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Theorem dfer2 7349
Description: Alternate definition of equivalence predicate. (Contributed by NM, 3-Jan-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
dfer2  |-  ( R  Er  A  <->  ( Rel  R  /\  dom  R  =  A  /\  A. x A. y A. z ( ( x R y  ->  y R x )  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) ) ) )
Distinct variable group:    x, y, z, R
Allowed substitution hints:    A( x, y, z)

Proof of Theorem dfer2
StepHypRef Expression
1 df-er 7348 . 2  |-  ( R  Er  A  <->  ( Rel  R  /\  dom  R  =  A  /\  ( `' R  u.  ( R  o.  R ) ) 
C_  R ) )
2 cnvsym 5202 . . . . 5  |-  ( `' R  C_  R  <->  A. x A. y ( x R y  ->  y R x ) )
3 cotr 5200 . . . . 5  |-  ( ( R  o.  R ) 
C_  R  <->  A. x A. y A. z ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z ) )
42, 3anbi12i 695 . . . 4  |-  ( ( `' R  C_  R  /\  ( R  o.  R
)  C_  R )  <->  ( A. x A. y
( x R y  ->  y R x )  /\  A. x A. y A. z ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z ) ) )
5 unss 3617 . . . 4  |-  ( ( `' R  C_  R  /\  ( R  o.  R
)  C_  R )  <->  ( `' R  u.  ( R  o.  R )
)  C_  R )
6 19.28v 1791 . . . . . . . 8  |-  ( A. z ( ( x R y  ->  y R x )  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )  <-> 
( ( x R y  ->  y R x )  /\  A. z ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) ) )
76albii 1661 . . . . . . 7  |-  ( A. y A. z ( ( x R y  -> 
y R x )  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )  <->  A. y ( ( x R y  ->  y R x )  /\  A. z ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) ) )
8 19.26 1701 . . . . . . 7  |-  ( A. y ( ( x R y  ->  y R x )  /\  A. z ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )  <-> 
( A. y ( x R y  -> 
y R x )  /\  A. y A. z ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) ) )
97, 8bitri 249 . . . . . 6  |-  ( A. y A. z ( ( x R y  -> 
y R x )  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )  <-> 
( A. y ( x R y  -> 
y R x )  /\  A. y A. z ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) ) )
109albii 1661 . . . . 5  |-  ( A. x A. y A. z
( ( x R y  ->  y R x )  /\  (
( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z ) )  <->  A. x
( A. y ( x R y  -> 
y R x )  /\  A. y A. z ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) ) )
11 19.26 1701 . . . . 5  |-  ( A. x ( A. y
( x R y  ->  y R x )  /\  A. y A. z ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )  <-> 
( A. x A. y ( x R y  ->  y R x )  /\  A. x A. y A. z
( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) ) )
1210, 11bitr2i 250 . . . 4  |-  ( ( A. x A. y
( x R y  ->  y R x )  /\  A. x A. y A. z ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z ) )  <->  A. x A. y A. z ( ( x R y  ->  y R x )  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) ) )
134, 5, 123bitr3i 275 . . 3  |-  ( ( `' R  u.  ( R  o.  R )
)  C_  R  <->  A. x A. y A. z ( ( x R y  ->  y R x )  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) ) )
14133anbi3i 1190 . 2  |-  ( ( Rel  R  /\  dom  R  =  A  /\  ( `' R  u.  ( R  o.  R )
)  C_  R )  <->  ( Rel  R  /\  dom  R  =  A  /\  A. x A. y A. z
( ( x R y  ->  y R x )  /\  (
( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z ) ) ) )
151, 14bitri 249 1  |-  ( R  Er  A  <->  ( Rel  R  /\  dom  R  =  A  /\  A. x A. y A. z ( ( x R y  ->  y R x )  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 974   A.wal 1403    = wceq 1405    u. cun 3412    C_ wss 3414   class class class wbr 4395   `'ccnv 4822   dom cdm 4823    o. ccom 4827   Rel wrel 4828    Er wer 7345
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pr 4630
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-rab 2763  df-v 3061  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-br 4396  df-opab 4454  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-er 7348
This theorem is referenced by:  iserd  7374  trer  30544  riscer  31673  prter1  31902
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