Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dffun10 Structured version   Unicode version

Theorem dffun10 29482
Description: Another potential definition of functionhood. Based on statements in http://people.math.gatech.edu/~belinfan/research/autoreas/otter/sum/fs/. (Contributed by Scott Fenton, 30-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
dffun10  |-  ( Fun 
F  <->  F  C_  (  _I  o.  ( _V  \ 
( ( _V  \  _I  )  o.  F
) ) ) )

Proof of Theorem dffun10
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrel 5097 . . . 4  |-  ( Rel 
F  ->  ( F  C_  ( _V  \  (
( _V  \  _I  )  o.  F )
)  <->  A. x A. y
( <. x ,  y
>.  e.  F  ->  <. x ,  y >.  e.  ( _V  \  ( ( _V  \  _I  )  o.  F ) ) ) ) )
2 impexp 446 . . . . . . 7  |-  ( ( ( <. x ,  y
>.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  ->  y  =  z )  <->  ( <. x ,  y >.  e.  F  ->  ( <. x ,  z
>.  e.  F  ->  y  =  z ) ) )
32albii 1620 . . . . . 6  |-  ( A. z ( ( <.
x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  ->  y  =  z )  <->  A. z
( <. x ,  y
>.  e.  F  ->  ( <. x ,  z >.  e.  F  ->  y  =  z ) ) )
4 19.21v 1930 . . . . . 6  |-  ( A. z ( <. x ,  y >.  e.  F  ->  ( <. x ,  z
>.  e.  F  ->  y  =  z ) )  <-> 
( <. x ,  y
>.  e.  F  ->  A. z
( <. x ,  z
>.  e.  F  ->  y  =  z ) ) )
5 vex 3121 . . . . . . . . . . 11  |-  x  e. 
_V
6 vex 3121 . . . . . . . . . . 11  |-  y  e. 
_V
75, 6opelco 5180 . . . . . . . . . 10  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( ( _V  \  _I  )  o.  F
)  <->  E. z ( x F z  /\  z
( _V  \  _I  ) y ) )
8 df-br 4454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x F z  <->  <. x ,  z >.  e.  F
)
9 brv 29445 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  z _V y
10 brdif 4503 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z ( _V  \  _I  ) y  <->  ( z _V y  /\  -.  z  _I  y ) )
119, 10mpbiran 916 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z ( _V  \  _I  ) y  <->  -.  z  _I  y )
126ideq 5161 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  _I  y  <->  z  =  y )
13 equcom 1743 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  y  <->  y  =  z )
1412, 13bitri 249 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  _I  y  <->  y  =  z )
1511, 14xchbinx 310 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z ( _V  \  _I  ) y  <->  -.  y  =  z )
168, 15anbi12i 697 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x F z  /\  z ( _V  \  _I  ) y )  <->  ( <. x ,  z >.  e.  F  /\  -.  y  =  z ) )
1716exbii 1644 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. z ( x F z  /\  z ( _V  \  _I  )
y )  <->  E. z
( <. x ,  z
>.  e.  F  /\  -.  y  =  z )
)
18 exanali 1647 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. z ( <. x ,  z >.  e.  F  /\  -.  y  =  z )  <->  -.  A. z
( <. x ,  z
>.  e.  F  ->  y  =  z ) )
197, 17, 183bitri 271 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( ( _V  \  _I  )  o.  F
)  <->  -.  A. z
( <. x ,  z
>.  e.  F  ->  y  =  z ) )
2019con2bii 332 . . . . . . . 8  |-  ( A. z ( <. x ,  z >.  e.  F  ->  y  =  z )  <->  -.  <. x ,  y
>.  e.  ( ( _V 
\  _I  )  o.  F ) )
21 opex 4717 . . . . . . . . 9  |-  <. x ,  y >.  e.  _V
22 eldif 3491 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( _V  \  (
( _V  \  _I  )  o.  F )
)  <->  ( <. x ,  y >.  e.  _V  /\ 
-.  <. x ,  y
>.  e.  ( ( _V 
\  _I  )  o.  F ) ) )
2321, 22mpbiran 916 . . . . . . . 8  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( _V  \  (
( _V  \  _I  )  o.  F )
)  <->  -.  <. x ,  y >.  e.  (
( _V  \  _I  )  o.  F )
)
2420, 23bitr4i 252 . . . . . . 7  |-  ( A. z ( <. x ,  z >.  e.  F  ->  y  =  z )  <->  <. x ,  y >.  e.  ( _V  \  (
( _V  \  _I  )  o.  F )
) )
2524imbi2i 312 . . . . . 6  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  F  ->  A. z
( <. x ,  z
>.  e.  F  ->  y  =  z ) )  <-> 
( <. x ,  y
>.  e.  F  ->  <. x ,  y >.  e.  ( _V  \  ( ( _V  \  _I  )  o.  F ) ) ) )
263, 4, 253bitri 271 . . . . 5  |-  ( A. z ( ( <.
x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  ->  y  =  z )  <->  ( <. x ,  y >.  e.  F  -> 
<. x ,  y >.  e.  ( _V  \  (
( _V  \  _I  )  o.  F )
) ) )
27262albii 1621 . . . 4  |-  ( A. x A. y A. z
( ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z
>.  e.  F )  -> 
y  =  z )  <->  A. x A. y (
<. x ,  y >.  e.  F  ->  <. x ,  y >.  e.  ( _V  \  ( ( _V  \  _I  )  o.  F ) ) ) )
281, 27syl6rbbr 264 . . 3  |-  ( Rel 
F  ->  ( A. x A. y A. z
( ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z
>.  e.  F )  -> 
y  =  z )  <-> 
F  C_  ( _V  \  ( ( _V  \  _I  )  o.  F
) ) ) )
2928pm5.32i 637 . 2  |-  ( ( Rel  F  /\  A. x A. y A. z
( ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z
>.  e.  F )  -> 
y  =  z ) )  <->  ( Rel  F  /\  F  C_  ( _V 
\  ( ( _V 
\  _I  )  o.  F ) ) ) )
30 dffun4 5606 . 2  |-  ( Fun 
F  <->  ( Rel  F  /\  A. x A. y A. z ( ( <.
x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  ->  y  =  z ) ) )
31 sscoid 29481 . 2  |-  ( F 
C_  (  _I  o.  ( _V  \  (
( _V  \  _I  )  o.  F )
) )  <->  ( Rel  F  /\  F  C_  ( _V  \  ( ( _V 
\  _I  )  o.  F ) ) ) )
3229, 30, 313bitr4i 277 1  |-  ( Fun 
F  <->  F  C_  (  _I  o.  ( _V  \ 
( ( _V  \  _I  )  o.  F
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1377   E.wex 1596    e. wcel 1767   _Vcvv 3118    \ cdif 3478    C_ wss 3481   <.cop 4039   class class class wbr 4453    _I cid 4796    o. ccom 5009   Rel wrel 5010   Fun wfun 5588
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pr 4692
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-br 4454  df-opab 4512  df-id 4801  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-fun 5596
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator