Theorem dfcon2 20046

Description: An alternate definition of connectedness. (Contributed by Jeff Hankins, 9-Jul-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dfcon2	|- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( J e. Con <-> A. x e. J A. y e. J ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= X ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, J   x, X, y

Proof of Theorem dfcon2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2457	. . . . . 6 |- U. J = U. J
2		simpll 753	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Con /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) -> J e. Con )
3		simplrl 761	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Con /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) -> x e. J )
4		simpr1 1002	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Con /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) -> x =/= (/) )
5		simplrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Con /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) -> y e. J )
6		simpr2 1003	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Con /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) -> y =/= (/) )
7		simpr3 1004	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Con /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) -> ( x i^i y ) = (/) )
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	conndisj 20043	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Con /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) -> ( x u. y ) =/= U. J )
9	8	ex 434	. . . 4 |- ( ( J e. Con /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= U. J ) )
10	9	ralrimivva 2878	. . 3 |- ( J e. Con -> A. x e. J A. y e. J ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= U. J ) )
11		topontop 19554	. . . 4 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
12	1	cldopn 19659	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( Clsd ` J ) -> ( U. J \ x ) e. J )
13	12	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. Top /\ x e. ( Clsd ` J ) ) -> ( U. J \ x ) e. J )
14		df-3an 975	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) <-> ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) )
15		ineq2 3690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = ( U. J \ x ) -> ( x i^i y ) = ( x i^i ( U. J \ x ) ) )
16		disjdif 3903	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x i^i ( U. J \ x ) ) = (/)
17	15, 16	syl6eq 2514	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = ( U. J \ x ) -> ( x i^i y ) = (/) )
18	17	biantrud 507	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = ( U. J \ x ) -> ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) ) <-> ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) )
19		neeq1 2738	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = ( U. J \ x ) -> ( y =/= (/) <-> ( U. J \ x ) =/= (/) ) )
20	19	anbi2d 703	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = ( U. J \ x ) -> ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) ) <-> ( x =/= (/) /\ ( U. J \ x ) =/= (/) ) ) )
21	18, 20	bitr3d 255	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = ( U. J \ x ) -> ( ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) <-> ( x =/= (/) /\ ( U. J \ x ) =/= (/) ) ) )
22	14, 21	syl5bb 257	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = ( U. J \ x ) -> ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) <-> ( x =/= (/) /\ ( U. J \ x ) =/= (/) ) ) )
23		uneq2 3648	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = ( U. J \ x ) -> ( x u. y ) = ( x u. ( U. J \ x ) ) )
24		undif2 3907	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x u. ( U. J \ x ) ) = ( x u. U. J )
25	23, 24	syl6eq 2514	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = ( U. J \ x ) -> ( x u. y ) = ( x u. U. J ) )
26	25	neeq1d 2734	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = ( U. J \ x ) -> ( ( x u. y ) =/= U. J <-> ( x u. U. J ) =/= U. J ) )
27	22, 26	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = ( U. J \ x ) -> ( ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= U. J ) <-> ( ( x =/= (/) /\ ( U. J \ x ) =/= (/) ) -> ( x u. U. J ) =/= U. J ) ) )
28	27	rspcv 3206	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( U. J \ x ) e. J -> ( A. y e. J ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= U. J ) -> ( ( x =/= (/) /\ ( U. J \ x ) =/= (/) ) -> ( x u. U. J ) =/= U. J ) ) )
