Theorem dffun10 30466

Description: Another potential definition of functionhood. Based on statements in http://people.math.gatech.edu/~belinfan/research/autoreas/otter/sum/fs/. (Contributed by Scott Fenton, 30-Aug-2017.)

Assertion

Ref	Expression
dffun10	|- ( Fun F <-> F C_ ( _I o. ( _V \ ( ( _V \ _I ) o. F ) ) ) )

Proof of Theorem dffun10

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrel 4943	. . . 4 |- ( Rel F -> ( F C_ ( _V \ ( ( _V \ _I ) o. F ) ) <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. F -> <. x , y >. e. ( _V \ ( ( _V \ _I ) o. F ) ) ) ) )
2		impexp 447	. . . . . . 7 |- ( ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) -> y = z ) <-> ( <. x , y >. e. F -> ( <. x , z >. e. F -> y = z ) ) )
3	2	albii 1687	. . . . . 6 |- ( A. z ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) -> y = z ) <-> A. z ( <. x , y >. e. F -> ( <. x , z >. e. F -> y = z ) ) )
4		19.21v 1778	. . . . . 6 |- ( A. z ( <. x , y >. e. F -> ( <. x , z >. e. F -> y = z ) ) <-> ( <. x , y >. e. F -> A. z ( <. x , z >. e. F -> y = z ) ) )
5		vex 3090	. . . . . . . . . . 11 |- x e. _V
6		vex 3090	. . . . . . . . . . 11 |- y e. _V
7	5, 6	opelco 5026	. . . . . . . . . 10 |- ( <. x , y >. e. ( ( _V \ _I ) o. F ) <-> E. z ( x F z /\ z ( _V \ _I ) y ) )
8		df-br 4427	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x F z <-> <. x , z >. e. F )
9		brv 30429	. . . . . . . . . . . . . 14 |- z _V y
10		brdif 4476	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z ( _V \ _I ) y <-> ( z _V y /\ -. z _I y ) )
11	9, 10	mpbiran 926	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z ( _V \ _I ) y <-> -. z _I y )
12	6	ideq 5007	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z _I y <-> z = y )
13		equcom 1846	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = y <-> y = z )
14	12, 13	bitri 252	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z _I y <-> y = z )
15	11, 14	xchbinx 311	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z ( _V \ _I ) y <-> -. y = z )
16	8, 15	anbi12i 701	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x F z /\ z ( _V \ _I ) y ) <-> ( <. x , z >. e. F /\ -. y = z ) )
17	16	exbii 1714	. . . . . . . . . 10 |- ( E. z ( x F z /\ z ( _V \ _I ) y ) <-> E. z ( <. x , z >. e. F /\ -. y = z ) )
18		exanali 1717	. . . . . . . . . 10 |- ( E. z ( <. x , z >. e. F /\ -. y = z ) <-> -. A. z ( <. x , z >. e. F -> y = z ) )
19	7, 17, 18	3bitri 274	. . . . . . . . 9 |- ( <. x , y >. e. ( ( _V \ _I ) o. F ) <-> -. A. z ( <. x , z >. e. F -> y = z ) )
20	19	con2bii 333	. . . . . . . 8 |- ( A. z ( <. x , z >. e. F -> y = z ) <-> -. <. x , y >. e. ( ( _V \ _I ) o. F ) )
21		opex 4686	. . . . . . . . 9 |- <. x , y >. e. _V
22		eldif 3452	. . . . . . . . 9 |- ( <. x , y >. e. ( _V \ ( ( _V \ _I ) o. F ) ) <-> ( <. x , y >. e. _V /\ -. <. x , y >. e. ( ( _V \ _I ) o. F ) ) )
23	21, 22	mpbiran 926	. . . . . . . 8 |- ( <. x , y >. e. ( _V \ ( ( _V \ _I ) o. F ) ) <-> -. <. x , y >. e. ( ( _V \ _I ) o. F ) )
24	20, 23	bitr4i 255	. . . . . . 7 |- ( A. z ( <. x , z >. e. F -> y = z ) <-> <. x , y >. e. ( _V \ ( ( _V \ _I ) o. F ) ) )
25	24	imbi2i 313	. . . . . 6 |- ( ( <. x , y >. e. F -> A. z ( <. x , z >. e. F -> y = z ) ) <-> ( <. x , y >. e. F -> <. x , y >. e. ( _V \ ( ( _V \ _I ) o. F ) ) ) )
26	3, 4, 25	3bitri 274	. . . . 5 |- ( A. z ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) -> y = z ) <-> ( <. x , y >. e. F -> <. x , y >. e. ( _V \ ( ( _V \ _I ) o. F ) ) ) )
27	26	2albii 1688	. . . 4 |- ( A. x A. y A. z ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) -> y = z ) <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. F -> <. x , y >. e. ( _V \ ( ( _V \ _I ) o. F ) ) ) )
28	1, 27	syl6rbbr 267	. . 3 |- ( Rel F -> ( A. x A. y A. z ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) -> y = z ) <-> F C_ ( _V \ ( ( _V \ _I ) o. F ) ) ) )
29	28	pm5.32i 641	. 2 |- ( ( Rel F /\ A. x A. y A. z ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) -> y = z ) ) <-> ( Rel F /\ F C_ ( _V \ ( ( _V \ _I ) o. F ) ) ) )
30		dffun4 5613	. 2 |- ( Fun F <-> ( Rel F /\ A. x A. y A. z ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) -> y = z ) ) )
31		sscoid 30465	. 2 |- ( F C_ ( _I o. ( _V \ ( ( _V \ _I ) o. F ) ) ) <-> ( Rel F /\ F C_ ( _V \ ( ( _V \ _I ) o. F ) ) ) )
32	29, 30, 31	3bitr4i 280	1 |- ( Fun F <-> F C_ ( _I o. ( _V \ ( ( _V \ _I ) o. F ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   A.wal 1435   E.wex 1659   e. wcel 1870   _Vcvv 3087   \ cdif 3439   C_ wss 3442   <.cop 4008   class class class wbr 4426   _I cid 4764   o. ccom 4858   Rel wrel 4859   Fun wfun 5595

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pr 4661

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-rab 2791  df-v 3089  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-br 4427  df-opab 4485  df-id 4769  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-fun 5603

This theorem is referenced by: (None)