Theorem dffi2 7901

Description: The set of finite intersections is the smallest set that contains A and is closed under pairwise intersection. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
dffi2	|- ( A e. V -> ( fi ` A ) = |^| { z | ( A C_ z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) } )

Distinct variable groups:   x, y, z, A   y, V, z

Allowed substitution hint:   V( x)

Proof of Theorem dffi2

Dummy variable t is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3118	. 2 |- ( A e. V -> A e. _V )
2		vex 3112	. . . . . . . . . 10 |- t e. _V
3		elfi 7891	. . . . . . . . . 10 |- ( ( t e. _V /\ A e. _V ) -> ( t e. ( fi ` A ) <-> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) t = |^| x ) )
4	2, 3	mpan 670	. . . . . . . . 9 |- ( A e. _V -> ( t e. ( fi ` A ) <-> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) t = |^| x ) )
5	4	biimpd 207	. . . . . . . 8 |- ( A e. _V -> ( t e. ( fi ` A ) -> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) t = |^| x ) )
6		df-rex 2813	. . . . . . . . 9 |- ( E. x e. ( ~P A i^i Fin ) t = |^| x <-> E. x ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ t = |^| x ) )
7		fiint 7815	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z <-> A. x ( ( x C_ z /\ x =/= (/) /\ x e. Fin ) -> |^| x e. z ) )
8		inss1 3714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ~P A i^i Fin ) C_ ~P A
9	8	sseli 3495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. ( ~P A i^i Fin ) -> x e. ~P A )
10	9	elpwid 4025	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. ( ~P A i^i Fin ) -> x C_ A )
11	10	3ad2ant2 1018	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A C_ z /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ t = |^| x ) -> x C_ A )
12		simp1 996	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A C_ z /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ t = |^| x ) -> A C_ z )
13	11, 12	sstrd 3509	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A C_ z /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ t = |^| x ) -> x C_ z )
14		eqvisset 3117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( t = |^| x -> |^| x e. _V )
15		intex 4612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x =/= (/) <-> |^| x e. _V )
16	14, 15	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( t = |^| x -> x =/= (/) )
17	16	3ad2ant3 1019	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A C_ z /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ t = |^| x ) -> x =/= (/) )
18		inss2 3715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ~P A i^i Fin ) C_ Fin
19	18	sseli 3495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. ( ~P A i^i Fin ) -> x e. Fin )
20	19	3ad2ant2 1018	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A C_ z /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ t = |^| x ) -> x e. Fin )
21	13, 17, 20	3jca 1176	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A C_ z /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ t = |^| x ) -> ( x C_ z /\ x =/= (/) /\ x e. Fin ) )
22	21	3expib 1199	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A C_ z -> ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ t = |^| x ) -> ( x C_ z /\ x =/= (/) /\ x e. Fin ) ) )
23		pm2.27 39	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x C_ z /\ x =/= (/) /\ x e. Fin ) -> ( ( ( x C_ z /\ x =/= (/) /\ x e. Fin ) -> |^| x e. z ) -> |^| x e. z ) )
24	22, 23	syl6 33	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A C_ z -> ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ t = |^| x ) -> ( ( ( x C_ z /\ x =/= (/) /\ x e. Fin ) -> |^| x e. z ) -> |^| x e. z ) ) )
25		eleq1 2529	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( t = |^| x -> ( t e. z <-> |^| x e. z ) )
26	25	biimprd 223	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( t = |^| x -> ( |^| x e. z -> t e. z ) )
27	26	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ t = |^| x ) -> ( |^| x e. z -> t e. z ) )
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A C_ z -> ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ t = |^| x ) -> ( |^| x e. z -> t e. z ) ) )
29	24, 28	syldd 66	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A C_ z -> ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ t = |^| x ) -> ( ( ( x C_ z /\ x =/= (/) /\ x e. Fin ) -> |^| x e. z ) -> t e. z ) ) )
30	29	com23 78	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A C_ z -> ( ( ( x C_ z /\ x =/= (/) /\ x e. Fin ) -> |^| x e. z ) -> ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ t = |^| x ) -> t e. z ) ) )
