Theorem dffun10 28084

Description: Another potential definition of functionhood. Based on statements in http://people.math.gatech.edu/~belinfan/research/autoreas/otter/sum/fs/. (Contributed by Scott Fenton, 30-Aug-2017.)

Assertion

Ref	Expression
dffun10	|- ( Fun F <-> F C_ ( _I o. ( _V \ ( ( _V \ _I ) o. F ) ) ) )

Proof of Theorem dffun10

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrel 5031	. . . 4 |- ( Rel F -> ( F C_ ( _V \ ( ( _V \ _I ) o. F ) ) <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. F -> <. x , y >. e. ( _V \ ( ( _V \ _I ) o. F ) ) ) ) )
2		impexp 446	. . . . . . 7 |- ( ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) -> y = z ) <-> ( <. x , y >. e. F -> ( <. x , z >. e. F -> y = z ) ) )
3	2	albii 1611	. . . . . 6 |- ( A. z ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) -> y = z ) <-> A. z ( <. x , y >. e. F -> ( <. x , z >. e. F -> y = z ) ) )
4		19.21v 1920	. . . . . 6 |- ( A. z ( <. x , y >. e. F -> ( <. x , z >. e. F -> y = z ) ) <-> ( <. x , y >. e. F -> A. z ( <. x , z >. e. F -> y = z ) ) )
5		vex 3075	. . . . . . . . . . 11 |- x e. _V
6		vex 3075	. . . . . . . . . . 11 |- y e. _V
7	5, 6	opelco 5114	. . . . . . . . . 10 |- ( <. x , y >. e. ( ( _V \ _I ) o. F ) <-> E. z ( x F z /\ z ( _V \ _I ) y ) )
8		df-br 4396	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x F z <-> <. x , z >. e. F )
9		brv 28047	. . . . . . . . . . . . . 14 |- z _V y
10		brdif 4445	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z ( _V \ _I ) y <-> ( z _V y /\ -. z _I y ) )
11	9, 10	mpbiran 909	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z ( _V \ _I ) y <-> -. z _I y )
12	6	ideq 5095	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z _I y <-> z = y )
13		equcom 1734	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = y <-> y = z )
14	12, 13	bitri 249	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z _I y <-> y = z )
15	11, 14	xchbinx 310	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z ( _V \ _I ) y <-> -. y = z )
16	8, 15	anbi12i 697	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x F z /\ z ( _V \ _I ) y ) <-> ( <. x , z >. e. F /\ -. y = z ) )
17	16	exbii 1635	. . . . . . . . . 10 |- ( E. z ( x F z /\ z ( _V \ _I ) y ) <-> E. z ( <. x , z >. e. F /\ -. y = z ) )
18		exanali 1638	. . . . . . . . . 10 |- ( E. z ( <. x , z >. e. F /\ -. y = z ) <-> -. A. z ( <. x , z >. e. F -> y = z ) )
19	7, 17, 18	3bitri 271	. . . . . . . . 9 |- ( <. x , y >. e. ( ( _V \ _I ) o. F ) <-> -. A. z ( <. x , z >. e. F -> y = z ) )
20	19	con2bii 332	. . . . . . . 8 |- ( A. z ( <. x , z >. e. F -> y = z ) <-> -. <. x , y >. e. ( ( _V \ _I ) o. F ) )
21		opex 4659	. . . . . . . . 9 |- <. x , y >. e. _V
22		eldif 3441	. . . . . . . . 9 |- ( <. x , y >. e. ( _V \ ( ( _V \ _I ) o. F ) ) <-> ( <. x , y >. e. _V /\ -. <. x , y >. e. ( ( _V \ _I ) o. F ) ) )
23	21, 22	mpbiran 909	. . . . . . . 8 |- ( <. x , y >. e. ( _V \ ( ( _V \ _I ) o. F ) ) <-> -. <. x , y >. e. ( ( _V \ _I ) o. F ) )
24	20, 23	bitr4i 252	. . . . . . 7 |- ( A. z ( <. x , z >. e. F -> y = z ) <-> <. x , y >. e. ( _V \ ( ( _V \ _I ) o. F ) ) )
25	24	imbi2i 312	. . . . . 6 |- ( ( <. x , y >. e. F -> A. z ( <. x , z >. e. F -> y = z ) ) <-> ( <. x , y >. e. F -> <. x , y >. e. ( _V \ ( ( _V \ _I ) o. F ) ) ) )
26	3, 4, 25	3bitri 271	. . . . 5 |- ( A. z ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) -> y = z ) <-> ( <. x , y >. e. F -> <. x , y >. e. ( _V \ ( ( _V \ _I ) o. F ) ) ) )
27	26	2albii 1612	. . . 4 |- ( A. x A. y A. z ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) -> y = z ) <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. F -> <. x , y >. e. ( _V \ ( ( _V \ _I ) o. F ) ) ) )
28	1, 27	syl6rbbr 264	. . 3 |- ( Rel F -> ( A. x A. y A. z ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) -> y = z ) <-> F C_ ( _V \ ( ( _V \ _I ) o. F ) ) ) )
29	28	pm5.32i 637	. 2 |- ( ( Rel F /\ A. x A. y A. z ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) -> y = z ) ) <-> ( Rel F /\ F C_ ( _V \ ( ( _V \ _I ) o. F ) ) ) )
30		dffun4 5533	. 2 |- ( Fun F <-> ( Rel F /\ A. x A. y A. z ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) -> y = z ) ) )
31		sscoid 28083	. 2 |- ( F C_ ( _I o. ( _V \ ( ( _V \ _I ) o. F ) ) ) <-> ( Rel F /\ F C_ ( _V \ ( ( _V \ _I ) o. F ) ) ) )
32	29, 30, 31	3bitr4i 277	1 |- ( Fun F <-> F C_ ( _I o. ( _V \ ( ( _V \ _I ) o. F ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   A.wal 1368   E.wex 1587   e. wcel 1758   _Vcvv 3072   \ cdif 3428   C_ wss 3431   <.cop 3986   class class class wbr 4395   _I cid 4734   o. ccom 4947   Rel wrel 4948   Fun wfun 5515

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pr 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-ral 2801  df-rex 2802  df-rab 2805  df-v 3074  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-nul 3741  df-if 3895  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-br 4396  df-opab 4454  df-id 4739  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-fun 5523

This theorem is referenced by: (None)