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Theorem dffi3 7891
Description: The set of finite intersections can be "constructed" inductively by iterating binary intersection  om-many times. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
dffi3.1  |-  R  =  ( u  e.  _V  |->  ran  ( y  e.  u ,  z  e.  u  |->  ( y  i^i  z
) ) )
Assertion
Ref Expression
dffi3  |-  ( A  e.  V  ->  ( fi `  A )  = 
U. ( rec ( R ,  A ) " om ) )
Distinct variable groups:    y, A    y, R    y, V    y, u, z
Allowed substitution hints:    A( z, u)    R( z, u)    V( z, u)

Proof of Theorem dffi3
Dummy variables  a 
b  c  d  m  n  v  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dffi2 7883 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  ( fi `  A )  = 
|^| { x  |  ( A  C_  x  /\  A. c  e.  x  A. d  e.  x  (
c  i^i  d )  e.  x ) } )
2 fr0g 7101 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  V  ->  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  (/) )  =  A )
3 frfnom 7100 . . . . . . . . 9  |-  ( rec ( R ,  A
)  |`  om )  Fn 
om
4 peano1 6703 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  om
5 fnfvelrn 6018 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( rec ( R ,  A )  |`  om )  Fn  om  /\  (/) 
e.  om )  ->  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  (/) )  e. 
ran  ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) )
63, 4, 5mp2an 672 . . . . . . . 8  |-  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  (/) )  e.  ran  ( rec ( R ,  A )  |`  om )
72, 6syl6eqelr 2564 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  V  ->  A  e.  ran  ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) )
8 elssuni 4275 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ran  ( rec ( R ,  A
)  |`  om )  ->  A  C_  U. ran  ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) )
97, 8syl 16 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  A  C_ 
U. ran  ( rec ( R ,  A )  |`  om ) )
10 reeanv 3029 . . . . . . . . 9  |-  ( E. m  e.  om  E. n  e.  om  (
c  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  m )  /\  d  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  n
) )  <->  ( E. m  e.  om  c  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  m
)  /\  E. n  e.  om  d  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n ) ) )
11 eliun 4330 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  e.  U_ m  e. 
om  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  m )  <->  E. m  e.  om  c  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  m ) )
12 eliun 4330 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  e.  U_ n  e. 
om  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  n )  <->  E. n  e.  om  d  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n ) )
1311, 12anbi12i 697 . . . . . . . . 9  |-  ( ( c  e.  U_ m  e.  om  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  m )  /\  d  e.  U_ n  e.  om  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  n
) )  <->  ( E. m  e.  om  c  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  m
)  /\  E. n  e.  om  d  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n ) ) )
14 fniunfv 6147 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om )  Fn  om  ->  U_ m  e. 
om  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  m )  =  U. ran  ( rec ( R ,  A )  |`  om ) )
1514eleq2d 2537 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om )  Fn  om  ->  ( c  e.  U_ m  e.  om  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  m
)  <->  c  e.  U. ran  ( rec ( R ,  A )  |`  om ) ) )
16 fniunfv 6147 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om )  Fn  om  ->  U_ n  e. 
om  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  n )  =  U. ran  ( rec ( R ,  A )  |`  om ) )
1716eleq2d 2537 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om )  Fn  om  ->  ( d  e.  U_ n  e.  om  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  n
)  <->  d  e.  U. ran  ( rec ( R ,  A )  |`  om ) ) )
1815, 17anbi12d 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om )  Fn  om  ->  ( (
c  e.  U_ m  e.  om  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  m )  /\  d  e.  U_ n  e.  om  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  n
) )  <->  ( c  e.  U. ran  ( rec ( R ,  A
)  |`  om )  /\  d  e.  U. ran  ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) ) ) )
193, 18ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( ( c  e.  U_ m  e.  om  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  m )  /\  d  e.  U_ n  e.  om  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  n
) )  <->  ( c  e.  U. ran  ( rec ( R ,  A
)  |`  om )  /\  d  e.  U. ran  ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) ) )
2010, 13, 193bitr2i 273 . . . . . . . 8  |-  ( E. m  e.  om  E. n  e.  om  (
c  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  m )  /\  d  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  n
) )  <->  ( c  e.  U. ran  ( rec ( R ,  A
)  |`  om )  /\  d  e.  U. ran  ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) ) )
21 ordom 6693 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  Ord  om
22 ordunel 6646 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Ord  om  /\  m  e.  om  /\  n  e. 
