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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > dff13 | Structured version Visualization version Unicode version |
Description: A one-to-one function in terms of function values. Compare Theorem 4.8(iv) of [Monk1] p. 43. (Contributed by NM, 29-Oct-1996.) |
Ref | Expression |
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dff13 |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | dff12 5800 |
. 2
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2 | ffn 5750 |
. . . 4
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3 | vex 3059 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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4 | vex 3059 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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5 | 3, 4 | breldm 5057 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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6 | fndm 5696 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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7 | 6 | eleq2d 2524 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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8 | 5, 7 | syl5ib 227 |
. . . . . . . . . . . . 13
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9 | vex 3059 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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10 | 9, 4 | breldm 5057 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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11 | 6 | eleq2d 2524 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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12 | 10, 11 | syl5ib 227 |
. . . . . . . . . . . . 13
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13 | 8, 12 | anim12d 570 |
. . . . . . . . . . . 12
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14 | 13 | pm4.71rd 645 |
. . . . . . . . . . 11
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15 | eqcom 2468 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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16 | fnbrfvb 5927 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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17 | 15, 16 | syl5bb 265 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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18 | eqcom 2468 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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19 | fnbrfvb 5927 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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20 | 18, 19 | syl5bb 265 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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21 | 17, 20 | bi2anan9 889 |
. . . . . . . . . . . . 13
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22 | 21 | anandis 844 |
. . . . . . . . . . . 12
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23 | 22 | pm5.32da 651 |
. . . . . . . . . . 11
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24 | 14, 23 | bitr4d 264 |
. . . . . . . . . 10
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25 | 24 | imbi1d 323 |
. . . . . . . . 9
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26 | impexp 452 |
. . . . . . . . 9
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27 | 25, 26 | syl6bb 269 |
. . . . . . . 8
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28 | 27 | albidv 1777 |
. . . . . . 7
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29 | 19.21v 1796 |
. . . . . . . 8
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30 | 19.23v 1828 |
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31 | fvex 5897 |
. . . . . . . . . . . 12
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32 | 31 | eqvinc 3177 |
. . . . . . . . . . 11
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33 | 32 | imbi1i 331 |
. . . . . . . . . 10
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34 | 30, 33 | bitr4i 260 |
. . . . . . . . 9
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35 | 34 | imbi2i 318 |
. . . . . . . 8
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36 | 29, 35 | bitri 257 |
. . . . . . 7
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37 | 28, 36 | syl6bb 269 |
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38 | 37 | 2albidv 1779 |
. . . . 5
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39 | breq1 4418 |
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40 | 39 | mo4 2356 |
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41 | 40 | albii 1701 |
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42 | alrot3 1934 |
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43 | 41, 42 | bitri 257 |
. . . . 5
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44 | r2al 2777 |
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45 | 38, 43, 44 | 3bitr4g 296 |
. . . 4
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46 | 2, 45 | syl 17 |
. . 3
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47 | 46 | pm5.32i 647 |
. 2
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48 | 1, 47 | bitri 257 |
1
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Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1679 ax-4 1692 ax-5 1768 ax-6 1815 ax-7 1861 ax-9 1906 ax-10 1925 ax-11 1930 ax-12 1943 ax-13 2101 ax-ext 2441 ax-sep 4538 ax-nul 4547 ax-pr 4652 |
This theorem depends on definitions: df-bi 190 df-or 376 df-an 377 df-3an 993 df-tru 1457 df-ex 1674 df-nf 1678 df-sb 1808 df-eu 2313 df-mo 2314 df-clab 2448 df-cleq 2454 df-clel 2457 df-nfc 2591 df-ne 2634 df-ral 2753 df-rex 2754 df-rab 2757 df-v 3058 df-sbc 3279 df-dif 3418 df-un 3420 df-in 3422 df-ss 3429 df-nul 3743 df-if 3893 df-sn 3980 df-pr 3982 df-op 3986 df-uni 4212 df-br 4416 df-opab 4475 df-id 4767 df-xp 4858 df-rel 4859 df-cnv 4860 df-co 4861 df-dm 4862 df-iota 5564 df-fun 5602 df-fn 5603 df-f 5604 df-f1 5605 df-fv 5608 |
This theorem is referenced by: dff13f 6184 f1veqaeq 6185 dff14a 6194 dff1o6 6198 fcof1 6209 soisoi 6243 f1o2ndf1 6930 fnwelem 6937 smo11 7108 tz7.48lem 7183 omsmo 7380 unxpdomlem3 7803 unfilem2 7861 fofinf1o 7877 inf3lem6 8163 r111 8271 fseqenlem1 8480 fodomacn 8512 alephf1 8541 alephiso 8554 ackbij1lem17 8691 infpssrlem5 8762 fin23lem28 8795 fin1a2lem2 8856 fin1a2lem4 8858 axcc2lem 8891 domtriomlem 8897 cnref1o 11325 injresinj 12056 om2uzf1oi 12198 wwlktovf1 13080 reeff1 14222 bitsf1 14468 crt 14774 eulerthlem2 14778 1arith 14919 vdwlem12 14990 xpsff1o 15522 setcmon 16030 fthestrcsetc 16083 embedsetcestrclem 16090 fthsetcestrc 16098 yoniso 16218 ghmf1 16959 orbsta 17015 symgextf1 17110 symgfixf1 17126 odf1 17261 kerf1hrm 18019 mvrf1 18697 ply1sclf1 18930 znf1o 19170 cygznlem3 19188 uvcf1 19398 lindff1 19426 scmatf1 19604 mdetunilem8 19692 mat2pmatf1 19801 pm2mpf1 19871 ist0-4 20792 ovolicc2lem4OLD 22521 ovolicc2lem4 22522 recosf1o 23532 efif1olem4 23542 basellem4 24058 dvdsmulf1o 24171 lgsqrlem2 24318 lgseisenlem2 24326 axlowdimlem15 25034 wlkntrllem3 25339 wlkdvspthlem 25385 fargshiftf1 25413 constr3trllem2 25427 wlknwwlkninj 25487 wlkiswwlkinj 25494 wwlkextinj 25506 clwwlkf1 25572 clwlkf1clwwlk 25626 frgrancvvdeqlemB 25814 numclwlk1lem2f1 25870 pjmf1 27417 unopf1o 27617 erdszelem9 29970 mrsubff1 30200 msubff1 30242 mvhf1 30245 ghomf1olem 30360 f1omptsnlem 31782 poimirlem26 32010 poimirlem27 32011 f1opr 32095 grpokerinj 32227 cdleme50f1 34154 dihf11 34879 dnnumch3 35949 wessf1ornlem 37496 projf1o 37511 sumnnodd 37747 dvnprodlem1 37858 fourierdlem34 38041 fourierdlem51 38058 fpropnf1 39077 upgrwlkdvdelem 39767 |
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