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Theorem dff3 5958
Description: Alternate definition of a mapping. (Contributed by NM, 20-Mar-2007.)
Assertion
Ref Expression
dff3  |-  ( F : A --> B  <->  ( F  C_  ( A  X.  B
)  /\  A. x  e.  A  E! y  x F y ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y    x, F, y

Proof of Theorem dff3
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fssxp 5671 . . 3  |-  ( F : A --> B  ->  F  C_  ( A  X.  B ) )
2 ffun 5662 . . . . . . . . 9  |-  ( F : A --> B  ->  Fun  F )
32adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  Fun  F )
4 fdm 5664 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : A --> B  ->  dom  F  =  A )
54eleq2d 2521 . . . . . . . . 9  |-  ( F : A --> B  -> 
( x  e.  dom  F  <-> 
x  e.  A ) )
65biimpar 485 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  dom  F
)
7 funfvop 5917 . . . . . . . 8  |-  ( ( Fun  F  /\  x  e.  dom  F )  ->  <. x ,  ( F `
 x ) >.  e.  F )
83, 6, 7syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( F : A --> B  /\  x  e.  A )  -> 
<. x ,  ( F `
 x ) >.  e.  F )
9 df-br 4394 . . . . . . 7  |-  ( x F ( F `  x )  <->  <. x ,  ( F `  x
) >.  e.  F )
108, 9sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ( F : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  x F ( F `
 x ) )
11 fvex 5802 . . . . . . 7  |-  ( F `
 x )  e. 
_V
12 breq2 4397 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( F `  x )  ->  (
x F y  <->  x F
( F `  x
) ) )
1311, 12spcev 3163 . . . . . 6  |-  ( x F ( F `  x )  ->  E. y  x F y )
1410, 13syl 16 . . . . 5  |-  ( ( F : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  E. y  x F y )
15 funmo 5535 . . . . . . 7  |-  ( Fun 
F  ->  E* y  x F y )
162, 15syl 16 . . . . . 6  |-  ( F : A --> B  ->  E* y  x F
y )
1716adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( F : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  E* y  x F y )
18 eu5 2290 . . . . 5  |-  ( E! y  x F y  <-> 
( E. y  x F y  /\  E* y  x F y ) )
1914, 17, 18sylanbrc 664 . . . 4  |-  ( ( F : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  E! y  x F y )
2019ralrimiva 2825 . . 3  |-  ( F : A --> B  ->  A. x  e.  A  E! y  x F
y )
211, 20jca 532 . 2  |-  ( F : A --> B  -> 
( F  C_  ( A  X.  B )  /\  A. x  e.  A  E! y  x F y ) )
22 xpss 5047 . . . . . . . 8  |-  ( A  X.  B )  C_  ( _V  X.  _V )
23 sstr 3465 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  C_  ( A  X.  B )  /\  ( A  X.  B )  C_  ( _V  X.  _V )
)  ->  F  C_  ( _V  X.  _V ) )
2422, 23mpan2 671 . . . . . . 7  |-  ( F 
C_  ( A  X.  B )  ->  F  C_  ( _V  X.  _V ) )
25 df-rel 4948 . . . . . . 7  |-  ( Rel 
F  <->  F  C_  ( _V 
X.  _V ) )
2624, 25sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( F 
C_  ( A  X.  B )  ->  Rel  F )
2726adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( F  C_  ( A  X.  B )  /\  A. x  e.  A  E! y  x F y )  ->  Rel  F )
28 df-ral 2800 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  E! y  x F y  <->  A. x
( x  e.  A  ->  E! y  x F y ) )
29 eumo 2293 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E! y  x F y  ->  E* y  x F y )
3029imim2i 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  A  ->  E! y  x F
y )  ->  (
x  e.  A  ->  E* y  x F
y ) )
3130adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  C_  ( A  X.  B )  /\  (
x  e.  A  ->  E! y  x F
y ) )  -> 
( x  e.  A  ->  E* y  x F y ) )
32 df-br 4394 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x F y  <->  <. x ,  y >.  e.  F
)
33 ssel 3451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F 
C_  ( A  X.  B )  ->  ( <. x ,  y >.  e.  F  ->  <. x ,  y >.  e.  ( A  X.  B ) ) )
3432, 33syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F 
C_  ( A  X.  B )  ->  (
x F y  ->  <. x ,  y >.  e.  ( A  X.  B
) ) )
35 opelxp1 4973 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( A  X.  B
)  ->  x  e.  A )
3634, 35syl6 33 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F 
C_  ( A  X.  B )  ->  (
x F y  ->  x  e.  A )
)
3736exlimdv 1691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F 
C_  ( A  X.  B )  ->  ( E. y  x F
y  ->  x  e.  A ) )
3837con3d 133 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F 
C_  ( A  X.  B )  ->  ( -.  x  e.  A  ->  -.  E. y  x F y ) )
39 exmo 2289 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. y  x F y  \/  E* y  x F y )
4039ori 375 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -. 
