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Theorem dffi3 7394
Description: The set of finite intersections can be "constructed" inductively by iterating binary intersection  om-many times. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
dffi3.1  |-  R  =  ( u  e.  _V  |->  ran  ( y  e.  u ,  z  e.  u  |->  ( y  i^i  z
) ) )
Assertion
Ref Expression
dffi3  |-  ( A  e.  V  ->  ( fi `  A )  = 
U. ( rec ( R ,  A ) " om ) )
Distinct variable groups:    y, A    y, R    y, V    y, u, z
Allowed substitution hints:    A( z, u)    R( z, u)    V( z, u)

Proof of Theorem dffi3
Dummy variables  a 
b  c  d  m  n  v  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dffi2 7386 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  ( fi `  A )  = 
|^| { x  |  ( A  C_  x  /\  A. c  e.  x  A. d  e.  x  (
c  i^i  d )  e.  x ) } )
2 fr0g 6652 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  V  ->  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  (/) )  =  A )
3 frfnom 6651 . . . . . . . . 9  |-  ( rec ( R ,  A
)  |`  om )  Fn 
om
4 peano1 4823 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  om
5 fnfvelrn 5826 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( rec ( R ,  A )  |`  om )  Fn  om  /\  (/) 
e.  om )  ->  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  (/) )  e. 
ran  ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) )
63, 4, 5mp2an 654 . . . . . . . 8  |-  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  (/) )  e.  ran  ( rec ( R ,  A )  |`  om )
72, 6syl6eqelr 2493 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  V  ->  A  e.  ran  ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) )
8 elssuni 4003 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ran  ( rec ( R ,  A
)  |`  om )  ->  A  C_  U. ran  ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) )
97, 8syl 16 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  A  C_ 
U. ran  ( rec ( R ,  A )  |`  om ) )
10 reeanv 2835 . . . . . . . . 9  |-  ( E. m  e.  om  E. n  e.  om  (
c  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  m )  /\  d  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  n
) )  <->  ( E. m  e.  om  c  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  m
)  /\  E. n  e.  om  d  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n ) ) )
11 eliun 4057 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  e.  U_ m  e. 
om  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  m )  <->  E. m  e.  om  c  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  m ) )
12 eliun 4057 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  e.  U_ n  e. 
om  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  n )  <->  E. n  e.  om  d  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n ) )
1311, 12anbi12i 679 . . . . . . . . 9  |-  ( ( c  e.  U_ m  e.  om  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  m )  /\  d  e.  U_ n  e.  om  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  n
) )  <->  ( E. m  e.  om  c  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  m
)  /\  E. n  e.  om  d  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n ) ) )
14 fniunfv 5953 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om )  Fn  om  ->  U_ m  e. 
om  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  m )  =  U. ran  ( rec ( R ,  A )  |`  om ) )
1514eleq2d 2471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om )  Fn  om  ->  ( c  e.  U_ m  e.  om  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  m
)  <->  c  e.  U. ran  ( rec ( R ,  A )  |`  om ) ) )
16 fniunfv 5953 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om )  Fn  om  ->  U_ n  e. 
om  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  n )  =  U. ran  ( rec ( R ,  A )  |`  om ) )
1716eleq2d 2471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om )  Fn  om  ->  ( d  e.  U_ n  e.  om  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  n
)  <->  d  e.  U. ran  ( rec ( R ,  A )  |`  om ) ) )
1815, 17anbi12d 692 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om )  Fn  om  ->  ( (
c  e.  U_ m  e.  om  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  m )  /\  d  e.  U_ n  e.  om  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  n
) )  <->  ( c  e.  U. ran  ( rec ( R ,  A
)  |`  om )  /\  d  e.  U. ran  ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) ) ) )
193, 18ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( ( c  e.  U_ m  e.  om  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  m )  /\  d  e.  U_ n  e.  om  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  n
) )  <->  ( c  e.  U. ran  ( rec ( R ,  A
)  |`  om )  /\  d  e.  U. ran  ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) ) )
2010, 13, 193bitr2i 265 . . . . . . . 8  |-  ( E. m  e.  om  E. n  e.  om  (
c  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  m )  /\  d  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  n
) )  <->  ( c  e.  U. ran  ( rec ( R ,  A
)  |`  om )  /\  d  e.  U. ran  ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) ) )
21 ordom 4813 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  Ord  om
22 ordunel 4766 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Ord  om  /\  m  e.  om  /\  n  e. 
