Theorem dff4 6021

Description: Alternate definition of a mapping. (Contributed by NM, 20-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
dff4	|- ( F : A --> B <-> ( F C_ ( A X. B ) /\ A. x e. A E! y e. B x F y ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, F, y

Proof of Theorem dff4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dff3 6020	. 2 |- ( F : A --> B <-> ( F C_ ( A X. B ) /\ A. x e. A E! y x F y ) )
2		df-br 4440	. . . . . . . 8 |- ( x F y <-> <. x , y >. e. F )
3		ssel 3483	. . . . . . . . 9 |- ( F C_ ( A X. B ) -> ( <. x , y >. e. F -> <. x , y >. e. ( A X. B ) ) )
4		opelxp2 5022	. . . . . . . . 9 |- ( <. x , y >. e. ( A X. B ) -> y e. B )
5	3, 4	syl6 33	. . . . . . . 8 |- ( F C_ ( A X. B ) -> ( <. x , y >. e. F -> y e. B ) )
6	2, 5	syl5bi 217	. . . . . . 7 |- ( F C_ ( A X. B ) -> ( x F y -> y e. B ) )
7	6	pm4.71rd 633	. . . . . 6 |- ( F C_ ( A X. B ) -> ( x F y <-> ( y e. B /\ x F y ) ) )
8	7	eubidv 2306	. . . . 5 |- ( F C_ ( A X. B ) -> ( E! y x F y <-> E! y ( y e. B /\ x F y ) ) )
9		df-reu 2811	. . . . 5 |- ( E! y e. B x F y <-> E! y ( y e. B /\ x F y ) )
10	8, 9	syl6bbr 263	. . . 4 |- ( F C_ ( A X. B ) -> ( E! y x F y <-> E! y e. B x F y ) )
11	10	ralbidv 2893	. . 3 |- ( F C_ ( A X. B ) -> ( A. x e. A E! y x F y <-> A. x e. A E! y e. B x F y ) )
12	11	pm5.32i 635	. 2 |- ( ( F C_ ( A X. B ) /\ A. x e. A E! y x F y ) <-> ( F C_ ( A X. B ) /\ A. x e. A E! y e. B x F y ) )
13	1, 12	bitri 249	1 |- ( F : A --> B <-> ( F C_ ( A X. B ) /\ A. x e. A E! y e. B x F y ) )

Syntax hints:   <-> wb 184   /\ wa 367   e. wcel 1823   E!weu 2284   A.wral 2804   E!wreu 2806   C_ wss 3461   <.cop 4022   class class class wbr 4439   X. cxp 4986   -->wf 5566

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pr 4676

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-br 4440  df-opab 4498  df-id 4784  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-fv 5578

This theorem is referenced by:  exfo  6025