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Theorem dffi2 7895
Description: The set of finite intersections is the smallest set that contains  A and is closed under pairwise intersection. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
dffi2  |-  ( A  e.  V  ->  ( fi `  A )  = 
|^| { z  |  ( A  C_  z  /\  A. x  e.  z  A. y  e.  z  (
x  i^i  y )  e.  z ) } )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    y, V, z
Allowed substitution hint:    V( x)

Proof of Theorem dffi2
Dummy variable  t is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3127 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  A  e.  _V )
2 vex 3121 . . . . . . . . . 10  |-  t  e. 
_V
3 elfi 7885 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( t  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( t  e.  ( fi `  A )  <->  E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
t  =  |^| x
) )
42, 3mpan 670 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  _V  ->  (
t  e.  ( fi
`  A )  <->  E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) t  =  |^| x ) )
54biimpd 207 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  _V  ->  (
t  e.  ( fi
`  A )  ->  E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
t  =  |^| x
) )
6 df-rex 2823 . . . . . . . . 9  |-  ( E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
t  =  |^| x  <->  E. x ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  t  = 
|^| x ) )
7 fiint 7809 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  z  A. y  e.  z  (
x  i^i  y )  e.  z  <->  A. x ( ( x  C_  z  /\  x  =/=  (/)  /\  x  e. 
Fin )  ->  |^| x  e.  z ) )
8 inss1 3723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ~P A  i^i  Fin )  C_ 
~P A
98sseli 3505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  x  e.  ~P A )
109elpwid 4026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  x  C_  A )
11103ad2ant2 1018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  C_  z  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  t  =  |^| x )  ->  x  C_  A
)
12 simp1 996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  C_  z  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  t  =  |^| x )  ->  A  C_  z
)
1311, 12sstrd 3519 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  C_  z  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  t  =  |^| x )  ->  x  C_  z
)
14 eqvisset 3126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( t  =  |^| x  ->  |^| x  e.  _V )
15 intex 4609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =/=  (/)  <->  |^| x  e.  _V )
1614, 15sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( t  =  |^| x  ->  x  =/=  (/) )
17163ad2ant3 1019 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  C_  z  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  t  =  |^| x )  ->  x  =/=  (/) )
18 inss2 3724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ~P A  i^i  Fin )  C_ 
Fin
1918sseli 3505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  x  e.  Fin )
20193ad2ant2 1018 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  C_  z  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  t  =  |^| x )  ->  x  e.  Fin )
2113, 17, 203jca 1176 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  C_  z  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  t  =  |^| x )  ->  ( x  C_  z  /\  x  =/=  (/)  /\  x  e.  Fin ) )
22213expib 1199 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A 
C_  z  ->  (
( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  t  =  |^| x )  ->  (
x  C_  z  /\  x  =/=  (/)  /\  x  e. 
Fin ) ) )
23 pm2.27 39 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  C_  z  /\  x  =/=  (/)  /\  x  e. 
Fin )  ->  (
( ( x  C_  z  /\  x  =/=  (/)  /\  x  e.  Fin )  ->  |^| x  e.  z )  ->  |^| x  e.  z ) )
2422, 23syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A 
C_  z  ->  (
( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  t  =  |^| x )  ->  (
( ( x  C_  z  /\  x  =/=  (/)  /\  x  e.  Fin )  ->  |^| x  e.  z )  ->  |^| x  e.  z ) ) )
25 eleq1 2539 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( t  =  |^| x  -> 
( t  e.  z  <->  |^| x  e.  z
) )
2625biimprd 223 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( t  =  |^| x  -> 
( |^| x  e.  z  ->  t  e.  z ) )
2726adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  t  =  |^| x )  ->  ( |^| x  e.  z  ->  t  e.  z ) )
2827a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A 
C_  z  ->  (
( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  t  =  |^| x )  ->  ( |^| x  e.  z  ->  t  e.  z ) ) )
2924, 28syldd 66 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A 
C_  z  ->  (
( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  t  =  |^| x )  ->  (
( ( x  C_  z  /\  x  =/=  (/)  /\  x  e.  Fin )  ->  |^| x  e.  z )  ->  t  e.  z ) ) )
3029com23 78 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A 
C_  z  ->  (
( ( x  C_  z  /\  x  =/=  (/)  /\  x  e.  Fin )  ->  |^| x  e.  z )  ->  (
( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  t  =  |^| x )  ->  t  e.  z ) ) )
3130alimdv 1685 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A 
C_  z  ->  ( A. x ( ( x 
C_  z  /\  x  =/=  (/)  /\  x  e. 