om )  ->  (
m  u.  n )  e.  om )
2321, 22mp3an1 1266 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  e.  om  /\  n  e.  om )  ->  ( m  u.  n
)  e.  om )
2423adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  n  e.  om )
)  ->  ( m  u.  n )  e.  om )
25 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  n  e.  om )
)  ->  m  e.  om )
2624, 25jca 519 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  n  e.  om )
)  ->  ( (
m  u.  n )  e.  om  /\  m  e.  om ) )
27 nnon 4810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  om  ->  y  e.  On )
2827adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  x  e.  om )  /\  y  e.  om )  ->  y  e.  On )
29 nnon 4810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  om  ->  x  e.  On )
3029ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  x  e.  om )  /\  y  e.  om )  ->  x  e.  On )
31 onsseleq 4582 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( y  C_  x  <->  ( y  e.  x  \/  y  =  x ) ) )
3228, 30, 31syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  x  e.  om )  /\  y  e.  om )  ->  ( y  C_  x 
<->  ( y  e.  x  \/  y  =  x
) ) )
33 rzal 3689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( x  =  (/)  ->  A. y  e.  x  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  y )  C_  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  x ) )
3433biantrud 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  x ) 
C_  ( fi `  A )  <->  ( (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  x ) 
C_  ( fi `  A )  /\  A. y  e.  x  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  y ) 
C_  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  x ) ) ) )
35 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  x )  =  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  (/) ) )
3635sseq1d 3335 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  x ) 
C_  ( fi `  A )  <->  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  (/) )  C_  ( fi `  A ) ) )
3734, 36bitr3d 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  x
)  C_  ( fi `  A )  /\  A. y  e.  x  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  y ) 
C_  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  x ) )  <->  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  (/) )  C_  ( fi `  A ) ) )
38 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( x  =  n  ->  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  x )  =  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  n ) )
3938sseq1d 3335 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  =  n  ->  (
( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  x
)  C_  ( fi `  A )  <->  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  n )  C_  ( fi `  A ) ) )
4038sseq2d 3336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( x  =  n  ->  (
( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  y
)  C_  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  x )  <->  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  y )  C_  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n ) ) )
4140raleqbi1dv 2872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  =  n  ->  ( A. y  e.  x  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  y
)  C_  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  x )  <->  A. y  e.  n  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  y )  C_  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n ) ) )
4239, 41anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  =  n  ->  (
( ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  x )  C_  ( fi `  A )  /\  A. y  e.  x  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  y ) 
C_  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  x ) )  <->  ( (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n ) 
C_  ( fi `  A )  /\  A. y  e.  n  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  y ) 
C_  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  n ) ) ) )
43 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( x  =  suc  n  -> 
( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  x
)  =  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  suc  n ) )
4443sseq1d 3335 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  =  suc  n  -> 
( ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  x )  C_  ( fi `  A )  <->  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  suc  n )  C_  ( fi `  A ) ) )
4543sseq2d 3336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( x  =  suc  n  -> 
( ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  y )  C_  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  x )  <-> 
( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  y
)  C_  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  suc  n ) ) )
4645raleqbi1dv 2872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  =  suc  n  -> 
( A. y  e.  x  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  y )  C_  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  x )  <->  A. y  e.  suc  n ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  y )  C_  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  suc  n
) ) )
4744, 46anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  =  suc  n  -> 
( ( ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  x )  C_  ( fi `  A )  /\  A. y  e.  x  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  y ) 
C_  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  x ) )  <->  ( (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  suc  n
)  C_  ( fi `  A )  /\  A. y  e.  suc  n ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  y ) 
C_  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  suc  n ) ) ) )
48 ssfii 7382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( A  e.  V  ->  A  C_  ( fi `  A
) )
492, 48eqsstrd 3342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( A  e.  V  ->  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  (/) )  C_  ( fi `  A ) )
50 id 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( x  e.  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  n )  ->  x  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  n
) )
51 eqidd 2405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( x  e.  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  n )  ->  x  =  x )
52 ineq1 3495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( a  =  x  ->  (
a  i^i  b )  =  ( x  i^i  b ) )
5352eqeq2d 2415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( a  =  x  ->  (
x  =  ( a  i^i  b )  <->  x  =  ( x  i^i  b
) ) )
54 ineq2 3496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( b  =  x  ->  (
x  i^i  b )  =  ( x  i^i  x ) )
55 inidm 3510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( x  i^i  x )  =  x
5654, 55syl6eq 2452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( b  =  x  ->  (
x  i^i  b )  =  x )
5756eqeq2d 2415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( b  =  x  ->  (
x  =  ( x  i^i  b )  <->  x  =  x ) )
5853, 57rspc2ev 3020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( x  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n )  /\  x  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  n
)  /\  x  =  x )  ->  E. a  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  n
) E. b  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  n
) x  =  ( a  i^i  b ) )
5950, 50, 51, 58syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( x  e.  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  n )  ->  E. a  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  n
) E. b  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  n
) x  =  ( a  i^i  b ) )
60 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( a  e.  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  n ) ,  b  e.  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  n )  |->  ( a  i^i  b ) )  =  ( a  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  n
) ,  b  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  n
)  |->  ( a  i^i  b ) )
6160rnmpt2 6139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ran  (
a  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n ) ,  b  e.  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  n )  |->  ( a  i^i  b ) )  =  { x  |  E. a  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n ) E. b  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n ) x  =  ( a  i^i  b ) }
6261abeq2i 2511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( x  e.  ran  ( a  e.  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  n ) ,  b  e.  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  n )  |->  ( a  i^i  b ) )  <->  E. a  e.  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n ) E. b  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n ) x  =  ( a  i^i  b ) )
6359, 62sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( x  e.  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  n )  ->  x  e.  ran  ( a  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  n
) ,  b  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  n
)  |->  ( a  i^i  b ) ) )
6463ssriv 3312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n )  C_  ran  ( a  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n ) ,  b  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n ) 
|->  ( a  i^i  b
) )
65 simpl 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( n  e.  om  /\  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  n
)  C_  ( fi `  A ) )  ->  n  e.  om )
66 fvex 5701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n )  e.  _V
6766uniex 4664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  U. (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n )  e.  _V
6867pwex 4342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ~P U. ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  n
)  e.  _V
69 inss1 3521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( a  i^i  b )  C_  a
70 elssuni 4003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( a  e.  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  n )  ->  a  C_ 
U. ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  n ) )
7170adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( a  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n )  /\  b  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  n
) )  ->  a  C_ 
U. ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  n ) )
7269, 71syl5ss 3319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( a  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n )  /\  b  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  n
) )  ->  (
a  i^i  b )  C_ 
U. ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  n ) )
73 vex 2919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  a  e. 
_V
7473inex1 4304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( a  i^i  b )  e. 