om )  ->  (
m  u.  n )  e.  om )
2321, 22mp3an1 1311 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  e.  om  /\  n  e.  om )  ->  ( m  u.  n
)  e.  om )
2423adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  n  e.  om )
)  ->  ( m  u.  n )  e.  om )
25 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  n  e.  om )
)  ->  m  e.  om )
2624, 25jca 532 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  n  e.  om )
)  ->  ( (
m  u.  n )  e.  om  /\  m  e.  om ) )
27 nnon 6690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  om  ->  y  e.  On )
2827adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  x  e.  om )  /\  y  e.  om )  ->  y  e.  On )
29 nnon 6690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  om  ->  x  e.  On )
3029ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  x  e.  om )  /\  y  e.  om )  ->  x  e.  On )
31 onsseleq 4919 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( y  C_  x  <->  ( y  e.  x  \/  y  =  x ) ) )
3228, 30, 31syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  x  e.  om )  /\  y  e.  om )  ->  ( y  C_  x 
<->  ( y  e.  x  \/  y  =  x
) ) )
33 rzal 3929 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( x  =  (/)  ->  A. y  e.  x  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  y )  C_  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  x ) )
3433biantrud 507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  x ) 
C_  ( fi `  A )  <->  ( (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  x ) 
C_  ( fi `  A )  /\  A. y  e.  x  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  y ) 
C_  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  x ) ) ) )
35 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  x )  =  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  (/) ) )
3635sseq1d 3531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  x ) 
C_  ( fi `  A )  <->  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  (/) )  C_  ( fi `  A ) ) )
3734, 36bitr3d 255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  x
)  C_  ( fi `  A )  /\  A. y  e.  x  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  y ) 
C_  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  x ) )  <->  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  (/) )  C_  ( fi `  A ) ) )
38 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( x  =  n  ->  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  x )  =  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  n ) )
3938sseq1d 3531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  =  n  ->  (
( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  x
)  C_  ( fi `  A )  <->  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  n )  C_  ( fi `  A ) ) )
4038sseq2d 3532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( x  =  n  ->  (
( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  y
)  C_  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  x )  <->  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  y )  C_  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n ) ) )
4140raleqbi1dv 3066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  =  n  ->  ( A. y  e.  x  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  y
)  C_  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  x )  <->  A. y  e.  n  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  y )  C_  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n ) ) )
4239, 41anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  =  n  ->  (
( ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  x )  C_  ( fi `  A )  /\  A. y  e.  x  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  y ) 
C_  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  x ) )  <->  ( (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n ) 
C_  ( fi `  A )  /\  A. y  e.  n  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  y ) 
C_  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  n ) ) ) )
43 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( x  =  suc  n  -> 
( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  x
)  =  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  suc  n ) )
4443sseq1d 3531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  =  suc  n  -> 
( ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  x )  C_  ( fi `  A )  <->  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  suc  n )  C_  ( fi `  A ) ) )
4543sseq2d 3532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( x  =  suc  n  -> 
( ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  y )  C_  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  x )  <-> 
( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  y
)  C_  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  suc  n ) ) )
4645raleqbi1dv 3066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  =  suc  n  -> 
( A. y  e.  x  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  y )  C_  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  x )  <->  A. y  e.  suc  n ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  y )  C_  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  suc  n
) ) )
4744, 46anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  =  suc  n  -> 
( ( ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  x )  C_  ( fi `  A )  /\  A. y  e.  x  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  y ) 
C_  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  x ) )  <->  ( (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  suc  n
)  C_  ( fi `  A )  /\  A. y  e.  suc  n ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  y ) 
C_  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  suc  n ) ) ) )
48 ssfii 7879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( A  e.  V  ->  A  C_  ( fi `  A
) )
492, 48eqsstrd 3538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( A  e.  V  ->  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  (/) )  C_  ( fi `  A ) )
50 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( x  e.  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  n )  ->  x  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  n
) )
51 eqidd 2468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( x  e.  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  n )  ->  x  =  x )
52 ineq1 3693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( a  =  x  ->  (
a  i^i  b )  =  ( x  i^i  b ) )
5352eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( a  =  x  ->  (
x  =  ( a  i^i  b )  <->  x  =  ( x  i^i  b
) ) )
54 ineq2 3694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( b  =  x  ->  (
x  i^i  b )  =  ( x  i^i  x ) )
55 inidm 3707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( x  i^i  x )  =  x
5654, 55syl6eq 2524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( b  =  x  ->  (
x  i^i  b )  =  x )
5756eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( b  =  x  ->  (
x  =  ( x  i^i  b )  <->  x  =  x ) )
5853, 57rspc2ev 3225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( x  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n )  /\  x  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  n
)  /\  x  =  x )  ->  E. a  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  n
) E. b  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  n
) x  =  ( a  i^i  b ) )
5950, 50, 51, 58syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( x  e.  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  n )  ->  E. a  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  n
) E. b  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  n
) x  =  ( a  i^i  b ) )
60 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( a  e.  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  n ) ,  b  e.  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  n )  |->  ( a  i^i  b ) )  =  ( a  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  n
) ,  b  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  n
)  |->  ( a  i^i  b ) )
6160rnmpt2 6396 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ran  (
a  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n ) ,  b  e.  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  n )  |->  ( a  i^i  b ) )  =  { x  |  E. a  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n ) E. b  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n ) x  =  ( a  i^i  b ) }
6261abeq2i 2594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( x  e.  ran  ( a  e.  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  n ) ,  b  e.  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  n )  |->  ( a  i^i  b ) )  <->  E. a  e.  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n ) E. b  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n ) x  =  ( a  i^i  b ) )
6359, 62sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( x  e.  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  n )  ->  x  e.  ran  ( a  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  n
) ,  b  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  n
)  |->  ( a  i^i  b ) ) )
6463ssriv 3508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n )  C_  ran  ( a  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n ) ,  b  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n ) 
|->  ( a  i^i  b
) )
65 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( n  e.  om  /\  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  n
)  C_  ( fi `  A ) )  ->  n  e.  om )
66 fvex 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n )  e.  _V
6766uniex 6580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  U. (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n )  e.  _V
6867pwex 4630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ~P U. ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  n
)  e.  _V
69 inss1 3718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( a  i^i  b )  C_  a
70 elssuni 4275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( a  e.  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  n )  ->  a  C_ 
U. ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  n ) )
7170adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( a  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n )  /\  b  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  n
) )  ->  a  C_ 
U. ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  n ) )
7269, 71syl5ss 3515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( a  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n )  /\  b  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  n
) )  ->  (
a  i^i  b )  C_ 
U. ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  n ) )
73 vex 3116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  a  e. 
_V
7473inex1 4588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( a  i^i  b )  e. 
