Theorem dffun10 29482

Description: Another potential definition of functionhood. Based on statements in http://people.math.gatech.edu/~belinfan/research/autoreas/otter/sum/fs/. (Contributed by Scott Fenton, 30-Aug-2017.)

Assertion

Ref	Expression
dffun10	|- ( Fun F <-> F C_ ( _I o. ( _V \ ( ( _V \ _I ) o. F ) ) ) )

Proof of Theorem dffun10

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrel 5097	. . . 4 |- ( Rel F -> ( F C_ ( _V \ ( ( _V \ _I ) o. F ) ) <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. F -> <. x , y >. e. ( _V \ ( ( _V \ _I ) o. F ) ) ) ) )
2		impexp 446	. . . . . . 7 |- ( ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) -> y = z ) <-> ( <. x , y >. e. F -> ( <. x , z >. e. F -> y = z ) ) )
3	2	albii 1620	. . . . . 6 |- ( A. z ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) -> y = z ) <-> A. z ( <. x , y >. e. F -> ( <. x , z >. e. F -> y = z ) ) )
4		19.21v 1930	. . . . . 6 |- ( A. z ( <. x , y >. e. F -> ( <. x , z >. e. F -> y = z ) ) <-> ( <. x , y >. e. F -> A. z ( <. x , z >. e. F -> y = z ) ) )
5		vex 3121	. . . . . . . . . . 11 |- x e. _V
6		vex 3121	. . . . . . . . . . 11 |- y e. _V
7	5, 6	opelco 5180	. . . . . . . . . 10 |- ( <. x , y >. e. ( ( _V \ _I ) o. F ) <-> E. z ( x F z /\ z ( _V \ _I ) y ) )
8		df-br 4454	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x F z <-> <. x , z >. e. F )
9		brv 29445	. . . . . . . . . . . . . 14 |- z _V y
10		brdif 4503	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z ( _V \ _I ) y <-> ( z _V y /\ -. z _I y ) )
11	9, 10	mpbiran 916	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z ( _V \ _I ) y <-> -. z _I y )
12	6	ideq 5161	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z _I y <-> z = y )
13		equcom 1743	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = y <-> y = z )
14	12, 13	bitri 249	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z _I y <-> y = z )
15	11, 14	xchbinx 310	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z ( _V \ _I ) y <-> -. y = z )
16	8, 15	anbi12i 697	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x F z /\ z ( _V \ _I ) y ) <-> ( <. x , z >. e. F /\ -. y = z ) )
17	16	exbii 1644	. . . . . . . . . 10 |- ( E. z ( x F z /\ z ( _V \ _I ) y ) <-> E. z ( <. x , z >. e. F /\ -. y = z ) )
18		exanali 1647	. . . . . . . . . 10 |- ( E. z ( <. x , z >. e. F /\ -. y = z ) <-> -. A. z ( <. x , z >. e. F -> y = z ) )
19	7, 17, 18	3bitri 271	. . . . . . . . 9 |- ( <. x , y >. e. ( ( _V \ _I ) o. F ) <-> -. A. z ( <. x , z >. e. F -> y = z ) )
20	19	con2bii 332	. . . . . . . 8 |- ( A. z ( <. x , z >. e. F -> y = z ) <-> -. <. x , y >. e. ( ( _V \ _I ) o. F ) )
21		opex 4717	. . . . . . . . 9 |- <. x , y >. e. _V
22		eldif 3491	. . . . . . . . 9 |- ( <. x , y >. e. ( _V \ ( ( _V \ _I ) o. F ) ) <-> ( <. x , y >. e. _V /\ -. <. x , y >. e. ( ( _V \ _I ) o. F ) ) )
23	21, 22	mpbiran 916	. . . . . . . 8 |- ( <. x , y >. e. ( _V \ ( ( _V \ _I ) o. F ) ) <-> -. <. x , y >. e. ( ( _V \ _I ) o. F ) )
24	20, 23	bitr4i 252	. . . . . . 7 |- ( A. z ( <. x , z >. e. F -> y = z ) <-> <. x , y >. e. ( _V \ ( ( _V \ _I ) o. F ) ) )
25	24	imbi2i 312	. . . . . 6 |- ( ( <. x , y >. e. F -> A. z ( <. x , z >. e. F -> y = z ) ) <-> ( <. x , y >. e. F -> <. x , y >. e. ( _V \ ( ( _V \ _I ) o. F ) ) ) )
26	3, 4, 25	3bitri 271	. . . . 5 |- ( A. z ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) -> y = z ) <-> ( <. x , y >. e. F -> <. x , y >. e. ( _V \ ( ( _V \ _I ) o. F ) ) ) )
27	26	2albii 1621	. . . 4 |- ( A. x A. y A. z ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) -> y = z ) <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. F -> <. x , y >. e. ( _V \ ( ( _V \ _I ) o. F ) ) ) )
28	1, 27	syl6rbbr 264	. . 3 |- ( Rel F -> ( A. x A. y A. z ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) -> y = z ) <-> F C_ ( _V \ ( ( _V \ _I ) o. F ) ) ) )
29	28	pm5.32i 637	. 2 |- ( ( Rel F /\ A. x A. y A. z ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) -> y = z ) ) <-> ( Rel F /\ F C_ ( _V \ ( ( _V \ _I ) o. F ) ) ) )
30		dffun4 5606	. 2 |- ( Fun F <-> ( Rel F /\ A. x A. y A. z ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) -> y = z ) ) )
31		sscoid 29481	. 2 |- ( F C_ ( _I o. ( _V \ ( ( _V \ _I ) o. F ) ) ) <-> ( Rel F /\ F C_ ( _V \ ( ( _V \ _I ) o. F ) ) ) )
32	29, 30, 31	3bitr4i 277	1 |- ( Fun F <-> F C_ ( _I o. ( _V \ ( ( _V \ _I ) o. F ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   A.wal 1377   E.wex 1596   e. wcel 1767   _Vcvv 3118   \ cdif 3478   C_ wss 3481   <.cop 4039   class class class wbr 4453   _I cid 4796   o. ccom 5009   Rel wrel 5010   Fun wfun 5588

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pr 4692

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-br 4454  df-opab 4512  df-id 4801  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-fun 5596

This theorem is referenced by: (None)