Fin )  ->  |^| x  e.  z )  ->  A. x
( ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  t  = 
|^| x )  -> 
t  e.  z ) ) )
327, 31syl5bi 217 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
C_  z  ->  ( A. x  e.  z  A. y  e.  z 
( x  i^i  y
)  e.  z  ->  A. x ( ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  t  =  |^| x )  -> 
t  e.  z ) ) )
3332imp 429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  C_  z  /\  A. x  e.  z  A. y  e.  z  (
x  i^i  y )  e.  z )  ->  A. x
( ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  t  = 
|^| x )  -> 
t  e.  z ) )
34 19.23v 1932 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x ( ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  t  =  |^| x )  -> 
t  e.  z )  <-> 
( E. x ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  t  =  |^| x )  ->  t  e.  z ) )
3533, 34sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  z  /\  A. x  e.  z  A. y  e.  z  (
x  i^i  y )  e.  z )  ->  ( E. x ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  t  = 
|^| x )  -> 
t  e.  z ) )
366, 35syl5bi 217 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  z  /\  A. x  e.  z  A. y  e.  z  (
x  i^i  y )  e.  z )  ->  ( E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
t  =  |^| x  ->  t  e.  z ) )
375, 36sylan9 657 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  _V  /\  ( A  C_  z  /\  A. x  e.  z  A. y  e.  z  (
x  i^i  y )  e.  z ) )  -> 
( t  e.  ( fi `  A )  ->  t  e.  z ) )
3837ssrdv 3515 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  _V  /\  ( A  C_  z  /\  A. x  e.  z  A. y  e.  z  (
x  i^i  y )  e.  z ) )  -> 
( fi `  A
)  C_  z )
3938ex 434 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  ->  (
( A  C_  z  /\  A. x  e.  z 
A. y  e.  z  ( x  i^i  y
)  e.  z )  ->  ( fi `  A )  C_  z
) )
4039alrimiv 1695 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  A. z
( ( A  C_  z  /\  A. x  e.  z  A. y  e.  z  ( x  i^i  y )  e.  z )  ->  ( fi `  A )  C_  z
) )
41 ssintab 4305 . . . 4  |-  ( ( fi `  A ) 
C_  |^| { z  |  ( A  C_  z  /\  A. x  e.  z 
A. y  e.  z  ( x  i^i  y
)  e.  z ) }  <->  A. z ( ( A  C_  z  /\  A. x  e.  z  A. y  e.  z  (
x  i^i  y )  e.  z )  ->  ( fi `  A )  C_  z ) )
4240, 41sylibr 212 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  ( fi `  A )  C_  |^|
{ z  |  ( A  C_  z  /\  A. x  e.  z  A. y  e.  z  (
x  i^i  y )  e.  z ) } )
43 ssfii 7891 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  ->  A  C_  ( fi `  A
) )
44 fiin 7894 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( fi
`  A )  /\  y  e.  ( fi `  A ) )  -> 
( x  i^i  y
)  e.  ( fi
`  A ) )
4544rgen2a 2894 . . . . . 6  |-  A. x  e.  ( fi `  A
) A. y  e.  ( fi `  A
) ( x  i^i  y )  e.  ( fi `  A )
4645a1i 11 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  ->  A. x  e.  ( fi `  A
) A. y  e.  ( fi `  A
) ( x  i^i  y )  e.  ( fi `  A ) )
47 fvex 5882 . . . . . 6  |-  ( fi
`  A )  e. 
_V
48 sseq2 3531 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( fi `  A )  ->  ( A  C_  z  <->  A  C_  ( fi `  A ) ) )
49 eleq2 2540 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( fi `  A )  ->  (
( x  i^i  y
)  e.  z  <->  ( x  i^i  y )  e.  ( fi `  A ) ) )
5049raleqbi1dv 3071 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( fi `  A )  ->  ( A. y  e.  z 
( x  i^i  y
)  e.  z  <->  A. y  e.  ( fi `  A
) ( x  i^i  y )  e.  ( fi `  A ) ) )
5150raleqbi1dv 3071 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( fi `  A )  ->  ( A. x  e.  z  A. y  e.  z 
( x  i^i  y
)  e.  z  <->  A. x  e.  ( fi `  A
) A. y  e.  ( fi `  A
) ( x  i^i  y )  e.  ( fi `  A ) ) )
5248, 51anbi12d 710 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( fi `  A )  ->  (
( A  C_  z  /\  A. x  e.  z 
A. y  e.  z  ( x  i^i  y
)  e.  z )  <-> 
( A  C_  ( fi `  A )  /\  A. x  e.  ( fi
`  A ) A. y  e.  ( fi `  A ) ( x  i^i  y )  e.  ( fi `  A
) ) ) )
5347, 52elab 3255 . . . . 5  |-  ( ( fi `  A )  e.  { z  |  ( A  C_  z  /\  A. x  e.  z 
A. y  e.  z  ( x  i^i  y
)  e.  z ) }  <->  ( A  C_  ( fi `  A )  /\  A. x  e.  ( fi `  A
) A. y  e.  ( fi `  A
) ( x  i^i  y )  e.  ( fi `  A ) ) )
5443, 46, 53sylanbrc 664 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  ( fi `  A )  e. 
{ z  |  ( A  C_  z  /\  A. x  e.  z  A. y  e.  z  (
x  i^i  y )  e.  z ) } )
55 intss1 4303 . . . 4  |-  ( ( fi `  A )  e.  { z  |  ( A  C_  z  /\  A. x  e.  z 
A. y  e.  z  ( x  i^i  y
)  e.  z ) }  ->  |^| { z  |  ( A  C_  z  /\  A. x  e.  z  A. y  e.  z  ( x  i^i  y )  e.  z ) }  C_  ( fi `  A ) )
5654, 55syl 16 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  |^| { z  |  ( A  C_  z  /\  A. x  e.  z  A. y  e.  z  ( x  i^i  y )  e.  z ) }  C_  ( fi `  A ) )
5742, 56eqssd 3526 . 2  |-  ( A  e.  _V  ->  ( fi `  A )  = 
|^| { z  |  ( A  C_  z  /\  A. x  e.  z  A. y  e.  z  (
x  i^i  y )  e.  z ) } )
581, 57syl 16 1  |-  ( A  e.  V  ->  ( fi `  A )  = 
|^| { z  |  ( A  C_  z  /\  A. x  e.  z  A. y  e.  z  (
x  i^i  y )  e.  z ) } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973   A.wal 1377    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767   {cab 2452    =/= wne 2662   A.wral 2817   E.wrex 2818   _Vcvv 3118    i^i cin 3480    C_ wss 3481   (/)c0 3790   ~Pcpw 4016   |^|cint 4288   ` cfv 5594   Fincfn 7528   ficfi 7882
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-en 7529  df-fin 7532  df-fi 7883
This theorem is referenced by:  fiss  7896  inficl  7897  dffi3  7903  fbssfi  20204
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