_V
7574elpw 4016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( a  i^i  b )  e.  ~P U. (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n )  <-> 
( a  i^i  b
)  C_  U. (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n ) )
7672, 75sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( a  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n )  /\  b  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  n
) )  ->  (
a  i^i  b )  e.  ~P U. ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n ) )
7776rgen2a 2891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  A. a  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  n
) A. b  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  n
) ( a  i^i  b )  e.  ~P U. ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  n
)
7860fmpt2 6851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( A. a  e.  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  n ) A. b  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  n
) ( a  i^i  b )  e.  ~P U. ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  n
)  <->  ( a  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  n
) ,  b  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  n
)  |->  ( a  i^i  b ) ) : ( ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  n )  X.  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n ) ) --> ~P U. (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n ) )
7977, 78mpbi 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( a  e.  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  n ) ,  b  e.  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  n )  |->  ( a  i^i  b ) ) : ( ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n )  X.  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n ) ) --> ~P U. (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n )
80 frn 5737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( a  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n ) ,  b  e.  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  n )  |->  ( a  i^i  b ) ) : ( ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n )  X.  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n ) ) --> ~P U. (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n )  ->  ran  ( a  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  n
) ,  b  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  n
)  |->  ( a  i^i  b ) )  C_  ~P U. ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  n ) )
8179, 80ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ran  (
a  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n ) ,  b  e.  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  n )  |->  ( a  i^i  b ) ) 
C_  ~P U. ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n )
8268, 81ssexi 4592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ran  (
a  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n ) ,  b  e.  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  n )  |->  ( a  i^i  b ) )  e.  _V
83 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  F/_ v A
84 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  F/_ v
n
85 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  F/_ v ran  ( a  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n ) ,  b  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n ) 
|->  ( a  i^i  b
) )
86 dffi3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  R  =  ( u  e.  _V  |->  ran  ( y  e.  u ,  z  e.  u  |->  ( y  i^i  z
) ) )
87 mpt2eq12 6341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( ( u  =  v  /\  u  =  v )  ->  ( y  e.  u ,  z  e.  u  |->  ( y  i^i  z
) )  =  ( y  e.  v ,  z  e.  v  |->  ( y  i^i  z ) ) )
8887anidms 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( u  =  v  ->  (
y  e.  u ,  z  e.  u  |->  ( y  i^i  z ) )  =  ( y  e.  v ,  z  e.  v  |->  ( y  i^i  z ) ) )
89 ineq1 3693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( y  =  a  ->  (
y  i^i  z )  =  ( a  i^i  z ) )
90 ineq2 3694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( z  =  b  ->  (
a  i^i  z )  =  ( a  i^i  b ) )
9189, 90cbvmpt2v 6361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( y  e.  v ,  z  e.  v  |->  ( y  i^i  z ) )  =  ( a  e.  v ,  b  e.  v  |->  ( a  i^i  b ) )
9288, 91syl6eq 2524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( u  =  v  ->  (
y  e.  u ,  z  e.  u  |->  ( y  i^i  z ) )  =  ( a  e.  v ,  b  e.  v  |->  ( a  i^i  b ) ) )
9392rneqd 5230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( u  =  v  ->  ran  ( y  e.  u ,  z  e.  u  |->  ( y  i^i  z
) )  =  ran  ( a  e.  v ,  b  e.  v 
|->  ( a  i^i  b
) ) )
9493cbvmptv 4538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( u  e.  _V  |->  ran  (
y  e.  u ,  z  e.  u  |->  ( y  i^i  z ) ) )  =  ( v  e.  _V  |->  ran  ( a  e.  v ,  b  e.  v 
|->  ( a  i^i  b
) ) )
9586, 94eqtri 2496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  R  =  ( v  e.  _V  |->  ran  ( a  e.  v ,  b  e.  v 
|->  ( a  i^i  b
) ) )
96 rdgeq1 7077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( R  =  ( v  e. 
_V  |->  ran  ( a  e.  v ,  b  e.  v  |->  ( a  i^i  b ) ) )  ->  rec ( R ,  A )  =  rec ( ( v  e. 
_V  |->  ran  ( a  e.  v ,  b  e.  v  |->  ( a  i^i  b ) ) ) ,  A ) )
9795, 96ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  rec ( R ,  A )  =  rec ( ( v  e.  _V  |->  ran  (
a  e.  v ,  b  e.  v  |->  ( a  i^i  b ) ) ) ,  A
)
9897reseq1i 5269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( rec ( R ,  A
)  |`  om )  =  ( rec ( ( v  e.  _V  |->  ran  ( a  e.  v ,  b  e.  v 
|->  ( a  i^i  b
) ) ) ,  A )  |`  om )
99 mpt2eq12 6341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( v  =  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n )  /\  v  =  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  n ) )  -> 
( a  e.  v ,  b  e.  v 
|->  ( a  i^i  b
) )  =  ( a  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n ) ,  b  e.  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  n )  |->  ( a  i^i  b ) ) )
10099anidms 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( v  =  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  n )  ->  (
a  e.  v ,  b  e.  v  |->  ( a  i^i  b ) )  =  ( a  e.  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  n ) ,  b  e.  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  n )  |->  ( a  i^i  b ) ) )
101100rneqd 5230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( v  =  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  n )  ->  ran  ( a  e.  v ,  b  e.  v 
|->  ( a  i^i  b
) )  =  ran  ( a  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n ) ,  b  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n ) 
|->  ( a  i^i  b
) ) )
10283, 84, 85, 98, 101frsucmpt 7103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( n  e.  om  /\  ran  ( a  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n ) ,  b  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n ) 
|->  ( a  i^i  b
) )  e.  _V )  ->  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  suc  n )  =  ran  ( a  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n ) ,  b  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n ) 
|->  ( a  i^i  b
) ) )
10365, 82, 102sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( n  e.  om  /\  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  n
)  C_  ( fi `  A ) )  -> 
( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  suc  n )  =  ran  ( a  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n ) ,  b  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n ) 
|->  ( a  i^i  b
) ) )
10464, 103syl5sseqr 3553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( n  e.  om  /\  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  n
)  C_  ( fi `  A ) )  -> 
( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  n
)  C_  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  suc  n ) )
105 sstr2 3511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  y ) 
C_  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  n )  ->  (
( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  n
)  C_  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  suc  n )  ->  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  y ) 
C_  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  suc  n ) ) )
106104, 105syl5com 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( n  e.  om  /\  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  n
)  C_  ( fi `  A ) )  -> 
( ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  y )  C_  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n )  ->  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  y )  C_  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  suc  n
) ) )
107106ralimdv 2874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( n  e.  om  /\  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  n
)  C_  ( fi `  A ) )  -> 
( A. y  e.  n  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  y )  C_  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n )  ->  A. y  e.  n  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  y
)  C_  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  suc  n ) ) )
108 vex 3116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  n  e. 
