MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dfconngra1 Structured version   Unicode version

Theorem dfconngra1 24969
Description: Alternative definition of the class of all connected graphs, requiring paths between distinct vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
dfconngra1  |- ConnGrph  =  { <. v ,  e >.  |  A. k  e.  v 
A. n  e.  ( v  \  { k } ) E. f E. p  f (
k ( v PathOn  e
) n ) p }
Distinct variable group:    e, f, k, n, p, v

Proof of Theorem dfconngra1
StepHypRef Expression
1 df-conngra 24968 . 2  |- ConnGrph  =  { <. v ,  e >.  |  A. k  e.  v 
A. n  e.  v  E. f E. p  f ( k ( v PathOn  e ) n ) p }
2 difsnid 4117 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  v  ->  (
( v  \  {
k } )  u. 
{ k } )  =  v )
32eqcomd 2410 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  v  ->  v  =  ( ( v 
\  { k } )  u.  { k } ) )
43raleqdv 3009 . . . . . 6  |-  ( k  e.  v  ->  ( A. n  e.  v  E. f E. p  f ( k ( v PathOn 
e ) n ) p  <->  A. n  e.  ( ( v  \  {
k } )  u. 
{ k } ) E. f E. p  f ( k ( v PathOn  e ) n ) p ) )
5 ralunb 3623 . . . . . 6  |-  ( A. n  e.  ( (
v  \  { k } )  u.  {
k } ) E. f E. p  f ( k ( v PathOn 
e ) n ) p  <->  ( A. n  e.  ( v  \  {
k } ) E. f E. p  f ( k ( v PathOn 
e ) n ) p  /\  A. n  e.  { k } E. f E. p  f ( k ( v PathOn  e
) n ) p ) )
64, 5syl6bb 261 . . . . 5  |-  ( k  e.  v  ->  ( A. n  e.  v  E. f E. p  f ( k ( v PathOn 
e ) n ) p  <->  ( A. n  e.  ( v  \  {
k } ) E. f E. p  f ( k ( v PathOn 
e ) n ) p  /\  A. n  e.  { k } E. f E. p  f ( k ( v PathOn  e
) n ) p ) ) )
7 vex 3061 . . . . . . . 8  |-  v  e. 
_V
8 vex 3061 . . . . . . . 8  |-  e  e. 
_V
9 0pthonv 24881 . . . . . . . 8  |-  ( ( v  e.  _V  /\  e  e.  _V )  ->  ( k  e.  v  ->  E. f E. p  f ( k ( v PathOn  e ) k ) p ) )
107, 8, 9mp2an 670 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  v  ->  E. f E. p  f (
k ( v PathOn  e
) k ) p )
11 oveq2 6242 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  k  ->  (
k ( v PathOn  e
) n )  =  ( k ( v PathOn 
e ) k ) )
1211breqd 4405 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  (
f ( k ( v PathOn  e ) n ) p  <->  f (
k ( v PathOn  e
) k ) p ) )
13122exbidv 1737 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  k  ->  ( E. f E. p  f ( k ( v PathOn 
e ) n ) p  <->  E. f E. p  f ( k ( v PathOn  e ) k ) p ) )
1413ralsng 4006 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  v  ->  ( A. n  e.  { k } E. f E. p  f ( k ( v PathOn  e ) n ) p  <->  E. f E. p  f (
k ( v PathOn  e
) k ) p ) )
1510, 14mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( k  e.  v  ->  A. n  e.  { k } E. f E. p  f ( k ( v PathOn  e
) n ) p )
1615biantrud 505 . . . . 5  |-  ( k  e.  v  ->  ( A. n  e.  (
v  \  { k } ) E. f E. p  f (
k ( v PathOn  e
) n ) p  <-> 
( A. n  e.  ( v  \  {
k } ) E. f E. p  f ( k ( v PathOn 
e ) n ) p  /\  A. n  e.  { k } E. f E. p  f ( k ( v PathOn  e
) n ) p ) ) )
176, 16bitr4d 256 . . . 4  |-  ( k  e.  v  ->  ( A. n  e.  v  E. f E. p  f ( k ( v PathOn 
e ) n ) p  <->  A. n  e.  ( v  \  { k } ) E. f E. p  f (
k ( v PathOn  e
) n ) p ) )
1817ralbiia 2833 . . 3  |-  ( A. k  e.  v  A. n  e.  v  E. f E. p  f ( k ( v PathOn  e
) n ) p  <->  A. k  e.  v  A. n  e.  (
v  \  { k } ) E. f E. p  f (
k ( v PathOn  e
) n ) p )
1918opabbii 4458 . 2  |-  { <. v ,  e >.  |  A. k  e.  v  A. n  e.  v  E. f E. p  f ( k ( v PathOn  e
) n ) p }  =  { <. v ,  e >.  |  A. k  e.  v  A. n  e.  ( v  \  { k } ) E. f E. p  f ( k ( v PathOn  e ) n ) p }
201, 19eqtri 2431 1  |- ConnGrph  =  { <. v ,  e >.  |  A. k  e.  v 
A. n  e.  ( v  \  { k } ) E. f E. p  f (
k ( v PathOn  e
) n ) p }
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405   E.wex 1633    e. wcel 1842   A.wral 2753   _Vcvv 3058    \ cdif 3410    u. cun 3411   {csn 3971   class class class wbr 4394   {copab 4451  (class class class)co 6234   PathOn cpthon 24802   ConnGrph cconngra 24967
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-cnex 9498  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-pre-mulgt0 9519
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-om 6639  df-1st 6738  df-2nd 6739  df-recs 6999  df-rdg 7033  df-1o 7087  df-oadd 7091  df-er 7268  df-map 7379  df-pm 7380  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-fin 7478  df-card 8272  df-cda 8500  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-sub 9763  df-neg 9764  df-nn 10497  df-2 10555  df-n0 10757  df-z 10826  df-uz 11046  df-fz 11644  df-fzo 11768  df-hash 12360  df-word 12498  df-wlk 24806  df-trail 24807  df-pth 24808  df-wlkon 24812  df-pthon 24814  df-conngra 24968
This theorem is referenced by:  isconngra1  24971
  Copyright terms: Public domain W3C validator