Theorem dff3 6020

Description: Alternate definition of a mapping. (Contributed by NM, 20-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
dff3	|- ( F : A --> B <-> ( F C_ ( A X. B ) /\ A. x e. A E! y x F y ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, F, y

Proof of Theorem dff3

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fssxp 5725	. . 3 |- ( F : A --> B -> F C_ ( A X. B ) )
2		ffun 5715	. . . . . . . . 9 |- ( F : A --> B -> Fun F )
3	2	adantr 463	. . . . . . . 8 |- ( ( F : A --> B /\ x e. A ) -> Fun F )
4		fdm 5717	. . . . . . . . . 10 |- ( F : A --> B -> dom F = A )
5	4	eleq2d 2524	. . . . . . . . 9 |- ( F : A --> B -> ( x e. dom F <-> x e. A ) )
6	5	biimpar 483	. . . . . . . 8 |- ( ( F : A --> B /\ x e. A ) -> x e. dom F )
7		funfvop 5975	. . . . . . . 8 |- ( ( Fun F /\ x e. dom F ) -> <. x , ( F ` x ) >. e. F )
8	3, 6, 7	syl2anc 659	. . . . . . 7 |- ( ( F : A --> B /\ x e. A ) -> <. x , ( F ` x ) >. e. F )
9		df-br 4440	. . . . . . 7 |- ( x F ( F ` x ) <-> <. x , ( F ` x ) >. e. F )
10	8, 9	sylibr 212	. . . . . 6 |- ( ( F : A --> B /\ x e. A ) -> x F ( F ` x ) )
11		fvex 5858	. . . . . . 7 |- ( F ` x ) e. _V
12		breq2 4443	. . . . . . 7 |- ( y = ( F ` x ) -> ( x F y <-> x F ( F ` x ) ) )
13	11, 12	spcev 3198	. . . . . 6 |- ( x F ( F ` x ) -> E. y x F y )
14	10, 13	syl 16	. . . . 5 |- ( ( F : A --> B /\ x e. A ) -> E. y x F y )
15		funmo 5586	. . . . . . 7 |- ( Fun F -> E* y x F y )
16	2, 15	syl 16	. . . . . 6 |- ( F : A --> B -> E* y x F y )
17	16	adantr 463	. . . . 5 |- ( ( F : A --> B /\ x e. A ) -> E* y x F y )
18		eu5 2312	. . . . 5 |- ( E! y x F y <-> ( E. y x F y /\ E* y x F y ) )
19	14, 17, 18	sylanbrc 662	. . . 4 |- ( ( F : A --> B /\ x e. A ) -> E! y x F y )
20	19	ralrimiva 2868	. . 3 |- ( F : A --> B -> A. x e. A E! y x F y )
21	1, 20	jca 530	. 2 |- ( F : A --> B -> ( F C_ ( A X. B ) /\ A. x e. A E! y x F y ) )
22		xpss 5097	. . . . . . . 8 |- ( A X. B ) C_ ( _V X. _V )
23		sstr 3497	. . . . . . . 8 |- ( ( F C_ ( A X. B ) /\ ( A X. B ) C_ ( _V X. _V ) ) -> F C_ ( _V X. _V ) )
24	22, 23	mpan2 669	. . . . . . 7 |- ( F C_ ( A X. B ) -> F C_ ( _V X. _V ) )
25		df-rel 4995	. . . . . . 7 |- ( Rel F <-> F C_ ( _V X. _V ) )
26	24, 25	sylibr 212	. . . . . 6 |- ( F C_ ( A X. B ) -> Rel F )
27	26	adantr 463	. . . . 5 |- ( ( F C_ ( A X. B ) /\ A. x e. A E! y x F y ) -> Rel F )
28		df-ral 2809	. . . . . . 7 |- ( A. x e. A E! y x F y <-> A. x ( x e. A -> E! y x F y ) )
29		eumo 2315	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E! y x F y -> E* y x F y )
30	29	imim2i 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. A -> E! y x F y ) -> ( x e. A -> E* y x F y ) )
31	30	adantl 464	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F C_ ( A X. B ) /\ ( x e. A -> E! y x F y ) ) -> ( x e. A -> E* y x F y ) )
32		df-br 4440	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x F y <-> <. x , y >. e. F )
33		ssel 3483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( F C_ ( A X. B ) -> ( <. x , y >. e. F -> <. x , y >. e. ( A X. B ) ) )
34	32, 33	syl5bi 217	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( F C_ ( A X. B ) -> ( x F y -> <. x , y >. e. ( A X. B ) ) )
35		opelxp1 5021	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( <. x , y >. e. ( A X. B ) -> x e. A )
36	34, 35	syl6 33	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F C_ ( A X. B ) -> ( x F y -> x e. A ) )
37	36	exlimdv 1729	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F C_ ( A X. B ) -> ( E. y x F y -> x e. A ) )
38	37	con3d 133	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F C_ ( A X. B ) -> ( -. x e. A -> -. E. y x F y ) )
