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Theorem dfcon2 20426
Description: An alternate definition of connectedness. (Contributed by Jeff Hankins, 9-Jul-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
dfcon2  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( J  e.  Con  <->  A. x  e.  J  A. y  e.  J  ( ( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) )  ->  (
x  u.  y )  =/=  X ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, J    x, X, y

Proof of Theorem dfcon2
StepHypRef Expression
1 eqid 2423 . . . . . 6  |-  U. J  =  U. J
2 simpll 759 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  ->  J  e.  Con )
3 simplrl 769 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  ->  x  e.  J )
4 simpr1 1012 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  ->  x  =/=  (/) )
5 simplrr 770 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  ->  y  e.  J )
6 simpr2 1013 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  ->  y  =/=  (/) )
7 simpr3 1014 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  ->  (
x  i^i  y )  =  (/) )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7conndisj 20423 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  ->  (
x  u.  y )  =/=  U. J )
98ex 436 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Con  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  ->  (
( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) )  ->  ( x  u.  y )  =/=  U. J ) )
109ralrimivva 2847 . . 3  |-  ( J  e.  Con  ->  A. x  e.  J  A. y  e.  J  ( (
x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) )  ->  ( x  u.  y )  =/=  U. J ) )
11 topontop 19933 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
121cldopn 20038 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( U. J  \  x )  e.  J )
1312adantl 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  ( Clsd `  J ) )  -> 
( U. J  \  x )  e.  J
)
14 df-3an 985 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) )  <->  ( ( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/) )  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) ) )
15 ineq2 3659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  ( U. J  \  x )  ->  (
x  i^i  y )  =  ( x  i^i  ( U. J  \  x ) ) )
16 disjdif 3868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  i^i  ( U. J  \  x ) )  =  (/)
1715, 16syl6eq 2480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  ( U. J  \  x )  ->  (
x  i^i  y )  =  (/) )
1817biantrud 510 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( U. J  \  x )  ->  (
( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/) )  <->  ( (
x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/) )  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) ) ) )
19 neeq1 2706 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  ( U. J  \  x )  ->  (
y  =/=  (/)  <->  ( U. J  \  x )  =/=  (/) ) )
2019anbi2d 709 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( U. J  \  x )  ->  (
( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/) )  <->  ( x  =/=  (/)  /\  ( U. J  \  x )  =/=  (/) ) ) )
2118, 20bitr3d 259 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( U. J  \  x )  ->  (
( ( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( x  i^i  y
)  =  (/) )  <->  ( x  =/=  (/)  /\  ( U. J  \  x )  =/=  (/) ) ) )
2214, 21syl5bb 261 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( U. J  \  x )  ->  (
( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) )  <->  ( x  =/=  (/)  /\  ( U. J  \  x )  =/=  (/) ) ) )
23 uneq2 3615 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( U. J  \  x )  ->  (
x  u.  y )  =  ( x  u.  ( U. J  \  x ) ) )
24 undif2 3872 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  u.  ( U. J  \  x ) )  =  ( x  u.  U. J )
2523, 24syl6eq 2480 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( U. J  \  x )  ->  (
x  u.  y )  =  ( x  u. 