29	13, 28	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. Top /\ x e. ( Clsd ` J ) ) -> ( A. y e. J ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= U. J ) -> ( ( x =/= (/) /\ ( U. J \ x ) =/= (/) ) -> ( x u. U. J ) =/= U. J ) ) )
30	1	cldss 19657	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. ( Clsd ` J ) -> x C_ U. J )
31	30	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( J e. Top /\ x e. ( Clsd ` J ) ) -> x C_ U. J )
32		ssequn1 3670	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x C_ U. J <-> ( x u. U. J ) = U. J )
33	31, 32	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( J e. Top /\ x e. ( Clsd ` J ) ) -> ( x u. U. J ) = U. J )
34		ssdif0 3888	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( U. J C_ x <-> ( U. J \ x ) = (/) )
35		idd 24	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( J e. Top /\ x e. ( Clsd ` J ) ) -> ( U. J C_ x -> U. J C_ x ) )
36	35, 31	jctild 543	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( J e. Top /\ x e. ( Clsd ` J ) ) -> ( U. J C_ x -> ( x C_ U. J /\ U. J C_ x ) ) )
37		eqss 3514	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = U. J <-> ( x C_ U. J /\ U. J C_ x ) )
38	36, 37	syl6ibr 227	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( J e. Top /\ x e. ( Clsd ` J ) ) -> ( U. J C_ x -> x = U. J ) )
39	34, 38	syl5bir 218	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( J e. Top /\ x e. ( Clsd ` J ) ) -> ( ( U. J \ x ) = (/) -> x = U. J ) )
40	33, 39	embantd 54	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( J e. Top /\ x e. ( Clsd ` J ) ) -> ( ( ( x u. U. J ) = U. J -> ( U. J \ x ) = (/) ) -> x = U. J ) )
41	40	orim2d 840	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. Top /\ x e. ( Clsd ` J ) ) -> ( ( x = (/) \/ ( ( x u. U. J ) = U. J -> ( U. J \ x ) = (/) ) ) -> ( x = (/) \/ x = U. J ) ) )
42		impexp 446	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x =/= (/) /\ ( U. J \ x ) =/= (/) ) -> ( x u. U. J ) =/= U. J ) <-> ( x =/= (/) -> ( ( U. J \ x ) =/= (/) -> ( x u. U. J ) =/= U. J ) ) )
43		df-ne 2654	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x =/= (/) <-> -. x = (/) )
44		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( U. J \ x ) =/= (/) -> ( x u. U. J ) =/= U. J ) -> ( ( U. J \ x ) =/= (/) -> ( x u. U. J ) =/= U. J ) )
45	44	necon4d 2684	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( U. J \ x ) =/= (/) -> ( x u. U. J ) =/= U. J ) -> ( ( x u. U. J ) = U. J -> ( U. J \ x ) = (/) ) )
46		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( x u. U. J ) = U. J -> ( U. J \ x ) = (/) ) -> ( ( x u. U. J ) = U. J -> ( U. J \ x ) = (/) ) )
47	46	necon3d 2681	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( x u. U. J ) = U. J -> ( U. J \ x ) = (/) ) -> ( ( U. J \ x ) =/= (/) -> ( x u. U. J ) =/= U. J ) )
48	45, 47	impbii 188	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( U. J \ x ) =/= (/) -> ( x u. U. J ) =/= U. J ) <-> ( ( x u. U. J ) = U. J -> ( U. J \ x ) = (/) ) )
49	43, 48	imbi12i 326	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x =/= (/) -> ( ( U. J \ x ) =/= (/) -> ( x u. U. J ) =/= U. J ) ) <-> ( -. x = (/) -> ( ( x u. U. J ) = U. J -> ( U. J \ x ) = (/) ) ) )
50		pm4.64 372	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( -. x = (/) -> ( ( x u. U. J ) = U. J -> ( U. J \ x ) = (/) ) ) <-> ( x = (/) \/ ( ( x u. U. J ) = U. J -> ( U. J \ x ) = (/) ) ) )
51	49, 50	bitri 249	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x =/= (/) -> ( ( U. J \ x ) =/= (/) -> ( x u. U. J ) =/= U. J ) ) <-> ( x = (/) \/ ( ( x u. U. J ) = U. J -> ( U. J \ x ) = (/) ) ) )
52	42, 51	bitri 249	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x =/= (/) /\ ( U. J \ x ) =/= (/) ) -> ( x u. U. J ) =/= U. J ) <-> ( x = (/) \/ ( ( x u. U. J ) = U. J -> ( U. J \ x ) = (/) ) ) )
53		vex 3112	. . . . . . . . . . . . . 14 |- x e. _V
54	53	elpr 4050	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. { (/) , U. J } <-> ( x = (/) \/ x = U. J ) )
55	41, 52, 54	3imtr4g 270	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. Top /\ x e. ( Clsd ` J ) ) -> ( ( ( x =/= (/) /\ ( U. J \ x ) =/= (/) ) -> ( x u. U. J ) =/= U. J ) -> x e. { (/) , U. J } ) )
