Theorem dffi2 7963

Description: The set of finite intersections is the smallest set that contains A and is closed under pairwise intersection. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
dffi2	|- ( A e. V -> ( fi ` A ) = |^| { z | ( A C_ z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) } )

Distinct variable groups:   x, y, z, A   y, V, z

Allowed substitution hint:   V( x)

Proof of Theorem dffi2

Dummy variable t is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3066	. 2 |- ( A e. V -> A e. _V )
2		vex 3060	. . . . . . . . . 10 |- t e. _V
3		elfi 7953	. . . . . . . . . 10 |- ( ( t e. _V /\ A e. _V ) -> ( t e. ( fi ` A ) <-> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) t = |^| x ) )
4	2, 3	mpan 681	. . . . . . . . 9 |- ( A e. _V -> ( t e. ( fi ` A ) <-> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) t = |^| x ) )
5	4	biimpd 212	. . . . . . . 8 |- ( A e. _V -> ( t e. ( fi ` A ) -> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) t = |^| x ) )
6		df-rex 2755	. . . . . . . . 9 |- ( E. x e. ( ~P A i^i Fin ) t = |^| x <-> E. x ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ t = |^| x ) )
7		fiint 7874	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z <-> A. x ( ( x C_ z /\ x =/= (/) /\ x e. Fin ) -> |^| x e. z ) )
8		inss1 3664	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ~P A i^i Fin ) C_ ~P A
9	8	sseli 3440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. ( ~P A i^i Fin ) -> x e. ~P A )
10	9	elpwid 3973	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. ( ~P A i^i Fin ) -> x C_ A )
11	10	3ad2ant2 1036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A C_ z /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ t = |^| x ) -> x C_ A )
12		simp1 1014	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A C_ z /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ t = |^| x ) -> A C_ z )
13	11, 12	sstrd 3454	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A C_ z /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ t = |^| x ) -> x C_ z )
14		eqvisset 3065	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( t = |^| x -> |^| x e. _V )
15		intex 4573	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x =/= (/) <-> |^| x e. _V )
16	14, 15	sylibr 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( t = |^| x -> x =/= (/) )
17	16	3ad2ant3 1037	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A C_ z /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ t = |^| x ) -> x =/= (/) )
18		inss2 3665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ~P A i^i Fin ) C_ Fin
19	18	sseli 3440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. ( ~P A i^i Fin ) -> x e. Fin )
20	19	3ad2ant2 1036	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A C_ z /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ t = |^| x ) -> x e. Fin )
21	13, 17, 20	3jca 1194	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A C_ z /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ t = |^| x ) -> ( x C_ z /\ x =/= (/) /\ x e. Fin ) )
22	21	3expib 1218	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A C_ z -> ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ t = |^| x ) -> ( x C_ z /\ x =/= (/) /\ x e. Fin ) ) )
23		pm2.27 40	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x C_ z /\ x =/= (/) /\ x e. Fin ) -> ( ( ( x C_ z /\ x =/= (/) /\ x e. Fin ) -> |^| x e. z ) -> |^| x e. z ) )
24	22, 23	syl6 34	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A C_ z -> ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ t = |^| x ) -> ( ( ( x C_ z /\ x =/= (/) /\ x e. Fin ) -> |^| x e. z ) -> |^| x e. z ) ) )
25		eleq1 2528	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( t = |^| x -> ( t e. z <-> |^| x e. z ) )
26	25	biimprd 231	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( t = |^| x -> ( |^| x e. z -> t e. z ) )
27	26	adantl 472	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ t = |^| x ) -> ( |^| x e. z -> t e. z ) )
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A C_ z -> ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ t = |^| x ) -> ( |^| x e. z -> t e. z ) ) )
29	24, 28	syldd 68	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A C_ z -> ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ t = |^| x ) -> ( ( ( x C_ z /\ x =/= (/) /\ x e. Fin ) -> |^| x e. z ) -> t e. z ) ) )
30	29	com23 81	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A C_ z -> ( ( ( x C_ z /\ x =/= (/) /\ x e. Fin ) -> |^| x e. z ) -> ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ t = |^| x ) -> t e. z ) ) )
31	30	alimdv 1774	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A C_ z -> ( A. x ( ( x C_ z /\ x =/= (/) /\ x e. Fin ) -> |^| x e. z ) -> A. x ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ t = |^| x ) -> t e. z ) ) )
32	7, 31	syl5bi 225	. . . . . . . . . . 11 |- ( A C_ z -> ( A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z -> A. x ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ t = |^| x ) -> t e. z ) ) )
33	32	imp 435	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A C_ z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) -> A. x ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ t = |^| x ) -> t e. z ) )
34		19.23v 1829	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ t = |^| x ) -> t e. z ) <-> ( E. x ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ t = |^| x ) -> t e. z ) )
35	33, 34	sylib 201	. . . . . . . . 9 |- ( ( A C_ z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) -> ( E. x ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ t = |^| x ) -> t e. z ) )
36	6, 35	syl5bi 225	. . . . . . . 8 |- ( ( A C_ z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) -> ( E. x e. ( ~P A i^i Fin ) t = |^| x -> t e. z ) )
37	5, 36	sylan9 667	. . . . . . 7 |- ( ( A e. _V /\ ( A C_ z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) ) -> ( t e. ( fi ` A ) -> t e. z ) )
38	37	ssrdv 3450	. . . . . 6 |- ( ( A e. _V /\ ( A C_ z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) ) -> ( fi ` A ) C_ z )
39	38	ex 440	. . . . 5 |- ( A e. _V -> ( ( A C_ z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) -> ( fi ` A ) C_ z ) )
40	39	alrimiv 1784	. . . 4 |- ( A e. _V -> A. z ( ( A C_ z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) -> ( fi ` A ) C_ z ) )
41		ssintab 4265	. . . 4 |- ( ( fi ` A ) C_ |^| { z | ( A C_ z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) } <-> A. z ( ( A C_ z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) -> ( fi ` A ) C_ z ) )
42	40, 41	sylibr 217	. . 3 |- ( A e. _V -> ( fi ` A ) C_ |^| { z | ( A C_ z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) } )
43		ssfii 7959	. . . . 5 |- ( A e. _V -> A C_ ( fi ` A ) )
44		fiin 7962	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( fi ` A ) /\ y e. ( fi ` A ) ) -> ( x i^i y ) e. ( fi ` A ) )
45	44	rgen2a 2827	. . . . . 6 |- A. x e. ( fi ` A ) A. y e. ( fi ` A ) ( x i^i y ) e. ( fi ` A )
46	45	a1i 11	. . . . 5 |- ( A e. _V -> A. x e. ( fi ` A ) A. y e. ( fi ` A ) ( x i^i y ) e. ( fi ` A ) )
47		fvex 5898	. . . . . 6 |- ( fi ` A ) e. _V
48		sseq2 3466	. . . . . . 7 |- ( z = ( fi ` A ) -> ( A C_ z <-> A C_ ( fi ` A ) ) )
49		eleq2 2529	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( fi ` A ) -> ( ( x i^i y ) e. z <-> ( x i^i y ) e. ( fi ` A ) ) )
50	49	raleqbi1dv 3007	. . . . . . . 8 |- ( z = ( fi ` A ) -> ( A. y e. z ( x i^i y ) e. z <-> A. y e. ( fi ` A ) ( x i^i y ) e. ( fi ` A ) ) )
51	50	raleqbi1dv 3007	. . . . . . 7 |- ( z = ( fi ` A ) -> ( A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z <-> A. x e. ( fi ` A ) A. y e. ( fi ` A ) ( x i^i y ) e. ( fi ` A ) ) )
52	48, 51	anbi12d 722	. . . . . 6 |- ( z = ( fi ` A ) -> ( ( A C_ z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) <-> ( A C_ ( fi ` A ) /\ A. x e. ( fi ` A ) A. y e. ( fi ` A ) ( x i^i y ) e. ( fi ` A ) ) ) )
53	47, 52	elab 3197	. . . . 5 |- ( ( fi ` A ) e. { z | ( A C_ z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) } <-> ( A C_ ( fi ` A ) /\ A. x e. ( fi ` A ) A. y e. ( fi ` A ) ( x i^i y ) e. ( fi ` A ) ) )
54	43, 46, 53	sylanbrc 675	. . . 4 |- ( A e. _V -> ( fi ` A ) e. { z | ( A C_ z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) } )
55		intss1 4263	. . . 4 |- ( ( fi ` A ) e. { z | ( A C_ z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) } -> |^| { z | ( A C_ z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) } C_ ( fi ` A ) )
56	54, 55	syl 17	. . 3 |- ( A e. _V -> |^| { z | ( A C_ z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) } C_ ( fi ` A ) )
57	42, 56	eqssd 3461	. 2 |- ( A e. _V -> ( fi ` A ) = |^| { z | ( A C_ z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) } )
58	1, 57	syl 17	1 |- ( A e. V -> ( fi ` A ) = |^| { z | ( A C_ z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) } )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 375   /\ w3a 991   A.wal 1453   = wceq 1455   E.wex 1674   e. wcel 1898   {cab 2448   =/= wne 2633   A.wral 2749   E.wrex 2750   _Vcvv 3057   i^i cin 3415   C_ wss 3416   (/)c0 3743   ~Pcpw 3963   |^|cint 4248   ` cfv 5601   Fincfn 7595   ficfi 7950

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-ov 6318  df-oprab 6319  df-mpt2 6320  df-om 6720  df-wrecs 7054  df-recs 7116  df-rdg 7154  df-1o 7208  df-oadd 7212  df-er 7389  df-en 7596  df-fin 7599  df-fi 7951

This theorem is referenced by:  fiss  7964  inficl  7965  dffi3  7971  fbssfi  20901