Theorem dfcon2 20426

Description: An alternate definition of connectedness. (Contributed by Jeff Hankins, 9-Jul-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dfcon2	|- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( J e. Con <-> A. x e. J A. y e. J ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= X ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, J   x, X, y

Proof of Theorem dfcon2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2423	. . . . . 6 |- U. J = U. J
2		simpll 759	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Con /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) -> J e. Con )
3		simplrl 769	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Con /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) -> x e. J )
4		simpr1 1012	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Con /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) -> x =/= (/) )
5		simplrr 770	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Con /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) -> y e. J )
6		simpr2 1013	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Con /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) -> y =/= (/) )
7		simpr3 1014	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Con /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) -> ( x i^i y ) = (/) )
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	conndisj 20423	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Con /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) -> ( x u. y ) =/= U. J )
9	8	ex 436	. . . 4 |- ( ( J e. Con /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= U. J ) )
10	9	ralrimivva 2847	. . 3 |- ( J e. Con -> A. x e. J A. y e. J ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= U. J ) )
11		topontop 19933	. . . 4 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
12	1	cldopn 20038	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( Clsd ` J ) -> ( U. J \ x ) e. J )
13	12	adantl 468	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. Top /\ x e. ( Clsd ` J ) ) -> ( U. J \ x ) e. J )
14		df-3an 985	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) <-> ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) )
15		ineq2 3659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = ( U. J \ x ) -> ( x i^i y ) = ( x i^i ( U. J \ x ) ) )
16		disjdif 3868	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x i^i ( U. J \ x ) ) = (/)
17	15, 16	syl6eq 2480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = ( U. J \ x ) -> ( x i^i y ) = (/) )
18	17	biantrud 510	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = ( U. J \ x ) -> ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) ) <-> ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) )
19		neeq1 2706	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = ( U. J \ x ) -> ( y =/= (/) <-> ( U. J \ x ) =/= (/) ) )
20	19	anbi2d 709	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = ( U. J \ x ) -> ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) ) <-> ( x =/= (/) /\ ( U. J \ x ) =/= (/) ) ) )
21	18, 20	bitr3d 259	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = ( U. J \ x ) -> ( ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) <-> ( x =/= (/) /\ ( U. J \ x ) =/= (/) ) ) )
22	14, 21	syl5bb 261	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = ( U. J \ x ) -> ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) <-> ( x =/= (/) /\ ( U. J \ x ) =/= (/) ) ) )
23		uneq2 3615	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = ( U. J \ x ) -> ( x u. y ) = ( x u. ( U. J \ x ) ) )
24		undif2 3872	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x u. ( U. J \ x ) ) = ( x u. U. J )
25	23, 24	syl6eq 2480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = ( U. J \ x ) -> ( x u. y ) = ( x u. U. J ) )
26	25	neeq1d 2702	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = ( U. J \ x ) -> ( ( x u. y ) =/= U. J <-> ( x u. U. J ) =/= U. J ) )
27	22, 26	imbi12d 322	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = ( U. J \ x ) -> ( ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= U. J ) <-> ( ( x =/= (/) /\ ( U. J \ x ) =/= (/) ) -> ( x u. U. J ) =/= U. J ) ) )
28	27	rspcv 3179	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( U. J \ x ) e. J -> ( A. y e. J ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= U. J ) -> ( ( x =/= (/) /\ ( U. J \ x ) =/= (/) ) -> ( x u. U. J ) =/= U. J ) ) )