_V
7574elpw 3765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( a  i^i  b )  e.  ~P U. (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n )  <-> 
( a  i^i  b
)  C_  U. (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n ) )
7672, 75sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( a  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n )  /\  b  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  n
) )  ->  (
a  i^i  b )  e.  ~P U. ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n ) )
7776rgen2a 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  A. a  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  n
) A. b  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  n
) ( a  i^i  b )  e.  ~P U. ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  n
)
7860fmpt2 6377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( A. a  e.  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  n ) A. b  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  n
) ( a  i^i  b )  e.  ~P U. ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  n
)  <->  ( a  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  n
) ,  b  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  n
)  |->  ( a  i^i  b ) ) : ( ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  n )  X.  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n ) ) --> ~P U. (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n ) )
7977, 78mpbi 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( a  e.  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  n ) ,  b  e.  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  n )  |->  ( a  i^i  b ) ) : ( ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n )  X.  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n ) ) --> ~P U. (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n )
80 frn 5556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( a  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n ) ,  b  e.  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  n )  |->  ( a  i^i  b ) ) : ( ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n )  X.  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n ) ) --> ~P U. (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n )  ->  ran  ( a  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  n
) ,  b  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  n
)  |->  ( a  i^i  b ) )  C_  ~P U. ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  n ) )
8179, 80ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ran  (
a  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n ) ,  b  e.  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  n )  |->  ( a  i^i  b ) ) 
C_  ~P U. ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n )
8268, 81ssexi 4308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ran  (
a  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n ) ,  b  e.  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  n )  |->  ( a  i^i  b ) )  e.  _V
83 nfcv 2540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  F/_ v A
84 nfcv 2540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  F/_ v
n
85 nfcv 2540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  F/_ v ran  ( a  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n ) ,  b  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n ) 
|->  ( a  i^i  b
) )
86 dffi3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  R  =  ( u  e.  _V  |->  ran  ( y  e.  u ,  z  e.  u  |->  ( y  i^i  z
) ) )
87 mpt2eq12 6093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( ( u  =  v  /\  u  =  v )  ->  ( y  e.  u ,  z  e.  u  |->  ( y  i^i  z
) )  =  ( y  e.  v ,  z  e.  v  |->  ( y  i^i  z ) ) )
8887anidms 627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( u  =  v  ->  (
y  e.  u ,  z  e.  u  |->  ( y  i^i  z ) )  =  ( y  e.  v ,  z  e.  v  |->  ( y  i^i  z ) ) )
89 ineq1 3495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( y  =  a  ->  (
y  i^i  z )  =  ( a  i^i  z ) )
90 ineq2 3496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( z  =  b  ->  (
a  i^i  z )  =  ( a  i^i  b ) )
9189, 90cbvmpt2v 6111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( y  e.  v ,  z  e.  v  |->  ( y  i^i  z ) )  =  ( a  e.  v ,  b  e.  v  |->  ( a  i^i  b ) )
9288, 91syl6eq 2452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( u  =  v  ->  (
y  e.  u ,  z  e.  u  |->  ( y  i^i  z ) )  =  ( a  e.  v ,  b  e.  v  |->  ( a  i^i  b ) ) )
9392rneqd 5056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( u  =  v  ->  ran  ( y  e.  u ,  z  e.  u  |->  ( y  i^i  z
) )  =  ran  ( a  e.  v ,  b  e.  v 
|->  ( a  i^i  b
) ) )
9493cbvmptv 4260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( u  e.  _V  |->  ran  (
y  e.  u ,  z  e.  u  |->  ( y  i^i  z ) ) )  =  ( v  e.  _V  |->  ran  ( a  e.  v ,  b  e.  v 
|->  ( a  i^i  b
) ) )
9586, 94eqtri 2424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  R  =  ( v  e.  _V  |->  ran  ( a  e.  v ,  b  e.  v 
|->  ( a  i^i  b
) ) )
96 rdgeq1 6628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( R  =  ( v  e. 
_V  |->  ran  ( a  e.  v ,  b  e.  v  |->  ( a  i^i  b ) ) )  ->  rec ( R ,  A )  =  rec ( ( v  e. 
_V  |->  ran  ( a  e.  v ,  b  e.  v  |->  ( a  i^i  b ) ) ) ,  A ) )
9795, 96ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  rec ( R ,  A )  =  rec ( ( v  e.  _V  |->  ran  (
a  e.  v ,  b  e.  v  |->  ( a  i^i  b ) ) ) ,  A
)
9897reseq1i 5101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( rec ( R ,  A
)  |`  om )  =  ( rec ( ( v  e.  _V  |->  ran  ( a  e.  v ,  b  e.  v 
|->  ( a  i^i  b
) ) ) ,  A )  |`  om )
99 mpt2eq12 6093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( v  =  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n )  /\  v  =  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  n ) )  -> 
( a  e.  v ,  b  e.  v 
|->  ( a  i^i  b
) )  =  ( a  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n ) ,  b  e.  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  n )  |->  ( a  i^i  b ) ) )
10099anidms 627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( v  =  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  n )  ->  (
a  e.  v ,  b  e.  v  |->  ( a  i^i  b ) )  =  ( a  e.  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  n ) ,  b  e.  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  n )  |->  ( a  i^i  b ) ) )
101100rneqd 5056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( v  =  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  n )  ->  ran  ( a  e.  v ,  b  e.  v 
|->  ( a  i^i  b
) )  =  ran  ( a  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n ) ,  b  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n ) 
|->  ( a  i^i  b
) ) )
10283, 84, 85, 98, 101frsucmpt 6654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( n  e.  om  /\  ran  ( a  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n ) ,  b  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n ) 
|->  ( a  i^i  b
) )  e.  _V )  ->  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  suc  n )  =  ran  ( a  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n ) ,  b  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n ) 
|->  ( a  i^i  b
) ) )
10365, 82, 102sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( n  e.  om  /\  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  n
)  C_  ( fi `  A ) )  -> 
( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  suc  n )  =  ran  ( a  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n ) ,  b  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n ) 
|->  ( a  i^i  b
) ) )
10464, 103syl5sseqr 3357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( n  e.  om  /\  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  n
)  C_  ( fi `  A ) )  -> 
( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  n
)  C_  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  suc  n ) )
105 sstr2 3315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  y ) 
C_  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  n )  ->  (
( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  n
)  C_  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  suc  n )  ->  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  y ) 
C_  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  suc  n ) ) )
106104, 105syl5com 28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( n  e.  om  /\  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  n
)  C_  ( fi `  A ) )  -> 
( ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  y )  C_  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n )  ->  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  y )  C_  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  suc  n
) ) )
107106ralimdv 2745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( n  e.  om  /\  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  n
)  C_  ( fi `  A ) )  -> 
( A. y  e.  n  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  y )  C_  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n )  ->  A. y  e.  n  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  y
)  C_  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  suc  n ) ) )
108 vex 2919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  n  e. 
