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Theorem dffi2 7694
Description: The set of finite intersections is the smallest set that contains  A and is closed under pairwise intersection. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
dffi2  |-  ( A  e.  V  ->  ( fi `  A )  = 
|^| { z  |  ( A  C_  z  /\  A. x  e.  z  A. y  e.  z  (
x  i^i  y )  e.  z ) } )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    y, V, z
Allowed substitution hint:    V( x)

Proof of Theorem dffi2
Dummy variable  t is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3002 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  A  e.  _V )
2 vex 2996 . . . . . . . . . 10  |-  t  e. 
_V
3 elfi 7684 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( t  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( t  e.  ( fi `  A )  <->  E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
t  =  |^| x
) )
42, 3mpan 670 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  _V  ->  (
t  e.  ( fi
`  A )  <->  E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) t  =  |^| x ) )
54biimpd 207 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  _V  ->  (
t  e.  ( fi
`  A )  ->  E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
t  =  |^| x
) )
6 df-rex 2742 . . . . . . . . 9  |-  ( E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
t  =  |^| x  <->  E. x ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  t  = 
|^| x ) )
7 fiint 7609 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  z  A. y  e.  z  (
x  i^i  y )  e.  z  <->  A. x ( ( x  C_  z  /\  x  =/=  (/)  /\  x  e. 
Fin )  ->  |^| x  e.  z ) )
8 inss1 3591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ~P A  i^i  Fin )  C_ 
~P A
98sseli 3373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  x  e.  ~P A )
109elpwid 3891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  x  C_  A )
11103ad2ant2 1010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  C_  z  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  t  =  |^| x )  ->  x  C_  A
)
12 simp1 988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  C_  z  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  t  =  |^| x )  ->  A  C_  z
)
1311, 12sstrd 3387 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  C_  z  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  t  =  |^| x )  ->  x  C_  z
)
14 eqvisset 3001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( t  =  |^| x  ->  |^| x  e.  _V )
15 intex 4469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =/=  (/)  <->  |^| x  e.  _V )
1614, 15sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( t  =  |^| x  ->  x  =/=  (/) )
17163ad2ant3 1011 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  C_  z  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  t  =  |^| x )  ->  x  =/=  (/) )
18 inss2 3592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ~P A  i^i  Fin )  C_ 
Fin
1918sseli 3373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  x  e.  Fin )
20193ad2ant2 1010 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  C_  z  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  t  =  |^| x )  ->  x  e.  Fin )
2113, 17, 203jca 1168 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  C_  z  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  t  =  |^| x )  ->  ( x  C_  z  /\  x  =/=  (/)  /\  x  e.  Fin ) )
22213expib 1190 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A 
C_  z  ->  (
( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  t  =  |^| x )  ->  (
x  C_  z  /\  x  =/=  (/)  /\  x  e. 
Fin ) ) )
23 pm2.27 39 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  C_  z  /\  x  =/=  (/)  /\  x  e. 
Fin )  ->  (
( ( x  C_  z  /\  x  =/=  (/)  /\  x  e.  Fin )  ->  |^| x  e.  z )  ->  |^| x  e.  z ) )
2422, 23syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A 
C_  z  ->  (
( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  t  =  |^| x )  ->  (
( ( x  C_  z  /\  x  =/=  (/)  /\  x  e.  Fin )  ->  |^| x  e.  z )  ->  |^| x  e.  z ) ) )
25 eleq1 2503 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( t  =  |^| x  -> 
( t  e.  z  <->  |^| x  e.  z
) )
2625biimprd 223 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( t  =  |^| x  -> 
( |^| x  e.  z  ->  t  e.  z ) )
2726adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  t  =  |^| x )  ->  ( |^| x  e.  z  ->  t  e.  z ) )
2827a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A 
C_  z  ->  (
( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  t  =  |^| x )  ->  ( |^| x  e.  z  ->  t  e.  z ) ) )
2924, 28syldd 66 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A 
C_  z  ->  (
( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  t  =  |^| x )  ->  (
( ( x  C_  z  /\  x  =/=  (/)  /\  x  e.  Fin )  ->  |^| x  e.  z )  ->  t  e.  z ) ) )
3029com23 78 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A 
C_  z  ->  (
( ( x  C_  z  /\  x  =/=  (/)  /\  x  e.  Fin )  ->  |^| x  e.  z )  ->  (
( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  t  =  |^| x )  ->  t  e.  z ) ) )
3130alimdv 1675 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A 
C_  z  ->  ( A. x ( ( x 
C_  z  /\  x  =/=  (/)  /\  x  e. 