U. J ) )
2625neeq1d 2702 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( U. J  \  x )  ->  (
( x  u.  y
)  =/=  U. J  <->  ( x  u.  U. J
)  =/=  U. J
) )
2722, 26imbi12d 322 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( U. J  \  x )  ->  (
( ( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) )  ->  (
x  u.  y )  =/=  U. J )  <-> 
( ( x  =/=  (/)  /\  ( U. J  \  x )  =/=  (/) )  -> 
( x  u.  U. J )  =/=  U. J ) ) )
2827rspcv 3179 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U. J  \  x
)  e.  J  -> 
( A. y  e.  J  ( ( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) )  ->  ( x  u.  y )  =/=  U. J )  ->  (
( x  =/=  (/)  /\  ( U. J  \  x
)  =/=  (/) )  -> 
( x  u.  U. J )  =/=  U. J ) ) )
2913, 28syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  ( Clsd `  J ) )  -> 
( A. y  e.  J  ( ( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) )  ->  ( x  u.  y )  =/=  U. J )  ->  (
( x  =/=  (/)  /\  ( U. J  \  x
)  =/=  (/) )  -> 
( x  u.  U. J )  =/=  U. J ) ) )
301cldss 20036 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( Clsd `  J
)  ->  x  C_  U. J
)
3130adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  ( Clsd `  J ) )  ->  x  C_  U. J )
32 ssequn1 3637 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x 
C_  U. J  <->  ( x  u.  U. J )  = 
U. J )
3331, 32sylib 200 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  ( Clsd `  J ) )  -> 
( x  u.  U. J )  =  U. J )
34 ssdif0 3852 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( U. J  C_  x  <->  ( U. J  \  x )  =  (/) )
35 idd 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  ( Clsd `  J ) )  -> 
( U. J  C_  x  ->  U. J  C_  x
) )
3635, 31jctild 546 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  ( Clsd `  J ) )  -> 
( U. J  C_  x  ->  ( x  C_  U. J  /\  U. J  C_  x ) ) )
37 eqss 3480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  U. J  <->  ( x  C_ 
U. J  /\  U. J  C_  x ) )
3836, 37syl6ibr 231 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  ( Clsd `  J ) )  -> 
( U. J  C_  x  ->  x  =  U. J ) )
3934, 38syl5bir 222 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  ( Clsd `  J ) )  -> 
( ( U. J  \  x )  =  (/)  ->  x  =  U. J
) )
4033, 39embantd 57 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  ( Clsd `  J ) )  -> 
( ( ( x  u.  U. J )  =  U. J  -> 
( U. J  \  x )  =  (/) )  ->  x  =  U. J ) )
4140orim2d 849 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  ( Clsd `  J ) )  -> 
( ( x  =  (/)  \/  ( ( x  u.  U. J )  =  U. J  -> 
( U. J  \  x )  =  (/) ) )  ->  (
x  =  (/)  \/  x  =  U. J ) ) )
42 impexp 448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  =/=  (/)  /\  ( U. J  \  x
)  =/=  (/) )  -> 
( x  u.  U. J )  =/=  U. J )  <->  ( x  =/=  (/)  ->  ( ( U. J  \  x
)  =/=  (/)  ->  (
x  u.  U. J
)  =/=  U. J
) ) )
43 df-ne 2621 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =/=  (/)  <->  -.  x  =  (/) )
44 id 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( U. J  \  x )  =/=  (/)  ->  (
x  u.  U. J
)  =/=  U. J
)  ->  ( ( U. J  \  x
)  =/=  (/)  ->  (
x  u.  U. J
)  =/=  U. J
) )
4544necon4d 2652 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( U. J  \  x )  =/=  (/)  ->  (
x  u.  U. J
)  =/=  U. J
)  ->  ( (
x  u.  U. J
)  =  U. J  ->  ( U. J  \  x )  =  (/) ) )
46 id 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  u.  U. J )  =  U. J  ->  ( U. J  \  x )  =  (/) )  ->  ( ( x  u.  U. J )  =  U. J  -> 
( U. J  \  x )  =  (/) ) )
4746necon3d 2649 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  u.  U. J )  =  U. J  ->  ( U. J  \  x )  =  (/) )  ->  ( ( U. J  \  x )  =/=  (/)  ->  ( x  u. 
