Theorem dffun10 30729

Description: Another potential definition of functionhood. Based on statements in http://people.math.gatech.edu/~belinfan/research/autoreas/otter/sum/fs/. (Contributed by Scott Fenton, 30-Aug-2017.)

Assertion

Ref	Expression
dffun10	|- ( Fun F <-> F C_ ( _I o. ( _V \ ( ( _V \ _I ) o. F ) ) ) )

Proof of Theorem dffun10

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrel 4941	. . . 4 |- ( Rel F -> ( F C_ ( _V \ ( ( _V \ _I ) o. F ) ) <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. F -> <. x , y >. e. ( _V \ ( ( _V \ _I ) o. F ) ) ) ) )
2		impexp 452	. . . . . . 7 |- ( ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) -> y = z ) <-> ( <. x , y >. e. F -> ( <. x , z >. e. F -> y = z ) ) )
3	2	albii 1701	. . . . . 6 |- ( A. z ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) -> y = z ) <-> A. z ( <. x , y >. e. F -> ( <. x , z >. e. F -> y = z ) ) )
4		19.21v 1796	. . . . . 6 |- ( A. z ( <. x , y >. e. F -> ( <. x , z >. e. F -> y = z ) ) <-> ( <. x , y >. e. F -> A. z ( <. x , z >. e. F -> y = z ) ) )
5		vex 3059	. . . . . . . . . . 11 |- x e. _V
6		vex 3059	. . . . . . . . . . 11 |- y e. _V
7	5, 6	opelco 5024	. . . . . . . . . 10 |- ( <. x , y >. e. ( ( _V \ _I ) o. F ) <-> E. z ( x F z /\ z ( _V \ _I ) y ) )
8		df-br 4416	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x F z <-> <. x , z >. e. F )
9		brv 30692	. . . . . . . . . . . . . 14 |- z _V y
10		brdif 4466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z ( _V \ _I ) y <-> ( z _V y /\ -. z _I y ) )
11	9, 10	mpbiran 934	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z ( _V \ _I ) y <-> -. z _I y )
12	6	ideq 5005	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z _I y <-> z = y )
13		equcom 1872	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = y <-> y = z )
14	12, 13	bitri 257	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z _I y <-> y = z )
15	11, 14	xchbinx 316	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z ( _V \ _I ) y <-> -. y = z )
16	8, 15	anbi12i 708	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x F z /\ z ( _V \ _I ) y ) <-> ( <. x , z >. e. F /\ -. y = z ) )
17	16	exbii 1728	. . . . . . . . . 10 |- ( E. z ( x F z /\ z ( _V \ _I ) y ) <-> E. z ( <. x , z >. e. F /\ -. y = z ) )
18		exanali 1731	. . . . . . . . . 10 |- ( E. z ( <. x , z >. e. F /\ -. y = z ) <-> -. A. z ( <. x , z >. e. F -> y = z ) )
19	7, 17, 18	3bitri 279	. . . . . . . . 9 |- ( <. x , y >. e. ( ( _V \ _I ) o. F ) <-> -. A. z ( <. x , z >. e. F -> y = z ) )
20	19	con2bii 338	. . . . . . . 8 |- ( A. z ( <. x , z >. e. F -> y = z ) <-> -. <. x , y >. e. ( ( _V \ _I ) o. F ) )
21		opex 4677	. . . . . . . . 9 |- <. x , y >. e. _V
22		eldif 3425	. . . . . . . . 9 |- ( <. x , y >. e. ( _V \ ( ( _V \ _I ) o. F ) ) <-> ( <. x , y >. e. _V /\ -. <. x , y >. e. ( ( _V \ _I ) o. F ) ) )
23	21, 22	mpbiran 934	. . . . . . . 8 |- ( <. x , y >. e. ( _V \ ( ( _V \ _I ) o. F ) ) <-> -. <. x , y >. e. ( ( _V \ _I ) o. F ) )
24	20, 23	bitr4i 260	. . . . . . 7 |- ( A. z ( <. x , z >. e. F -> y = z ) <-> <. x , y >. e. ( _V \ ( ( _V \ _I ) o. F ) ) )
25	24	imbi2i 318	. . . . . 6 |- ( ( <. x , y >. e. F -> A. z ( <. x , z >. e. F -> y = z ) ) <-> ( <. x , y >. e. F -> <. x , y >. e. ( _V \ ( ( _V \ _I ) o. F ) ) ) )
26	3, 4, 25	3bitri 279	. . . . 5 |- ( A. z ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) -> y = z ) <-> ( <. x , y >. e. F -> <. x , y >. e. ( _V \ ( ( _V \ _I ) o. F ) ) ) )
27	26	2albii 1702	. . . 4 |- ( A. x A. y A. z ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) -> y = z ) <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. F -> <. x , y >. e. ( _V \ ( ( _V \ _I ) o. F ) ) ) )
28	1, 27	syl6rbbr 272	. . 3 |- ( Rel F -> ( A. x A. y A. z ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) -> y = z ) <-> F C_ ( _V \ ( ( _V \ _I ) o. F ) ) ) )
29	28	pm5.32i 647	. 2 |- ( ( Rel F /\ A. x A. y A. z ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) -> y = z ) ) <-> ( Rel F /\ F C_ ( _V \ ( ( _V \ _I ) o. F ) ) ) )
30		dffun4 5612	. 2 |- ( Fun F <-> ( Rel F /\ A. x A. y A. z ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) -> y = z ) ) )
31		sscoid 30728	. 2 |- ( F C_ ( _I o. ( _V \ ( ( _V \ _I ) o. F ) ) ) <-> ( Rel F /\ F C_ ( _V \ ( ( _V \ _I ) o. F ) ) ) )
32	29, 30, 31	3bitr4i 285	1 |- ( Fun F <-> F C_ ( _I o. ( _V \ ( ( _V \ _I ) o. F ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 375   A.wal 1452   E.wex 1673   e. wcel 1897   _Vcvv 3056   \ cdif 3412   C_ wss 3415   <.cop 3985   class class class wbr 4415   _I cid 4762   o. ccom 4856   Rel wrel 4857   Fun wfun 5594

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pr 4652

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-ral 2753  df-rex 2754  df-rab 2757  df-v 3058  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-nul 3743  df-if 3893  df-sn 3980  df-pr 3982  df-op 3986  df-br 4416  df-opab 4475  df-id 4767  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-fun 5602

This theorem is referenced by: (None)