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Theorem dfcon2 19702
Description: An alternate definition of connectedness. (Contributed by Jeff Hankins, 9-Jul-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
dfcon2 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( J e. Con <-> A. x e. J A. y e. J ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= X ) ) )
Distinct variable groups:   x, y, J   x, X, y
Proof of Theorem dfcon2
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . . . . . 6 |- U. J = U. J
2 simpll 753 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. Con /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) -> J e. Con )
3 simplrl 759 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. Con /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) -> x e. J )
4 simpr1 1002 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. Con /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) -> x =/= (/) )
5 simplrr 760 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. Con /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) -> y e. J )
6 simpr2 1003 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. Con /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) -> y =/= (/) )
7 simpr3 1004 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. Con /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) -> ( x i^i y ) = (/) )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7conndisj 19699 . . . . 5 |- ( ( ( J e. Con /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) -> ( x u. y ) =/= U. J )
98ex 434 . . . 4 |- ( ( J e. Con /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= U. J ) )
109ralrimivva 2885 . . 3 |- ( J e. Con -> A. x e. J A. y e. J ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= U. J ) )
11 topontop 19210 . . . 4 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
121cldopn 19314 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( Clsd ` J ) -> ( U. J \ x ) e. J )
1312adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. Top /\ x e. ( Clsd ` J ) ) -> ( U. J \ x ) e. J )
14 df-3an 975 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) <-> ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) )
15 ineq2 3694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = ( U. J \ x ) -> ( x i^i y ) = ( x i^i ( U. J \ x ) ) )
16 disjdif 3899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x i^i ( U. J \ x ) ) = (/)
1715, 16syl6eq 2524 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = ( U. J \ x ) -> ( x i^i y ) = (/) )
1817biantrud 507 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = ( U. J \ x ) -> ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) ) <-> ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) )
19 neeq1 2748 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = ( U. J \ x ) -> ( y =/= (/) <-> ( U. J \ x ) =/= (/) ) )
2019anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = ( U. J \ x ) -> ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) ) <-> ( x =/= (/) /\ ( U. J \ x ) =/= (/) ) ) )
2118, 20bitr3d 255 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = ( U. J \ x ) -> ( ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) <-> ( x =/= (/) /\ ( U. J \ x ) =/= (/) ) ) )
2214, 21syl5bb 257 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = ( U. J \ x ) -> ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) <-> ( x =/= (/) /\ ( U. J \ x ) =/= (/) ) ) )
23 uneq2 3652 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = ( U. J \ x ) -> ( x u. y ) = ( x u. ( U. J \ x ) ) )
24 undif2 3903 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x u. ( U. J \ x ) ) = ( x u. U. J )
2523, 24syl6eq 2524 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = ( U. J \ x ) -> ( x u. y ) = ( x u. U. J ) )
2625neeq1d 2744 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = ( U. J \ x ) -> ( ( x u. y ) =/= U. J <-> ( x u. U. J ) =/= U. J ) )
2722, 26imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = ( U. J \ x ) -> ( ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= U. J ) <-> ( ( x =/= (/) /\ ( U. J \ x ) =/= (/) ) -> ( x u. U. J ) =/= U. J ) ) )
