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Theorem dff13 5966
Description: A one-to-one function in terms of function values. Compare Theorem 4.8(iv) of [Monk1] p. 43. (Contributed by NM, 29-Oct-1996.)
Assertion
Ref Expression
dff13  |-  ( F : A -1-1-> B  <->  ( F : A --> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )
) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, F, y
Allowed substitution hints:    B( x, y)

Proof of Theorem dff13
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dff12 5600 . 2  |-  ( F : A -1-1-> B  <->  ( F : A --> B  /\  A. z E* x  x F z ) )
2 ffn 5554 . . . 4  |-  ( F : A --> B  ->  F  Fn  A )
3 vex 2970 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  x  e. 
_V
4 vex 2970 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  z  e. 
_V
53, 4breldm 5039 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x F z  ->  x  e.  dom  F )
6 fndm 5505 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  Fn  A  ->  dom  F  =  A )
76eleq2d 2505 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  Fn  A  ->  (
x  e.  dom  F  <->  x  e.  A ) )
85, 7syl5ib 219 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  Fn  A  ->  (
x F z  ->  x  e.  A )
)
9 vex 2970 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  y  e. 
_V
109, 4breldm 5039 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y F z  ->  y  e.  dom  F )
116eleq2d 2505 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  Fn  A  ->  (
y  e.  dom  F  <->  y  e.  A ) )
1210, 11syl5ib 219 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  Fn  A  ->  (
y F z  -> 
y  e.  A ) )
138, 12anim12d 563 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  Fn  A  ->  (
( x F z  /\  y F z )  ->  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) ) )
1413pm4.71rd 635 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  Fn  A  ->  (
( x F z  /\  y F z )  <->  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  (
x F z  /\  y F z ) ) ) )
15 eqcom 2440 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( F `  x )  <->  ( F `  x )  =  z )
16 fnbrfvb 5727 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F  Fn  A  /\  x  e.  A )  ->  ( ( F `  x )  =  z  <-> 
x F z ) )
1715, 16syl5bb 257 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  Fn  A  /\  x  e.  A )  ->  ( z  =  ( F `  x )  <-> 
x F z ) )
18 eqcom 2440 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( F `  y )  <->  ( F `  y )  =  z )
19 fnbrfvb 5727 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F  Fn  A  /\  y  e.  A )  ->  ( ( F `  y )  =  z  <-> 
y F z ) )
2018, 19syl5bb 257 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  Fn  A  /\  y  e.  A )  ->  ( z  =  ( F `  y )  <-> 
y F z ) )
2117, 20bi2anan9 868 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  x  e.  A
)  /\  ( F  Fn  A  /\  y  e.  A ) )  -> 
( ( z  =  ( F `  x
)  /\  z  =  ( F `  y ) )  <->  ( x F z  /\  y F z ) ) )
2221anandis 826 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  Fn  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  (
( z  =  ( F `  x )  /\  z  =  ( F `  y ) )  <->  ( x F z  /\  y F z ) ) )
2322pm5.32da 641 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  Fn  A  ->  (
( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  (
z  =  ( F `
 x )  /\  z  =  ( F `  y ) ) )  <-> 
( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  (
x F z  /\  y F z ) ) ) )
2414, 23bitr4d 256 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  Fn  A  ->  (
( x F z  /\  y F z )  <->  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  (
z  =  ( F `
 x )  /\  z  =  ( F `  y ) ) ) ) )
2524imbi1d 317 . . . . . . . . 9  |-  ( F  Fn  A  ->  (
( ( x F z  /\  y F z )  ->  x  =  y )  <->  ( (
( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  /\  ( z  =  ( F `  x )  /\  z  =  ( F `  y ) ) )  ->  x  =  y ) ) )
26 impexp 446 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  (
z  =  ( F `
 x )  /\  z  =  ( F `  y ) ) )  ->  x  =  y )  <->  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  (
( z  =  ( F `  x )  /\  z  =  ( F `  y ) )  ->  x  =  y ) ) )
2725, 26syl6bb 261 . . . . . . . 8  |-  ( F  Fn  A  ->  (
( ( x F z  /\  y F z )  ->  x  =  y )  <->  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( ( z  =  ( F `  x
)  /\  z  =  ( F `  y ) )  ->  x  =  y ) ) ) )
2827albidv 1679 . . . . . . 7  |-  ( F  Fn  A  ->  ( A. z ( ( x F z  /\  y F z )  ->  x  =  y )  <->  A. z ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  (
( z  =  ( F `  x )  /\  z  =  ( F `  y ) )  ->  x  =  y ) ) ) )
29 19.21v 1908 . . . . . . . 8  |-  ( A. z ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  (
( z  =  ( F `  x )  /\  z  =  ( F `  y ) )  ->  x  =  y ) )  <->  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  A. z ( ( z  =  ( F `
 x )  /\  z  =  ( F `  y ) )  ->  x  =  y )
) )
30 19.23v 1909 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. z ( ( z  =  ( F `  x )  /\  z  =  ( F `  y ) )  ->  x  =  y )  <->  ( E. z ( z  =  ( F `  x )  /\  z  =  ( F `  y ) )  ->  x  =  y )
)
31 fvex 5696 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F `
 x )  e. 
_V
3231eqvinc 3081 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  <->  E. z
( z  =  ( F `  x )  /\  z  =  ( F `  y ) ) )
3332imbi1i 325 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )  <->  ( E. z ( z  =  ( F `  x )  /\  z  =  ( F `  y ) )  ->  x  =  y )
)
3430, 33bitr4i 252 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z ( ( z  =  ( F `  x )  /\  z  =  ( F `  y ) )  ->  x  =  y )  <->  ( ( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )
)
3534imbi2i 312 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  ->  A. z
( ( z  =  ( F `  x
)  /\  z  =  ( F `  y ) )  ->  x  =  y ) )  <->  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) )
3629, 35bitri 249 . . . . . . 7  |-  ( A. z ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  (
( z  =  ( F `  x )  /\  z  =  ( F `  y ) )  ->  x  =  y ) )  <->  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) )
3728, 36syl6bb 261 . . . . . 6  |-  ( F  Fn  A  ->  ( A. z ( ( x F z  /\  y F z )  ->  x  =  y )  <->  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) )
38372albidv 1681 . . . . 5  |-  ( F  Fn  A  ->  ( A. x A. y A. z ( ( x F z  /\  y F z )  ->  x  =  y )  <->  A. x A. y ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) )
39 breq1 4290 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
x F z  <->  y F
z ) )
4039mo4 2315 . . . . . . 7  |-  ( E* x  x F z  <->  A. x A. y ( ( x F z  /\  y F z )  ->  x  =  y ) )
4140albii 1610 . . . . . 6  |-  ( A. z E* x  x F z  <->  A. z A. x A. y ( ( x F z  /\  y F z )  ->  x  =  y )
)
42 alrot3 1784 . . . . . 6  |-  ( A. z A. x A. y
( ( x F z  /\  y F z )  ->  x  =  y )  <->  A. x A. y A. z ( ( x F z  /\  y F z )  ->  x  =  y ) )
4341, 42bitri 249 . . . . 5  |-  ( A. z E* x  x F z  <->  A. x A. y A. z ( ( x F z  /\  y F z )  ->  x  =  y )
)
44 r2al 2747 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )  <->  A. x A. y ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) )
4538, 43, 443bitr4g 288 . . . 4  |-  ( F  Fn  A  ->  ( A. z E* x  x F z  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) )
462, 45syl 16 . . 3  |-  ( F : A --> B  -> 
( A. z E* x  x F z  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) )
4746pm5.32i 637 . 2  |-  ( ( F : A --> B  /\  A. z E* x  x F z )  <->  ( F : A --> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )
) )
481, 47bitri 249 1  |-  ( F : A -1-1-> B  <->  ( F : A --> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1367    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756   E*wmo 2253   A.wral 2710   class class class wbr 4287   dom cdm 4835    Fn wfn 5408   -->wf 5409   -1-1->wf1 5410   ` cfv 5413
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pr 4526
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-br 4288  df-opab 4346  df-id 4631  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fv 5421
This theorem is referenced by:  f1veqaeq  5967  dff13f  5968  dff1o6  5977  fcof1  5986  soisoi  6014  f1o2ndf1  6675  fnwelem  6682  smo11  6817  tz7.48lem  6888  omsmo  7085  unxpdomlem3  7511  unfilem2  7569  fofinf1o  7584  inf3lem6  7831  r111  7974  fseqenlem1  8186  fodomacn  8218  alephf1  8247  alephiso  8260  ackbij1lem17  8397  infpssrlem5  8468  fin23lem28  8501  fin1a2lem2  8562  fin1a2lem4  8564  axcc2lem  8597  domtriomlem  8603  cnref1o  10978  injresinj  11631  om2uzf1oi  11768  reeff1  13396  bitsf1  13634  crt  13845  eulerthlem2  13849  1arith  13980  vdwlem12  14045  xpsff1o  14498  setcmon  14947  yoniso  15087  ghmf1  15766  orbsta  15822  symgextf1  15917  symgfixf1  15934  odf1  16054  mvrf1  17475  ply1sclf1  17716  znf1o  17959  cygznlem3  17977  uvcf1  18192  lindff1  18224  mdetunilem8  18400  ist0-4  19277  ovolicc2lem4  20978  recosf1o  21966  efif1olem4  21976  basellem4  22396  dvdsmulf1o  22509  lgsqrlem2  22656  lgseisenlem2  22664  axlowdimlem15  23153  wlkntrllem3  23411  wlkdvspthlem  23457  fargshiftf1  23474  constr3trllem2  23488  pjmf1  25070  unopf1o  25271  kerf1hrm  26243  erdszelem9  27039  ghomf1olem  27264  f1opr  28571  grpokerinj  28703  dnnumch3  29353  dff14a  30097  wwlktovf1  30205  wlknwwlkninj  30296  wlkiswwlkinj  30303  wwlkextinj  30315  clwwlkf1  30411  clwlkf1clwwlk  30476  frgrancvvdeqlemB  30584  numclwlk1lem2f1  30640  cdleme50f1  34027  dihf11  34752
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