Theorem dff3 5994

Description: Alternate definition of a mapping. (Contributed by NM, 20-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
dff3	|- ( F : A --> B <-> ( F C_ ( A X. B ) /\ A. x e. A E! y x F y ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, F, y

Proof of Theorem dff3

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fssxp 5701	. . 3 |- ( F : A --> B -> F C_ ( A X. B ) )
2		ffun 5691	. . . . . . . . 9 |- ( F : A --> B -> Fun F )
3	2	adantr 466	. . . . . . . 8 |- ( ( F : A --> B /\ x e. A ) -> Fun F )
4		fdm 5693	. . . . . . . . . 10 |- ( F : A --> B -> dom F = A )
5	4	eleq2d 2491	. . . . . . . . 9 |- ( F : A --> B -> ( x e. dom F <-> x e. A ) )
6	5	biimpar 487	. . . . . . . 8 |- ( ( F : A --> B /\ x e. A ) -> x e. dom F )
7		funfvop 5953	. . . . . . . 8 |- ( ( Fun F /\ x e. dom F ) -> <. x , ( F ` x ) >. e. F )
8	3, 6, 7	syl2anc 665	. . . . . . 7 |- ( ( F : A --> B /\ x e. A ) -> <. x , ( F ` x ) >. e. F )
9		df-br 4367	. . . . . . 7 |- ( x F ( F ` x ) <-> <. x , ( F ` x ) >. e. F )
10	8, 9	sylibr 215	. . . . . 6 |- ( ( F : A --> B /\ x e. A ) -> x F ( F ` x ) )
11		fvex 5835	. . . . . . 7 |- ( F ` x ) e. _V
12		breq2 4370	. . . . . . 7 |- ( y = ( F ` x ) -> ( x F y <-> x F ( F ` x ) ) )
13	11, 12	spcev 3116	. . . . . 6 |- ( x F ( F ` x ) -> E. y x F y )
14	10, 13	syl 17	. . . . 5 |- ( ( F : A --> B /\ x e. A ) -> E. y x F y )
15		funmo 5560	. . . . . . 7 |- ( Fun F -> E* y x F y )
16	2, 15	syl 17	. . . . . 6 |- ( F : A --> B -> E* y x F y )
17	16	adantr 466	. . . . 5 |- ( ( F : A --> B /\ x e. A ) -> E* y x F y )
18		eu5 2302	. . . . 5 |- ( E! y x F y <-> ( E. y x F y /\ E* y x F y ) )
19	14, 17, 18	sylanbrc 668	. . . 4 |- ( ( F : A --> B /\ x e. A ) -> E! y x F y )
20	19	ralrimiva 2779	. . 3 |- ( F : A --> B -> A. x e. A E! y x F y )
21	1, 20	jca 534	. 2 |- ( F : A --> B -> ( F C_ ( A X. B ) /\ A. x e. A E! y x F y ) )
22		xpss 4903	. . . . . . . 8 |- ( A X. B ) C_ ( _V X. _V )
23		sstr 3415	. . . . . . . 8 |- ( ( F C_ ( A X. B ) /\ ( A X. B ) C_ ( _V X. _V ) ) -> F C_ ( _V X. _V ) )
24	22, 23	mpan2 675	. . . . . . 7 |- ( F C_ ( A X. B ) -> F C_ ( _V X. _V ) )
25		df-rel 4803	. . . . . . 7 |- ( Rel F <-> F C_ ( _V X. _V ) )
26	24, 25	sylibr 215	. . . . . 6 |- ( F C_ ( A X. B ) -> Rel F )
27	26	adantr 466	. . . . 5 |- ( ( F C_ ( A X. B ) /\ A. x e. A E! y x F y ) -> Rel F )
28		df-ral 2719	. . . . . . 7 |- ( A. x e. A E! y x F y <-> A. x ( x e. A -> E! y x F y ) )
29		eumo 2305	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E! y x F y -> E* y x F y )
30	29	imim2i 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. A -> E! y x F y ) -> ( x e. A -> E* y x F y ) )
31	30	adantl 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F C_ ( A X. B ) /\ ( x e. A -> E! y x F y ) ) -> ( x e. A -> E* y x F y ) )
32		df-br 4367	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x F y <-> <. x , y >. e. F )
33		ssel 3401	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( F C_ ( A X. B ) -> ( <. x , y >. e. F -> <. x , y >. e. ( A X. B ) ) )
34	32, 33	syl5bi 220	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( F C_ ( A X. B ) -> ( x F y -> <. x , y >. e. ( A X. B ) ) )
35		opelxp1 4829	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( <. x , y >. e. ( A X. B ) -> x e. A )
36	34, 35	syl6 34	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F C_ ( A X. B ) -> ( x F y -> x e. A ) )
37	36	exlimdv 1772	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F C_ ( A X. B ) -> ( E. y x F y -> x e. A ) )
38	37	con3d 138	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F C_ ( A X. B ) -> ( -. x e. A -> -. E. y x F y ) )
39		exmo 2301	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. y x F y \/ E* y x F y )