_V
109 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( y  =  n  ->  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  y )  =  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  n ) )
110109sseq1d 3335 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( y  =  n  ->  (
( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  y
)  C_  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  suc  n )  <->  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  n )  C_  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  suc  n
) ) )
111108, 110ralsn 3809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( A. y  e.  { n }  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  y )  C_  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  suc  n
)  <->  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  n )  C_  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  suc  n
) )
112104, 111sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( n  e.  om  /\  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  n
)  C_  ( fi `  A ) )  ->  A. y  e.  { n }  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  y )  C_  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  suc  n
) )
113107, 112jctird 529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( n  e.  om  /\  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  n
)  C_  ( fi `  A ) )  -> 
( A. y  e.  n  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  y )  C_  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n )  ->  ( A. y  e.  n  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  y )  C_  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  suc  n
)  /\  A. y  e.  { n }  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  y ) 
C_  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  suc  n ) ) ) )
114 df-suc 4547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  suc  n  =  ( n  u. 
{ n } )
115114raleqi 2868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( A. y  e.  suc  n ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  y ) 
C_  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  suc  n )  <->  A. y  e.  ( n  u.  {
n } ) ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  y ) 
C_  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  suc  n ) )
116 ralunb 3488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( A. y  e.  ( n  u.  { n } ) ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  y
)  C_  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  suc  n )  <->  ( A. y  e.  n  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  y ) 
C_  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  suc  n )  /\  A. y  e.  { n }  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  y )  C_  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  suc  n
) ) )
117115, 116bitri 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( A. y  e.  suc  n ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  y ) 
C_  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  suc  n )  <->  ( A. y  e.  n  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  y ) 
C_  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  suc  n )  /\  A. y  e.  { n }  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  y )  C_  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  suc  n
) ) )
118113, 117syl6ibr 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( n  e.  om  /\  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  n
)  C_  ( fi `  A ) )  -> 
( A. y  e.  n  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  y )  C_  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n )  ->  A. y  e.  suc  n ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  y )  C_  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  suc  n
) ) )
119 fiin 7385 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( a  e.  ( fi
`  A )  /\  b  e.  ( fi `  A ) )  -> 
( a  i^i  b
)  e.  ( fi
`  A ) )
120119rgen2a 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  A. a  e.  ( fi `  A
) A. b  e.  ( fi `  A
) ( a  i^i  b )  e.  ( fi `  A )
121 ssralv 3367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n ) 
C_  ( fi `  A )  ->  ( A. b  e.  ( fi `  A ) ( a  i^i  b )  e.  ( fi `  A )  ->  A. b  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  n
) ( a  i^i  b )  e.  ( fi `  A ) ) )
122121ralimdv 2745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n ) 
C_  ( fi `  A )  ->  ( A. a  e.  ( fi `  A ) A. b  e.  ( fi `  A ) ( a  i^i  b )  e.  ( fi `  A
)  ->  A. a  e.  ( fi `  A
) A. b  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  n
) ( a  i^i  b )  e.  ( fi `  A ) ) )
123 ssralv 3367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n ) 
C_  ( fi `  A )  ->  ( A. a  e.  ( fi `  A ) A. b  e.  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  n ) ( a  i^i  b )  e.  ( fi `  A
)  ->  A. a  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  n
) A. b  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  n
) ( a  i^i  b )  e.  ( fi `  A ) ) )
124122, 123syld 42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n ) 
C_  ( fi `  A )  ->  ( A. a  e.  ( fi `  A ) A. b  e.  ( fi `  A ) ( a  i^i  b )  e.  ( fi `  A
)  ->  A. a  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  n
) A. b  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  n
) ( a  i^i  b )  e.  ( fi `  A ) ) )
125120, 124mpi 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n ) 
C_  ( fi `  A )  ->  A. a  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  n
) A. b  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  n
) ( a  i^i  b )  e.  ( fi `  A ) )
12660fmpt2 6377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( A. a  e.  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  n ) A. b  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  n
) ( a  i^i  b )  e.  ( fi `  A )  <-> 
( a  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n ) ,  b  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n ) 
|->  ( a  i^i  b
) ) : ( ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  n
)  X.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n ) ) --> ( fi `  A ) )
127125, 126sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n ) 
C_  ( fi `  A )  ->  (
a  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n ) ,  b  e.  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  n )  |->  ( a  i^i  b ) ) : ( ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n )  X.  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n ) ) --> ( fi `  A ) )
128 frn 5556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( a  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n ) ,  b  e.  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  n )  |->  ( a  i^i  b ) ) : ( ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n )  X.  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n ) ) --> ( fi `  A )  ->  ran  ( a  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n ) ,  b  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n ) 
|->  ( a  i^i  b
) )  C_  ( fi `  A ) )
129127, 128syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n ) 
C_  ( fi `  A )  ->  ran  ( a  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n ) ,  b  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n ) 
|->  ( a  i^i  b
) )  C_  ( fi `  A ) )
130129adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( n  e.  om  /\  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  n
)  C_  ( fi `  A ) )  ->  ran  ( a  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n ) ,  b  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n ) 
|->  ( a  i^i  b
) )  C_  ( fi `  A ) )
131103, 130eqsstrd 3342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( n  e.  om  /\  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  n
)  C_  ( fi `  A ) )  -> 
( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  suc  n )  C_  ( fi `  A ) )
132118, 131jctild 528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( n  e.  om  /\  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  n
)  C_  ( fi `  A ) )  -> 
( A. y  e.  n  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  y )  C_  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n )  ->  ( ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  suc  n )  C_  ( fi `  A )  /\  A. y  e. 
