Theorem dffi2 7694

Description: The set of finite intersections is the smallest set that contains A and is closed under pairwise intersection. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
dffi2	|- ( A e. V -> ( fi ` A ) = |^| { z | ( A C_ z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) } )

Distinct variable groups:   x, y, z, A   y, V, z

Allowed substitution hint:   V( x)

Proof of Theorem dffi2

Dummy variable t is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3002	. 2 |- ( A e. V -> A e. _V )
2		vex 2996	. . . . . . . . . 10 |- t e. _V
3		elfi 7684	. . . . . . . . . 10 |- ( ( t e. _V /\ A e. _V ) -> ( t e. ( fi ` A ) <-> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) t = |^| x ) )
4	2, 3	mpan 670	. . . . . . . . 9 |- ( A e. _V -> ( t e. ( fi ` A ) <-> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) t = |^| x ) )
5	4	biimpd 207	. . . . . . . 8 |- ( A e. _V -> ( t e. ( fi ` A ) -> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) t = |^| x ) )
6		df-rex 2742	. . . . . . . . 9 |- ( E. x e. ( ~P A i^i Fin ) t = |^| x <-> E. x ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ t = |^| x ) )
7		fiint 7609	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z <-> A. x ( ( x C_ z /\ x =/= (/) /\ x e. Fin ) -> |^| x e. z ) )
8		inss1 3591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ~P A i^i Fin ) C_ ~P A
9	8	sseli 3373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. ( ~P A i^i Fin ) -> x e. ~P A )
10	9	elpwid 3891	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. ( ~P A i^i Fin ) -> x C_ A )
11	10	3ad2ant2 1010	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A C_ z /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ t = |^| x ) -> x C_ A )
12		simp1 988	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A C_ z /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ t = |^| x ) -> A C_ z )
13	11, 12	sstrd 3387	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A C_ z /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ t = |^| x ) -> x C_ z )
14		eqvisset 3001	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( t = |^| x -> |^| x e. _V )
15		intex 4469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x =/= (/) <-> |^| x e. _V )
16	14, 15	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( t = |^| x -> x =/= (/) )
17	16	3ad2ant3 1011	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A C_ z /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ t = |^| x ) -> x =/= (/) )
18		inss2 3592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ~P A i^i Fin ) C_ Fin
19	18	sseli 3373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. ( ~P A i^i Fin ) -> x e. Fin )
20	19	3ad2ant2 1010	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A C_ z /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ t = |^| x ) -> x e. Fin )
21	13, 17, 20	3jca 1168	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A C_ z /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ t = |^| x ) -> ( x C_ z /\ x =/= (/) /\ x e. Fin ) )
22	21	3expib 1190	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A C_ z -> ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ t = |^| x ) -> ( x C_ z /\ x =/= (/) /\ x e. Fin ) ) )
23		pm2.27 39	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x C_ z /\ x =/= (/) /\ x e. Fin ) -> ( ( ( x C_ z /\ x =/= (/) /\ x e. Fin ) -> |^| x e. z ) -> |^| x e. z ) )
24	22, 23	syl6 33	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A C_ z -> ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ t = |^| x ) -> ( ( ( x C_ z /\ x =/= (/) /\ x e. Fin ) -> |^| x e. z ) -> |^| x e. z ) ) )
25		eleq1 2503	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( t = |^| x -> ( t e. z <-> |^| x e. z ) )
26	25	biimprd 223	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( t = |^| x -> ( |^| x e. z -> t e. z ) )
27	26	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ t = |^| x ) -> ( |^| x e. z -> t e. z ) )
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A C_ z -> ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ t = |^| x ) -> ( |^| x e. z -> t e. z ) ) )
29	24, 28	syldd 66	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A C_ z -> ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ t = |^| x ) -> ( ( ( x C_ z /\ x =/= (/) /\ x e. Fin ) -> |^| x e. z ) -> t e. z ) ) )
30	29	com23 78	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A C_ z -> ( ( ( x C_ z /\ x =/= (/) /\ x e. Fin ) -> |^| x e. z ) -> ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ t = |^| x ) -> t e. z ) ) )