29	13, 28	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. Top /\ x e. ( Clsd ` J ) ) -> ( A. y e. J ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= U. J ) -> ( ( x =/= (/) /\ ( U. J \ x ) =/= (/) ) -> ( x u. U. J ) =/= U. J ) ) )
30	1	cldss 20036	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. ( Clsd ` J ) -> x C_ U. J )
31	30	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( J e. Top /\ x e. ( Clsd ` J ) ) -> x C_ U. J )
32		ssequn1 3637	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x C_ U. J <-> ( x u. U. J ) = U. J )
33	31, 32	sylib 200	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( J e. Top /\ x e. ( Clsd ` J ) ) -> ( x u. U. J ) = U. J )
34		ssdif0 3852	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( U. J C_ x <-> ( U. J \ x ) = (/) )
35		idd 26	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( J e. Top /\ x e. ( Clsd ` J ) ) -> ( U. J C_ x -> U. J C_ x ) )
36	35, 31	jctild 546	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( J e. Top /\ x e. ( Clsd ` J ) ) -> ( U. J C_ x -> ( x C_ U. J /\ U. J C_ x ) ) )
37		eqss 3480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = U. J <-> ( x C_ U. J /\ U. J C_ x ) )
38	36, 37	syl6ibr 231	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( J e. Top /\ x e. ( Clsd ` J ) ) -> ( U. J C_ x -> x = U. J ) )
39	34, 38	syl5bir 222	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( J e. Top /\ x e. ( Clsd ` J ) ) -> ( ( U. J \ x ) = (/) -> x = U. J ) )
40	33, 39	embantd 57	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( J e. Top /\ x e. ( Clsd ` J ) ) -> ( ( ( x u. U. J ) = U. J -> ( U. J \ x ) = (/) ) -> x = U. J ) )
41	40	orim2d 849	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. Top /\ x e. ( Clsd ` J ) ) -> ( ( x = (/) \/ ( ( x u. U. J ) = U. J -> ( U. J \ x ) = (/) ) ) -> ( x = (/) \/ x = U. J ) ) )
42		impexp 448	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x =/= (/) /\ ( U. J \ x ) =/= (/) ) -> ( x u. U. J ) =/= U. J ) <-> ( x =/= (/) -> ( ( U. J \ x ) =/= (/) -> ( x u. U. J ) =/= U. J ) ) )
43		df-ne 2621	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x =/= (/) <-> -. x = (/) )
44		id 23	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( U. J \ x ) =/= (/) -> ( x u. U. J ) =/= U. J ) -> ( ( U. J \ x ) =/= (/) -> ( x u. U. J ) =/= U. J ) )
45	44	necon4d 2652	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( U. J \ x ) =/= (/) -> ( x u. U. J ) =/= U. J ) -> ( ( x u. U. J ) = U. J -> ( U. J \ x ) = (/) ) )
46		id 23	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( x u. U. J ) = U. J -> ( U. J \ x ) = (/) ) -> ( ( x u. U. J ) = U. J -> ( U. J \ x ) = (/) ) )
47	46	necon3d 2649	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( x u. U. J ) = U. J -> ( U. J \ x ) = (/) ) -> ( ( U. J \ x ) =/= (/) -> ( x u. U. J ) =/= U. J ) )
48	45, 47	impbii 191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( U. J \ x ) =/= (/) -> ( x u. U. J ) =/= U. J ) <-> ( ( x u. U. J ) = U. J -> ( U. J \ x ) = (/) ) )
49	43, 48	imbi12i 328	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x =/= (/) -> ( ( U. J \ x ) =/= (/) -> ( x u. U. J ) =/= U. J ) ) <-> ( -. x = (/) -> ( ( x u. U. J ) = U. J -> ( U. J \ x ) = (/) ) ) )
50		pm4.64 374	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( -. x = (/) -> ( ( x u. U. J ) = U. J -> ( U. J \ x ) = (/) ) ) <-> ( x = (/) \/ ( ( x u. U. J ) = U. J -> ( U. J \ x ) = (/) ) ) )
51	49, 50	bitri 253	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x =/= (/) -> ( ( U. J \ x ) =/= (/) -> ( x u. U. J ) =/= U. J ) ) <-> ( x = (/) \/ ( ( x u. U. J ) = U. J -> ( U. J \ x ) = (/) ) ) )
52	42, 51	bitri 253	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x =/= (/) /\ ( U. J \ x ) =/= (/) ) -> ( x u. U. J ) =/= U. J ) <-> ( x = (/) \/ ( ( x u. U. J ) = U. J -> ( U. J \ x ) = (/) ) ) )
53		vex 3085	. . . . . . . . . . . . . 14 |- x e. _V
54	53	elpr 4015	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. { (/) , U. J } <-> ( x = (/) \/ x = U. J ) )
55	41, 52, 54	3imtr4g 274	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. Top /\ x e. ( Clsd ` J ) ) -> ( ( ( x =/= (/) /\ ( U. J \ x ) =/= (/) ) -> ( x u. U. J ) =/= U. J ) -> x e. { (/) , U. J } ) )
56	29, 55	syld 46	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. Top /\ x e. ( Clsd ` J ) ) -> ( A. y e. J ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= U. J ) -> x e. { (/) , U. J } ) )