2827rspcv 3210 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( U. J \ x ) e. J -> ( A. y e. J ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= U. J ) -> ( ( x =/= (/) /\ ( U. J \ x ) =/= (/) ) -> ( x u. U. J ) =/= U. J ) ) )
2913, 28syl 16 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. Top /\ x e. ( Clsd ` J ) ) -> ( A. y e. J ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= U. J ) -> ( ( x =/= (/) /\ ( U. J \ x ) =/= (/) ) -> ( x u. U. J ) =/= U. J ) ) )
301cldss 19312 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. ( Clsd ` J ) -> x C_ U. J )
3130adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( J e. Top /\ x e. ( Clsd ` J ) ) -> x C_ U. J )
32 ssequn1 3674 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x C_ U. J <-> ( x u. U. J ) = U. J )
3331, 32sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( J e. Top /\ x e. ( Clsd ` J ) ) -> ( x u. U. J ) = U. J )
34 ssdif0 3885 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( U. J C_ x <-> ( U. J \ x ) = (/) )
35 idd 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( J e. Top /\ x e. ( Clsd ` J ) ) -> ( U. J C_ x -> U. J C_ x ) )
3635, 31jctild 543 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( J e. Top /\ x e. ( Clsd ` J ) ) -> ( U. J C_ x -> ( x C_ U. J /\ U. J C_ x ) ) )
37 eqss 3519 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = U. J <-> ( x C_ U. J /\ U. J C_ x ) )
3836, 37syl6ibr 227 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( J e. Top /\ x e. ( Clsd ` J ) ) -> ( U. J C_ x -> x = U. J ) )
3934, 38syl5bir 218 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( J e. Top /\ x e. ( Clsd ` J ) ) -> ( ( U. J \ x ) = (/) -> x = U. J ) )
4033, 39embantd 54 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( J e. Top /\ x e. ( Clsd ` J ) ) -> ( ( ( x u. U. J ) = U. J -> ( U. J \ x ) = (/) ) -> x = U. J ) )
4140orim2d 838 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. Top /\ x e. ( Clsd ` J ) ) -> ( ( x = (/) \/ ( ( x u. U. J ) = U. J -> ( U. J \ x ) = (/) ) ) -> ( x = (/) \/ x = U. J ) ) )
42 impexp 446 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x =/= (/) /\ ( U. J \ x ) =/= (/) ) -> ( x u. U. J ) =/= U. J ) <-> ( x =/= (/) -> ( ( U. J \ x ) =/= (/) -> ( x u. U. J ) =/= U. J ) ) )
43 df-ne 2664 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x =/= (/) <-> -. x = (/) )
44 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( U. J \ x ) =/= (/) -> ( x u. U. J ) =/= U. J ) -> ( ( U. J \ x ) =/= (/) -> ( x u. U. J ) =/= U. J ) )
4544necon4d 2694 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( U. J \ x ) =/= (/) -> ( x u. U. J ) =/= U. J ) -> ( ( x u. U. J ) = U. J -> ( U. J \ x ) = (/) ) )
46 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( x u. U. J ) = U. J -> ( U. J \ x ) = (/) ) -> ( ( x u. U. J ) = U. J -> ( U. J \ x ) = (/) ) )
4746necon3d 2691 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( x u. U. J ) = U. J -> ( U. J \ x ) = (/) ) -> ( ( U. J \ x ) =/= (/) -> ( x u. U. J ) =/= U. J ) )
4845, 47impbii 188 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( U. J \ x ) =/= (/) -> ( x u. U. J ) =/= U. J ) <-> ( ( x u. U. J ) = U. J -> ( U. J \ x ) = (/) ) )
4943, 48imbi12i 326 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x =/= (/) -> ( ( U. J \ x ) =/= (/) -> ( x u. U. J ) =/= U. J ) ) <-> ( -. x = (/) -> ( ( x u. U. J ) = U. J -> ( U. J \ x ) = (/) ) ) )
50 pm4.64 372 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( -. x = (/) -> ( ( x u. U. J ) = U. J -> ( U. J \ x ) = (/) ) ) <-> ( x = (/) \/ ( ( x u. U. J ) = U. J -> ( U. J \ x ) = (/) ) ) )
5149, 50bitri 249 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x =/= (/) -> ( ( U. J \ x ) =/= (/) -> ( x u. U. J ) =/= U. J ) ) <-> ( x = (/) \/ ( ( x u. U. J ) = U. J -> ( U. J \ x ) = (/) ) ) )
5242, 51bitri 249 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x =/= (/) /\ ( U. J \ x ) =/= (/) ) -> ( x u. U. J ) =/= U. J ) <-> ( x = (/) \/ ( ( x u. U. J ) = U. J -> ( U. J \ x ) = (/) ) ) )
53 vex 3116 . . . . . . . . . . . . . 14 |- x e. _V