39		exmo 2311	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. y x F y \/ E* y x F y )
40	39	ori 373	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. E. y x F y -> E* y x F y )
41	38, 40	syl6 33	. . . . . . . . . . 11 |- ( F C_ ( A X. B ) -> ( -. x e. A -> E* y x F y ) )
42	41	adantr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F C_ ( A X. B ) /\ ( x e. A -> E! y x F y ) ) -> ( -. x e. A -> E* y x F y ) )
43	31, 42	pm2.61d 158	. . . . . . . . 9 |- ( ( F C_ ( A X. B ) /\ ( x e. A -> E! y x F y ) ) -> E* y x F y )
44	43	ex 432	. . . . . . . 8 |- ( F C_ ( A X. B ) -> ( ( x e. A -> E! y x F y ) -> E* y x F y ) )
45	44	alimdv 1714	. . . . . . 7 |- ( F C_ ( A X. B ) -> ( A. x ( x e. A -> E! y x F y ) -> A. x E* y x F y ) )
46	28, 45	syl5bi 217	. . . . . 6 |- ( F C_ ( A X. B ) -> ( A. x e. A E! y x F y -> A. x E* y x F y ) )
47	46	imp 427	. . . . 5 |- ( ( F C_ ( A X. B ) /\ A. x e. A E! y x F y ) -> A. x E* y x F y )
48		dffun6 5585	. . . . 5 |- ( Fun F <-> ( Rel F /\ A. x E* y x F y ) )
49	27, 47, 48	sylanbrc 662	. . . 4 |- ( ( F C_ ( A X. B ) /\ A. x e. A E! y x F y ) -> Fun F )
50		dmss 5191	. . . . . . 7 |- ( F C_ ( A X. B ) -> dom F C_ dom ( A X. B ) )
51		dmxpss 5423	. . . . . . 7 |- dom ( A X. B ) C_ A
52	50, 51	syl6ss 3501	. . . . . 6 |- ( F C_ ( A X. B ) -> dom F C_ A )
53		breq1 4442	. . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> ( x F y <-> z F y ) )
54	53	eubidv 2306	. . . . . . . . 9 |- ( x = z -> ( E! y x F y <-> E! y z F y ) )
55	54	rspccv 3204	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. A E! y x F y -> ( z e. A -> E! y z F y ) )
56		euex 2310	. . . . . . . . 9 |- ( E! y z F y -> E. y z F y )
57		vex 3109	. . . . . . . . . 10 |- z e. _V
58	57	eldm 5189	. . . . . . . . 9 |- ( z e. dom F <-> E. y z F y )
59	56, 58	sylibr 212	. . . . . . . 8 |- ( E! y z F y -> z e. dom F )
60	55, 59	syl6 33	. . . . . . 7 |- ( A. x e. A E! y x F y -> ( z e. A -> z e. dom F ) )
61	60	ssrdv 3495	. . . . . 6 |- ( A. x e. A E! y x F y -> A C_ dom F )
62	52, 61	anim12i 564	. . . . 5 |- ( ( F C_ ( A X. B ) /\ A. x e. A E! y x F y ) -> ( dom F C_ A /\ A C_ dom F ) )
63		eqss 3504	. . . . 5 |- ( dom F = A <-> ( dom F C_ A /\ A C_ dom F ) )
64	62, 63	sylibr 212	. . . 4 |- ( ( F C_ ( A X. B ) /\ A. x e. A E! y x F y ) -> dom F = A )
65		df-fn 5573	. . . 4 |- ( F Fn A <-> ( Fun F /\ dom F = A ) )
66	49, 64, 65	sylanbrc 662	. . 3 |- ( ( F C_ ( A X. B ) /\ A. x e. A E! y x F y ) -> F Fn A )
67		rnss 5220	. . . . 5 |- ( F C_ ( A X. B ) -> ran F C_ ran ( A X. B ) )
68		rnxpss 5424	. . . . 5 |- ran ( A X. B ) C_ B
69	67, 68	syl6ss 3501	. . . 4 |- ( F C_ ( A X. B ) -> ran F C_ B )
70	69	adantr 463	. . 3 |- ( ( F C_ ( A X. B ) /\ A. x e. A E! y x F y ) -> ran F C_ B )
71		df-f 5574	. . 3 |- ( F : A --> B <-> ( F Fn A /\ ran F C_ B ) )
72	66, 70, 71	sylanbrc 662	. 2 |- ( ( F C_ ( A X. B ) /\ A. x e. A E! y x F y ) -> F : A --> B )
73	21, 72	impbii 188	1 |- ( F : A --> B <-> ( F C_ ( A X. B ) /\ A. x e. A E! y x F y ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   A.wal 1396   = wceq 1398   E.wex 1617   e. wcel 1823   E!weu 2284   E*wmo 2285   A.wral 2804   _Vcvv 3106   C_ wss 3461   <.cop 4022   class class class wbr 4439   X. cxp 4986   dom cdm 4988   ran crn 4989   Rel wrel 4993   Fun wfun 5564   Fn wfn 5565   -->wf 5566   ` cfv 5570

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pr 4676

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-br 4440  df-opab 4498  df-id 4784  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-fv 5578

This theorem is referenced by:  dff4  6021  seqomlem2  7108