40	39	ori 376	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. E. y x F y -> E* y x F y )
41	38, 40	syl6 34	. . . . . . . . . . 11 |- ( F C_ ( A X. B ) -> ( -. x e. A -> E* y x F y ) )
42	41	adantr 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F C_ ( A X. B ) /\ ( x e. A -> E! y x F y ) ) -> ( -. x e. A -> E* y x F y ) )
43	31, 42	pm2.61d 161	. . . . . . . . 9 |- ( ( F C_ ( A X. B ) /\ ( x e. A -> E! y x F y ) ) -> E* y x F y )
44	43	ex 435	. . . . . . . 8 |- ( F C_ ( A X. B ) -> ( ( x e. A -> E! y x F y ) -> E* y x F y ) )
45	44	alimdv 1757	. . . . . . 7 |- ( F C_ ( A X. B ) -> ( A. x ( x e. A -> E! y x F y ) -> A. x E* y x F y ) )
46	28, 45	syl5bi 220	. . . . . 6 |- ( F C_ ( A X. B ) -> ( A. x e. A E! y x F y -> A. x E* y x F y ) )
47	46	imp 430	. . . . 5 |- ( ( F C_ ( A X. B ) /\ A. x e. A E! y x F y ) -> A. x E* y x F y )
48		dffun6 5559	. . . . 5 |- ( Fun F <-> ( Rel F /\ A. x E* y x F y ) )
49	27, 47, 48	sylanbrc 668	. . . 4 |- ( ( F C_ ( A X. B ) /\ A. x e. A E! y x F y ) -> Fun F )
50		dmss 4996	. . . . . . 7 |- ( F C_ ( A X. B ) -> dom F C_ dom ( A X. B ) )
51		dmxpss 5230	. . . . . . 7 |- dom ( A X. B ) C_ A
52	50, 51	syl6ss 3419	. . . . . 6 |- ( F C_ ( A X. B ) -> dom F C_ A )
53		breq1 4369	. . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> ( x F y <-> z F y ) )
54	53	eubidv 2296	. . . . . . . . 9 |- ( x = z -> ( E! y x F y <-> E! y z F y ) )
55	54	rspccv 3122	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. A E! y x F y -> ( z e. A -> E! y z F y ) )
56		euex 2300	. . . . . . . . 9 |- ( E! y z F y -> E. y z F y )
57		vex 3025	. . . . . . . . . 10 |- z e. _V
58	57	eldm 4994	. . . . . . . . 9 |- ( z e. dom F <-> E. y z F y )
59	56, 58	sylibr 215	. . . . . . . 8 |- ( E! y z F y -> z e. dom F )
60	55, 59	syl6 34	. . . . . . 7 |- ( A. x e. A E! y x F y -> ( z e. A -> z e. dom F ) )
61	60	ssrdv 3413	. . . . . 6 |- ( A. x e. A E! y x F y -> A C_ dom F )
62	52, 61	anim12i 568	. . . . 5 |- ( ( F C_ ( A X. B ) /\ A. x e. A E! y x F y ) -> ( dom F C_ A /\ A C_ dom F ) )
63		eqss 3422	. . . . 5 |- ( dom F = A <-> ( dom F C_ A /\ A C_ dom F ) )
64	62, 63	sylibr 215	. . . 4 |- ( ( F C_ ( A X. B ) /\ A. x e. A E! y x F y ) -> dom F = A )
65		df-fn 5547	. . . 4 |- ( F Fn A <-> ( Fun F /\ dom F = A ) )
66	49, 64, 65	sylanbrc 668	. . 3 |- ( ( F C_ ( A X. B ) /\ A. x e. A E! y x F y ) -> F Fn A )
67		rnss 5025	. . . . 5 |- ( F C_ ( A X. B ) -> ran F C_ ran ( A X. B ) )
68		rnxpss 5231	. . . . 5 |- ran ( A X. B ) C_ B
69	67, 68	syl6ss 3419	. . . 4 |- ( F C_ ( A X. B ) -> ran F C_ B )
70	69	adantr 466	. . 3 |- ( ( F C_ ( A X. B ) /\ A. x e. A E! y x F y ) -> ran F C_ B )
71		df-f 5548	. . 3 |- ( F : A --> B <-> ( F Fn A /\ ran F C_ B ) )
72	66, 70, 71	sylanbrc 668	. 2 |- ( ( F C_ ( A X. B ) /\ A. x e. A E! y x F y ) -> F : A --> B )
73	21, 72	impbii 190	1 |- ( F : A --> B <-> ( F C_ ( A X. B ) /\ A. x e. A E! y x F y ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   A.wal 1435   = wceq 1437   E.wex 1657   e. wcel 1872   E!weu 2276   E*wmo 2277   A.wral 2714   _Vcvv 3022   C_ wss 3379   <.cop 3947   class class class wbr 4366   X. cxp 4794   dom cdm 4796   ran crn 4797   Rel wrel 4801   Fun wfun 5538   Fn wfn 5539   -->wf 5540   ` cfv 5544

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pr 4603

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-ral 2719  df-rex 2720  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-nul 3705  df-if 3855  df-sn 3942  df-pr 3944  df-op 3948  df-uni 4163  df-br 4367  df-opab 4426  df-id 4711  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-fv 5552

This theorem is referenced by:  dff4  5995  seqomlem2  7123