Fin )  ->  |^| x  e.  z )  ->  A. x
( ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  t  = 
|^| x )  -> 
t  e.  z ) ) )
327, 31syl5bi 217 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
C_  z  ->  ( A. x  e.  z  A. y  e.  z 
( x  i^i  y
)  e.  z  ->  A. x ( ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  t  =  |^| x )  -> 
t  e.  z ) ) )
3332imp 429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  C_  z  /\  A. x  e.  z  A. y  e.  z  (
x  i^i  y )  e.  z )  ->  A. x
( ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  t  = 
|^| x )  -> 
t  e.  z ) )
34 19.23v 1910 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x ( ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  t  =  |^| x )  -> 
t  e.  z )  <-> 
( E. x ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  t  =  |^| x )  ->  t  e.  z ) )
3533, 34sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  z  /\  A. x  e.  z  A. y  e.  z  (
x  i^i  y )  e.  z )  ->  ( E. x ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  t  = 
|^| x )  -> 
t  e.  z ) )
366, 35syl5bi 217 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  z  /\  A. x  e.  z  A. y  e.  z  (
x  i^i  y )  e.  z )  ->  ( E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
t  =  |^| x  ->  t  e.  z ) )
375, 36sylan9 657 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  _V  /\  ( A  C_  z  /\  A. x  e.  z  A. y  e.  z  (
x  i^i  y )  e.  z ) )  -> 
( t  e.  ( fi `  A )  ->  t  e.  z ) )
3837ssrdv 3383 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  _V  /\  ( A  C_  z  /\  A. x  e.  z  A. y  e.  z  (
x  i^i  y )  e.  z ) )  -> 
( fi `  A
)  C_  z )
3938ex 434 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  ->  (
( A  C_  z  /\  A. x  e.  z 
A. y  e.  z  ( x  i^i  y
)  e.  z )  ->  ( fi `  A )  C_  z
) )
4039alrimiv 1685 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  A. z
( ( A  C_  z  /\  A. x  e.  z  A. y  e.  z  ( x  i^i  y )  e.  z )  ->  ( fi `  A )  C_  z
) )
41 ssintab 4166 . . . 4  |-  ( ( fi `  A ) 
C_  |^| { z  |  ( A  C_  z  /\  A. x  e.  z 
A. y  e.  z  ( x  i^i  y
)  e.  z ) }  <->  A. z ( ( A  C_  z  /\  A. x  e.  z  A. y  e.  z  (
x  i^i  y )  e.  z )  ->  ( fi `  A )  C_  z ) )
4240, 41sylibr 212 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  ( fi `  A )  C_  |^|
{ z  |  ( A  C_  z  /\  A. x  e.  z  A. y  e.  z  (
x  i^i  y )  e.  z ) } )
43 ssfii 7690 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  ->  A  C_  ( fi `  A
) )
44 fiin 7693 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( fi
`  A )  /\  y  e.  ( fi `  A ) )  -> 
( x  i^i  y
)  e.  ( fi
`  A ) )
4544rgen2a 2803 . . . . . 6  |-  A. x  e.  ( fi `  A
) A. y  e.  ( fi `  A
) ( x  i^i  y )  e.  ( fi `  A )
4645a1i 11 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  ->  A. x  e.  ( fi `  A
) A. y  e.  ( fi `  A
) ( x  i^i  y )  e.  ( fi `  A ) )
47 fvex 5722 . . . . . 6  |-  ( fi
`  A )  e. 
