MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dfef2 Structured version   Unicode version

Theorem dfef2 23498
Description: The limit of the sequence  ( 1  +  A  /  k
) ^ k as  k goes to +oo is  ( exp `  A
). This is another common definition of  _e. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dfef2.1  |-  ( ph  ->  F  e.  V )
dfef2.2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
dfef2.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  =  ( ( 1  +  ( A  /  k
) ) ^ k
) )
Assertion
Ref Expression
dfef2  |-  ( ph  ->  F  ~~>  ( exp `  A
) )
Distinct variable groups:    A, k    k, F    ph, k
Allowed substitution hint:    V( k)

Proof of Theorem dfef2
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfef2.2 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 ax-1cn 9539 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
3 simpl 455 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  NN )  ->  A  e.  CC )
4 nncn 10539 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  NN  ->  x  e.  CC )
54adantl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  NN )  ->  x  e.  CC )
6 nnne0 10564 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  NN  ->  x  =/=  0 )
76adantl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  NN )  ->  x  =/=  0 )
83, 5, 7divcld 10316 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  NN )  ->  ( A  /  x
)  e.  CC )
9 addcl 9563 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( A  /  x
)  e.  CC )  ->  ( 1  +  ( A  /  x
) )  e.  CC )
102, 8, 9sylancr 661 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  NN )  ->  ( 1  +  ( A  /  x ) )  e.  CC )
11 nnnn0 10798 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  NN  ->  x  e.  NN0 )
1211adantl 464 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  NN )  ->  x  e.  NN0 )
13 cxpexp 23217 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1  +  ( A  /  x ) )  e.  CC  /\  x  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  +  ( A  /  x
) )  ^c 
x )  =  ( ( 1  +  ( A  /  x ) ) ^ x ) )
1410, 12, 13syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( 1  +  ( A  /  x
) )  ^c 
x )  =  ( ( 1  +  ( A  /  x ) ) ^ x ) )
1514mpteq2dva 4525 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
x  e.  NN  |->  ( ( 1  +  ( A  /  x ) )  ^c  x ) )  =  ( x  e.  NN  |->  ( ( 1  +  ( A  /  x ) ) ^ x ) ) )
16 nnrp 11230 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  NN  ->  x  e.  RR+ )
1716ssriv 3493 . . . . . . 7  |-  NN  C_  RR+
1817a1i 11 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  NN  C_  RR+ )
19 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( 1  /  (
( abs `  A
)  +  1 ) ) )  =  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( 1  /  (
( abs `  A
)  +  1 ) ) )
2019efrlim 23497 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
x  e.  RR+  |->  ( ( 1  +  ( A  /  x ) )  ^c  x ) )  ~~> r  ( exp `  A ) )
2118, 20rlimres2 13466 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
x  e.  NN  |->  ( ( 1  +  ( A  /  x ) )  ^c  x ) )  ~~> r  ( exp `  A ) )
2215, 21eqbrtrrd 4461 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
x  e.  NN  |->  ( ( 1  +  ( A  /  x ) ) ^ x ) )  ~~> r  ( exp `  A ) )
23 nnuz 11117 . . . . 5  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
24 1zzd 10891 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  1  e.  ZZ )
2510, 12expcld 12292 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( 1  +  ( A  /  x
) ) ^ x
)  e.  CC )
26 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( x  e.  NN  |->  ( ( 1  +  ( A  /  x ) ) ^ x ) )  =  ( x  e.  NN  |->  ( ( 1  +  ( A  /  x ) ) ^
x ) )
2725, 26fmptd 6031 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
x  e.  NN  |->  ( ( 1  +  ( A  /  x ) ) ^ x ) ) : NN --> CC )
2823, 24, 27rlimclim 13451 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( x  e.  NN  |->  ( ( 1  +  ( A  /  x
) ) ^ x
) )  ~~> r  ( exp `  A )  <-> 
( x  e.  NN  |->  ( ( 1  +  ( A  /  x
) ) ^ x
) )  ~~>  ( exp `  A ) ) )
2922, 28mpbid 210 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
x  e.  NN  |->  ( ( 1  +  ( A  /  x ) ) ^ x ) )  ~~>  ( exp `  A
) )
301, 29syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  NN  |->  ( ( 1  +  ( A  /  x
) ) ^ x
) )  ~~>  ( exp `  A ) )
31 nnex 10537 . . . . 5  |-  NN  e.  _V
3231mptex 6118 . . . 4  |-  ( x  e.  NN  |->  ( ( 1  +  ( A  /  x ) ) ^ x ) )  e.  _V
3332a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  NN  |->  ( ( 1  +  ( A  /  x
) ) ^ x
) )  e.  _V )
34 dfef2.1 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  V )
35 1zzd 10891 . . 3  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
36 oveq2 6278 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  k  ->  ( A  /  x )  =  ( A  /  k
) )
3736oveq2d 6286 . . . . . . 7  |-  ( x  =  k  ->  (
1  +  ( A  /  x ) )  =  ( 1  +  ( A  /  k
) ) )
38 id 22 . . . . . . 7  |-  ( x  =  k  ->  x  =  k )
3937, 38oveq12d 6288 . . . . . 6  |-  ( x  =  k  ->  (
( 1  +  ( A  /  x ) ) ^ x )  =  ( ( 1  +  ( A  / 
k ) ) ^
k ) )
40 ovex 6298 . . . . . 6  |-  ( ( 1  +  ( A  /  k ) ) ^ k )  e. 
_V
4139, 26, 40fvmpt 5931 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( x  e.  NN  |->  ( ( 1  +  ( A  /  x
) ) ^ x
) ) `  k
)  =  ( ( 1  +  ( A  /  k ) ) ^ k ) )
4241adantl 464 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( x  e.  NN  |->  ( ( 1  +  ( A  /  x ) ) ^ x ) ) `  k )  =  ( ( 1  +  ( A  / 
k ) ) ^
k ) )
43 dfef2.3 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  =  ( ( 1  +  ( A  /  k
) ) ^ k
) )
4442, 43eqtr4d 2498 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( x  e.  NN  |->  ( ( 1  +  ( A  /  x ) ) ^ x ) ) `  k )  =  ( F `  k ) )
4523, 33, 34, 35, 44climeq 13472 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  NN  |->  ( ( 1  +  ( A  /  x ) ) ^
x ) )  ~~>  ( exp `  A )  <->  F  ~~>  ( exp `  A ) ) )
4630, 45mpbid 210 1  |-  ( ph  ->  F  ~~>  ( exp `  A
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649   _Vcvv 3106    C_ wss 3461   class class class wbr 4439    |-> cmpt 4497    o. ccom 4992   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   CCcc 9479   0cc0 9481   1c1 9482    + caddc 9484    - cmin 9796    / cdiv 10202   NNcn 10531   NN0cn0 10791   RR+crp 11221   ^cexp 12148   abscabs 13149    ~~> cli 13389    ~~> r crli 13390   expce 13879   ballcbl 18600    ^c ccxp 23109
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-fi 7863  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-ioo 11536  df-ioc 11537  df-ico 11538  df-icc 11539  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-fl 11910  df-mod 11979  df-seq 12090  df-exp 12149  df-fac 12336  df-bc 12363  df-hash 12388  df-shft 12982  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-limsup 13376  df-clim 13393  df-rlim 13394  df-sum 13591  df-ef 13885  df-sin 13887  df-cos 13888  df-tan 13889  df-pi 13890  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-starv 14799  df-sca 14800  df-vsca 14801  df-ip 14802  df-tset 14803  df-ple 14804  df-ds 14806  df-unif 14807  df-hom 14808  df-cco 14809  df-rest 14912  df-topn 14913  df-0g 14931  df-gsum 14932  df-topgen 14933  df-pt 14934  df-prds 14937  df-xrs 14991  df-qtop 14996  df-imas 14997  df-xps 14999  df-mre 15075  df-mrc 15076  df-acs 15078  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-submnd 16166  df-mulg 16259  df-cntz 16554  df-cmn 16999  df-psmet 18606  df-xmet 18607  df-met 18608  df-bl 18609  df-mopn 18610  df-fbas 18611  df-fg 18612  df-cnfld 18616  df-top 19566  df-bases 19568  df-topon 19569  df-topsp 19570  df-cld 19687  df-ntr 19688  df-cls 19689  df-nei 19766  df-lp 19804  df-perf 19805  df-cn 19895  df-cnp 19896  df-haus 19983  df-cmp 20054  df-tx 20229  df-hmeo 20422  df-fil 20513  df-fm 20605  df-flim 20606  df-flf 20607  df-xms 20989  df-ms 20990  df-tms 20991  df-cncf 21548  df-limc 22436  df-dv 22437  df-log 23110  df-cxp 23111
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator