Theorem dffprod 14670

Description: Special case of composite over a finite index set.

Assertion

Ref	Expression
dffprod	|- (N e. (ZZ>=` M) -> prod_k e. (M...N)GA = ((<.M, G>. seq ({<.k, y>. | y = A} |` ZZ))` N))

Distinct variable groups:   y,A   y,G   y,M   y,N   y,k

Proof of Theorem dffprod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 7593	. . . 4 |- (N e. (ZZ>=` M) -> M e. ZZ)
2		eluzelz 7592	. . . 4 |- (N e. (ZZ>=` M) -> N e. ZZ)
3		eluzle 7594	. . . 4 |- (N e. (ZZ>=` M) -> M <_ N)
4		simp3 878	. . . . . . 7 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N) -> M <_ N)
5		zssre 7351	. . . . . . . . . . . 12 |- ZZ C_ RR
6		ressxr 6667	. . . . . . . . . . . 12 |- RR C_ RR*
7	5, 6	sstri 2626	. . . . . . . . . . 11 |- ZZ C_ RR*
8	7	sseli 2617	. . . . . . . . . 10 |- (M e. ZZ -> M e. RR*)
9	7	sseli 2617	. . . . . . . . . 10 |- (N e. ZZ -> N e. RR*)
10	8, 9	anim12i 360	. . . . . . . . 9 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) -> (M e. RR* /\ N e. RR*))
11	10	3adant3 896	. . . . . . . 8 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N) -> (M e. RR* /\ N e. RR*))
12		xrlenlt 6670	. . . . . . . 8 |- ((M e. RR* /\ N e. RR*) -> (M <_ N <-> -. N < M))
13	11, 12	syl 12	. . . . . . 7 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N) -> (M <_ N <-> -. N < M))
14	4, 13	mpbid 212	. . . . . 6 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N) -> -. N < M)
15		fzn 7663	. . . . . . . 8 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) -> (N < M <-> (M...N) = (/)))
16	15	notbid 673	. . . . . . 7 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) -> (-. N < M <-> -. (M...N) = (/)))
17	16	3adant3 896	. . . . . 6 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N) -> (-. N < M <-> -. (M...N) = (/)))
18	14, 17	mpbid 212	. . . . 5 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N) -> -. (M...N) = (/))
19		iffalse 2991	. . . . . 6 |- (-. (M...N) = (/) -> if((M...N) = (/), (Id` G), prod3 k e. (M...N)GA) = prod3 k e. (M...N)GA)
20		eqeq1 1890	. . . . . . 7 |- (if((M...N) = (/), (Id` G), prod3 k e. (M...N)GA) = prod3 k e. (M...N)GA -> (if((M...N) = (/), (Id` G), prod3 k e. (M...N)GA) = ((<.M, G>. seq ({<.k, y>. | y = A} |` ZZ))` N) <-> prod3 k e. (M...N)GA = ((<.M, G>. seq ({<.k, y>. | y = A} |` ZZ))` N)))
21		visset 2295	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- n e. _V
22		fzopth 7674	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((N e. (ZZ>=` M) /\ n e. _V) -> ((M...N) = (m...n) <-> (M = m /\ N = n)))
23	21, 22	mpan2 760	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (N e. (ZZ>=` M) -> ((M...N) = (m...n) <-> (M = m /\ N = n)))
24		eqcom 1886	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (M = m <-> m = M)
25		eqcom 1886	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (N = n <-> n = N)
26	24, 25	anbi12i 540	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((M = m /\ N = n) <-> (m = M /\ n = N))
27	23, 26	syl6bb 595	. . . . . . . . . . . . 13 |- (N e. (ZZ>=` M) -> ((M...N) = (m...n) <-> (m = M /\ n = N)))
28	27	anbi1d 679	. . . . . . . . . . . 12 |- (N e. (ZZ>=` M) -> (((M...N) = (m...n) /\ x e. ((<.m, G>. seq ({<.k, y>. | y = A} |` ZZ))` n)) <-> ((m = M /\ n = N) /\ x e. ((<.m, G>. seq ({<.k, y>. | y = A} |` ZZ))` n))))
29	28	rexbidv 2124	. . . . . . . . . . 11 |- (N e. (ZZ>=` M) -> (E.n e. (ZZ>=` m)((M...N) = (m...n) /\ x e. ((<.m, G>. seq ({<.k, y>. | y = A} |` ZZ))` n)) <-> E.n e. (ZZ>=` m)((m = M /\ n = N) /\ x e. ((<.m, G>. seq ({<.k, y>. | y = A} |` ZZ))` n))))
