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Theorem dffo3 5966
Description: An onto mapping expressed in terms of function values. (Contributed by NM, 29-Oct-2006.)
Assertion
Ref Expression
dffo3  |-  ( F : A -onto-> B  <->  ( F : A --> B  /\  A. y  e.  B  E. x  e.  A  y  =  ( F `  x ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y    x, F, y

Proof of Theorem dffo3
StepHypRef Expression
1 dffo2 5731 . 2  |-  ( F : A -onto-> B  <->  ( F : A --> B  /\  ran  F  =  B ) )
2 ffn 5666 . . . . 5  |-  ( F : A --> B  ->  F  Fn  A )
3 fnrnfv 5846 . . . . . 6  |-  ( F  Fn  A  ->  ran  F  =  { y  |  E. x  e.  A  y  =  ( F `  x ) } )
43eqeq1d 2456 . . . . 5  |-  ( F  Fn  A  ->  ( ran  F  =  B  <->  { y  |  E. x  e.  A  y  =  ( F `  x ) }  =  B ) )
52, 4syl 16 . . . 4  |-  ( F : A --> B  -> 
( ran  F  =  B 
<->  { y  |  E. x  e.  A  y  =  ( F `  x ) }  =  B ) )
6 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : A --> B  /\  x  e.  A
)  /\  y  =  ( F `  x ) )  ->  y  =  ( F `  x ) )
7 ffvelrn 5949 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x
)  e.  B )
87adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : A --> B  /\  x  e.  A
)  /\  y  =  ( F `  x ) )  ->  ( F `  x )  e.  B
)
96, 8eqeltrd 2542 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : A --> B  /\  x  e.  A
)  /\  y  =  ( F `  x ) )  ->  y  e.  B )
109exp31 604 . . . . . . . . 9  |-  ( F : A --> B  -> 
( x  e.  A  ->  ( y  =  ( F `  x )  ->  y  e.  B
) ) )
1110rexlimdv 2944 . . . . . . . 8  |-  ( F : A --> B  -> 
( E. x  e.  A  y  =  ( F `  x )  ->  y  e.  B
) )
1211biantrurd 508 . . . . . . 7  |-  ( F : A --> B  -> 
( ( y  e.  B  ->  E. x  e.  A  y  =  ( F `  x ) )  <->  ( ( E. x  e.  A  y  =  ( F `  x )  ->  y  e.  B )  /\  (
y  e.  B  ->  E. x  e.  A  y  =  ( F `  x ) ) ) ) )
13 dfbi2 628 . . . . . . 7  |-  ( ( E. x  e.  A  y  =  ( F `  x )  <->  y  e.  B )  <->  ( ( E. x  e.  A  y  =  ( F `  x )  ->  y  e.  B )  /\  (
y  e.  B  ->  E. x  e.  A  y  =  ( F `  x ) ) ) )
1412, 13syl6rbbr 264 . . . . . 6  |-  ( F : A --> B  -> 
( ( E. x  e.  A  y  =  ( F `  x )  <-> 
y  e.  B )  <-> 
( y  e.  B  ->  E. x  e.  A  y  =  ( F `  x ) ) ) )
1514albidv 1680 . . . . 5  |-  ( F : A --> B  -> 
( A. y ( E. x  e.  A  y  =  ( F `  x )  <->  y  e.  B )  <->  A. y
( y  e.  B  ->  E. x  e.  A  y  =  ( F `  x ) ) ) )
16 abeq1 2579 . . . . 5  |-  ( { y  |  E. x  e.  A  y  =  ( F `  x ) }  =  B  <->  A. y
( E. x  e.  A  y  =  ( F `  x )  <-> 
y  e.  B ) )
17 df-ral 2803 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  B  E. x  e.  A  y  =  ( F `  x )  <->  A. y
( y  e.  B  ->  E. x  e.  A  y  =  ( F `  x ) ) )
1815, 16, 173bitr4g 288 . . . 4  |-  ( F : A --> B  -> 
( { y  |  E. x  e.  A  y  =  ( F `  x ) }  =  B 
<-> 
A. y  e.  B  E. x  e.  A  y  =  ( F `  x ) ) )
195, 18bitrd 253 . . 3  |-  ( F : A --> B  -> 
( ran  F  =  B 
<-> 
A. y  e.  B  E. x  e.  A  y  =  ( F `  x ) ) )
2019pm5.32i 637 . 2  |-  ( ( F : A --> B  /\  ran  F  =  B )  <-> 
( F : A --> B  /\  A. y  e.  B  E. x  e.  A  y  =  ( F `  x ) ) )
211, 20bitri 249 1  |-  ( F : A -onto-> B  <->  ( F : A --> B  /\  A. y  e.  B  E. x  e.  A  y  =  ( F `  x ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1368    = wceq 1370    e. wcel 1758   {cab 2439   A.wral 2798   E.wrex 2799   ran crn 4948    Fn wfn 5520   -->wf 5521   -onto->wfo 5523   ` cfv 5525
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pr 4638
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-ral 2803  df-rex 2804  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-nul 3745  df-if 3899  df-sn 3985  df-pr 3987  df-op 3991  df-uni 4199  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-id 4743  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-fo 5531  df-fv 5533
This theorem is referenced by:  dffo4  5967  foelrn  5970  foco2  5971  fcofo  6100  foov  6346  resixpfo  7410  fofinf1o  7702  wdom2d  7905  brwdom3  7907  isf32lem9  8640  hsmexlem2  8706  cnref1o  11096  1arith  14105  orbsta  15949  symgextfo  16045  symgfixfo  16063  pwssplit1  17262  znf1o  18108  cygznlem3  18126  recosf1o  22123  efif1olem4  22133  dvdsmulf1o  22666  subfacp1lem3  27213  cvmfolem  27311  finixpnum  28561  wwlktovfo  30400  wlknwwlknsur  30491  wlkiswwlksur  30498  wwlkextsur  30510  clwwlkfo  30606  clwlkfoclwwlk  30665  frgrancvvdeqlemC  30779  numclwlk1lem2fo  30835  m2cpmfo  31227  pm2mpfo  31286
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