MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dffin1-5 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem dffin1-5 8843
Description: Compact quantifier-free version of the standard definition df-fin 7598. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
dffin1-5  |-  Fin  =  (  ~~  " om )

Proof of Theorem dffin1-5
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ensymb 7642 . . . 4  |-  ( x 
~~  y  <->  y  ~~  x )
21rexbii 2900 . . 3  |-  ( E. y  e.  om  x  ~~  y  <->  E. y  e.  om  y  ~~  x )
32abbii 2577 . 2  |-  { x  |  E. y  e.  om  x  ~~  y }  =  { x  |  E. y  e.  om  y  ~~  x }
4 df-fin 7598 . 2  |-  Fin  =  { x  |  E. y  e.  om  x  ~~  y }
5 dfima2 5188 . 2  |-  (  ~~  " om )  =  {
x  |  E. y  e.  om  y  ~~  x }
63, 4, 53eqtr4i 2493 1  |-  Fin  =  (  ~~  " om )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1454   {cab 2447   E.wrex 2749   class class class wbr 4415   "cima 4855   omcom 6718    ~~ cen 7591   Fincfn 7594
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-ral 2753  df-rex 2754  df-rab 2757  df-v 3058  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-op 3986  df-uni 4212  df-br 4416  df-opab 4475  df-id 4767  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-er 7388  df-en 7595  df-fin 7598
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator