Theorem dff3 5958

Description: Alternate definition of a mapping. (Contributed by NM, 20-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
dff3	|- ( F : A --> B <-> ( F C_ ( A X. B ) /\ A. x e. A E! y x F y ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, F, y

Proof of Theorem dff3

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fssxp 5671	. . 3 |- ( F : A --> B -> F C_ ( A X. B ) )
2		ffun 5662	. . . . . . . . 9 |- ( F : A --> B -> Fun F )
3	2	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( F : A --> B /\ x e. A ) -> Fun F )
4		fdm 5664	. . . . . . . . . 10 |- ( F : A --> B -> dom F = A )
5	4	eleq2d 2521	. . . . . . . . 9 |- ( F : A --> B -> ( x e. dom F <-> x e. A ) )
6	5	biimpar 485	. . . . . . . 8 |- ( ( F : A --> B /\ x e. A ) -> x e. dom F )
7		funfvop 5917	. . . . . . . 8 |- ( ( Fun F /\ x e. dom F ) -> <. x , ( F ` x ) >. e. F )
8	3, 6, 7	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( F : A --> B /\ x e. A ) -> <. x , ( F ` x ) >. e. F )
9		df-br 4394	. . . . . . 7 |- ( x F ( F ` x ) <-> <. x , ( F ` x ) >. e. F )
10	8, 9	sylibr 212	. . . . . 6 |- ( ( F : A --> B /\ x e. A ) -> x F ( F ` x ) )
11		fvex 5802	. . . . . . 7 |- ( F ` x ) e. _V
12		breq2 4397	. . . . . . 7 |- ( y = ( F ` x ) -> ( x F y <-> x F ( F ` x ) ) )
13	11, 12	spcev 3163	. . . . . 6 |- ( x F ( F ` x ) -> E. y x F y )
14	10, 13	syl 16	. . . . 5 |- ( ( F : A --> B /\ x e. A ) -> E. y x F y )
15		funmo 5535	. . . . . . 7 |- ( Fun F -> E* y x F y )
16	2, 15	syl 16	. . . . . 6 |- ( F : A --> B -> E* y x F y )
17	16	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( F : A --> B /\ x e. A ) -> E* y x F y )
18		eu5 2290	. . . . 5 |- ( E! y x F y <-> ( E. y x F y /\ E* y x F y ) )
19	14, 17, 18	sylanbrc 664	. . . 4 |- ( ( F : A --> B /\ x e. A ) -> E! y x F y )
20	19	ralrimiva 2825	. . 3 |- ( F : A --> B -> A. x e. A E! y x F y )
21	1, 20	jca 532	. 2 |- ( F : A --> B -> ( F C_ ( A X. B ) /\ A. x e. A E! y x F y ) )
22		xpss 5047	. . . . . . . 8 |- ( A X. B ) C_ ( _V X. _V )
23		sstr 3465	. . . . . . . 8 |- ( ( F C_ ( A X. B ) /\ ( A X. B ) C_ ( _V X. _V ) ) -> F C_ ( _V X. _V ) )
24	22, 23	mpan2 671	. . . . . . 7 |- ( F C_ ( A X. B ) -> F C_ ( _V X. _V ) )
25		df-rel 4948	. . . . . . 7 |- ( Rel F <-> F C_ ( _V X. _V ) )
26	24, 25	sylibr 212	. . . . . 6 |- ( F C_ ( A X. B ) -> Rel F )
27	26	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( F C_ ( A X. B ) /\ A. x e. A E! y x F y ) -> Rel F )
28		df-ral 2800	. . . . . . 7 |- ( A. x e. A E! y x F y <-> A. x ( x e. A -> E! y x F y ) )
29		eumo 2293	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E! y x F y -> E* y x F y )
30	29	imim2i 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. A -> E! y x F y ) -> ( x e. A -> E* y x F y ) )
31	30	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F C_ ( A X. B ) /\ ( x e. A -> E! y x F y ) ) -> ( x e. A -> E* y x F y ) )
32		df-br 4394	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x F y <-> <. x , y >. e. F )
33		ssel 3451	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( F C_ ( A X. B ) -> ( <. x , y >. e. F -> <. x , y >. e. ( A X. B ) ) )
34	32, 33	syl5bi 217	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( F C_ ( A X. B ) -> ( x F y -> <. x , y >. e. ( A X. B ) ) )
35		opelxp1 4973	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( <. x , y >. e. ( A X. B ) -> x e. A )
36	34, 35	syl6 33	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F C_ ( A X. B ) -> ( x F y -> x e. A ) )
37	36	exlimdv 1691	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F C_ ( A X. B ) -> ( E. y x F y -> x e. A ) )
38	37	con3d 133	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F C_ ( A X. B ) -> ( -. x e. A -> -. E. y x F y ) )
39		exmo 2289	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. y x F y \/ E* y x F y )
40	39	ori 375	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. E. y x F y -> E* y x F y )
41	38, 40	syl6 33	. . . . . . . . . . 11 |- ( F C_ ( A X. B ) -> ( -. x e. A -> E* y x F y ) )
42	41	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F C_ ( A X. B ) /\ ( x e. A -> E! y x F y ) ) -> ( -. x e. A -> E* y x F y ) )
43	31, 42	pm2.61d 158	. . . . . . . . 9 |- ( ( F C_ ( A X. B ) /\ ( x e. A -> E! y x F y ) ) -> E* y x F y )
44	43	ex 434	. . . . . . . 8 |- ( F C_ ( A X. B ) -> ( ( x e. A -> E! y x F y ) -> E* y x F y ) )
45	44	alimdv 1676	. . . . . . 7 |- ( F C_ ( A X. B ) -> ( A. x ( x e. A -> E! y x F y ) -> A. x E* y x F y ) )
46	28, 45	syl5bi 217	. . . . . 6 |- ( F C_ ( A X. B ) -> ( A. x e. A E! y x F y -> A. x E* y x F y ) )
47	46	imp 429	. . . . 5 |- ( ( F C_ ( A X. B ) /\ A. x e. A E! y x F y ) -> A. x E* y x F y )
48		dffun6 5534	. . . . 5 |- ( Fun F <-> ( Rel F /\ A. x E* y x F y ) )
49	27, 47, 48	sylanbrc 664	. . . 4 |- ( ( F C_ ( A X. B ) /\ A. x e. A E! y x F y ) -> Fun F )
50		dmss 5140	. . . . . . 7 |- ( F C_ ( A X. B ) -> dom F C_ dom ( A X. B ) )
51		dmxpss 5370	. . . . . . 7 |- dom ( A X. B ) C_ A
52	50, 51	syl6ss 3469	. . . . . 6 |- ( F C_ ( A X. B ) -> dom F C_ A )
53		breq1 4396	. . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> ( x F y <-> z F y ) )
54	53	eubidv 2283	. . . . . . . . 9 |- ( x = z -> ( E! y x F y <-> E! y z F y ) )
55	54	rspccv 3169	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. A E! y x F y -> ( z e. A -> E! y z F y ) )
56		euex 2288	. . . . . . . . 9 |- ( E! y z F y -> E. y z F y )
57		vex 3074	. . . . . . . . . 10 |- z e. _V
58	57	eldm 5138	. . . . . . . . 9 |- ( z e. dom F <-> E. y z F y )
59	56, 58	sylibr 212	. . . . . . . 8 |- ( E! y z F y -> z e. dom F )
60	55, 59	syl6 33	. . . . . . 7 |- ( A. x e. A E! y x F y -> ( z e. A -> z e. dom F ) )
61	60	ssrdv 3463	. . . . . 6 |- ( A. x e. A E! y x F y -> A C_ dom F )
62	52, 61	anim12i 566	. . . . 5 |- ( ( F C_ ( A X. B ) /\ A. x e. A E! y x F y ) -> ( dom F C_ A /\ A C_ dom F ) )
63		eqss 3472	. . . . 5 |- ( dom F = A <-> ( dom F C_ A /\ A C_ dom F ) )
64	62, 63	sylibr 212	. . . 4 |- ( ( F C_ ( A X. B ) /\ A. x e. A E! y x F y ) -> dom F = A )
65		df-fn 5522	. . . 4 |- ( F Fn A <-> ( Fun F /\ dom F = A ) )
66	49, 64, 65	sylanbrc 664	. . 3 |- ( ( F C_ ( A X. B ) /\ A. x e. A E! y x F y ) -> F Fn A )
67		rnss 5169	. . . . 5 |- ( F C_ ( A X. B ) -> ran F C_ ran ( A X. B ) )
68		rnxpss 5371	. . . . 5 |- ran ( A X. B ) C_ B
69	67, 68	syl6ss 3469	. . . 4 |- ( F C_ ( A X. B ) -> ran F C_ B )
70	69	adantr 465	. . 3 |- ( ( F C_ ( A X. B ) /\ A. x e. A E! y x F y ) -> ran F C_ B )
71		df-f 5523	. . 3 |- ( F : A --> B <-> ( F Fn A /\ ran F C_ B ) )
72	66, 70, 71	sylanbrc 664	. 2 |- ( ( F C_ ( A X. B ) /\ A. x e. A E! y x F y ) -> F : A --> B )
73	21, 72	impbii 188	1 |- ( F : A --> B <-> ( F C_ ( A X. B ) /\ A. x e. A E! y x F y ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   A.wal 1368   = wceq 1370   E.wex 1587   e. wcel 1758   E!weu 2260   E*wmo 2261   A.wral 2795   _Vcvv 3071   C_ wss 3429   <.cop 3984   class class class wbr 4393   X. cxp 4939   dom cdm 4941   ran crn 4942   Rel wrel 4946   Fun wfun 5513   Fn wfn 5514   -->wf 5515   ` cfv 5519

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pr 4632

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-nul 3739  df-if 3893  df-sn 3979  df-pr 3981  df-op 3985  df-uni 4193  df-br 4394  df-opab 4452  df-id 4737  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-fv 5527

This theorem is referenced by:  dff4  5959  seqomlem2  7009