MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dfcon2 Structured version   Unicode version

Theorem dfcon2 20046
Description: An alternate definition of connectedness. (Contributed by Jeff Hankins, 9-Jul-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
dfcon2  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( J  e.  Con  <->  A. x  e.  J  A. y  e.  J  ( ( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) )  ->  (
x  u.  y )  =/=  X ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, J    x, X, y

Proof of Theorem dfcon2
StepHypRef Expression
1 eqid 2457 . . . . . 6  |-  U. J  =  U. J
2 simpll 753 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  ->  J  e.  Con )
3 simplrl 761 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  ->  x  e.  J )
4 simpr1 1002 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  ->  x  =/=  (/) )
5 simplrr 762 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  ->  y  e.  J )
6 simpr2 1003 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  ->  y  =/=  (/) )
7 simpr3 1004 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  ->  (
x  i^i  y )  =  (/) )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7conndisj 20043 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  ->  (
x  u.  y )  =/=  U. J )
98ex 434 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Con  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  ->  (
( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) )  ->  ( x  u.  y )  =/=  U. J ) )
109ralrimivva 2878 . . 3  |-  ( J  e.  Con  ->  A. x  e.  J  A. y  e.  J  ( (
x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) )  ->  ( x  u.  y )  =/=  U. J ) )
11 topontop 19554 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
121cldopn 19659 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( U. J  \  x )  e.  J )
1312adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  ( Clsd `  J ) )  -> 
( U. J  \  x )  e.  J
)
14 df-3an 975 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) )  <->  ( ( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/) )  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) ) )
15 ineq2 3690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  ( U. J  \  x )  ->  (
x  i^i  y )  =  ( x  i^i  ( U. J  \  x ) ) )
16 disjdif 3903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  i^i  ( U. J  \  x ) )  =  (/)
1715, 16syl6eq 2514 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  ( U. J  \  x )  ->  (
x  i^i  y )  =  (/) )
1817biantrud 507 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( U. J  \  x )  ->  (
( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/) )  <->  ( (
x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/) )  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) ) ) )
19 neeq1 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  ( U. J  \  x )  ->  (
y  =/=  (/)  <->  ( U. J  \  x )  =/=  (/) ) )
2019anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( U. J  \  x )  ->  (
( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/) )  <->  ( x  =/=  (/)  /\  ( U. J  \  x )  =/=  (/) ) ) )
2118, 20bitr3d 255 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( U. J  \  x )  ->  (
( ( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( x  i^i  y
)  =  (/) )  <->  ( x  =/=  (/)  /\  ( U. J  \  x )  =/=  (/) ) ) )
2214, 21syl5bb 257 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( U. J  \  x )  ->  (
( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) )  <->  ( x  =/=  (/)  /\  ( U. J  \  x )  =/=  (/) ) ) )
23 uneq2 3648 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( U. J  \  x )  ->  (
x  u.  y )  =  ( x  u.  ( U. J  \  x ) ) )
24 undif2 3907 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  u.  ( U. J  \  x ) )  =  ( x  u.  U. J )
2523, 24syl6eq 2514 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( U. J  \  x )  ->  (
x  u.  y )  =  ( x  u. 
U. J ) )
2625neeq1d 2734 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( U. J  \  x )  ->  (
( x  u.  y
)  =/=  U. J  <->  ( x  u.  U. J
)  =/=  U. J
) )
2722, 26imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( U. J  \  x )  ->  (
( ( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) )  ->  (
x  u.  y )  =/=  U. J )  <-> 
( ( x  =/=  (/)  /\  ( U. J  \  x )  =/=  (/) )  -> 
( x  u.  U. J )  =/=  U. J ) ) )