_V
109 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( y  =  n  ->  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  y )  =  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  n ) )
110109sseq1d 3531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( y  =  n  ->  (
( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  y
)  C_  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  suc  n )  <->  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  n )  C_  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  suc  n
) ) )
111108, 110ralsn 4066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( A. y  e.  { n }  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  y )  C_  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  suc  n
)  <->  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  n )  C_  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  suc  n
) )
112104, 111sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( n  e.  om  /\  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  n
)  C_  ( fi `  A ) )  ->  A. y  e.  { n }  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  y )  C_  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  suc  n
) )
113107, 112jctird 544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( n  e.  om  /\  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  n
)  C_  ( fi `  A ) )  -> 
( A. y  e.  n  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  y )  C_  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n )  ->  ( A. y  e.  n  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  y )  C_  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  suc  n
)  /\  A. y  e.  { n }  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  y ) 
C_  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  suc  n ) ) ) )
114 df-suc 4884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  suc  n  =  ( n  u. 
{ n } )
115114raleqi 3062 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( A. y  e.  suc  n ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  y ) 
C_  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  suc  n )  <->  A. y  e.  ( n  u.  {
n } ) ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  y ) 
C_  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  suc  n ) )
116 ralunb 3685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( A. y  e.  ( n  u.  { n } ) ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  y
)  C_  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  suc  n )  <->  ( A. y  e.  n  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  y ) 
C_  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  suc  n )  /\  A. y  e.  { n }  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  y )  C_  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  suc  n
) ) )
117115, 116bitri 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( A. y  e.  suc  n ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  y ) 
C_  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  suc  n )  <->  ( A. y  e.  n  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  y ) 
C_  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  suc  n )  /\  A. y  e.  { n }  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  y )  C_  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  suc  n
) ) )
118113, 117syl6ibr 227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( n  e.  om  /\  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  n
)  C_  ( fi `  A ) )  -> 
( A. y  e.  n  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  y )  C_  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n )  ->  A. y  e.  suc  n ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  y )  C_  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  suc  n
) ) )
119 fiin 7882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( a  e.  ( fi
`  A )  /\  b  e.  ( fi `  A ) )  -> 
( a  i^i  b
)  e.  ( fi
`  A ) )
120119rgen2a 2891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  A. a  e.  ( fi `  A
) A. b  e.  ( fi `  A
) ( a  i^i  b )  e.  ( fi `  A )
121 ssralv 3564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n ) 
C_  ( fi `  A )  ->  ( A. b  e.  ( fi `  A ) ( a  i^i  b )  e.  ( fi `  A )  ->  A. b  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  n
) ( a  i^i  b )  e.  ( fi `  A ) ) )
122121ralimdv 2874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n ) 
C_  ( fi `  A )  ->  ( A. a  e.  ( fi `  A ) A. b  e.  ( fi `  A ) ( a  i^i  b )  e.  ( fi `  A
)  ->  A. a  e.  ( fi `  A
) A. b  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  n
) ( a  i^i  b )  e.  ( fi `  A ) ) )
123 ssralv 3564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n ) 
C_  ( fi `  A )  ->  ( A. a  e.  ( fi `  A ) A. b  e.  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  n ) ( a  i^i  b )  e.  ( fi `  A
)  ->  A. a  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  n
) A. b  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  n
) ( a  i^i  b )  e.  ( fi `  A ) ) )
124122, 123syld 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n ) 
C_  ( fi `  A )  ->  ( A. a  e.  ( fi `  A ) A. b  e.  ( fi `  A ) ( a  i^i  b )  e.  ( fi `  A
)  ->  A. a  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  n
) A. b  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  n
) ( a  i^i  b )  e.  ( fi `  A ) ) )
125120, 124mpi 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n ) 
C_  ( fi `  A )  ->  A. a  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  n
) A. b  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  n
) ( a  i^i  b )  e.  ( fi `  A ) )
12660fmpt2 6851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( A. a  e.  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  n ) A. b  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  n
) ( a  i^i  b )  e.  ( fi `  A )  <-> 
( a  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n ) ,  b  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n ) 
|->  ( a  i^i  b
) ) : ( ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  n
)  X.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n ) ) --> ( fi `  A ) )
127125, 126sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n ) 
C_  ( fi `  A )  ->  (
a  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n ) ,  b  e.  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  n )  |->  ( a  i^i  b ) ) : ( ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n )  X.  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n ) ) --> ( fi `  A ) )
128 frn 5737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( a  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n ) ,  b  e.  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  n )  |->  ( a  i^i  b ) ) : ( ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n )  X.  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n ) ) --> ( fi `  A )  ->  ran  ( a  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n ) ,  b  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n ) 
|->  ( a  i^i  b
) )  C_  ( fi `  A ) )
129127, 128syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n ) 
C_  ( fi `  A )  ->  ran  ( a  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n ) ,  b  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n ) 
|->  ( a  i^i  b
) )  C_  ( fi `  A ) )
130129adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( n  e.  om  /\  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  n
)  C_  ( fi `  A ) )  ->  ran  ( a  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n ) ,  b  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n ) 
|->  ( a  i^i  b
) )  C_  ( fi `  A ) )
131103, 130eqsstrd 3538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( n  e.  om  /\  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  n
)  C_  ( fi `  A ) )  -> 
( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  suc  n )  C_  ( fi `  A ) )
132118, 131jctild 543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( n  e.  om  /\  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  n
)  C_  ( fi `  A ) )  -> 
( A. y  e.  n  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  y )  C_  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  n )  ->  ( ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  suc  n )  C_  ( fi `  A )  /\  A. y  e. 
