Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dffun10 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem dffun10 30729
Description: Another potential definition of functionhood. Based on statements in http://people.math.gatech.edu/~belinfan/research/autoreas/otter/sum/fs/. (Contributed by Scott Fenton, 30-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
dffun10  |-  ( Fun 
F  <->  F  C_  (  _I  o.  ( _V  \ 
( ( _V  \  _I  )  o.  F
) ) ) )

Proof of Theorem dffun10
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrel 4941 . . . 4  |-  ( Rel 
F  ->  ( F  C_  ( _V  \  (
( _V  \  _I  )  o.  F )
)  <->  A. x A. y
( <. x ,  y
>.  e.  F  ->  <. x ,  y >.  e.  ( _V  \  ( ( _V  \  _I  )  o.  F ) ) ) ) )
2 impexp 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( <. x ,  y
>.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  ->  y  =  z )  <->  ( <. x ,  y >.  e.  F  ->  ( <. x ,  z
>.  e.  F  ->  y  =  z ) ) )
32albii 1701 . . . . . 6  |-  ( A. z ( ( <.
x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  ->  y  =  z )  <->  A. z
( <. x ,  y
>.  e.  F  ->  ( <. x ,  z >.  e.  F  ->  y  =  z ) ) )
4 19.21v 1796 . . . . . 6  |-  ( A. z ( <. x ,  y >.  e.  F  ->  ( <. x ,  z
>.  e.  F  ->  y  =  z ) )  <-> 
( <. x ,  y
>.  e.  F  ->  A. z
( <. x ,  z
>.  e.  F  ->  y  =  z ) ) )
5 vex 3059 . . . . . . . . . . 11  |-  x  e. 
_V
6 vex 3059 . . . . . . . . . . 11  |-  y  e. 
_V
75, 6opelco 5024 . . . . . . . . . 10  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( ( _V  \  _I  )  o.  F
)  <->  E. z ( x F z  /\  z
( _V  \  _I  ) y ) )
8 df-br 4416 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x F z  <->  <. x ,  z >.  e.  F
)
9 brv 30692 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  z _V y
10 brdif 4466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z ( _V  \  _I  ) y  <->  ( z _V y  /\  -.  z  _I  y ) )
119, 10mpbiran 934 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z ( _V  \  _I  ) y  <->  -.  z  _I  y )
126ideq 5005 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  _I  y  <->  z  =  y )
13 equcom 1872 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  y  <->  y  =  z )
1412, 13bitri 257 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  _I  y  <->  y  =  z )
1511, 14xchbinx 316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z ( _V  \  _I  ) y  <->  -.  y  =  z )
168, 15anbi12i 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x F z  /\  z ( _V  \  _I  ) y )  <->  ( <. x ,  z >.  e.  F  /\  -.  y  =  z ) )
1716exbii 1728 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. z ( x F z  /\  z ( _V  \  _I  )
y )  <->  E. z
( <. x ,  z
>.  e.  F  /\  -.  y  =  z )
)
18 exanali 1731 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. z ( <. x ,  z >.  e.  F  /\  -.  y  =  z )  <->  -.  A. z
( <. x ,  z
>.  e.  F  ->  y  =  z ) )
197, 17, 183bitri 279 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( ( _V  \  _I  )  o.  F
)  <->  -.  A. z
( <. x ,  z
>.  e.  F  ->  y  =  z ) )
2019con2bii 338 . . . . . . . 8  |-  ( A. z ( <. x ,  z >.  e.  F  ->  y  =  z )  <->  -.  <. x ,  y
>.  e.  ( ( _V 
\  _I  )  o.  F ) )
21 opex 4677 . . . . . . . . 9  |-  <. x ,  y >.  e.  _V
22 eldif 3425 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( _V  \  (
( _V  \  _I  )  o.  F )
)  <->  ( <. x ,  y >.  e.  _V  /\ 
-.  <. x ,  y
>.  e.  ( ( _V 
\  _I  )  o.  F ) ) )
2321, 22mpbiran 934 . . . . . . . 8  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( _V  \  (
( _V  \  _I  )  o.  F )
)  <->  -.  <. x ,  y >.  e.  (
( _V  \  _I  )  o.  F )
)
2420, 23bitr4i 260 . . . . . . 7  |-  ( A. z ( <. x ,  z >.  e.  F  ->  y  =  z )  <->  <. x ,  y >.  e.  ( _V  \  (
( _V  \  _I  )  o.  F )
) )
2524imbi2i 318 . . . . . 6  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  F  ->  A. z
( <. x ,  z
>.  e.  F  ->  y  =  z ) )  <-> 
( <. x ,  y
>.  e.  F  ->  <. x ,  y >.  e.  ( _V  \  ( ( _V  \  _I  )  o.  F ) ) ) )
263, 4, 253bitri 279 . . . . 5  |-  ( A. z ( ( <.
x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  ->  y  =  z )  <->  ( <. x ,  y >.  e.  F  -> 
<. x ,  y >.  e.  ( _V  \  (
( _V  \  _I  )  o.  F )
) ) )
27262albii 1702 . . . 4  |-  ( A. x A. y A. z
( ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z
>.  e.  F )  -> 
y  =  z )  <->  A. x A. y (
<. x ,  y >.  e.  F  ->  <. x ,  y >.  e.  ( _V  \  ( ( _V  \  _I  )  o.  F ) ) ) )
281, 27syl6rbbr 272 . . 3  |-  ( Rel 
F  ->  ( A. x A. y A. z
( ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z
>.  e.  F )  -> 
y  =  z )  <-> 
F  C_  ( _V  \  ( ( _V  \  _I  )  o.  F
) ) ) )
2928pm5.32i 647 . 2  |-  ( ( Rel  F  /\  A. x A. y A. z
( ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z
>.  e.  F )  -> 
y  =  z ) )  <->  ( Rel  F  /\  F  C_  ( _V 
\  ( ( _V 
\  _I  )  o.  F ) ) ) )
30 dffun4 5612 . 2  |-  ( Fun 
F  <->  ( Rel  F  /\  A. x A. y A. z ( ( <.
x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  ->  y  =  z ) ) )
31 sscoid 30728 . 2  |-  ( F 
C_  (  _I  o.  ( _V  \  (
( _V  \  _I  )  o.  F )
) )  <->  ( Rel  F  /\  F  C_  ( _V  \  ( ( _V 
\  _I  )  o.  F ) ) ) )
3229, 30, 313bitr4i 285 1  |-  ( Fun 
F  <->  F  C_  (  _I  o.  ( _V  \ 
( ( _V  \  _I  )  o.  F
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375   A.wal 1452   E.wex 1673    e. wcel 1897   _Vcvv 3056    \ cdif 3412    C_ wss 3415   <.cop 3985   class class class wbr 4415    _I cid 4762    o. ccom 4856   Rel wrel 4857   Fun wfun 5594
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pr 4652
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-ral 2753  df-rex 2754  df-rab 2757  df-v 3058  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-nul 3743  df-if 3893  df-sn 3980  df-pr 3982  df-op 3986  df-br 4416  df-opab 4475  df-id 4767  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-fun 5602
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator