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Theorem dff3 5994
Description: Alternate definition of a mapping. (Contributed by NM, 20-Mar-2007.)
Assertion
Ref Expression
dff3  |-  ( F : A --> B  <->  ( F  C_  ( A  X.  B
)  /\  A. x  e.  A  E! y  x F y ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y    x, F, y

Proof of Theorem dff3
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fssxp 5701 . . 3  |-  ( F : A --> B  ->  F  C_  ( A  X.  B ) )
2 ffun 5691 . . . . . . . . 9  |-  ( F : A --> B  ->  Fun  F )
32adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  Fun  F )
4 fdm 5693 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : A --> B  ->  dom  F  =  A )
54eleq2d 2491 . . . . . . . . 9  |-  ( F : A --> B  -> 
( x  e.  dom  F  <-> 
x  e.  A ) )
65biimpar 487 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  dom  F
)
7 funfvop 5953 . . . . . . . 8  |-  ( ( Fun  F  /\  x  e.  dom  F )  ->  <. x ,  ( F `
 x ) >.  e.  F )
83, 6, 7syl2anc 665 . . . . . . 7  |-  ( ( F : A --> B  /\  x  e.  A )  -> 
<. x ,  ( F `
 x ) >.  e.  F )
9 df-br 4367 . . . . . . 7  |-  ( x F ( F `  x )  <->  <. x ,  ( F `  x
) >.  e.  F )
108, 9sylibr 215 . . . . . 6  |-  ( ( F : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  x F ( F `
 x ) )
11 fvex 5835 . . . . . . 7  |-  ( F `
 x )  e. 
_V
12 breq2 4370 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( F `  x )  ->  (
x F y  <->  x F
( F `  x
) ) )
1311, 12spcev 3116 . . . . . 6  |-  ( x F ( F `  x )  ->  E. y  x F y )
1410, 13syl 17 . . . . 5  |-  ( ( F : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  E. y  x F y )
15 funmo 5560 . . . . . . 7  |-  ( Fun 
F  ->  E* y  x F y )
162, 15syl 17 . . . . . 6  |-  ( F : A --> B  ->  E* y  x F
y )
1716adantr 466 . . . . 5  |-  ( ( F : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  E* y  x F y )
18 eu5 2302 . . . . 5  |-  ( E! y  x F y  <-> 
( E. y  x F y  /\  E* y  x F y ) )
1914, 17, 18sylanbrc 668 . . . 4  |-  ( ( F : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  E! y  x F y )
2019ralrimiva 2779 . . 3  |-  ( F : A --> B  ->  A. x  e.  A  E! y  x F
y )
211, 20jca 534 . 2  |-  ( F : A --> B  -> 
( F  C_  ( A  X.  B )  /\  A. x  e.  A  E! y  x F y ) )
22 xpss 4903 . . . . . . . 8  |-  ( A  X.  B )  C_  ( _V  X.  _V )
23 sstr 3415 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  C_  ( A  X.  B )  /\  ( A  X.  B )  C_  ( _V  X.  _V )
)  ->  F  C_  ( _V  X.  _V ) )
2422, 23mpan2 675 . . . . . . 7  |-  ( F 
C_  ( A  X.  B )  ->  F  C_  ( _V  X.  _V ) )
25 df-rel 4803 . . . . . . 7  |-  ( Rel 
F  <->  F  C_  ( _V 
X.  _V ) )
2624, 25sylibr 215 . . . . . 6  |-  ( F 
C_  ( A  X.  B )  ->  Rel  F )
2726adantr 466 . . . . 5  |-  ( ( F  C_  ( A  X.  B )  /\  A. x  e.  A  E! y  x F y )  ->  Rel  F )
28 df-ral 2719 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  E! y  x F y  <->  A. x
( x  e.  A  ->  E! y  x F y ) )
29 eumo 2305 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E! y  x F y  ->  E* y  x F y )
3029imim2i 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  A  ->  E! y  x F
y )  ->  (
x  e.  A  ->  E* y  x F
y ) )
3130adantl 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  C_  ( A  X.  B )  /\  (
x  e.  A  ->  E! y  x F
y ) )  -> 
( x  e.  A  ->  E* y  x F y ) )
32 df-br 4367 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x F y  <->  <. x ,  y >.  e.  F
)
33 ssel 3401 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F 
C_  ( A  X.  B )  ->  ( <. x ,  y >.  e.  F  ->  <. x ,  y >.  e.  ( A  X.  B ) ) )
3432, 33syl5bi 220 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F 
C_  ( A  X.  B )  ->  (
x F y  ->  <. x ,  y >.  e.  ( A  X.  B
) ) )
35 opelxp1 4829 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( A  X.  B
)  ->  x  e.  A )
3634, 35syl6 34 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F 
C_  ( A  X.  B )  ->  (
x F y  ->  x  e.  A )
)
3736exlimdv 1772 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F 
C_  ( A  X.  B )  ->  ( E. y  x F
y  ->  x  e.  A ) )
3837con3d 138 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F 
C_  ( A  X.  B )  ->  ( -.  x  e.  A  ->  -.  E. y  x F y ) )
39 exmo 2301 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. y  x F y  \/  E* y  x F y )
4039ori 376 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -. 
E. y  x F y  ->  E* y  x F y )
4138, 40syl6 34 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F 
C_  ( A  X.  B )  ->  ( -.  x  e.  A  ->  E* y  x F y ) )
4241adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  C_  ( A  X.  B )  /\  (
x  e.  A  ->  E! y  x F
y ) )  -> 
( -.  x  e.  A  ->  E* y  x F y ) )
4331, 42pm2.61d 161 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  C_  ( A  X.  B )  /\  (
x  e.  A  ->  E! y  x F
y ) )  ->  E* y  x F
y )
4443ex 435 . . . . . . . 8  |-  ( F 
C_  ( A  X.  B )  ->  (
( x  e.  A  ->  E! y  x F y )  ->  E* y  x F y ) )
4544alimdv 1757 . . . . . . 7  |-  ( F 
C_  ( A  X.  B )  ->  ( A. x ( x  e.  A  ->  E! y  x F y )  ->  A. x E* y  x F y ) )
4628, 45syl5bi 220 . . . . . 6  |-  ( F 
C_  ( A  X.  B )  ->  ( A. x  e.  A  E! y  x F
y  ->  A. x E* y  x F
y ) )
4746imp 430 . . . . 5  |-  ( ( F  C_  ( A  X.  B )  /\  A. x  e.  A  E! y  x F y )  ->  A. x E* y  x F y )
48 dffun6 5559 . . . . 5  |-  ( Fun 
F  <->  ( Rel  F  /\  A. x E* y  x F y ) )
4927, 47, 48sylanbrc 668 . . . 4  |-  ( ( F  C_  ( A  X.  B )  /\  A. x  e.  A  E! y  x F y )  ->  Fun  F )
50 dmss 4996 . . . . . . 7  |-  ( F 
C_  ( A  X.  B )  ->  dom  F 
C_  dom  ( A  X.  B ) )
51 dmxpss 5230 . . . . . . 7  |-  dom  ( A  X.  B )  C_  A
5250, 51syl6ss 3419 . . . . . 6  |-  ( F 
C_  ( A  X.  B )  ->  dom  F 
C_  A )
53 breq1 4369 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  z  ->  (
x F y  <->  z F
y ) )
5453eubidv 2296 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  z  ->  ( E! y  x F
y  <->  E! y  z F y ) )
5554rspccv 3122 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  A  E! y  x F y  -> 
( z  e.  A  ->  E! y  z F y ) )
56 euex 2300 . . . . . . . . 9  |-  ( E! y  z F y  ->  E. y  z F y )
57 vex 3025 . . . . . . . . . 10  |-  z  e. 
_V
5857eldm 4994 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  dom  F  <->  E. y 
z F y )
5956, 58sylibr 215 . . . . . . . 8  |-  ( E! y  z F y  ->  z  e.  dom  F )
6055, 59syl6 34 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  E! y  x F y  -> 
( z  e.  A  ->  z  e.  dom  F
) )
6160ssrdv 3413 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  E! y  x F y  ->  A  C_  dom  F )
6252, 61anim12i 568 . . . . 5  |-  ( ( F  C_  ( A  X.  B )  /\  A. x  e.  A  E! y  x F y )  ->  ( dom  F  C_  A  /\  A  C_  dom  F ) )
63 eqss 3422 . . . . 5  |-  ( dom 
F  =  A  <->  ( dom  F 
C_  A  /\  A  C_ 
dom  F ) )
6462, 63sylibr 215 . . . 4  |-  ( ( F  C_  ( A  X.  B )  /\  A. x  e.  A  E! y  x F y )  ->  dom  F  =  A )
65 df-fn 5547 . . . 4  |-  ( F  Fn  A  <->  ( Fun  F  /\  dom  F  =  A ) )
6649, 64, 65sylanbrc 668 . . 3  |-  ( ( F  C_  ( A  X.  B )  /\  A. x  e.  A  E! y  x F y )  ->  F  Fn  A
)
67 rnss 5025 . . . . 5  |-  ( F 
C_  ( A  X.  B )  ->  ran  F 
C_  ran  ( A  X.  B ) )
68 rnxpss 5231 . . . . 5  |-  ran  ( A  X.  B )  C_  B
6967, 68syl6ss 3419 . . . 4  |-  ( F 
C_  ( A  X.  B )  ->  ran  F 
C_  B )
7069adantr 466 . . 3  |-  ( ( F  C_  ( A  X.  B )  /\  A. x  e.  A  E! y  x F y )  ->  ran  F  C_  B
)
71 df-f 5548 . . 3  |-  ( F : A --> B  <->  ( F  Fn  A  /\  ran  F  C_  B ) )
7266, 70, 71sylanbrc 668 . 2  |-  ( ( F  C_  ( A  X.  B )  /\  A. x  e.  A  E! y  x F y )  ->  F : A --> B )
7321, 72impbii 190 1  |-  ( F : A --> B  <->  ( F  C_  ( A  X.  B
)  /\  A. x  e.  A  E! y  x F y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370   A.wal 1435    = wceq 1437   E.wex 1657    e. wcel 1872   E!weu 2276   E*wmo 2277   A.wral 2714   _Vcvv 3022    C_ wss 3379   <.cop 3947   class class class wbr 4366    X. cxp 4794   dom cdm 4796   ran crn 4797   Rel wrel 4801   Fun wfun 5538    Fn wfn 5539   -->wf 5540   ` cfv 5544
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pr 4603
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-ral 2719  df-rex 2720  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-nul 3705  df-if 3855  df-sn 3942  df-pr 3944  df-op 3948  df-uni 4163  df-br 4367  df-opab 4426  df-id 4711  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-fv 5552
This theorem is referenced by:  dff4  5995  seqomlem2  7123
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