suc  n ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  y )  C_  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  suc  n
) ) ) )
133132expimpd 603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( n  e.  om  ->  (
( ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  n )  C_  ( fi `  A )  /\  A. y  e.  n  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  y ) 
C_  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  n ) )  -> 
( ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  suc  n )  C_  ( fi `  A )  /\  A. y  e.  suc  n
( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  y
)  C_  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  suc  n ) ) ) )
134133a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( n  e.  om  ->  ( A  e.  V  ->  ( ( ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  n )  C_  ( fi `  A )  /\  A. y  e.  n  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  y ) 
C_  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  n ) )  -> 
( ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  suc  n )  C_  ( fi `  A )  /\  A. y  e.  suc  n
( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  y
)  C_  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  suc  n ) ) ) ) )
13537, 42, 47, 49, 134finds2 6712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  e.  om  ->  ( A  e.  V  ->  ( ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  x
)  C_  ( fi `  A )  /\  A. y  e.  x  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  y ) 
C_  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  x ) ) ) )
136135impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  V  /\  x  e.  om )  ->  ( ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  x )  C_  ( fi `  A )  /\  A. y  e.  x  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  y ) 
C_  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  x ) ) )
137136simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  e.  V  /\  x  e.  om )  ->  A. y  e.  x  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  y
)  C_  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  x ) )
138137r19.21bi 2833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  x  e.  om )  /\  y  e.  x
)  ->  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  y )  C_  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  x ) )
139138ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  V  /\  x  e.  om )  ->  ( y  e.  x  ->  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  y
)  C_  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  x ) ) )
140139adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  x  e.  om )  /\  y  e.  om )  ->  ( y  e.  x  ->  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  y )  C_  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  x ) ) )
141 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  x  ->  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  y )  =  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  x ) )
142 eqimss 3556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  y )  =  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  x )  ->  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  y ) 
C_  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  x ) )
143141, 142syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  x  ->  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  y ) 
C_  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  x ) )
144143a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  x  e.  om )  /\  y  e.  om )  ->  ( y  =  x  ->  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  y )  C_  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  x ) ) )
145140, 144jaod 380 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  x  e.  om )  /\  y  e.  om )  ->  ( ( y  e.  x  \/  y  =  x )  ->  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  y ) 
C_  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  x ) ) )
14632, 145sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  x  e.  om )  /\  y  e.  om )  ->  ( y  C_  x  ->  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  y )  C_  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  x ) ) )
147146ralrimiva 2878 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  V  /\  x  e.  om )  ->  A. y  e.  om  ( y  C_  x  ->  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  y
)  C_  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  x ) ) )
148147ralrimiva 2878 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  V  ->  A. x  e.  om  A. y  e. 
om  ( y  C_  x  ->  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  y )  C_  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  x ) ) )
149148adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  n  e.  om )
)  ->  A. x  e.  om  A. y  e. 
om  ( y  C_  x  ->  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  y )  C_  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  x ) ) )
150 ssun1 3667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  m  C_  ( m  u.  n
)
151150a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  n  e.  om )
)  ->  m  C_  (
m  u.  n ) )
152 sseq2 3526 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( m  u.  n )  ->  (
y  C_  x  <->  y  C_  ( m  u.  n
) ) )
153 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( m  u.  n )  ->  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  x )  =  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  ( m  u.  n
) ) )
154153sseq2d 3532 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( m  u.  n )  ->  (
( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  y
)  C_  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  x )  <->  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  y )  C_  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n ) ) ) )
155152, 154imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( m  u.  n )  ->  (
( y  C_  x  ->  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  y
)  C_  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  x ) )  <->  ( y  C_  ( m  u.  n
)  ->  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  y )  C_  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n ) ) ) ) )
156 sseq1 3525 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  m  ->  (
y  C_  ( m  u.  n )  <->  m  C_  (
m  u.  n ) ) )
157 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  m  ->  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  y )  =  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  m ) )
158157sseq1d 3531 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  m  ->  (
( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  y
)  C_  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  ( m  u.  n
) )  <->  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  m )  C_  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n ) ) ) )
159156, 158imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  m  ->  (
( y  C_  (
m  u.  n )  ->  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  y )  C_  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n ) ) )  <->  ( m  C_  ( m  u.  n
)  ->  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  m )  C_  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n ) ) ) ) )
160155, 159rspc2v 3223 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( m  u.  n
)  e.  om  /\  m  e.  om )  ->  ( A. x  e. 
om  A. y  e.  om  ( y  C_  x  ->  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  y
)  C_  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  x ) )  -> 
( m  C_  (
m  u.  n )  ->  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  m )  C_  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n ) ) ) ) )
16126, 149, 151, 160syl3c 61 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  n  e.  om )
)  ->  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  m )  C_  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n ) ) )
162161sseld 3503 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  n  e.  om )
)  ->  ( c  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  m
)  ->  c  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  (
m  u.  n ) ) ) )
163 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  n  e.  om )
)  ->  n  e.  om )
16424, 163jca 532 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  n  e.  om )
)  ->  ( (
m  u.  n )  e.  om  /\  n  e.  om ) )
165 ssun2 3668 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  n  C_  ( m  u.  n
)
166165a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  n  e.  om )
)  ->  n  C_  (
m  u.  n ) )
167 sseq1 3525 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  n  ->  (
y  C_  ( m  u.  n )  <->  n  C_  (
m  u.  n ) ) )
168109sseq1d 3531 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  n  ->  (
( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  y
)  C_  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  ( m  u.  n
) )  <->  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  n )  C_  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n ) ) ) )
169167, 168imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  n  ->  (
( y  C_  (
m  u.  n )  ->  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  y )  C_  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n ) ) )  <->  ( n  C_  ( m  u.  n
)  ->  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  n )  C_  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n ) ) ) ) )
170155, 169rspc2v 3223 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( m  u.  n
)  e.  om  /\  n  e.  om )  ->  ( A. x  e. 
om  A. y  e.  om  ( y  C_  x  ->  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  y
)  C_  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  x ) )  -> 
( n  C_  (
m  u.  n )  ->  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  n )  C_  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n ) ) ) ) )
171164, 149, 166, 170syl3c 61 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  n  e.  om )
)  ->  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  n )  C_  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n ) ) )
172171sseld 3503 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  n  e.  om )
)  ->  ( d  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  n
)  ->  d  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  (
m  u.  n ) ) ) )
17323ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  n  e.  om )
)  /\  ( c  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  (
m  u.  n ) )  /\  d  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  (
m  u.  n ) ) ) )  -> 
( m  u.  n
)  e.  om )
174 peano2 6704 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  u.  n )  e.  om  ->  suc  ( m  u.  n
)  e.  om )
175 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  suc  ( m  u.  n )  -> 
( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  x
)  =  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  suc  ( m  u.  n ) ) )
176175ssiun2s 4369 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( suc  ( m  u.  n
)  e.  om  ->  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  suc  (
m  u.  n ) )  C_  U_ x  e. 