57	56	ex 436	. . . . . . . . . 10 |- ( J e. Top -> ( x e. ( Clsd ` J ) -> ( A. y e. J ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= U. J ) -> x e. { (/) , U. J } ) ) )
58	57	com23 82	. . . . . . . . 9 |- ( J e. Top -> ( A. y e. J ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= U. J ) -> ( x e. ( Clsd ` J ) -> x e. { (/) , U. J } ) ) )
59	58	imim2d 55	. . . . . . . 8 |- ( J e. Top -> ( ( x e. J -> A. y e. J ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= U. J ) ) -> ( x e. J -> ( x e. ( Clsd ` J ) -> x e. { (/) , U. J } ) ) ) )
60		elin 3650	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( J i^i ( Clsd ` J ) ) <-> ( x e. J /\ x e. ( Clsd ` J ) ) )
61	60	imbi1i 327	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( J i^i ( Clsd ` J ) ) -> x e. { (/) , U. J } ) <-> ( ( x e. J /\ x e. ( Clsd ` J ) ) -> x e. { (/) , U. J } ) )
62		impexp 448	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. J /\ x e. ( Clsd ` J ) ) -> x e. { (/) , U. J } ) <-> ( x e. J -> ( x e. ( Clsd ` J ) -> x e. { (/) , U. J } ) ) )
63	61, 62	bitri 253	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( J i^i ( Clsd ` J ) ) -> x e. { (/) , U. J } ) <-> ( x e. J -> ( x e. ( Clsd ` J ) -> x e. { (/) , U. J } ) ) )
64	59, 63	syl6ibr 231	. . . . . . 7 |- ( J e. Top -> ( ( x e. J -> A. y e. J ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= U. J ) ) -> ( x e. ( J i^i ( Clsd ` J ) ) -> x e. { (/) , U. J } ) ) )
65	64	alimdv 1754	. . . . . 6 |- ( J e. Top -> ( A. x ( x e. J -> A. y e. J ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= U. J ) ) -> A. x ( x e. ( J i^i ( Clsd ` J ) ) -> x e. { (/) , U. J } ) ) )
66		df-ral 2781	. . . . . 6 |- ( A. x e. J A. y e. J ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= U. J ) <-> A. x ( x e. J -> A. y e. J ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= U. J ) ) )
67		dfss2 3454	. . . . . 6 |- ( ( J i^i ( Clsd ` J ) ) C_ { (/) , U. J } <-> A. x ( x e. ( J i^i ( Clsd ` J ) ) -> x e. { (/) , U. J } ) )
68	65, 66, 67	3imtr4g 274	. . . . 5 |- ( J e. Top -> ( A. x e. J A. y e. J ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= U. J ) -> ( J i^i ( Clsd ` J ) ) C_ { (/) , U. J } ) )
69	1	iscon2 20421	. . . . . 6 |- ( J e. Con <-> ( J e. Top /\ ( J i^i ( Clsd ` J ) ) C_ { (/) , U. J } ) )
70	69	baib 912	. . . . 5 |- ( J e. Top -> ( J e. Con <-> ( J i^i ( Clsd ` J ) ) C_ { (/) , U. J } ) )
71	68, 70	sylibrd 238	. . . 4 |- ( J e. Top -> ( A. x e. J A. y e. J ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= U. J ) -> J e. Con ) )
72	11, 71	syl 17	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( A. x e. J A. y e. J ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= U. J ) -> J e. Con ) )
73	10, 72	impbid2 208	. 2 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( J e. Con <-> A. x e. J A. y e. J ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= U. J ) ) )
74		toponuni 19934	. . . . 5 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
75	74	neeq2d 2703	. . . 4 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( ( x u. y ) =/= X <-> ( x u. y ) =/= U. J ) )
76	75	imbi2d 318	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= X ) <-> ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= U. J ) ) )
77	76	2ralbidv 2870	. 2 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( A. x e. J A. y e. J ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= X ) <-> A. x e. J A. y e. J ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= U. J ) ) )
78	73, 77	bitr4d 260	1 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( J e. Con <-> A. x e. J A. y e. J ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= X ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   \/ wo 370   /\ wa 371   /\ w3a 983   A.wal 1436   = wceq 1438   e. wcel 1869   =/= wne 2619   A.wral 2776   \ cdif 3434   u. cun 3435   i^i cin 3436   C_ wss 3437   (/)c0 3762   {cpr 3999   U.cuni 4217   ` cfv 5599   Topctop 19909  TopOnctopon 19910   Clsdccld 20023   Conccon 20418

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-ral 2781  df-rex 2782  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-op 4004  df-uni 4218  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-id 4766  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-fv 5607  df-top 19913  df-topon 19915  df-cld 20026  df-con 20419

This theorem is referenced by:  consuba  20427  pconcon  29956