31	30	alimdv 1710	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A C_ z -> ( A. x ( ( x C_ z /\ x =/= (/) /\ x e. Fin ) -> |^| x e. z ) -> A. x ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ t = |^| x ) -> t e. z ) ) )
32	7, 31	syl5bi 217	. . . . . . . . . . 11 |- ( A C_ z -> ( A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z -> A. x ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ t = |^| x ) -> t e. z ) ) )
33	32	imp 429	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A C_ z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) -> A. x ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ t = |^| x ) -> t e. z ) )
34		19.23v 1761	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ t = |^| x ) -> t e. z ) <-> ( E. x ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ t = |^| x ) -> t e. z ) )
35	33, 34	sylib 196	. . . . . . . . 9 |- ( ( A C_ z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) -> ( E. x ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ t = |^| x ) -> t e. z ) )
36	6, 35	syl5bi 217	. . . . . . . 8 |- ( ( A C_ z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) -> ( E. x e. ( ~P A i^i Fin ) t = |^| x -> t e. z ) )
37	5, 36	sylan9 657	. . . . . . 7 |- ( ( A e. _V /\ ( A C_ z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) ) -> ( t e. ( fi ` A ) -> t e. z ) )
38	37	ssrdv 3505	. . . . . 6 |- ( ( A e. _V /\ ( A C_ z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) ) -> ( fi ` A ) C_ z )
39	38	ex 434	. . . . 5 |- ( A e. _V -> ( ( A C_ z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) -> ( fi ` A ) C_ z ) )
40	39	alrimiv 1720	. . . 4 |- ( A e. _V -> A. z ( ( A C_ z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) -> ( fi ` A ) C_ z ) )
41		ssintab 4305	. . . 4 |- ( ( fi ` A ) C_ |^| { z | ( A C_ z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) } <-> A. z ( ( A C_ z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) -> ( fi ` A ) C_ z ) )
42	40, 41	sylibr 212	. . 3 |- ( A e. _V -> ( fi ` A ) C_ |^| { z | ( A C_ z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) } )
43		ssfii 7897	. . . . 5 |- ( A e. _V -> A C_ ( fi ` A ) )
44		fiin 7900	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( fi ` A ) /\ y e. ( fi ` A ) ) -> ( x i^i y ) e. ( fi ` A ) )
45	44	rgen2a 2884	. . . . . 6 |- A. x e. ( fi ` A ) A. y e. ( fi ` A ) ( x i^i y ) e. ( fi ` A )
46	45	a1i 11	. . . . 5 |- ( A e. _V -> A. x e. ( fi ` A ) A. y e. ( fi ` A ) ( x i^i y ) e. ( fi ` A ) )
47		fvex 5882	. . . . . 6 |- ( fi ` A ) e. _V
48		sseq2 3521	. . . . . . 7 |- ( z = ( fi ` A ) -> ( A C_ z <-> A C_ ( fi ` A ) ) )
49		eleq2 2530	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( fi ` A ) -> ( ( x i^i y ) e. z <-> ( x i^i y ) e. ( fi ` A ) ) )
50	49	raleqbi1dv 3062	. . . . . . . 8 |- ( z = ( fi ` A ) -> ( A. y e. z ( x i^i y ) e. z <-> A. y e. ( fi ` A ) ( x i^i y ) e. ( fi ` A ) ) )
51	50	raleqbi1dv 3062	. . . . . . 7 |- ( z = ( fi ` A ) -> ( A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z <-> A. x e. ( fi ` A ) A. y e. ( fi ` A ) ( x i^i y ) e. ( fi ` A ) ) )
52	48, 51	anbi12d 710	. . . . . 6 |- ( z = ( fi ` A ) -> ( ( A C_ z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) <-> ( A C_ ( fi ` A ) /\ A. x e. ( fi ` A ) A. y e. ( fi ` A ) ( x i^i y ) e. ( fi ` A ) ) ) )
53	47, 52	elab 3246	. . . . 5 |- ( ( fi ` A ) e. { z | ( A C_ z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) } <-> ( A C_ ( fi ` A ) /\ A. x e. ( fi ` A ) A. y e. ( fi ` A ) ( x i^i y ) e. ( fi ` A ) ) )
54	43, 46, 53	sylanbrc 664	. . . 4 |- ( A e. _V -> ( fi ` A ) e. { z | ( A C_ z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) } )
55		intss1 4303	. . . 4 |- ( ( fi ` A ) e. { z | ( A C_ z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) } -> |^| { z | ( A C_ z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) } C_ ( fi ` A ) )
56	54, 55	syl 16	. . 3 |- ( A e. _V -> |^| { z | ( A C_ z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) } C_ ( fi ` A ) )
57	42, 56	eqssd 3516	. 2 |- ( A e. _V -> ( fi ` A ) = |^| { z | ( A C_ z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) } )
58	1, 57	syl 16	1 |- ( A e. V -> ( fi ` A ) = |^| { z | ( A C_ z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) } )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   A.wal 1393   = wceq 1395   E.wex 1613   e. wcel 1819   {cab 2442   =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808   _Vcvv 3109   i^i cin 3470   C_ wss 3471   (/)c0 3793   ~Pcpw 4015   |^|cint 4288   ` cfv 5594   Fincfn 7535   ficfi 7888

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-fin 7539  df-fi 7889

This theorem is referenced by:  fiss  7902  inficl  7903  dffi3  7909  fbssfi  20464