U. J )  =/=  U. J ) )
4845, 47impbii 191 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( U. J  \  x )  =/=  (/)  ->  (
x  u.  U. J
)  =/=  U. J
)  <->  ( ( x  u.  U. J )  =  U. J  -> 
( U. J  \  x )  =  (/) ) )
4943, 48imbi12i 328 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  =/=  (/)  ->  (
( U. J  \  x )  =/=  (/)  ->  (
x  u.  U. J
)  =/=  U. J
) )  <->  ( -.  x  =  (/)  ->  (
( x  u.  U. J )  =  U. J  ->  ( U. J  \  x )  =  (/) ) ) )
50 pm4.64 374 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( -.  x  =  (/)  ->  ( ( x  u. 
U. J )  = 
U. J  ->  ( U. J  \  x
)  =  (/) ) )  <-> 
( x  =  (/)  \/  ( ( x  u. 
U. J )  = 
U. J  ->  ( U. J  \  x
)  =  (/) ) ) )
5149, 50bitri 253 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =/=  (/)  ->  (
( U. J  \  x )  =/=  (/)  ->  (
x  u.  U. J
)  =/=  U. J
) )  <->  ( x  =  (/)  \/  ( ( x  u.  U. J
)  =  U. J  ->  ( U. J  \  x )  =  (/) ) ) )
5242, 51bitri 253 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  =/=  (/)  /\  ( U. J  \  x
)  =/=  (/) )  -> 
( x  u.  U. J )  =/=  U. J )  <->  ( x  =  (/)  \/  ( ( x  u.  U. J
)  =  U. J  ->  ( U. J  \  x )  =  (/) ) ) )
53 vex 3085 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  x  e. 
_V
5453elpr 4015 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  { (/) ,  U. J }  <->  ( x  =  (/)  \/  x  =  U. J ) )
5541, 52, 543imtr4g 274 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  ( Clsd `  J ) )  -> 
( ( ( x  =/=  (/)  /\  ( U. J  \  x )  =/=  (/) )  ->  ( x  u.  U. J )  =/=  U. J )  ->  x  e.  { (/)
,  U. J } ) )
5629, 55syld 46 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  ( Clsd `  J ) )  -> 
( A. y  e.  J  ( ( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) )  ->  ( x  u.  y )  =/=  U. J )  ->  x  e.  { (/) ,  U. J } ) )
5756ex 436 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  e.  Top  ->  (
x  e.  ( Clsd `  J )  ->  ( A. y  e.  J  ( ( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) )  ->  (
x  u.  y )  =/=  U. J )  ->  x  e.  { (/)
,  U. J } ) ) )
5857com23 82 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A. y  e.  J  ( ( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) )  ->  (
x  u.  y )  =/=  U. J )  ->  ( x  e.  ( Clsd `  J
)  ->  x  e.  {
(/) ,  U. J }
) ) )
5958imim2d 55 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( x  e.  J  ->  A. y  e.  J  ( ( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) )  ->  (
x  u.  y )  =/=  U. J ) )  ->  ( x  e.  J  ->  ( x  e.  ( Clsd `  J
)  ->  x  e.  {
(/) ,  U. J }
) ) ) )
60 elin 3650 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( J  i^i  ( Clsd `  J )
)  <->  ( x  e.  J  /\  x  e.  ( Clsd `  J
) ) )
6160imbi1i 327 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( J  i^i  ( Clsd `  J
) )  ->  x  e.  { (/) ,  U. J } )  <->  ( (
x  e.  J  /\  x  e.  ( Clsd `  J ) )  ->  x  e.  { (/) ,  U. J } ) )
62 impexp 448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  x  e.  ( Clsd `  J ) )  ->  x  e.  { (/)
,  U. J } )  <-> 
( x  e.  J  ->  ( x  e.  (
Clsd `  J )  ->  x  e.  { (/) , 
U. J } ) ) )
6361, 62bitri 253 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( J  i^i  ( Clsd `  J
) )  ->  x  e.  { (/) ,  U. J } )  <->  ( x  e.  J  ->  ( x  e.  ( Clsd `  J
)  ->  x  e.  {
(/) ,  U. J }
) ) )
6459, 63syl6ibr 231 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( x  e.  J  ->  A. y  e.  J  ( ( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) )  ->  (
x  u.  y )  =/=  U. J ) )  ->  ( x  e.  ( J  i^i  ( Clsd `  J ) )  ->  x  e.  { (/)
,  U. J } ) ) )
6564alimdv 1754 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A. x ( x  e.  J  ->  A. y  e.  J  ( (