om  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  x ) )
177173, 174, 1763syl 20 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  n  e.  om )
)  /\  ( c  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  (
m  u.  n ) )  /\  d  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  (
m  u.  n ) ) ) )  -> 
( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  suc  ( m  u.  n
) )  C_  U_ x  e.  om  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  x ) )
178 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  n  e.  om )
)  /\  ( c  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  (
m  u.  n ) )  /\  d  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  (
m  u.  n ) ) ) )  -> 
c  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n
) ) )
179 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  n  e.  om )
)  /\  ( c  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  (
m  u.  n ) )  /\  d  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  (
m  u.  n ) ) ) )  -> 
d  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n
) ) )
180 eqidd 2468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  n  e.  om )
)  /\  ( c  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  (
m  u.  n ) )  /\  d  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  (
m  u.  n ) ) ) )  -> 
( c  i^i  d
)  =  ( c  i^i  d ) )
181 ineq1 3693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( a  =  c  ->  (
a  i^i  b )  =  ( c  i^i  b ) )
182181eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( a  =  c  ->  (
( c  i^i  d
)  =  ( a  i^i  b )  <->  ( c  i^i  d )  =  ( c  i^i  b ) ) )
183 ineq2 3694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( b  =  d  ->  (
c  i^i  b )  =  ( c  i^i  d ) )
184183eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( b  =  d  ->  (
( c  i^i  d
)  =  ( c  i^i  b )  <->  ( c  i^i  d )  =  ( c  i^i  d ) ) )
185182, 184rspc2ev 3225 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( c  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n
) )  /\  d  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  (
m  u.  n ) )  /\  ( c  i^i  d )  =  ( c  i^i  d
) )  ->  E. a  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  (
m  u.  n ) ) E. b  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  (
m  u.  n ) ) ( c  i^i  d )  =  ( a  i^i  b ) )
186178, 179, 180, 185syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  n  e.  om )
)  /\  ( c  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  (
m  u.  n ) )  /\  d  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  (
m  u.  n ) ) ) )  ->  E. a  e.  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n ) ) E. b  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n ) ) ( c  i^i  d
)  =  ( a  i^i  b ) )
187 vex 3116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  c  e. 
_V
188187inex1 4588 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( c  i^i  d )  e. 
_V
189 eqeq1 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  ( c  i^i  d )  ->  (
x  =  ( a  i^i  b )  <->  ( c  i^i  d )  =  ( a  i^i  b ) ) )
1901892rexbidv 2980 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  ( c  i^i  d )  ->  ( E. a  e.  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n ) ) E. b  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n ) ) x  =  ( a  i^i  b )  <->  E. a  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  (
m  u.  n ) ) E. b  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  (
m  u.  n ) ) ( c  i^i  d )  =  ( a  i^i  b ) ) )
191188, 190elab 3250 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( c  i^i  d )  e.  { x  |  E. a  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n ) ) E. b  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n ) ) x  =  ( a  i^i  b ) }  <->  E. a  e.  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n ) ) E. b  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n ) ) ( c  i^i  d
)  =  ( a  i^i  b ) )
192186, 191sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  n  e.  om )
)  /\  ( c  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  (
m  u.  n ) )  /\  d  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  (
m  u.  n ) ) ) )  -> 
( c  i^i  d
)  e.  { x  |  E. a  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n ) ) E. b  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n ) ) x  =  ( a  i^i  b ) } )
193 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  e.  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  ( m  u.  n
) ) ,  b  e.  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  ( m  u.  n
) )  |->  ( a  i^i  b ) )  =  ( a  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  (
m  u.  n ) ) ,  b  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  (
m  u.  n ) )  |->  ( a  i^i  b ) )
194193rnmpt2 6396 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ran  (
a  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n
) ) ,  b  e.  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  ( m  u.  n
) )  |->  ( a  i^i  b ) )  =  { x  |  E. a  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n ) ) E. b  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n ) ) x  =  ( a  i^i  b ) }
195192, 194syl6eleqr 2566 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  n  e.  om )
)  /\  ( c  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  (
m  u.  n ) )  /\  d  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  (
m  u.  n ) ) ) )  -> 
( c  i^i  d
)  e.  ran  (
a  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n
) ) ,  b  e.  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  ( m  u.  n
) )  |->  ( a  i^i  b ) ) )
196 fvex 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n
) )  e.  _V
197196uniex 6580 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  U. (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n ) )  e.  _V
198197pwex 4630 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ~P U. ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  (
m  u.  n ) )  e.  _V
199 elssuni 4275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( a  e.  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  ( m  u.  n
) )  ->  a  C_ 
U. ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  ( m  u.  n
) ) )
20069, 199syl5ss 3515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( a  e.  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  ( m  u.  n
) )  ->  (
a  i^i  b )  C_ 
U. ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  ( m  u.  n
) ) )
20174elpw 4016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( a  i^i  b )  e.  ~P U. (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n ) )  <-> 
( a  i^i  b
)  C_  U. (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n ) ) )
202200, 201sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( a  e.  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  ( m  u.  n
) )  ->  (
a  i^i  b )  e.  ~P U. ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n
) ) )
203202adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( a  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n
) )  /\  b  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  (
m  u.  n ) ) )  ->  (
a  i^i  b )  e.  ~P U. ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n
) ) )
204203rgen2a 2891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  A. a  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  (
m  u.  n ) ) A. b  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  (
m  u.  n ) ) ( a  i^i  b )  e.  ~P U. ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  (
m  u.  n ) )
205193fmpt2 6851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. a  e.  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  ( m  u.  n
) ) A. b  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  (
m  u.  n ) ) ( a  i^i  b )  e.  ~P U. ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  (
m  u.  n ) )  <->  ( a  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  (
