Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dffr5 Structured version   Unicode version

Theorem dffr5 30400
Description: A quantifier free definition of a well-founded relationship. (Contributed by Scott Fenton, 11-Apr-2011.)
Assertion
Ref Expression
dffr5  |-  ( R  Fr  A  <->  ( ~P A  \  { (/) } ) 
C_  ran  (  _E  \  (  _E  o.  `' R ) ) )

Proof of Theorem dffr5
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldif 3446 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( ~P A  \  { (/) } )  <->  ( x  e.  ~P A  /\  -.  x  e.  { (/) } ) )
2 selpw 3988 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ~P A  <->  x  C_  A
)
3 elsn 4012 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { (/) }  <->  x  =  (/) )
43necon3bbii 2681 . . . . . 6  |-  ( -.  x  e.  { (/) }  <-> 
x  =/=  (/) )
52, 4anbi12i 701 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ~P A  /\  -.  x  e.  { (/)
} )  <->  ( x  C_  A  /\  x  =/=  (/) ) )
61, 5bitri 252 . . . 4  |-  ( x  e.  ( ~P A  \  { (/) } )  <->  ( x  C_  A  /\  x  =/=  (/) ) )
7 brdif 4474 . . . . . . 7  |-  ( y (  _E  \  (  _E  o.  `' R ) ) x  <->  ( y  _E  x  /\  -.  y
(  _E  o.  `' R ) x ) )
8 epel 4767 . . . . . . . 8  |-  ( y  _E  x  <->  y  e.  x )
9 vex 3083 . . . . . . . . . . 11  |-  y  e. 
_V
10 vex 3083 . . . . . . . . . . 11  |-  x  e. 
_V
119, 10coep 30398 . . . . . . . . . 10  |-  ( y (  _E  o.  `' R ) x  <->  E. z  e.  x  y `' R z )
12 vex 3083 . . . . . . . . . . . 12  |-  z  e. 
_V
139, 12brcnv 5036 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y `' R z  <->  z R
y )
1413rexbii 2924 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. z  e.  x  y `' R z  <->  E. z  e.  x  z R
y )
15 dfrex2 2873 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. z  e.  x  z R y  <->  -.  A. z  e.  x  -.  z R y )
1611, 14, 153bitrri 275 . . . . . . . . 9  |-  ( -. 
A. z  e.  x  -.  z R y  <->  y (  _E  o.  `' R ) x )
1716con1bii 332 . . . . . . . 8  |-  ( -.  y (  _E  o.  `' R ) x  <->  A. z  e.  x  -.  z R y )
188, 17anbi12i 701 . . . . . . 7  |-  ( ( y  _E  x  /\  -.  y (  _E  o.  `' R ) x )  <-> 
( y  e.  x  /\  A. z  e.  x  -.  z R y ) )
197, 18bitri 252 . . . . . 6  |-  ( y (  _E  \  (  _E  o.  `' R ) ) x  <->  ( y  e.  x  /\  A. z  e.  x  -.  z R y ) )
2019exbii 1712 . . . . 5  |-  ( E. y  y (  _E 
\  (  _E  o.  `' R ) ) x  <->  E. y ( y  e.  x  /\  A. z  e.  x  -.  z R y ) )
2110elrn 5094 . . . . 5  |-  ( x  e.  ran  (  _E 
\  (  _E  o.  `' R ) )  <->  E. y 
y (  _E  \ 
(  _E  o.  `' R ) ) x )
22 df-rex 2777 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  x  A. z  e.  x  -.  z R y  <->  E. y
( y  e.  x  /\  A. z  e.  x  -.  z R y ) )
2320, 21, 223bitr4i 280 . . . 4  |-  ( x  e.  ran  (  _E 
\  (  _E  o.  `' R ) )  <->  E. y  e.  x  A. z  e.  x  -.  z R y )
246, 23imbi12i 327 . . 3  |-  ( ( x  e.  ( ~P A  \  { (/) } )  ->  x  e.  ran  (  _E  \  (  _E  o.  `' R ) ) )  <->  ( (
x  C_  A  /\  x  =/=  (/) )  ->  E. y  e.  x  A. z  e.  x  -.  z R y ) )
2524albii 1685 . 2  |-  ( A. x ( x  e.  ( ~P A  \  { (/) } )  ->  x  e.  ran  (  _E 
\  (  _E  o.  `' R ) ) )  <->  A. x ( ( x 
C_  A  /\  x  =/=  (/) )  ->  E. y  e.  x  A. z  e.  x  -.  z R y ) )
26 dfss2 3453 . 2  |-  ( ( ~P A  \  { (/)
} )  C_  ran  (  _E  \  (  _E  o.  `' R ) )  <->  A. x ( x  e.  ( ~P A  \  { (/) } )  ->  x  e.  ran  (  _E 
\  (  _E  o.  `' R ) ) ) )
27 df-fr 4812 . 2  |-  ( R  Fr  A  <->  A. x
( ( x  C_  A  /\  x  =/=  (/) )  ->  E. y  e.  x  A. z  e.  x  -.  z R y ) )
2825, 26, 273bitr4ri 281 1  |-  ( R  Fr  A  <->  ( ~P A  \  { (/) } ) 
C_  ran  (  _E  \  (  _E  o.  `' R ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370   A.wal 1435   E.wex 1657    e. wcel 1872    =/= wne 2614   A.wral 2771   E.wrex 2772    \ cdif 3433    C_ wss 3436   (/)c0 3761   ~Pcpw 3981   {csn 3998   class class class wbr 4423    _E cep 4762    Fr wfr 4809   `'ccnv 4852   ran crn 4854    o. ccom 4857
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pr 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-ral 2776  df-rex 2777  df-rab 2780  df-v 3082  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-op 4005  df-br 4424  df-opab 4483  df-eprel 4764  df-fr 4812  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator