Theorem dff4 5969

Description: Alternate definition of a mapping. (Contributed by NM, 20-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
dff4	|- ( F : A --> B <-> ( F C_ ( A X. B ) /\ A. x e. A E! y e. B x F y ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, F, y

Proof of Theorem dff4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dff3 5968	. 2 |- ( F : A --> B <-> ( F C_ ( A X. B ) /\ A. x e. A E! y x F y ) )
2		df-br 4404	. . . . . . . 8 |- ( x F y <-> <. x , y >. e. F )
3		ssel 3461	. . . . . . . . 9 |- ( F C_ ( A X. B ) -> ( <. x , y >. e. F -> <. x , y >. e. ( A X. B ) ) )
4		opelxp2 4984	. . . . . . . . 9 |- ( <. x , y >. e. ( A X. B ) -> y e. B )
5	3, 4	syl6 33	. . . . . . . 8 |- ( F C_ ( A X. B ) -> ( <. x , y >. e. F -> y e. B ) )
6	2, 5	syl5bi 217	. . . . . . 7 |- ( F C_ ( A X. B ) -> ( x F y -> y e. B ) )
7	6	pm4.71rd 635	. . . . . 6 |- ( F C_ ( A X. B ) -> ( x F y <-> ( y e. B /\ x F y ) ) )
8	7	eubidv 2285	. . . . 5 |- ( F C_ ( A X. B ) -> ( E! y x F y <-> E! y ( y e. B /\ x F y ) ) )
9		df-reu 2806	. . . . 5 |- ( E! y e. B x F y <-> E! y ( y e. B /\ x F y ) )
10	8, 9	syl6bbr 263	. . . 4 |- ( F C_ ( A X. B ) -> ( E! y x F y <-> E! y e. B x F y ) )
11	10	ralbidv 2846	. . 3 |- ( F C_ ( A X. B ) -> ( A. x e. A E! y x F y <-> A. x e. A E! y e. B x F y ) )
12	11	pm5.32i 637	. 2 |- ( ( F C_ ( A X. B ) /\ A. x e. A E! y x F y ) <-> ( F C_ ( A X. B ) /\ A. x e. A E! y e. B x F y ) )
13	1, 12	bitri 249	1 |- ( F : A --> B <-> ( F C_ ( A X. B ) /\ A. x e. A E! y e. B x F y ) )

Syntax hints:   <-> wb 184   /\ wa 369   e. wcel 1758   E!weu 2262   A.wral 2799   E!wreu 2801   C_ wss 3439   <.cop 3994   class class class wbr 4403   X. cxp 4949   -->wf 5525

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pr 4642

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-br 4404  df-opab 4462  df-id 4747  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-fv 5537

This theorem is referenced by:  exfo  5973