E. y  x F y  ->  E* y  x F y )
4138, 40syl6 33 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F 
C_  ( A  X.  B )  ->  ( -.  x  e.  A  ->  E* y  x F y ) )
4241adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  C_  ( A  X.  B )  /\  (
x  e.  A  ->  E! y  x F
y ) )  -> 
( -.  x  e.  A  ->  E* y  x F y ) )
4331, 42pm2.61d 158 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  C_  ( A  X.  B )  /\  (
x  e.  A  ->  E! y  x F
y ) )  ->  E* y  x F
y )
4443ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( F 
C_  ( A  X.  B )  ->  (
( x  e.  A  ->  E! y  x F y )  ->  E* y  x F y ) )
4544alimdv 1676 . . . . . . 7  |-  ( F 
C_  ( A  X.  B )  ->  ( A. x ( x  e.  A  ->  E! y  x F y )  ->  A. x E* y  x F y ) )
4628, 45syl5bi 217 . . . . . 6  |-  ( F 
C_  ( A  X.  B )  ->  ( A. x  e.  A  E! y  x F
y  ->  A. x E* y  x F
y ) )
4746imp 429 . . . . 5  |-  ( ( F  C_  ( A  X.  B )  /\  A. x  e.  A  E! y  x F y )  ->  A. x E* y  x F y )
48 dffun6 5534 . . . . 5  |-  ( Fun 
F  <->  ( Rel  F  /\  A. x E* y  x F y ) )
4927, 47, 48sylanbrc 664 . . . 4  |-  ( ( F  C_  ( A  X.  B )  /\  A. x  e.  A  E! y  x F y )  ->  Fun  F )
50 dmss 5140 . . . . . . 7  |-  ( F 
C_  ( A  X.  B )  ->  dom  F 
C_  dom  ( A  X.  B ) )
51 dmxpss 5370 . . . . . . 7  |-  dom  ( A  X.  B )  C_  A
5250, 51syl6ss 3469 . . . . . 6  |-  ( F 
C_  ( A  X.  B )  ->  dom  F 
C_  A )
53 breq1 4396 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  z  ->  (
x F y  <->  z F
y ) )
5453eubidv 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  z  ->  ( E! y  x F
y  <->  E! y  z F y ) )
5554rspccv 3169 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  A  E! y  x F y  -> 
( z  e.  A  ->  E! y  z F y ) )
56 euex 2288 . . . . . . . . 9  |-  ( E! y  z F y  ->  E. y  z F y )
57 vex 3074 . . . . . . . . . 10  |-  z  e. 
_V
5857eldm 5138 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  dom  F  <->  E. y 
z F y )
5956, 58sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( E! y  z F y  ->  z  e.  dom  F )
6055, 59syl6 33 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  E! y  x F y  -> 
( z  e.  A  ->  z  e.  dom  F
) )
6160ssrdv 3463 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  E! y  x F y  ->  A  C_  dom  F )
6252, 61anim12i 566 . . . . 5  |-  ( ( F  C_  ( A  X.  B )  /\  A. x  e.  A  E! y  x F y )  ->  ( dom  F  C_  A  /\  A  C_  dom  F ) )
63 eqss 3472 . . . . 5  |-  ( dom 
F  =  A  <->  ( dom  F 
C_  A  /\  A  C_ 
dom  F ) )
6462, 63sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( F  C_  ( A  X.  B )  /\  A. x  e.  A  E! y  x F y )  ->  dom  F  =  A )
65 df-fn 5522 . . . 4  |-  ( F  Fn  A  <->  ( Fun  F  /\  dom  F  =  A ) )
6649, 64, 65sylanbrc 664 . . 3  |-  ( ( F  C_  ( A  X.  B )  /\  A. x  e.  A  E! y  x F y )  ->  F  Fn  A
)
67 rnss 5169 . . . . 5  |-  ( F 
C_  ( A  X.  B )  ->  ran  F 
C_  ran  ( A  X.  B ) )
68 rnxpss 5371 . . . . 5  |-  ran  ( A  X.  B )  C_  B
6967, 68syl6ss 3469 . . . 4  |-  ( F 
C_  ( A  X.  B )  ->  ran  F 
C_  B )
7069adantr 465 . . 3  |-  ( ( F  C_  ( A  X.  B )  /\  A. x  e.  A  E! y  x F y )  ->  ran  F  C_  B
)
71 df-f 5523 . . 3  |-  ( F : A --> B  <->  ( F  Fn  A  /\  ran  F  C_  B ) )
7266, 70, 71sylanbrc 664 . 2  |-  ( ( F  C_  ( A  X.  B )  /\  A. x  e.  A  E! y  x F y )  ->  F : A --> B )
7321, 72impbii 188 1  |-  ( F : A --> B  <->  ( F  C_  ( A  X.  B
)  /\  A. x  e.  A  E! y  x F y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1368    = wceq 1370   E.wex 1587    e. wcel 1758   E!weu 2260   E*wmo 2261   A.wral 2795   _Vcvv 3071    C_ wss 3429   <.cop 3984   class class class wbr 4393    X. cxp 4939   dom cdm 4941   ran crn 4942   Rel wrel 4946   Fun wfun 5513    Fn wfn 5514   -->wf 5515   ` cfv 5519
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pr 4632
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-nul 3739  df-if 3893  df-sn 3979  df-pr 3981  df-op 3985  df-uni 4193  df-br 4394  df-opab 4452  df-id 4737  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-fv 5527
This theorem is referenced by:  dff4  5959  seqomlem2  7009
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