31	30	alimdv 1675	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A C_ z -> ( A. x ( ( x C_ z /\ x =/= (/) /\ x e. Fin ) -> |^| x e. z ) -> A. x ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ t = |^| x ) -> t e. z ) ) )
32	7, 31	syl5bi 217	. . . . . . . . . . 11 |- ( A C_ z -> ( A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z -> A. x ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ t = |^| x ) -> t e. z ) ) )
33	32	imp 429	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A C_ z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) -> A. x ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ t = |^| x ) -> t e. z ) )
34		19.23v 1910	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ t = |^| x ) -> t e. z ) <-> ( E. x ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ t = |^| x ) -> t e. z ) )
35	33, 34	sylib 196	. . . . . . . . 9 |- ( ( A C_ z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) -> ( E. x ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ t = |^| x ) -> t e. z ) )
36	6, 35	syl5bi 217	. . . . . . . 8 |- ( ( A C_ z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) -> ( E. x e. ( ~P A i^i Fin ) t = |^| x -> t e. z ) )
37	5, 36	sylan9 657	. . . . . . 7 |- ( ( A e. _V /\ ( A C_ z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) ) -> ( t e. ( fi ` A ) -> t e. z ) )
38	37	ssrdv 3383	. . . . . 6 |- ( ( A e. _V /\ ( A C_ z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) ) -> ( fi ` A ) C_ z )
39	38	ex 434	. . . . 5 |- ( A e. _V -> ( ( A C_ z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) -> ( fi ` A ) C_ z ) )
40	39	alrimiv 1685	. . . 4 |- ( A e. _V -> A. z ( ( A C_ z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) -> ( fi ` A ) C_ z ) )
41		ssintab 4166	. . . 4 |- ( ( fi ` A ) C_ |^| { z | ( A C_ z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) } <-> A. z ( ( A C_ z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) -> ( fi ` A ) C_ z ) )
42	40, 41	sylibr 212	. . 3 |- ( A e. _V -> ( fi ` A ) C_ |^| { z | ( A C_ z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) } )
43		ssfii 7690	. . . . 5 |- ( A e. _V -> A C_ ( fi ` A ) )
44		fiin 7693	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( fi ` A ) /\ y e. ( fi ` A ) ) -> ( x i^i y ) e. ( fi ` A ) )
45	44	rgen2a 2803	. . . . . 6 |- A. x e. ( fi ` A ) A. y e. ( fi ` A ) ( x i^i y ) e. ( fi ` A )
46	45	a1i 11	. . . . 5 |- ( A e. _V -> A. x e. ( fi ` A ) A. y e. ( fi ` A ) ( x i^i y ) e. ( fi ` A ) )
47		fvex 5722	. . . . . 6 |- ( fi ` A ) e. _V
48		sseq2 3399	. . . . . . 7 |- ( z = ( fi ` A ) -> ( A C_ z <-> A C_ ( fi ` A ) ) )
49		eleq2 2504	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( fi ` A ) -> ( ( x i^i y ) e. z <-> ( x i^i y ) e. ( fi ` A ) ) )
50	49	raleqbi1dv 2946	. . . . . . . 8 |- ( z = ( fi ` A ) -> ( A. y e. z ( x i^i y ) e. z <-> A. y e. ( fi ` A ) ( x i^i y ) e. ( fi ` A ) ) )
51	50	raleqbi1dv 2946	. . . . . . 7 |- ( z = ( fi ` A ) -> ( A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z <-> A. x e. ( fi ` A ) A. y e. ( fi ` A ) ( x i^i y ) e. ( fi ` A ) ) )
52	48, 51	anbi12d 710	. . . . . 6 |- ( z = ( fi ` A ) -> ( ( A C_ z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) <-> ( A C_ ( fi ` A ) /\ A. x e. ( fi ` A ) A. y e. ( fi ` A ) ( x i^i y ) e. ( fi ` A ) ) ) )
53	47, 52	elab 3127	. . . . 5 |- ( ( fi ` A ) e. { z | ( A C_ z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) } <-> ( A C_ ( fi ` A ) /\ A. x e. ( fi ` A ) A. y e. ( fi ` A ) ( x i^i y ) e. ( fi ` A ) ) )
54	43, 46, 53	sylanbrc 664	. . . 4 |- ( A e. _V -> ( fi ` A ) e. { z | ( A C_ z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) } )
55		intss1 4164	. . . 4 |- ( ( fi ` A ) e. { z | ( A C_ z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) } -> |^| { z | ( A C_ z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) } C_ ( fi ` A ) )
56	54, 55	syl 16	. . 3 |- ( A e. _V -> |^| { z | ( A C_ z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) } C_ ( fi ` A ) )
57	42, 56	eqssd 3394	. 2 |- ( A e. _V -> ( fi ` A ) = |^| { z | ( A C_ z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) } )
58	1, 57	syl 16	1 |- ( A e. V -> ( fi ` A ) = |^| { z | ( A C_ z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) } )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   A.wal 1367   = wceq 1369   E.wex 1586   e. wcel 1756   {cab 2429   =/= wne 2620   A.wral 2736   E.wrex 2737   _Vcvv 2993   i^i cin 3348   C_ wss 3349   (/)c0 3658   ~Pcpw 3881   |^|cint 4149   ` cfv 5439   Fincfn 7331   ficfi 7681

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-1o 6941  df-oadd 6945  df-er 7122  df-en 7332  df-fin 7335  df-fi 7682

This theorem is referenced by:  fiss  7695  inficl  7696  dffi3  7702  fbssfi  19432