suc  n ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  y )  C_  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  suc  n
) ) ) )
133132expimpd 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( n  e.  om  ->  (
( ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  n )  C_  ( fi `  A )  /\  A. y  e.  n  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  y ) 
C_  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  n ) )  -> 
( ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  suc  n )  C_  ( fi `  A )  /\  A. y  e.  suc  n
( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  y
)  C_  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  suc  n ) ) ) )
134133a1d 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( n  e.  om  ->  ( A  e.  V  ->  ( ( ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  n )  C_  ( fi `  A )  /\  A. y  e.  n  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  y ) 
C_  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  n ) )  -> 
( ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  suc  n )  C_  ( fi `  A )  /\  A. y  e.  suc  n
( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  y
)  C_  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  suc  n ) ) ) ) )
13537, 42, 47, 49, 134finds2 4832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  e.  om  ->  ( A  e.  V  ->  ( ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  x
)  C_  ( fi `  A )  /\  A. y  e.  x  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  y ) 
C_  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  x ) ) ) )
136135impcom 420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  V  /\  x  e.  om )  ->  ( ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  x )  C_  ( fi `  A )  /\  A. y  e.  x  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  y ) 
C_  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  x ) ) )
137136simprd 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  e.  V  /\  x  e.  om )  ->  A. y  e.  x  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  y
)  C_  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  x ) )
138137r19.21bi 2764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  x  e.  om )  /\  y  e.  x
)  ->  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  y )  C_  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  x ) )
139138ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  V  /\  x  e.  om )  ->  ( y  e.  x  ->  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  y
)  C_  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  x ) ) )
140139adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  x  e.  om )  /\  y  e.  om )  ->  ( y  e.  x  ->  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  y )  C_  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  x ) ) )
141 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  x  ->  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  y )  =  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  x ) )
142 eqimss 3360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  y )  =  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  x )  ->  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  y ) 
C_  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  x ) )
143141, 142syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  x  ->  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  y ) 
C_  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  x ) )
144143a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  x  e.  om )  /\  y  e.  om )  ->  ( y  =  x  ->  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  y )  C_  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  x ) ) )
145140, 144jaod 370 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  x  e.  om )  /\  y  e.  om )  ->  ( ( y  e.  x  \/  y  =  x )  ->  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  y ) 
C_  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  x ) ) )
14632, 145sylbid 207 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  x  e.  om )  /\  y  e.  om )  ->  ( y  C_  x  ->  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  y )  C_  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  x ) ) )
147146ralrimiva 2749 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  V  /\  x  e.  om )  ->  A. y  e.  om  ( y  C_  x  ->  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  y
)  C_  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  x ) ) )
148147ralrimiva 2749 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  V  ->  A. x  e.  om  A. y  e. 
om  ( y  C_  x  ->  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  y )  C_  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  x ) ) )
149148adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  n  e.  om )
)  ->  A. x  e.  om  A. y  e. 
om  ( y  C_  x  ->  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  y )  C_  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  x ) ) )
150 ssun1 3470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  m  C_  ( m  u.  n
)
151150a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  n  e.  om )
)  ->  m  C_  (
m  u.  n ) )
152 sseq2 3330 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( m  u.  n )  ->  (
y  C_  x  <->  y  C_  ( m  u.  n
) ) )
153 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( m  u.  n )  ->  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  x )  =  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  ( m  u.  n
) ) )
154153sseq2d 3336 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( m  u.  n )  ->  (
( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  y
)  C_  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  x )  <->  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  y )  C_  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n ) ) ) )
155152, 154imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( m  u.  n )  ->  (
( y  C_  x  ->  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  y
)  C_  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  x ) )  <->  ( y  C_  ( m  u.  n
)  ->  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  y )  C_  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n ) ) ) ) )
156 sseq1 3329 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  m  ->  (
y  C_  ( m  u.  n )  <->  m  C_  (
m  u.  n ) ) )
157 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  m  ->  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  y )  =  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  m ) )
158157sseq1d 3335 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  m  ->  (
( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  y
)  C_  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  ( m  u.  n
) )  <->  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  m )  C_  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n ) ) ) )
159156, 158imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  m  ->  (
( y  C_  (
m  u.  n )  ->  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  y )  C_  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n ) ) )  <->  ( m  C_  ( m  u.  n
)  ->  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  m )  C_  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n ) ) ) ) )
160155, 159rspc2v 3018 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( m  u.  n
)  e.  om  /\  m  e.  om )  ->  ( A. x  e. 
om  A. y  e.  om  ( y  C_  x  ->  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  y
)  C_  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  x ) )  -> 
( m  C_  (
m  u.  n )  ->  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  m )  C_  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n ) ) ) ) )
16126, 149, 151, 160syl3c 59 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  n  e.  om )
)  ->  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  m )  C_  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n ) ) )
162161sseld 3307 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  n  e.  om )
)  ->  ( c  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  m
)  ->  c  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  (
m  u.  n ) ) ) )
163 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  n  e.  om )
)  ->  n  e.  om )
16424, 163jca 519 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  n  e.  om )
)  ->  ( (
m  u.  n )  e.  om  /\  n  e.  om ) )
165 ssun2 3471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  n  C_  ( m  u.  n
)
166165a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  n  e.  om )
)  ->  n  C_  (
m  u.  n ) )
167 sseq1 3329 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  n  ->  (
y  C_  ( m  u.  n )  <->  n  C_  (
m  u.  n ) ) )
168109sseq1d 3335 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  n  ->  (
( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  y
)  C_  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  ( m  u.  n
) )  <->  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  n )  C_  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n ) ) ) )
169167, 168imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  n  ->  (
( y  C_  (
m  u.  n )  ->  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  y )  C_  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n ) ) )  <->  ( n  C_  ( m  u.  n
)  ->  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  n )  C_  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n ) ) ) ) )
170155, 169rspc2v 3018 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( m  u.  n
)  e.  om  /\  n  e.  om )  ->  ( A. x  e. 
om  A. y  e.  om  ( y  C_  x  ->  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  y
)  C_  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  x ) )  -> 
( n  C_  (
m  u.  n )  ->  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  n )  C_  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n ) ) ) ) )
171164, 149, 166, 170syl3c 59 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  n  e.  om )
)  ->  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  n )  C_  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n ) ) )
172171sseld 3307 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  n  e.  om )
)  ->  ( d  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  n
)  ->  d  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  (
m  u.  n ) ) ) )
17323ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  n  e.  om )
)  /\  ( c  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  (
m  u.  n ) )  /\  d  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  (
m  u.  n ) ) ) )  -> 
( m  u.  n
)  e.  om )
174 peano2 4824 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  u.  n )  e.  om  ->  suc  ( m  u.  n
)  e.  om )
175 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  suc  ( m  u.  n )  -> 
( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  x
)  =  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  suc  ( m  u.  n ) ) )
176175ssiun2s 4095 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( suc  ( m  u.  n
)  e.  om  ->  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  suc  (
m  u.  n ) )  C_  U_ x  e. 
om  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  x ) )
177173, 174, 1763syl 19 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  n  e.  om )
)  /\  ( c  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  (
m  u.  n ) )  /\  d  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  (
m  u.  n ) ) ) )  -> 
( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  suc  ( m  u.  n
) )  C_  U_ x  e.  om  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  x ) )
178 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  n  e.  om )
)  /\  ( c  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  (
m  u.  n ) )  /\  d  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  (
m  u.  n ) ) ) )  -> 
c  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n
) ) )
179 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  n  e.  om )
)  /\  ( c  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  (
m  u.  n ) )  /\  d  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  (
m  u.  n ) ) ) )  -> 
d  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n
) ) )
180 eqidd 2405 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  n  e.  om )
)  /\  ( c  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  (
m  u.  n ) )  /\  d  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  (
m  u.  n ) ) ) )  -> 
( c  i^i  d
)  =  ( c  i^i  d ) )
181 ineq1 3495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( a  =  c  ->  (
a  i^i  b )  =  ( c  i^i  b ) )
182181eqeq2d 2415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( a  =  c  ->  (
( c  i^i  d
)  =  ( a  i^i  b )  <->  ( c  i^i  d )  =  ( c  i^i  b ) ) )
183 ineq2 3496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( b  =  d  ->  (
c  i^i  b )  =  ( c  i^i  d ) )
184183eqeq2d 2415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( b  =  d  ->  (
( c  i^i  d
)  =  ( c  i^i  b )  <->  ( c  i^i  d )  =  ( c  i^i  d ) ) )
185182, 184rspc2ev 3020 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( c  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n
) )  /\  d  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  (
m  u.  n ) )  /\  ( c  i^i  d )  =  ( c  i^i  d
) )  ->  E. a  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  (
m  u.  n ) ) E. b  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  (
m  u.  n ) ) ( c  i^i  d )  =  ( a  i^i  b ) )
186178, 179, 180, 185syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  n  e.  om )
)  /\  ( c  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  (
m  u.  n ) )  /\  d  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  (
m  u.  n ) ) ) )  ->  E. a  e.  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n ) ) E. b  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n ) ) ( c  i^i  d
)  =  ( a  i^i  b ) )
187 vex 2919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  c  e. 
_V
188187inex1 4304 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( c  i^i  d )  e. 
_V
189 eqeq1 2410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  ( c  i^i  d )  ->  (
x  =  ( a  i^i  b )  <->  ( c  i^i  d )  =  ( a  i^i  b ) ) )
1901892rexbidv 2709 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  ( c  i^i  d )  ->  ( E. a  e.  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n ) ) E. b  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n ) ) x  =  ( a  i^i  b )  <->  E. a  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  (
m  u.  n ) ) E. b  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  (
m  u.  n ) ) ( c  i^i  d )  =  ( a  i^i  b ) ) )
191188, 190elab 3042 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( c  i^i  d )  e.  { x  |  E. a  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n ) ) E. b  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n ) ) x  =  ( a  i^i  b ) }  <->  E. a  e.  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n ) ) E. b  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n ) ) ( c  i^i  d
)  =  ( a  i^i  b ) )
192186, 191sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  n  e.  om )
)  /\  ( c  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  (
m  u.  n ) )  /\  d  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  (
m  u.  n ) ) ) )  -> 
( c  i^i  d
)  e.  { x  |  E. a  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n ) ) E. b  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n ) ) x  =  ( a  i^i  b ) } )
193 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  e.  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  ( m  u.  n
) ) ,  b  e.  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  ( m  u.  n
) )  |->  ( a  i^i  b ) )  =  ( a  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  (
m  u.  n ) ) ,  b  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  (
m  u.  n ) )  |->  ( a  i^i  b ) )
194193rnmpt2 6139 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ran  (
a  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n
) ) ,  b  e.  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  ( m  u.  n
) )  |->  ( a  i^i  b ) )  =  { x  |  E. a  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n ) ) E. b  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n ) ) x  =  ( a  i^i  b ) }
195192, 194syl6eleqr 2495 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  n  e.  om )
)  /\  ( c  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  (
m  u.  n ) )  /\  d  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  (
m  u.  n ) ) ) )  -> 
( c  i^i  d
)  e.  ran  (
a  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n
) ) ,  b  e.  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  ( m  u.  n
) )  |->  ( a  i^i  b ) ) )
196 fvex 5701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n
) )  e.  _V
197196uniex 4664 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  U. (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n ) )  e.  _V
198197pwex 4342 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ~P U. ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  (
m  u.  n ) )  e.  _V
199 elssuni 4003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( a  e.  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  ( m  u.  n
) )  ->  a  C_ 
U. ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  ( m  u.  n
) ) )
20069, 199syl5ss 3319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( a  e.  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  ( m  u.  n
) )  ->  (
a  i^i  b )  C_ 
U. ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  ( m  u.  n
) ) )
20174elpw 3765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( a  i^i  b )  e.  ~P U. (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n ) )  <-> 
( a  i^i  b
)  C_  U. (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n ) ) )
202200, 201sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( a  e.  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  ( m  u.  n
) )  ->  (
a  i^i  b )  e.  ~P U. ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n
) ) )
203202adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( a  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n
) )  /\  b  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  (
m  u.  n ) ) )  ->  (
a  i^i  b )  e.  ~P U. ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n
) ) )
204203rgen2a 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  A. a  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  (
m  u.  n ) ) A. b  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  (
m  u.  n ) ) ( a  i^i  b )  e.  ~P U. ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  (
m  u.  n ) )
205193fmpt2 6377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. a  e.  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  ( m  u.  n
) ) A. b  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  (
m  u.  n ) ) ( a  i^i  b )  e.  ~P U. ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  (
m  u.  n ) )  <->  ( a  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  (