m  u.  n ) ) ,  b  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  (
m  u.  n ) )  |->  ( a  i^i  b ) ) : ( ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  ( m  u.  n
) )  X.  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n ) ) ) --> ~P U. (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n ) ) )
206204, 205mpbi 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  e.  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  ( m  u.  n
) ) ,  b  e.  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  ( m  u.  n
) )  |->  ( a  i^i  b ) ) : ( ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n
) )  X.  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n ) ) ) --> ~P U. (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n ) )
207 frn 5737 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( a  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n
) ) ,  b  e.  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  ( m  u.  n
) )  |->  ( a  i^i  b ) ) : ( ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n
) )  X.  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n ) ) ) --> ~P U. (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n ) )  ->  ran  ( a  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  (
m  u.  n ) ) ,  b  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  (
m  u.  n ) )  |->  ( a  i^i  b ) )  C_  ~P U. ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  ( m  u.  n
) ) )
208206, 207ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ran  (
a  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n
) ) ,  b  e.  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  ( m  u.  n
) )  |->  ( a  i^i  b ) ) 
C_  ~P U. ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n
) )
209198, 208ssexi 4592 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ran  (
a  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n
) ) ,  b  e.  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  ( m  u.  n
) )  |->  ( a  i^i  b ) )  e.  _V
210 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ v
( m  u.  n
)
211 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ v ran  ( a  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n ) ) ,  b  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n ) ) 
|->  ( a  i^i  b
) )
212 mpt2eq12 6341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( v  =  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n
) )  /\  v  =  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  ( m  u.  n
) ) )  -> 
( a  e.  v ,  b  e.  v 
|->  ( a  i^i  b
) )  =  ( a  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n
) ) ,  b  e.  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  ( m  u.  n
) )  |->  ( a  i^i  b ) ) )
213212anidms 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  =  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  ( m  u.  n
) )  ->  (
a  e.  v ,  b  e.  v  |->  ( a  i^i  b ) )  =  ( a  e.  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  ( m  u.  n
) ) ,  b  e.  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  ( m  u.  n
) )  |->  ( a  i^i  b ) ) )
214213rneqd 5230 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  =  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  ( m  u.  n
) )  ->  ran  ( a  e.  v ,  b  e.  v 
|->  ( a  i^i  b
) )  =  ran  ( a  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n ) ) ,  b  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n ) ) 
|->  ( a  i^i  b
) ) )
21583, 210, 211, 98, 214frsucmpt 7103 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( m  u.  n
)  e.  om  /\  ran  ( a  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n ) ) ,  b  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n ) ) 
|->  ( a  i^i  b
) )  e.  _V )  ->  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  suc  ( m  u.  n
) )  =  ran  ( a  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n ) ) ,  b  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n ) ) 
|->  ( a  i^i  b
) ) )
216173, 209, 215sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  n  e.  om )
)  /\  ( c  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  (
m  u.  n ) )  /\  d  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  (
m  u.  n ) ) ) )  -> 
( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  suc  ( m  u.  n
) )  =  ran  ( a  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n ) ) ,  b  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n ) ) 
|->  ( a  i^i  b
) ) )
217195, 216eleqtrrd 2558 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  n  e.  om )
)  /\  ( c  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  (
m  u.  n ) )  /\  d  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  (
m  u.  n ) ) ) )  -> 
( c  i^i  d
)  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  suc  ( m  u.  n ) ) )
218177, 217sseldd 3505 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  n  e.  om )
)  /\  ( c  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  (
m  u.  n ) )  /\  d  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  (
m  u.  n ) ) ) )  -> 
( c  i^i  d
)  e.  U_ x  e.  om  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  x ) )
219 fniunfv 6147 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om )  Fn  om  ->  U_ x  e. 
om  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  x )  =  U. ran  ( rec ( R ,  A )  |`  om ) )
2203, 219ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U_ x  e.  om  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  x )  =  U. ran  ( rec ( R ,  A )  |`  om )
221218, 220syl6eleq 2565 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  n  e.  om )
)  /\  ( c  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  (
m  u.  n ) )  /\  d  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  (
m  u.  n ) ) ) )  -> 
( c  i^i  d
)  e.  U. ran  ( rec ( R ,  A )  |`  om )
)
222221ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  n  e.  om )
)  ->  ( (
c  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  ( m  u.  n
) )  /\  d  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  (
m  u.  n ) ) )  ->  (
c  i^i  d )  e.  U. ran  ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) ) )
223162, 172, 222syl2and 483 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  n  e.  om )
)  ->  ( (
c  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  m )  /\  d  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  n
) )  ->  (
c  i^i  d )  e.  U. ran  ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) ) )
224223rexlimdvva 2962 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  V  ->  ( E. m  e.  om  E. n  e.  om  (
c  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  m )  /\  d  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  n
) )  ->  (
c  i^i  d )  e.  U. ran  ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) ) )
225224imp 429 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  E. m  e.  om  E. n  e.  om  (
c  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  m )  /\  d  e.  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  n
) ) )  -> 
( c  i^i  d
)  e.  U. ran  ( rec ( R ,  A )  |`  om )
)
22620, 225sylan2br 476 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( c  e.  U. ran  ( rec ( R ,  A )  |`  om )  /\  d  e.  U. ran  ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) ) )  ->  ( c  i^i  d )  e.  U. ran  ( rec ( R ,  A )  |`  om ) )
227226ralrimivva 2885 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  A. c  e.  U. ran  ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) A. d  e.  U. ran  ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) ( c  i^i  d )  e.  U. ran  ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) )
228136simpld 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  V  /\  x  e.  om )  ->  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  x
)  C_  ( fi `  A ) )
229 fvex 5876 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( fi
`  A )  e. 