30	29	exbidv 1657	. . . . . . . . . 10 |- (N e. (ZZ>=` M) -> (E.mE.n e. (ZZ>=` m)((M...N) = (m...n) /\ x e. ((<.m, G>. seq ({<.k, y>. | y = A} |` ZZ))` n)) <-> E.mE.n e. (ZZ>=` m)((m = M /\ n = N) /\ x e. ((<.m, G>. seq ({<.k, y>. | y = A} |` ZZ))` n))))
31		breq1 3341	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (m = M -> (m <_ n <-> M <_ n))
32		opeq1 3158	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (m = M -> <.m, G>. = <.M, G>.)
33	32	opreq1d 4897	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (m = M -> (<.m, G>. seq ({<.k, y>. | y = A} |` ZZ)) = (<.M, G>. seq ({<.k, y>. | y = A} |` ZZ)))
34	33	fveq1d 4683	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (m = M -> ((<.m, G>. seq ({<.k, y>. | y = A} |` ZZ))` n) = ((<.M, G>. seq ({<.k, y>. | y = A} |` ZZ))` n))
35	34	eleq2d 1964	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (m = M -> (x e. ((<.m, G>. seq ({<.k, y>. | y = A} |` ZZ))` n) <-> x e. ((<.M, G>. seq ({<.k, y>. | y = A} |` ZZ))` n)))
36	31, 35	anbi12d 690	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (m = M -> ((m <_ n /\ x e. ((<.m, G>. seq ({<.k, y>. | y = A} |` ZZ))` n)) <-> (M <_ n /\ x e. ((<.M, G>. seq ({<.k, y>. | y = A} |` ZZ))` n))))
37		breq2 3342	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (n = N -> (M <_ n <-> M <_ N))
38		fveq2 4681	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (n = N -> ((<.M, G>. seq ({<.k, y>. | y = A} |` ZZ))` n) = ((<.M, G>. seq ({<.k, y>. | y = A} |` ZZ))` N))
39	38	eleq2d 1964	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (n = N -> (x e. ((<.M, G>. seq ({<.k, y>. | y = A} |` ZZ))` n) <-> x e. ((<.M, G>. seq ({<.k, y>. | y = A} |` ZZ))` N)))
40	37, 39	anbi12d 690	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (n = N -> ((M <_ n /\ x e. ((<.M, G>. seq ({<.k, y>. | y = A} |` ZZ))` n)) <-> (M <_ N /\ x e. ((<.M, G>. seq ({<.k, y>. | y = A} |` ZZ))` N))))
41	36, 40	ceqsrex2v 2395	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) -> (E.m e. ZZ E.n e. ZZ ((m = M /\ n = N) /\ (m <_ n /\ x e. ((<.m, G>. seq ({<.k, y>. | y = A} |` ZZ))` n))) <-> (M <_ N /\ x e. ((<.M, G>. seq ({<.k, y>. | y = A} |` ZZ))` N))))
42	1, 2, 41	syl11anc 524	. . . . . . . . . . . 12 |- (N e. (ZZ>=` M) -> (E.m e. ZZ E.n e. ZZ ((m = M /\ n = N) /\ (m <_ n /\ x e. ((<.m, G>. seq ({<.k, y>. | y = A} |` ZZ))` n))) <-> (M <_ N /\ x e. ((<.M, G>. seq ({<.k, y>. | y = A} |` ZZ))` N))))
43	3	biantrurd 796	. . . . . . . . . . . 12 |- (N e. (ZZ>=` M) -> (x e. ((<.M, G>. seq ({<.k, y>. | y = A} |` ZZ))` N) <-> (M <_ N /\ x e. ((<.M, G>. seq ({<.k, y>. | y = A} |` ZZ))` N))))
44	42, 43	bitr4d 590	. . . . . . . . . . 11 |- (N e. (ZZ>=` M) -> (E.m e. ZZ E.n e. ZZ ((m = M /\ n = N) /\ (m <_ n /\ x e. ((<.m, G>. seq ({<.k, y>. | y = A} |` ZZ))` n))) <-> x e. ((<.M, G>. seq ({<.k, y>. | y = A} |` ZZ))` N)))
45		2rexuz 7615	. . . . . . . . . . . 12 |- (E.mE.n e. (ZZ>=` m)((m = M /\ n = N) /\ x e. ((<.m, G>. seq ({<.k, y>. | y = A} |` ZZ))` n)) <-> E.m e. ZZ E.n e. ZZ (m <_ n /\ ((m = M /\ n = N) /\ x e. ((<.m, G>. seq ({<.k, y>. | y = A} |` ZZ))` n))))
46		an12 542	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((m <_ n /\ ((m = M /\ n = N) /\ x e. ((<.m, G>. seq ({<.k, y>. | y = A} |` ZZ))` n))) <-> ((m = M /\ n = N) /\ (m <_ n /\ x e. ((<.m, G>. seq ({<.k, y>. | y = A} |` ZZ))` n))))
