ,  z
>.  e.  F  ->  y  =  z ) ) )
32albii 1611 . . . . . 6  |-  ( A. z ( ( <.
x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  ->  y  =  z )  <->  A. z
( <. x ,  y
>.  e.  F  ->  ( <. x ,  z >.  e.  F  ->  y  =  z ) ) )
4 19.21v 1920 . . . . . 6  |-  ( A. z ( <. x ,  y >.  e.  F  ->  ( <. x ,  z
>.  e.  F  ->  y  =  z ) )  <-> 
( <. x ,  y
>.  e.  F  ->  A. z
( <. x ,  z
>.  e.  F  ->  y  =  z ) ) )
5 vex 3075 . . . . . . . . . . 11  |-  x  e. 
_V
6 vex 3075 . . . . . . . . . . 11  |-  y  e. 
_V
75, 6opelco 5114 . . . . . . . . . 10  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( ( _V  \  _I  )  o.  F
)  <->  E. z ( x F z  /\  z
( _V  \  _I  ) y ) )
8 df-br 4396 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x F z  <->  <. x ,  z >.  e.  F
)
9 brv 28047 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  z _V y
10 brdif 4445 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z ( _V  \  _I  ) y  <->  ( z _V y  /\  -.  z  _I  y ) )
119, 10mpbiran 909 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z ( _V  \  _I  ) y  <->  -.  z  _I  y )
126ideq 5095 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  _I  y  <->  z  =  y )
13 equcom 1734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  y  <->  y  =  z )
1412, 13bitri 249 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  _I  y  <->  y  =  z )
1511, 14xchbinx 310 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z ( _V  \  _I  ) y  <->  -.  y  =  z )
168, 15anbi12i 697 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x F z  /\  z ( _V  \  _I  ) y )  <->  ( <. x ,  z >.  e.  F  /\  -.  y  =  z ) )
1716exbii 1635 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. z ( x F z  /\  z ( _V  \  _I  )
y )  <->  E. z
( <. x ,  z
>.  e.  F  /\  -.  y  =  z )
)
18 exanali 1638 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. z ( <. x ,  z >.  e.  F  /\  -.  y  =  z )  <->  -.  A. z
( <. x ,  z
>.  e.  F  ->  y  =  z ) )
197, 17, 183bitri 271 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( ( _V  \  _I  )  o.  F
)  <->  -.  A. z
( <. x ,  z
>.  e.  F  ->  y  =  z ) )
2019con2bii 332 . . . . . . . 8  |-  ( A. z ( <. x ,  z >.  e.  F  ->  y  =  z )  <->  -.  <. x ,  y
>.  e.  ( ( _V 
\  _I  )  o.  F ) )
21 opex 4659 . . . . . . . . 9  |-  <. x ,  y >.  e.  _V
22 eldif 3441 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( _V  \  (
( _V  \  _I  )  o.  F )
)  <->  ( <. x ,  y >.  e.  _V  /\ 
-.  <. x ,  y
>.  e.  ( ( _V 
\  _I  )  o.  F ) ) )
2321, 22mpbiran 909 . . . . . . . 8  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( _V  \  (
( _V  \  _I  )  o.  F )
)  <->  -.  <. x ,  y >.  e.  (
( _V  \  _I  )  o.  F )
)
2420, 23bitr4i 252 . . . . . . 7  |-  ( A. z ( <. x ,  z >.  e.  F  ->  y  =  z )  <->  <. x ,  y >.  e.  ( _V  \  (
( _V  \  _I  )  o.  F )
) )
2524imbi2i 312 . . . . . 6  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  F  ->  A. z
( <. x ,  z
>.  e.  F  ->  y  =  z ) )  <-> 
( <. x ,  y
>.  e.  F  ->  <. x ,  y >.  e.  ( _V  \  ( ( _V  \  _I  )  o.  F ) ) ) )
263, 4, 253bitri 271 . . . . 5  |-  ( A. z ( ( <.
x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  ->  y  =  z )  <->  ( <. x ,  y >.  e.  F  -> 
<. x ,  y >.  e.  ( _V  \  (
( _V  \  _I  )  o.  F )
) ) )
27262albii 1612 . . . 4  |-  ( A. x A. y A. z
( ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z
>.  e.  F )  -> 
y  =  z )  <->  A. x A. y (
<. x ,  y >.  e.  F  ->  <. x ,  y >.  e.  ( _V  \  ( ( _V  \  _I  )  o.  F ) ) ) )
281, 27syl6rbbr 264 . . 3  |-  ( Rel 
F  ->  ( A. x A. y A. z
( ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z
>.  e.  F )  -> 
y  =  z )  <-> 
F  C_  ( _V  \  ( ( _V  \  _I  )  o.  F
) ) ) )
2928pm5.32i 637 . 2  |-  ( ( Rel  F  /\  A. x A. y A. z
( ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z
>.  e.  F )  -> 
y  =  z ) )  <->  ( Rel  F  /\  F  C_  ( _V 
\  ( ( _V 
\  _I  )  o.  F ) ) ) )
30 dffun4 5533 . 2  |-  ( Fun 
F  <->  ( Rel  F  /\  A. x A. y A. z ( ( <.
x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  ->  y  =  z ) ) )
31 sscoid 28083 . 2  |-  ( F 
C_  (  _I  o.  ( _V  \  (
( _V  \  _I  )  o.  F )
) )  <->  ( Rel  F  /\  F  C_  ( _V  \  ( ( _V 
\  _I  )  o.  F ) ) ) )
3229, 30, 313bitr4i 277 1  |-  ( Fun 
F  <->  F  C_  (  _I  o.  ( _V  \ 
( ( _V  \  _I  )  o.  F
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1368   E.wex 1587    e. wcel 1758   _Vcvv 3072    \ cdif 3428    C_ wss 3431   <.cop 3986   class class class wbr 4395    _I cid 4734    o. ccom 4947   Rel wrel 4948   Fun wfun 5515
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pr 4634
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-ral 2801  df-rex 2802  df-rab 2805  df-v 3074  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-nul 3741  df-if 3895  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-br 4396  df-opab 4454  df-id 4739  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-fun 5523
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator