Theorem dfdfat2 37584

Description: Alternate definition of the predicate "defined at" not using the Fun predicate. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Jul-2017.)

Assertion

Ref	Expression
dfdfat2	|- ( F defAt A <-> ( A e. dom F /\ E! y A F y ) )

Distinct variable groups:   y, A   y, F

Proof of Theorem dfdfat2

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dfat 37569	. 2 |- ( F defAt A <-> ( A e. dom F /\ Fun ( F |` { A } ) ) )
2		relres 5121	. . . 4 |- Rel ( F |` { A } )
3		dffun8 5596	. . . 4 |- ( Fun ( F |` { A } ) <-> ( Rel ( F |` { A } ) /\ A. x e. dom ( F |` { A } ) E! y x ( F |` { A } ) y ) )
4	2, 3	mpbiran 919	. . 3 |- ( Fun ( F |` { A } ) <-> A. x e. dom ( F |` { A } ) E! y x ( F |` { A } ) y )
5	4	anbi2i 692	. 2 |- ( ( A e. dom F /\ Fun ( F |` { A } ) ) <-> ( A e. dom F /\ A. x e. dom ( F |` { A } ) E! y x ( F |` { A } ) y ) )
6		vex 3062	. . . . . . . 8 |- y e. _V
7	6	brres 5100	. . . . . . 7 |- ( x ( F |` { A } ) y <-> ( x F y /\ x e. { A } ) )
8	7	a1i 11	. . . . . 6 |- ( A e. dom F -> ( x ( F |` { A } ) y <-> ( x F y /\ x e. { A } ) ) )
9	8	eubidv 2260	. . . . 5 |- ( A e. dom F -> ( E! y x ( F |` { A } ) y <-> E! y ( x F y /\ x e. { A } ) ) )
10	9	ralbidv 2843	. . . 4 |- ( A e. dom F -> ( A. x e. dom ( F |` { A } ) E! y x ( F |` { A } ) y <-> A. x e. dom ( F |` { A } ) E! y ( x F y /\ x e. { A } ) ) )
11		eldmressnsn 5133	. . . . 5 |- ( A e. dom F -> A e. dom ( F |` { A } ) )
12		eldmressn 37576	. . . . 5 |- ( x e. dom ( F |` { A } ) -> x = A )
13		breq1 4398	. . . . . . . 8 |- ( x = A -> ( x F y <-> A F y ) )
14	13	anbi1d 703	. . . . . . 7 |- ( x = A -> ( ( x F y /\ x e. { A } ) <-> ( A F y /\ x e. { A } ) ) )
15		elsn 3986	. . . . . . . . 9 |- ( x e. { A } <-> x = A )
16	15	biimpri 206	. . . . . . . 8 |- ( x = A -> x e. { A } )
17	16	biantrud 505	. . . . . . 7 |- ( x = A -> ( A F y <-> ( A F y /\ x e. { A } ) ) )
18	14, 17	bitr4d 256	. . . . . 6 |- ( x = A -> ( ( x F y /\ x e. { A } ) <-> A F y ) )
19	18	eubidv 2260	. . . . 5 |- ( x = A -> ( E! y ( x F y /\ x e. { A } ) <-> E! y A F y ) )
20	11, 12, 19	ralbinrald 37572	. . . 4 |- ( A e. dom F -> ( A. x e. dom ( F |` { A } ) E! y ( x F y /\ x e. { A } ) <-> E! y A F y ) )
21	10, 20	bitrd 253	. . 3 |- ( A e. dom F -> ( A. x e. dom ( F |` { A } ) E! y x ( F |` { A } ) y <-> E! y A F y ) )
22	21	pm5.32i 635	. 2 |- ( ( A e. dom F /\ A. x e. dom ( F |` { A } ) E! y x ( F |` { A } ) y ) <-> ( A e. dom F /\ E! y A F y ) )
23	1, 5, 22	3bitri 271	1 |- ( F defAt A <-> ( A e. dom F /\ E! y A F y ) )

Syntax hints:   <-> wb 184   /\ wa 367   = wceq 1405   e. wcel 1842   E!weu 2238   A.wral 2754   {csn 3972   class class class wbr 4395   dom cdm 4823   |` cres 4825   Rel wrel 4828   Fun wfun 5563   defAt wdfat 37566

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pr 4630

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-rab 2763  df-v 3061  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-br 4396  df-opab 4454  df-id 4738  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-res 4835  df-fun 5571  df-dfat 37569

This theorem is referenced by:  afveu  37606  rlimdmafv  37630