Theorem dffo5 4794

Description: Alternate definition of an onto mapping.

Assertion

Ref	Expression
dffo5	|- (F:A-onto->B <-> (F:A-->B /\ A.y e. B E.x xFy))

Distinct variable groups:   x,y,A   x,B,y   x,F,y

Proof of Theorem dffo5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dffo4 4793	. 2 |- (F:A-onto->B <-> (F:A-->B /\ A.y e. B E.x e. A xFy))
2		rexex 2154	. . . . 5 |- (E.x e. A xFy -> E.x xFy)
3	2	ralimi 2168	. . . 4 |- (A.y e. B E.x e. A xFy -> A.y e. B E.x xFy)
4	3	anim2i 362	. . 3 |- ((F:A-->B /\ A.y e. B E.x e. A xFy) -> (F:A-->B /\ A.y e. B E.x xFy))
5		ffn 4562	. . . . . . . . 9 |- (F:A-->B -> F Fn A)
6		fnbr 4515	. . . . . . . . . 10 |- ((F Fn A /\ xFy) -> x e. A)
7	6	ex 402	. . . . . . . . 9 |- (F Fn A -> (xFy -> x e. A))
8	5, 7	syl 12	. . . . . . . 8 |- (F:A-->B -> (xFy -> x e. A))
9	8	ancrd 323	. . . . . . 7 |- (F:A-->B -> (xFy -> (x e. A /\ xFy)))
10	9	eximdv 1669	. . . . . 6 |- (F:A-->B -> (E.x xFy -> E.x(x e. A /\ xFy)))
11		df-rex 2110	. . . . . 6 |- (E.x e. A xFy <-> E.x(x e. A /\ xFy))
12	10, 11	syl6ibr 230	. . . . 5 |- (F:A-->B -> (E.x xFy -> E.x e. A xFy))
13	12	ralimdv 2172	. . . 4 |- (F:A-->B -> (A.y e. B E.x xFy -> A.y e. B E.x e. A xFy))
14	13	imdistani 491	. . 3 |- ((F:A-->B /\ A.y e. B E.x xFy) -> (F:A-->B /\ A.y e. B E.x e. A xFy))
15	4, 14	impbii 174	. 2 |- ((F:A-->B /\ A.y e. B E.x e. A xFy) <-> (F:A-->B /\ A.y e. B E.x xFy))
16	1, 15	bitri 190	1 |- (F:A-onto->B <-> (F:A-->B /\ A.y e. B E.x xFy))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   e. wcel 1300  E.wex 1326  A.wral 2105  E.wrex 2106   class class class wbr 3338   Fn wfn 3993  -->wf 3994  -onto->wfo 3996

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fo 4012  df-fv 4014

Copyright terms: Public domain