_V
48 sseq2 3399 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( fi `  A )  ->  ( A  C_  z  <->  A  C_  ( fi `  A ) ) )
49 eleq2 2504 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( fi `  A )  ->  (
( x  i^i  y
)  e.  z  <->  ( x  i^i  y )  e.  ( fi `  A ) ) )
5049raleqbi1dv 2946 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( fi `  A )  ->  ( A. y  e.  z 
( x  i^i  y
)  e.  z  <->  A. y  e.  ( fi `  A
) ( x  i^i  y )  e.  ( fi `  A ) ) )
5150raleqbi1dv 2946 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( fi `  A )  ->  ( A. x  e.  z  A. y  e.  z 
( x  i^i  y
)  e.  z  <->  A. x  e.  ( fi `  A
) A. y  e.  ( fi `  A
) ( x  i^i  y )  e.  ( fi `  A ) ) )
5248, 51anbi12d 710 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( fi `  A )  ->  (
( A  C_  z  /\  A. x  e.  z 
A. y  e.  z  ( x  i^i  y
)  e.  z )  <-> 
( A  C_  ( fi `  A )  /\  A. x  e.  ( fi
`  A ) A. y  e.  ( fi `  A ) ( x  i^i  y )  e.  ( fi `  A
) ) ) )
5347, 52elab 3127 . . . . 5  |-  ( ( fi `  A )  e.  { z  |  ( A  C_  z  /\  A. x  e.  z 
A. y  e.  z  ( x  i^i  y
)  e.  z ) }  <->  ( A  C_  ( fi `  A )  /\  A. x  e.  ( fi `  A
) A. y  e.  ( fi `  A
) ( x  i^i  y )  e.  ( fi `  A ) ) )
5443, 46, 53sylanbrc 664 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  ( fi `  A )  e. 
{ z  |  ( A  C_  z  /\  A. x  e.  z  A. y  e.  z  (
x  i^i  y )  e.  z ) } )
55 intss1 4164 . . . 4  |-  ( ( fi `  A )  e.  { z  |  ( A  C_  z  /\  A. x  e.  z 
A. y  e.  z  ( x  i^i  y
)  e.  z ) }  ->  |^| { z  |  ( A  C_  z  /\  A. x  e.  z  A. y  e.  z  ( x  i^i  y )  e.  z ) }  C_  ( fi `  A ) )
5654, 55syl 16 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  |^| { z  |  ( A  C_  z  /\  A. x  e.  z  A. y  e.  z  ( x  i^i  y )  e.  z ) }  C_  ( fi `  A ) )
5742, 56eqssd 3394 . 2  |-  ( A  e.  _V  ->  ( fi `  A )  = 
|^| { z  |  ( A  C_  z  /\  A. x  e.  z  A. y  e.  z  (
x  i^i  y )  e.  z ) } )
581, 57syl 16 1  |-  ( A  e.  V  ->  ( fi `  A )  = 
|^| { z  |  ( A  C_  z  /\  A. x  e.  z  A. y  e.  z  (
x  i^i  y )  e.  z ) } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965   A.wal 1367    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756   {cab 2429    =/= wne 2620   A.wral 2736   E.wrex 2737   _Vcvv 2993    i^i cin 3348    C_ wss 3349   (/)c0 3658   ~Pcpw 3881   |^|cint 4149   ` cfv 5439   Fincfn 7331   ficfi 7681
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-1o 6941  df-oadd 6945  df-er 7122  df-en 7332  df-fin 7335  df-fi 7682
This theorem is referenced by:  fiss  7695  inficl  7696  dffi3  7702  fbssfi  19432
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