MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dfconngra1 Structured version   Unicode version

Theorem dfconngra1 24333
Description: Alternative definition of the class of all connected graphs, requiring paths between distinct vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
dfconngra1  |- ConnGrph  =  { <. v ,  e >.  |  A. k  e.  v 
A. n  e.  ( v  \  { k } ) E. f E. p  f (
k ( v PathOn  e
) n ) p }
Distinct variable group:    e, f, k, n, p, v

Proof of Theorem dfconngra1
StepHypRef Expression
1 df-conngra 24332 . 2  |- ConnGrph  =  { <. v ,  e >.  |  A. k  e.  v 
A. n  e.  v  E. f E. p  f ( k ( v PathOn  e ) n ) p }
2 difsnid 4166 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  v  ->  (
( v  \  {
k } )  u. 
{ k } )  =  v )
32eqcomd 2468 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  v  ->  v  =  ( ( v 
\  { k } )  u.  { k } ) )
43raleqdv 3057 . . . . . 6  |-  ( k  e.  v  ->  ( A. n  e.  v  E. f E. p  f ( k ( v PathOn 
e ) n ) p  <->  A. n  e.  ( ( v  \  {
k } )  u. 
{ k } ) E. f E. p  f ( k ( v PathOn  e ) n ) p ) )
5 ralunb 3678 . . . . . 6  |-  ( A. n  e.  ( (
v  \  { k } )  u.  {
k } ) E. f E. p  f ( k ( v PathOn 
e ) n ) p  <->  ( A. n  e.  ( v  \  {
k } ) E. f E. p  f ( k ( v PathOn 
e ) n ) p  /\  A. n  e.  { k } E. f E. p  f ( k ( v PathOn  e
) n ) p ) )
64, 5syl6bb 261 . . . . 5  |-  ( k  e.  v  ->  ( A. n  e.  v  E. f E. p  f ( k ( v PathOn 
e ) n ) p  <->  ( A. n  e.  ( v  \  {
k } ) E. f E. p  f ( k ( v PathOn 
e ) n ) p  /\  A. n  e.  { k } E. f E. p  f ( k ( v PathOn  e
) n ) p ) ) )
7 vex 3109 . . . . . . . 8  |-  v  e. 
_V
8 vex 3109 . . . . . . . 8  |-  e  e. 
_V
9 0pthonv 24245 . . . . . . . 8  |-  ( ( v  e.  _V  /\  e  e.  _V )  ->  ( k  e.  v  ->  E. f E. p  f ( k ( v PathOn  e ) k ) p ) )
107, 8, 9mp2an 672 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  v  ->  E. f E. p  f (
k ( v PathOn  e
) k ) p )
11 oveq2 6283 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  k  ->  (
k ( v PathOn  e
) n )  =  ( k ( v PathOn 
e ) k ) )
1211breqd 4451 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  (
f ( k ( v PathOn  e ) n ) p  <->  f (
k ( v PathOn  e
) k ) p ) )
13122exbidv 1687 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  k  ->  ( E. f E. p  f ( k ( v PathOn 
e ) n ) p  <->  E. f E. p  f ( k ( v PathOn  e ) k ) p ) )
1413ralsng 4055 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  v  ->  ( A. n  e.  { k } E. f E. p  f ( k ( v PathOn  e ) n ) p  <->  E. f E. p  f (
k ( v PathOn  e
) k ) p ) )
1510, 14mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( k  e.  v  ->  A. n  e.  { k } E. f E. p  f ( k ( v PathOn  e
) n ) p )
1615biantrud 507 . . . . 5  |-  ( k  e.  v  ->  ( A. n  e.  (
v  \  { k } ) E. f E. p  f (
k ( v PathOn  e
) n ) p  <-> 
( A. n  e.  ( v  \  {
k } ) E. f E. p  f ( k ( v PathOn 
e ) n ) p  /\  A. n  e.  { k } E. f E. p  f ( k ( v PathOn  e
) n ) p ) ) )
176, 16bitr4d 256 . . . 4  |-  ( k  e.  v  ->  ( A. n  e.  v  E. f E. p  f ( k ( v PathOn 
e ) n ) p  <->  A. n  e.  ( v  \  { k } ) E. f E. p  f (
k ( v PathOn  e
) n ) p ) )
1817ralbiia 2887 . . 3  |-  ( A. k  e.  v  A. n  e.  v  E. f E. p  f ( k ( v PathOn  e
) n ) p  <->  A. k  e.  v  A. n  e.  (
v  \  { k } ) E. f E. p  f (
k ( v PathOn  e
) n ) p )
1918opabbii 4504 . 2  |-  { <. v ,  e >.  |  A. k  e.  v  A. n  e.  v  E. f E. p  f ( k ( v PathOn  e
) n ) p }  =  { <. v ,  e >.  |  A. k  e.  v  A. n  e.  ( v  \  { k } ) E. f E. p  f ( k ( v PathOn  e ) n ) p }
201, 19eqtri 2489 1  |- ConnGrph  =  { <. v ,  e >.  |  A. k  e.  v 
A. n  e.  ( v  \  { k } ) E. f E. p  f (
k ( v PathOn  e
) n ) p }
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374   E.wex 1591    e. wcel 1762   A.wral 2807   _Vcvv 3106    \ cdif 3466    u. cun 3467   {csn 4020   class class class wbr 4440   {copab 4497  (class class class)co 6275   PathOn cpthon 24166   ConnGrph cconngra 24331
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-er 7301  df-map 7412  df-pm 7413  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-card 8309  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-hash 12361  df-word 12495  df-wlk 24170  df-trail 24171  df-pth 24172  df-wlkon 24176  df-pthon 24178  df-conngra 24332
This theorem is referenced by:  isconngra1  24335
  Copyright terms: Public domain W3C validator