_V
230229elpw2 4611 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  x )  e.  ~P ( fi
`  A )  <->  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  x )  C_  ( fi `  A ) )
231228, 230sylibr 212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  V  /\  x  e.  om )  ->  ( ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) `  x
)  e.  ~P ( fi `  A ) )
232231ralrimiva 2878 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  V  ->  A. x  e.  om  ( ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) `  x )  e.  ~P ( fi `  A ) )
233 fnfvrnss 6049 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( rec ( R ,  A )  |`  om )  Fn  om  /\  A. x  e.  om  (
( rec ( R ,  A )  |`  om ) `  x )  e.  ~P ( fi
`  A ) )  ->  ran  ( rec ( R ,  A )  |`  om )  C_  ~P ( fi `  A ) )
2343, 232, 233sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  V  ->  ran  ( rec ( R ,  A )  |`  om )  C_ 
~P ( fi `  A ) )
235 sspwuni 4411 . . . . . . . . 9  |-  ( ran  ( rec ( R ,  A )  |`  om )  C_  ~P ( fi `  A )  <->  U. ran  ( rec ( R ,  A
)  |`  om )  C_  ( fi `  A ) )
236234, 235sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  V  ->  U. ran  ( rec ( R ,  A )  |`  om )  C_  ( fi `  A
) )
237 ssexg 4593 . . . . . . . 8  |-  ( ( U. ran  ( rec ( R ,  A
)  |`  om )  C_  ( fi `  A )  /\  ( fi `  A )  e.  _V )  ->  U. ran  ( rec ( R ,  A
)  |`  om )  e. 
_V )
238236, 229, 237sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  V  ->  U. ran  ( rec ( R ,  A )  |`  om )  e.  _V )
239 sseq2 3526 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  U. ran  ( rec ( R ,  A
)  |`  om )  -> 
( A  C_  x  <->  A 
C_  U. ran  ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) ) )
240 eleq2 2540 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  U. ran  ( rec ( R ,  A
)  |`  om )  -> 
( ( c  i^i  d )  e.  x  <->  ( c  i^i  d )  e.  U. ran  ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) ) )
241240raleqbi1dv 3066 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  U. ran  ( rec ( R ,  A
)  |`  om )  -> 
( A. d  e.  x  ( c  i^i  d )  e.  x  <->  A. d  e.  U. ran  ( rec ( R ,  A )  |`  om )
( c  i^i  d
)  e.  U. ran  ( rec ( R ,  A )  |`  om )
) )
242241raleqbi1dv 3066 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  U. ran  ( rec ( R ,  A
)  |`  om )  -> 
( A. c  e.  x  A. d  e.  x  ( c  i^i  d )  e.  x  <->  A. c  e.  U. ran  ( rec ( R ,  A )  |`  om ) A. d  e.  U. ran  ( rec ( R ,  A )  |`  om )
( c  i^i  d
)  e.  U. ran  ( rec ( R ,  A )  |`  om )
) )
243239, 242anbi12d 710 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  U. ran  ( rec ( R ,  A
)  |`  om )  -> 
( ( A  C_  x  /\  A. c  e.  x  A. d  e.  x  ( c  i^i  d )  e.  x
)  <->  ( A  C_  U.
ran  ( rec ( R ,  A )  |` 
om )  /\  A. c  e.  U. ran  ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) A. d  e.  U. ran  ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) ( c  i^i  d )  e.  U. ran  ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) ) ) )
244243elabg 3251 . . . . . . 7  |-  ( U. ran  ( rec ( R ,  A )  |`  om )  e.  _V  ->  ( U. ran  ( rec ( R ,  A
)  |`  om )  e. 
{ x  |  ( A  C_  x  /\  A. c  e.  x  A. d  e.  x  (
c  i^i  d )  e.  x ) }  <->  ( A  C_ 
U. ran  ( rec ( R ,  A )  |`  om )  /\  A. c  e.  U. ran  ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) A. d  e.  U. ran  ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) ( c  i^i  d )  e.  U. ran  ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) ) ) )
245238, 244syl 16 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  ( U. ran  ( rec ( R ,  A )  |` 
om )  e.  {
x  |  ( A 
C_  x  /\  A. c  e.  x  A. d  e.  x  (
c  i^i  d )  e.  x ) }  <->  ( A  C_ 
U. ran  ( rec ( R ,  A )  |`  om )  /\  A. c  e.  U. ran  ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) A. d  e.  U. ran  ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) ( c  i^i  d )  e.  U. ran  ( rec ( R ,  A
)  |`  om ) ) ) )
2469, 227, 245mpbir2and 920 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  U. ran  ( rec ( R ,  A )  |`  om )  e.  { x  |  ( A  C_  x  /\  A. c  e.  x  A. d  e.  x  (
c  i^i  d )  e.  x ) } )
247 intss1 4297 . . . . 5  |-  ( U. ran  ( rec ( R ,  A )  |`  om )  e.  { x  |  ( A  C_  x  /\  A. c  e.  x  A. d  e.  x  ( c  i^i  d )  e.  x
) }  ->  |^| { x  |  ( A  C_  x  /\  A. c  e.  x  A. d  e.  x  ( c  i^i  d )  e.  x
) }  C_  U. ran  ( rec ( R ,  A )  |`  om )
)
248246, 247syl 16 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  |^| { x  |  ( A  C_  x  /\  A. c  e.  x  A. d  e.  x  ( c  i^i  d )  e.  x
) }  C_  U. ran  ( rec ( R ,  A )  |`  om )
)
2491, 248eqsstrd 3538 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  ( fi `  A )  C_  U.
ran  ( rec ( R ,  A )  |` 
om ) )
250249, 236eqssd 3521 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  ( fi `  A )  = 
U. ran  ( rec ( R ,  A )  |`  om ) )
251 df-ima 5012 . . 3  |-  ( rec ( R ,  A
) " om )  =  ran  ( rec ( R ,  A )  |` 
om )
252251unieqi 4254 . 2  |-  U. ( rec ( R ,  A
) " om )  =  U. ran  ( rec ( R ,  A
)  |`  om )
253250, 252syl6eqr 2526 1  |-  ( A  e.  V  ->  ( fi `  A )  = 
U. ( rec ( R ,  A ) " om ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   {cab 2452   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113    u. cun 3474    i^i cin 3475    C_ wss 3476   (/)c0 3785   ~Pcpw 4010   {csn 4027   U.cuni 4245   |^|cint 4282   U_ciun 4325    |-> cmpt 4505   Ord word 4877   Oncon0 4878   suc csuc 4880    X. cxp 4997   ran crn 5000    |` cres 5001   "cima 5002    Fn wfn 5583   -->wf 5584   ` cfv 5588    |-> cmpt2 6286   omcom 6684   reccrdg 7075   ficfi 7870
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-en 7517  df-fin 7520  df-fi 7871
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