x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) )  ->  ( x  u.  y )  =/=  U. J ) )  ->  A. x ( x  e.  ( J  i^i  ( Clsd `  J ) )  ->  x  e.  { (/)
,  U. J } ) ) )
66 df-ral 2781 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  J  A. y  e.  J  (
( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) )  ->  ( x  u.  y )  =/=  U. J )  <->  A. x
( x  e.  J  ->  A. y  e.  J  ( ( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) )  ->  (
x  u.  y )  =/=  U. J ) ) )
67 dfss2 3454 . . . . . 6  |-  ( ( J  i^i  ( Clsd `  J ) )  C_  {
(/) ,  U. J }  <->  A. x ( x  e.  ( J  i^i  ( Clsd `  J ) )  ->  x  e.  { (/)
,  U. J } ) )
6865, 66, 673imtr4g 274 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A. x  e.  J  A. y  e.  J  ( ( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) )  ->  (
x  u.  y )  =/=  U. J )  ->  ( J  i^i  ( Clsd `  J )
)  C_  { (/) ,  U. J } ) )
691iscon2 20421 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Con  <->  ( J  e.  Top  /\  ( J  i^i  ( Clsd `  J
) )  C_  { (/) , 
U. J } ) )
7069baib 912 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  ( J  e.  Con  <->  ( J  i^i  ( Clsd `  J
) )  C_  { (/) , 
U. J } ) )
7168, 70sylibrd 238 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A. x  e.  J  A. y  e.  J  ( ( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) )  ->  (
x  u.  y )  =/=  U. J )  ->  J  e.  Con ) )
7211, 71syl 17 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( A. x  e.  J  A. y  e.  J  (
( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) )  ->  ( x  u.  y )  =/=  U. J )  ->  J  e.  Con ) )
7310, 72impbid2 208 . 2  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( J  e.  Con  <->  A. x  e.  J  A. y  e.  J  ( ( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) )  ->  (
x  u.  y )  =/=  U. J ) ) )
74 toponuni 19934 . . . . 5  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
7574neeq2d 2703 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( (
x  u.  y )  =/=  X  <->  ( x  u.  y )  =/=  U. J ) )
7675imbi2d 318 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( (
( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) )  ->  ( x  u.  y )  =/= 
X )  <->  ( (
x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) )  ->  ( x  u.  y )  =/=  U. J ) ) )
77762ralbidv 2870 . 2  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( A. x  e.  J  A. y  e.  J  (
( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) )  ->  ( x  u.  y )  =/= 
X )  <->  A. x  e.  J  A. y  e.  J  ( (
x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) )  ->  ( x  u.  y )  =/=  U. J ) ) )
7873, 77bitr4d 260 1  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( J  e.  Con  <->  A. x  e.  J  A. y  e.  J  ( ( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) )  ->  (
x  u.  y )  =/=  X ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    \/ wo 370    /\ wa 371    /\ w3a 983   A.wal 1436    = wceq 1438    e. wcel 1869    =/= wne 2619   A.wral 2776    \ cdif 3434    u. cun 3435    i^i cin 3436    C_ wss 3437   (/)c0 3762   {cpr 3999   U.cuni 4217   ` cfv 5599   Topctop 19909  TopOnctopon 19910   Clsdccld 20023   Conccon 20418
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-ral 2781  df-rex 2782  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-op 4004  df-uni 4218  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-id 4766  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-fv 5607  df-top 19913  df-topon 19915  df-cld 20026  df-con 20419
This theorem is referenced by:  consuba  20427  pconcon  29956
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