56	29, 55	syld 44	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. Top /\ x e. ( Clsd ` J ) ) -> ( A. y e. J ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= U. J ) -> x e. { (/) , U. J } ) )
57	56	ex 434	. . . . . . . . . 10 |- ( J e. Top -> ( x e. ( Clsd ` J ) -> ( A. y e. J ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= U. J ) -> x e. { (/) , U. J } ) ) )
58	57	com23 78	. . . . . . . . 9 |- ( J e. Top -> ( A. y e. J ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= U. J ) -> ( x e. ( Clsd ` J ) -> x e. { (/) , U. J } ) ) )
59	58	imim2d 52	. . . . . . . 8 |- ( J e. Top -> ( ( x e. J -> A. y e. J ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= U. J ) ) -> ( x e. J -> ( x e. ( Clsd ` J ) -> x e. { (/) , U. J } ) ) ) )
60		elin 3683	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( J i^i ( Clsd ` J ) ) <-> ( x e. J /\ x e. ( Clsd ` J ) ) )
61	60	imbi1i 325	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( J i^i ( Clsd ` J ) ) -> x e. { (/) , U. J } ) <-> ( ( x e. J /\ x e. ( Clsd ` J ) ) -> x e. { (/) , U. J } ) )
62		impexp 446	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. J /\ x e. ( Clsd ` J ) ) -> x e. { (/) , U. J } ) <-> ( x e. J -> ( x e. ( Clsd ` J ) -> x e. { (/) , U. J } ) ) )
63	61, 62	bitri 249	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( J i^i ( Clsd ` J ) ) -> x e. { (/) , U. J } ) <-> ( x e. J -> ( x e. ( Clsd ` J ) -> x e. { (/) , U. J } ) ) )
64	59, 63	syl6ibr 227	. . . . . . 7 |- ( J e. Top -> ( ( x e. J -> A. y e. J ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= U. J ) ) -> ( x e. ( J i^i ( Clsd ` J ) ) -> x e. { (/) , U. J } ) ) )
65	64	alimdv 1710	. . . . . 6 |- ( J e. Top -> ( A. x ( x e. J -> A. y e. J ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= U. J ) ) -> A. x ( x e. ( J i^i ( Clsd ` J ) ) -> x e. { (/) , U. J } ) ) )
66		df-ral 2812	. . . . . 6 |- ( A. x e. J A. y e. J ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= U. J ) <-> A. x ( x e. J -> A. y e. J ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= U. J ) ) )
67		dfss2 3488	. . . . . 6 |- ( ( J i^i ( Clsd ` J ) ) C_ { (/) , U. J } <-> A. x ( x e. ( J i^i ( Clsd ` J ) ) -> x e. { (/) , U. J } ) )
68	65, 66, 67	3imtr4g 270	. . . . 5 |- ( J e. Top -> ( A. x e. J A. y e. J ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= U. J ) -> ( J i^i ( Clsd ` J ) ) C_ { (/) , U. J } ) )
69	1	iscon2 20041	. . . . . 6 |- ( J e. Con <-> ( J e. Top /\ ( J i^i ( Clsd ` J ) ) C_ { (/) , U. J } ) )
70	69	baib 903	. . . . 5 |- ( J e. Top -> ( J e. Con <-> ( J i^i ( Clsd ` J ) ) C_ { (/) , U. J } ) )
71	68, 70	sylibrd 234	. . . 4 |- ( J e. Top -> ( A. x e. J A. y e. J ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= U. J ) -> J e. Con ) )
72	11, 71	syl 16	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( A. x e. J A. y e. J ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= U. J ) -> J e. Con ) )
73	10, 72	impbid2 204	. 2 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( J e. Con <-> A. x e. J A. y e. J ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= U. J ) ) )
74		toponuni 19555	. . . . 5 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
75	74	neeq2d 2735	. . . 4 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( ( x u. y ) =/= X <-> ( x u. y ) =/= U. J ) )
76	75	imbi2d 316	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= X ) <-> ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= U. J ) ) )
77	76	2ralbidv 2901	. 2 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( A. x e. J A. y e. J ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= X ) <-> A. x e. J A. y e. J ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= U. J ) ) )
78	73, 77	bitr4d 256	1 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( J e. Con <-> A. x e. J A. y e. J ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= X ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 973   A.wal 1393   = wceq 1395   e. wcel 1819   =/= wne 2652   A.wral 2807   \ cdif 3468   u. cun 3469   i^i cin 3470   C_ wss 3471   (/)c0 3793   {cpr 4034   U.cuni 4251   ` cfv 5594   Topctop 19521  TopOnctopon 19522   Clsdccld 19644   Conccon 20038

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-fv 5602  df-top 19526  df-topon 19529  df-cld 19647  df-con 20039

This theorem is referenced by:  consuba  20047  pconcon  28873