m  u.  n ) ) ,  b  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  (
m  u.  n ) )  |->  ( a  i^i  b ) ) : ( ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  ( m  u.  n
) )  X.  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n ) ) ) --> ~P U. (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n ) ) )
206204, 205mpbi 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  e.  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  ( m  u.  n
) ) ,  b  e.  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  ( m  u.  n
) )  |->  ( a  i^i  b ) ) : ( ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n
) )  X.  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n ) ) ) --> ~P U. (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n ) )
207 frn 5556 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( a  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n
) ) ,  b  e.  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  ( m  u.  n
) )  |->  ( a  i^i  b ) ) : ( ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n
) )  X.  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n ) ) ) --> ~P U. (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n ) )  ->  ran  ( a  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  (
m  u.  n ) ) ,  b  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  (
m  u.  n ) )  |->  ( a  i^i  b ) )  C_  ~P U. ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  ( m  u.  n
) ) )
208206, 207ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ran  (
a  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n
) ) ,  b  e.  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  ( m  u.  n
) )  |->  ( a  i^i  b ) ) 
C_  ~P U. ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n
) )
209198, 208ssexi 4308 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ran  (
a  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n
) ) ,  b  e.  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  ( m  u.  n
) )  |->  ( a  i^i  b ) )  e.  _V
210 nfcv 2540 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ v
( m  u.  n
)
211 nfcv 2540 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ v ran  ( a  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n ) ) ,  b  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n ) ) 
|->  ( a  i^i  b
) )
212 mpt2eq12 6093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( v  =  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n
) )  /\  v  =  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  ( m  u.  n
) ) )  -> 
( a  e.  v ,  b  e.  v 
|->  ( a  i^i  b
) )  =  ( a  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n
) ) ,  b  e.  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  ( m  u.  n
) )  |->  ( a  i^i  b ) ) )
213212anidms 627 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  =  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  ( m  u.  n
) )  ->  (
a  e.  v ,  b  e.  v  |->  ( a  i^i  b ) )  =  ( a  e.  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  ( m  u.  n
) ) ,  b  e.  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  ( m  u.  n
) )  |->  ( a  i^i  b ) ) )
214213rneqd 5056 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  =  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  ( m  u.  n
) )  ->  ran  ( a  e.  v ,  b  e.  v 
|->  ( a  i^i  b
) )  =  ran  ( a  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n ) ) ,  b  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n ) ) 
|->  ( a  i^i  b
) ) )
21583, 210, 211, 98, 214frsucmpt 6654 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( m  u.  n
)  e.  om  /\  ran  ( a  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n ) ) ,  b  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n ) ) 
|->  ( a  i^i  b
) )  e.  _V )  ->  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  suc  ( m  u.  n
) )  =  ran  ( a  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n ) ) ,  b  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n ) ) 
|->  ( a  i^i  b
) ) )
216173, 209, 215sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  n  e.  om )
)  /\  ( c  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  (
m  u.  n ) )  /\  d  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  (
m  u.  n ) ) ) )  -> 
( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  suc  ( m  u.  n
) )  =  ran  ( a  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n ) ) ,  b  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n ) ) 
|->  ( a  i^i  b
) ) )
217195, 216eleqtrrd 2481 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  n  e.  om )
)  /\  ( c  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  (
m  u.  n ) )  /\  d  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  (
m  u.  n ) ) ) )  -> 
( c  i^i  d
)  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  suc  ( m  u.  n ) ) )
218177, 217sseldd 3309 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  n  e.  om )
)  /\  ( c  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  (
m  u.  n ) )  /\  d  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  (
m  u.  n ) ) ) )  -> 
( c  i^i  d
)  e.  U_ x  e.  om  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  x ) )
219 fniunfv 5953 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om )  Fn  om  ->  U_ x  e. 
om  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  x )  =  U. ran  ( rec ( R ,  A )  |`  om ) )
2203, 219ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U_ x  e.  om  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  x )  =  U. ran  ( rec ( R ,  A )  |`  om )
221218, 220syl6eleq 2494 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  n  e.  om )
)  /\  ( c  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  (
m  u.  n ) )  /\  d  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  (
m  u.  n ) ) ) )  -> 
( c  i^i  d
)  e.  U. ran  ( rec ( R ,  A )  |`  om )
)
222221ex 424 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  n  e.  om )
)  ->  ( (
c  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n
) )  /\  d  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  (
m  u.  n ) ) )  ->  (
c  i^i  d )  e.  U. ran  ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) ) )
223162, 172, 222syl2and 470 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  n  e.  om )
)  ->  ( (
c  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  m )  /\  d  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  n
) )  ->  (
c  i^i  d )  e.  U. ran  ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) ) )
224223rexlimdvva 2797 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  V  ->  ( E. m  e.  om  E. n  e.  om  (
c  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  m )  /\  d  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  n
) )  ->  (
c  i^i  d )  e.  U. ran  ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) ) )
225224imp 419 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  E. m  e.  om  E. n  e.  om  (
c  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  m )  /\  d  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  n
) ) )  -> 
( c  i^i  d
)  e.  U. ran  ( rec ( R ,  A )  |`  om )
)
22620, 225sylan2br 463 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( c  e.  U. ran  ( rec ( R ,  A )  |`  om )  /\  d  e.  U. ran  ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) ) )  ->  ( c  i^i  d )  e.  U. ran  ( rec ( R ,  A )  |`  om ) )
227226ralrimivva 2758 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  A. c  e.  U. ran  ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) A. d  e.  U. ran  ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) ( c  i^i  d )  e.  U. ran  ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) )
228136simpld 446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  V  /\  x  e.  om )  ->  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  x
)  C_  ( fi `  A ) )
229 fvex 5701 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( fi
`  A )  e. 