2827rspcv 3206 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U. J  \  x
)  e.  J  -> 
( A. y  e.  J  ( ( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) )  ->  ( x  u.  y )  =/=  U. J )  ->  (
( x  =/=  (/)  /\  ( U. J  \  x
)  =/=  (/) )  -> 
( x  u.  U. J )  =/=  U. J ) ) )
2913, 28syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  ( Clsd `  J ) )  -> 
( A. y  e.  J  ( ( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) )  ->  ( x  u.  y )  =/=  U. J )  ->  (
( x  =/=  (/)  /\  ( U. J  \  x
)  =/=  (/) )  -> 
( x  u.  U. J )  =/=  U. J ) ) )
301cldss 19657 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( Clsd `  J
)  ->  x  C_  U. J
)
3130adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  ( Clsd `  J ) )  ->  x  C_  U. J )
32 ssequn1 3670 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x 
C_  U. J  <->  ( x  u.  U. J )  = 
U. J )
3331, 32sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  ( Clsd `  J ) )  -> 
( x  u.  U. J )  =  U. J )
34 ssdif0 3888 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( U. J  C_  x  <->  ( U. J  \  x )  =  (/) )
35 idd 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  ( Clsd `  J ) )  -> 
( U. J  C_  x  ->  U. J  C_  x
) )
3635, 31jctild 543 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  ( Clsd `  J ) )  -> 
( U. J  C_  x  ->  ( x  C_  U. J  /\  U. J  C_  x ) ) )
37 eqss 3514 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  U. J  <->  ( x  C_ 
U. J  /\  U. J  C_  x ) )
3836, 37syl6ibr 227 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  ( Clsd `  J ) )  -> 
( U. J  C_  x  ->  x  =  U. J ) )
3934, 38syl5bir 218 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  ( Clsd `  J ) )  -> 
( ( U. J  \  x )  =  (/)  ->  x  =  U. J
) )
4033, 39embantd 54 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  ( Clsd `  J ) )  -> 
( ( ( x  u.  U. J )  =  U. J  -> 
( U. J  \  x )  =  (/) )  ->  x  =  U. J ) )
4140orim2d 840 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  ( Clsd `  J ) )  -> 
( ( x  =  (/)  \/  ( ( x  u.  U. J )  =  U. J  -> 
( U. J  \  x )  =  (/) ) )  ->  (
x  =  (/)  \/  x  =  U. J ) ) )
42 impexp 446 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  =/=  (/)  /\  ( U. J  \  x
)  =/=  (/) )  -> 
( x  u.  U. J )  =/=  U. J )  <->  ( x  =/=  (/)  ->  ( ( U. J  \  x
)  =/=  (/)  ->  (
x  u.  U. J
)  =/=  U. J
) ) )
43 df-ne 2654 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =/=  (/)  <->  -.  x  =  (/) )
44 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( U. J  \  x )  =/=  (/)  ->  (
x  u.  U. J
)  =/=  U. J
)  ->  ( ( U. J  \  x
)  =/=  (/)  ->  (
x  u.  U. J
)  =/=  U. J
) )
4544necon4d 2684 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( U. J  \  x )  =/=  (/)  ->  (
x  u.  U. J
)  =/=  U. J
)  ->  ( (
x  u.  U. J
)  =  U. J  ->  ( U. J  \  x )  =  (/) ) )
46 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  u.  U. J )  =  U. J  ->  ( U. J  \  x )  =  (/) )  ->  ( ( x  u.  U. J )  =  U. J  -> 
( U. J  \  x )  =  (/) ) )
4746necon3d 2681 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  u.  U. J )  =  U. J  ->  ( U. J  \  x )  =  (/) )  ->  ( ( U. J  \  x )  =/=  (/)  ->  ( x  u. 
U. J )  =/=  U. J ) )
4845, 47impbii 188 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( U. J  \  x )  =/=  (/)  ->  (
x  u.  U. J
)  =/=  U. J
)  <->  ( ( x  u.  U. J )  =  U. J  -> 
( U. J  \  x )  =  (/) ) )
4943, 48imbi12i 326 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  =/=  (/)  ->  (
( U. J  \  x )  =/=  (/)  ->  (
x  u.  U. J
)  =/=  U. J
) )  <->  ( -.  x  =  (/)  ->  (
( x  u.  U. J )  =  U. J  ->  ( U. J  \  x )  =  (/) ) ) )
50 pm4.64 372 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( -.  x  =  (/)  ->  ( ( x  u. 
U. J )  = 
U. J  ->  ( U. J  \  x
)  =  (/) ) )  <-> 
( x  =  (/)  \/  ( ( x  u. 
U. J )  = 
U. J  ->  ( U. J  \  x
)  =  (/) ) ) )
5149, 50bitri 249 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =/=  (/)  ->  (
( U. J  \  x )  =/=  (/)  ->  (
x  u.  U. J
)  =/=  U. J
) )  <->  ( x  =  (/)  \/  ( ( x  u.  U. J
)  =  U. J  ->  ( U. J  \  x )  =  (/) ) ) )
5242, 51bitri 249 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  =/=  (/)  /\  ( U. J  \  x
)  =/=  (/) )  -> 
( x  u.  U. J )  =/=  U. J )  <->  ( x  =  (/)  \/  ( ( x  u.  U. J
)  =  U. J  ->  ( U. J  \  x )  =  (/) ) ) )
53 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  x  e. 
_V
5453elpr 4050 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  { (/) ,  U. J }  <->  ( x  =  (/)  \/  x  =  U. J ) )
5541, 52, 543imtr4g 270 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  ( Clsd `  J ) )  -> 
( ( ( x  =/=  (/)  /\  ( U. J  \  x )  =/=  (/) )  ->  ( x  u.  U. J )  =/=  U. J )  ->  x  e.  { (/)
,  U. J } ) )
5629, 55syld 44 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  ( Clsd `  J ) )  -> 
( A. y  e.  J  ( ( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) )  ->  ( x  u.  y )  =/=  U. J )  ->  x  e.  { (/) ,  U. J } ) )
5756ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  e.  Top  ->  (
x  e.  ( Clsd `  J )  ->  ( A. y  e.  J  ( ( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) )  ->  (
x  u.  y )  =/=  U. J )  ->  x  e.  { (/)
,  U. J } ) ) )
5857com23 78 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A. y  e.  J  ( ( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) )  ->  (
x  u.  y )  =/=  U. J )  ->  ( x  e.  ( Clsd `  J
)  ->  x  e.  {
(/) ,  U. J }
) ) )
5958imim2d 52 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( x  e.  J  ->  A. y  e.  J  ( ( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) )  ->  (
x  u.  y )  =/=  U. J ) )  ->  ( x  e.  J  ->  ( x  e.  ( Clsd `  J
)  ->  x  e.  {
(/) ,  U. J }
) ) ) )
60 elin 3683 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( J  i^i  ( Clsd `  J )
)  <->  ( x  e.  J  /\  x  e.  ( Clsd `  J
) ) )
6160imbi1i 325 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( J  i^i  ( Clsd `  J
) )  ->  x  e.  { (/) ,  U. J } )  <->  ( (
x  e.  J  /\  x  e.  ( Clsd `  J ) )  ->  x  e.  { (/) ,  U. J } ) )
62 impexp 446 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  x  e.  ( Clsd `  J ) )  ->  x  e.  { (/)
,  U. J } )  <-> 
( x  e.  J  ->  ( x  e.  (
Clsd `  J )  ->  x  e.  { (/) , 
U. J } ) ) )
6361, 62bitri 249 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( J  i^i  ( Clsd `  J
) )  ->  x  e.  { (/) ,  U. J } )  <->  ( x  e.  J  ->  ( x  e.  ( Clsd `  J
)  ->  x  e.  {
(/) ,  U. J }
) ) )
6459, 63syl6ibr 227 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( x  e.  J  ->  A. y  e.  J  ( ( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) )  ->  (
x  u.  y )  =/=  U. J ) )  ->  ( x  e.  ( J  i^i  ( Clsd `  J ) )  ->  x  e.  { (/)
,  U. J } ) ) )
6564alimdv 1710 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A. x ( x  e.  J  ->  A. y  e.  J  ( (
x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) )  ->  ( x  u.  y )  =/=  U. J ) )  ->  A. x ( x  e.  ( J  i^i  ( Clsd `  J ) )  ->  x  e.  { (/)
,  U. J } ) ) )
66 df-ral 2812 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  J  A. y  e.  J  (
( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) )  ->  ( x  u.  y )  =/=  U. J )  <->  A. x
( x  e.  J  ->  A. y  e.  J  ( ( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) )  ->  (
x  u.  y )  =/=  U. J ) ) )
67 dfss2 3488 . . . . . 6  |-  ( ( J  i^i  ( Clsd `  J ) )  C_  {
(/) ,  U. J }  <->  A. x ( x  e.  ( J  i^i  ( Clsd `  J ) )  ->  x  e.  { (/)
,  U. J } ) )
6865, 66, 673imtr4g 270 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A. x  e.  J  A. y  e.  J  ( ( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) )  ->  (
x  u.  y )  =/=  U. J )  ->  ( J  i^i  ( Clsd `  J )
)  C_  { (/) ,  U. J } ) )
691iscon2 20041 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Con  <->  ( J  e.  Top  /\  ( J  i^i  ( Clsd `  J
) )  C_  { (/) , 
U. J } ) )
7069baib 903 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  ( J  e.  Con  <->  ( J  i^i  ( Clsd `  J
) )  C_  { (/) , 
U. J } ) )
7168, 70sylibrd 234 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A. x  e.  J  A. y  e.  J  ( ( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) )  ->  (
x  u.  y )  =/=  U. J )  ->  J  e.  Con ) )
7211, 71syl 16 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( A. x  e.  J  A. y  e.  J  (
( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) )  ->  ( x  u.  y )  =/=  U. J )  ->  J  e.  Con ) )
7310, 72impbid2 204 . 2  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( J  e.  Con  <->  A. x  e.  J  A. y  e.  J  ( ( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) )  ->  (
x  u.  y )  =/=  U. J ) ) )
74 toponuni 19555 . . . . 5  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
7574neeq2d 2735 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( (
x  u.  y )  =/=  X  <->  ( x  u.  y )  =/=  U. J ) )
7675imbi2d 316 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( (
( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) )  ->  ( x  u.  y )  =/= 
X )  <->  ( (
x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) )  ->  ( x  u.  y )  =/=  U. J ) ) )
77762ralbidv 2901 . 2  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( A. x  e.  J  A. y  e.  J  (
( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) )  ->  ( x  u.  y )  =/= 
X )  <->  A. x  e.  J  A. y  e.  J  ( (
x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) )  ->  ( x  u.  y )  =/=  U. J ) ) )
7873, 77bitr4d 256 1  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( J  e.  Con  <->  A. x  e.  J  A. y  e.  J  ( ( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) )  ->  (
x  u.  y )  =/=  X ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973   A.wal 1393    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   A.wral 2807    \ cdif 3468    u. cun 3469    i^i cin 3470    C_ wss 3471   (/)c0 3793   {cpr 4034   U.cuni 4251   ` cfv 5594   Topctop 19521  TopOnctopon 19522   Clsdccld 19644   Conccon 20038
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-fv 5602  df-top 19526  df-topon 19529  df-cld 19647  df-con 20039
This theorem is referenced by:  consuba  20047  pconcon  28873
  Copyright terms: Public domain W3C validator