47	46	2rexbii 2130	. . . . . . . . . . . 12 |- (E.m e. ZZ E.n e. ZZ (m <_ n /\ ((m = M /\ n = N) /\ x e. ((<.m, G>. seq ({<.k, y>. | y = A} |` ZZ))` n))) <-> E.m e. ZZ E.n e. ZZ ((m = M /\ n = N) /\ (m <_ n /\ x e. ((<.m, G>. seq ({<.k, y>. | y = A} |` ZZ))` n))))
48	45, 47	bitri 190	. . . . . . . . . . 11 |- (E.mE.n e. (ZZ>=` m)((m = M /\ n = N) /\ x e. ((<.m, G>. seq ({<.k, y>. | y = A} |` ZZ))` n)) <-> E.m e. ZZ E.n e. ZZ ((m = M /\ n = N) /\ (m <_ n /\ x e. ((<.m, G>. seq ({<.k, y>. | y = A} |` ZZ))` n))))
49	44, 48	syl5bb 591	. . . . . . . . . 10 |- (N e. (ZZ>=` M) -> (E.mE.n e. (ZZ>=` m)((m = M /\ n = N) /\ x e. ((<.m, G>. seq ({<.k, y>. | y = A} |` ZZ))` n)) <-> x e. ((<.M, G>. seq ({<.k, y>. | y = A} |` ZZ))` N)))
50	30, 49	bitrd 587	. . . . . . . . 9 |- (N e. (ZZ>=` M) -> (E.mE.n e. (ZZ>=` m)((M...N) = (m...n) /\ x e. ((<.m, G>. seq ({<.k, y>. | y = A} |` ZZ))` n)) <-> x e. ((<.M, G>. seq ({<.k, y>. | y = A} |` ZZ))` N)))
51	50	abbi1dv 2010	. . . . . . . 8 |- (N e. (ZZ>=` M) -> {x | E.mE.n e. (ZZ>=` m)((M...N) = (m...n) /\ x e. ((<.m, G>. seq ({<.k, y>. | y = A} |` ZZ))` n))} = ((<.M, G>. seq ({<.k, y>. | y = A} |` ZZ))` N))
52		df-prod 14653	. . . . . . . 8 |- prod3 k e. (M...N)GA = {x | E.mE.n e. (ZZ>=` m)((M...N) = (m...n) /\ x e. ((<.m, G>. seq ({<.k, y>. | y = A} |` ZZ))` n))}
53	51, 52	syl5eq 1940	. . . . . . 7 |- (N e. (ZZ>=` M) -> prod3 k e. (M...N)GA = ((<.M, G>. seq ({<.k, y>. | y = A} |` ZZ))` N))
54	20, 53	syl5bir 227	. . . . . 6 |- (if((M...N) = (/), (Id` G), prod3 k e. (M...N)GA) = prod3 k e. (M...N)GA -> (N e. (ZZ>=` M) -> if((M...N) = (/), (Id` G), prod3 k e. (M...N)GA) = ((<.M, G>. seq ({<.k, y>. | y = A} |` ZZ))` N)))
55	19, 54	syl 12	. . . . 5 |- (-. (M...N) = (/) -> (N e. (ZZ>=` M) -> if((M...N) = (/), (Id` G), prod3 k e. (M...N)GA) = ((<.M, G>. seq ({<.k, y>. | y = A} |` ZZ))` N)))
56	18, 55	syl 12	. . . 4 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N) -> (N e. (ZZ>=` M) -> if((M...N) = (/), (Id` G), prod3 k e. (M...N)GA) = ((<.M, G>. seq ({<.k, y>. | y = A} |` ZZ))` N)))
57	1, 2, 3, 56	syl111anc 1100	. . 3 |- (N e. (ZZ>=` M) -> (N e. (ZZ>=` M) -> if((M...N) = (/), (Id` G), prod3 k e. (M...N)GA) = ((<.M, G>. seq ({<.k, y>. | y = A} |` ZZ))` N)))
58	57	pm2.43i 78	. 2 |- (N e. (ZZ>=` M) -> if((M...N) = (/), (Id` G), prod3 k e. (M...N)GA) = ((<.M, G>. seq ({<.k, y>. | y = A} |` ZZ))` N))
59		df-prod2 14655	. 2 |- prod_k e. (M...N)GA = if((M...N) = (/), (Id` G), prod3 k e. (M...N)GA)
60	58, 59	syl5eq 1940	1 |- (N e. (ZZ>=` M) -> prod_k e. (M...N)GA = ((<.M, G>. seq ({<.k, y>. | y = A} |` ZZ))` N))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  {cab 1871  E.wrex 2106  _Vcvv 2292  (/)c0 2875  ifcif 2982  <.cop 3046   class class class wbr 3338  {copab 3395   |` cres 3988  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  RRcr 6385   <_ cle 6448  ZZcz 6451  RR*cxr 6652   < clt 6653  ZZ>=cuz 7586  ...cfz 7637   seq cseqz 7774  Idcgi 9312   prod3 cprd 14652  prod_cprd2 14654

This theorem is referenced by:  fprodserz 14671  relsumprd 14684

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-ltp 6242  df-enr 6318  df-nr 6319  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-c 6392  df-r 6396  df-lt 6399  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-z 7345  df-uz 7587  df-fz 7638  df-prod 14653  df-prod2 14655

Copyright terms: Public domain