_V
230229elpw2 4324 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  x )  e.  ~P ( fi
`  A )  <->  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  x )  C_  ( fi `  A ) )
231228, 230sylibr 204 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  V  /\  x  e.  om )  ->  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  x
)  e.  ~P ( fi `  A ) )
232231ralrimiva 2749 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  V  ->  A. x  e.  om  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  x )  e.  ~P ( fi `  A ) )
233 fnfvrnss 5855 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( rec ( R ,  A )  |`  om )  Fn  om  /\  A. x  e.  om  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  x )  e.  ~P ( fi
`  A ) )  ->  ran  ( rec ( R ,  A )  |`  om )  C_  ~P ( fi `  A ) )
2343, 232, 233sylancr 645 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  V  ->  ran  ( rec ( R ,  A )  |`  om )  C_ 
~P ( fi `  A ) )
235 sspwuni 4136 . . . . . . . . 9  |-  ( ran  ( rec ( R ,  A )  |`  om )  C_  ~P ( fi `  A )  <->  U. ran  ( rec ( R ,  A
)  |`  om )  C_  ( fi `  A ) )
236234, 235sylib 189 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  V  ->  U. ran  ( rec ( R ,  A )  |`  om )  C_  ( fi `  A
) )
237 ssexg 4309 . . . . . . . 8  |-  ( ( U. ran  ( rec ( R ,  A
)  |`  om )  C_  ( fi `  A )  /\  ( fi `  A )  e.  _V )  ->  U. ran  ( rec ( R ,  A
)  |`  om )  e. 
_V )
238236, 229, 237sylancl 644 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  V  ->  U. ran  ( rec ( R ,  A )  |`  om )  e.  _V )
239 sseq2 3330 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  U. ran  ( rec ( R ,  A
)  |`  om )  -> 
( A  C_  x  <->  A 
C_  U. ran  ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) ) )
240 eleq2 2465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  U. ran  ( rec ( R ,  A
)  |`  om )  -> 
( ( c  i^i  d )  e.  x  <->  ( c  i^i  d )  e.  U. ran  ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) ) )
241240raleqbi1dv 2872 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  U. ran  ( rec ( R ,  A
)  |`  om )  -> 
( A. d  e.  x  ( c  i^i  d )  e.  x  <->  A. d  e.  U. ran  ( rec ( R ,  A )  |`  om )
( c  i^i  d
)  e.  U. ran  ( rec ( R ,  A )  |`  om )
) )
242241raleqbi1dv 2872 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  U. ran  ( rec ( R ,  A
)  |`  om )  -> 
( A. c  e.  x  A. d  e.  x  ( c  i^i  d )  e.  x  <->  A. c  e.  U. ran  ( rec ( R ,  A )  |`  om ) A. d  e.  U. ran  ( rec ( R ,  A )  |`  om )
( c  i^i  d
)  e.  U. ran  ( rec ( R ,  A )  |`  om )
) )
243239, 242anbi12d 692 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  U. ran  ( rec ( R ,  A
)  |`  om )  -> 
( ( A  C_  x  /\  A. c  e.  x  A. d  e.  x  ( c  i^i  d )  e.  x
)  <->  ( A  C_  U.
ran  ( rec ( R ,  A )  |` 
om )  /\  A. c  e.  U. ran  ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) A. d  e.  U. ran  ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) ( c  i^i  d )  e.  U. ran  ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) ) ) )
244243elabg 3043 . . . . . . 7  |-  ( U. ran  ( rec ( R ,  A )  |`  om )  e.  _V  ->  ( U. ran  ( rec ( R ,  A
)  |`  om )  e. 
{ x  |  ( A  C_  x  /\  A. c  e.  x  A. d  e.  x  (
c  i^i  d )  e.  x ) }  <->  ( A  C_ 
U. ran  ( rec ( R ,  A )  |`  om )  /\  A. c  e.  U. ran  ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) A. d  e.  U. ran  ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) ( c  i^i  d )  e.  U. ran  ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) ) ) )
245238, 244syl 16 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  ( U. ran  ( rec ( R ,  A )  |` 
om )  e.  {
x  |  ( A 
C_  x  /\  A. c  e.  x  A. d  e.  x  (
c  i^i  d )  e.  x ) }  <->  ( A  C_ 
U. ran  ( rec ( R ,  A )  |`  om )  /\  A. c  e.  U. ran  ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) A. d  e.  U. ran  ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) ( c  i^i  d )  e.  U. ran  ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) ) ) )
2469, 227, 245mpbir2and 889 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  U. ran  ( rec ( R ,  A )  |`  om )  e.  { x  |  ( A  C_  x  /\  A. c  e.  x  A. d  e.  x  (
c  i^i  d )  e.  x ) } )
247 intss1 4025 . . . . 5  |-  ( U. ran  ( rec ( R ,  A )  |`  om )  e.  { x  |  ( A  C_  x  /\  A. c  e.  x  A. d  e.  x  ( c  i^i  d )  e.  x
) }  ->  |^| { x  |  ( A  C_  x  /\  A. c  e.  x  A. d  e.  x  ( c  i^i  d )  e.  x
) }  C_  U. ran  ( rec ( R ,  A )  |`  om )
)
248246, 247syl 16 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  |^| { x  |  ( A  C_  x  /\  A. c  e.  x  A. d  e.  x  ( c  i^i  d )  e.  x
) }  C_  U. ran  ( rec ( R ,  A )  |`  om )
)
2491, 248eqsstrd 3342 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  ( fi `  A )  C_  U.
ran  ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) )
250249, 236eqssd 3325 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  ( fi `  A )  = 
U. ran  ( rec ( R ,  A )  |`  om ) )
251 df-ima 4850 . . 3  |-  ( rec ( R ,  A
) " om )  =  ran  ( rec ( R ,  A )  |` 
om )
252251unieqi 3985 . 2  |-  U. ( rec ( R ,  A
) " om )  =  U. ran  ( rec ( R ,  A
)  |`  om )
253250, 252syl6eqr 2454 1  |-  ( A  e.  V  ->  ( fi `  A )  = 
U. ( rec ( R ,  A ) " om ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   {cab 2390   A.wral 2666   E.wrex 2667   _Vcvv 2916    u. cun 3278    i^i cin 3279    C_ wss 3280   (/)c0 3588   ~Pcpw 3759   {csn 3774   U.cuni 3975   |^|cint 4010   U_ciun 4053    e. cmpt 4226   Ord word 4540   Oncon0 4541   suc csuc 4543   omcom 4804    X. cxp 4835   ran crn 4838    |` cres 4839   "cima 4840    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413    e. cmpt2 6042   reccrdg 6626   ficfi 7373
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-fin 7072  df-fi 7374
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