5453elpr 4045 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. { (/) , U. J } <-> ( x = (/) \/ x = U. J ) )
5541, 52, 543imtr4g 270 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. Top /\ x e. ( Clsd ` J ) ) -> ( ( ( x =/= (/) /\ ( U. J \ x ) =/= (/) ) -> ( x u. U. J ) =/= U. J ) -> x e. { (/) , U. J } ) )
5629, 55syld 44 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. Top /\ x e. ( Clsd ` J ) ) -> ( A. y e. J ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= U. J ) -> x e. { (/) , U. J } ) )
5756ex 434 . . . . . . . . . 10 |- ( J e. Top -> ( x e. ( Clsd ` J ) -> ( A. y e. J ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= U. J ) -> x e. { (/) , U. J } ) ) )
5857com23 78 . . . . . . . . 9 |- ( J e. Top -> ( A. y e. J ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= U. J ) -> ( x e. ( Clsd ` J ) -> x e. { (/) , U. J } ) ) )
5958imim2d 52 . . . . . . . 8 |- ( J e. Top -> ( ( x e. J -> A. y e. J ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= U. J ) ) -> ( x e. J -> ( x e. ( Clsd ` J ) -> x e. { (/) , U. J } ) ) ) )
60 elin 3687 . . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( J i^i ( Clsd ` J ) ) <-> ( x e. J /\ x e. ( Clsd ` J ) ) )
6160imbi1i 325 . . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( J i^i ( Clsd ` J ) ) -> x e. { (/) , U. J } ) <-> ( ( x e. J /\ x e. ( Clsd ` J ) ) -> x e. { (/) , U. J } ) )
62 impexp 446 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. J /\ x e. ( Clsd ` J ) ) -> x e. { (/) , U. J } ) <-> ( x e. J -> ( x e. ( Clsd ` J ) -> x e. { (/) , U. J } ) ) )
6361, 62bitri 249 . . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( J i^i ( Clsd ` J ) ) -> x e. { (/) , U. J } ) <-> ( x e. J -> ( x e. ( Clsd ` J ) -> x e. { (/) , U. J } ) ) )
6459, 63syl6ibr 227 . . . . . . 7 |- ( J e. Top -> ( ( x e. J -> A. y e. J ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= U. J ) ) -> ( x e. ( J i^i ( Clsd ` J ) ) -> x e. { (/) , U. J } ) ) )
6564alimdv 1685 . . . . . 6 |- ( J e. Top -> ( A. x ( x e. J -> A. y e. J ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= U. J ) ) -> A. x ( x e. ( J i^i ( Clsd ` J ) ) -> x e. { (/) , U. J } ) ) )
66 df-ral 2819 . . . . . 6 |- ( A. x e. J A. y e. J ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= U. J ) <-> A. x ( x e. J -> A. y e. J ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= U. J ) ) )
67 dfss2 3493 . . . . . 6 |- ( ( J i^i ( Clsd ` J ) ) C_ { (/) , U. J } <-> A. x ( x e. ( J i^i ( Clsd ` J ) ) -> x e. { (/) , U. J } ) )
6865, 66, 673imtr4g 270 . . . . 5 |- ( J e. Top -> ( A. x e. J A. y e. J ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= U. J ) -> ( J i^i ( Clsd ` J ) ) C_ { (/) , U. J } ) )
691iscon2 19697 . . . . . 6 |- ( J e. Con <-> ( J e. Top /\ ( J i^i ( Clsd ` J ) ) C_ { (/) , U. J } ) )
7069baib 901 . . . . 5 |- ( J e. Top -> ( J e. Con <-> ( J i^i ( Clsd ` J ) ) C_ { (/) , U. J } ) )
7168, 70sylibrd 234 . . . 4 |- ( J e. Top -> ( A. x e. J A. y e. J ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= U. J ) -> J e. Con ) )
7211, 71syl 16 . . 3 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( A. x e. J A. y e. J ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= U. J ) -> J e. Con ) )
7310, 72impbid2 204 . 2 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( J e. Con <-> A. x e. J A. y e. J ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= U. J ) ) )
74 toponuni 19211 . . . . 5 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
7574neeq2d 2745 . . . 4 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( ( x u. y ) =/= X <-> ( x u. y ) =/= U. J ) )
7675imbi2d 316 . . 3 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= X ) <-> ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= U. J ) ) )
77762ralbidv 2908 . 2 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( A. x e. J A. y e. J ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= X ) <-> A. x e. J A. y e. J ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= U. J ) ) )
7873, 77bitr4d 256 1 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( J e. Con <-> A. x e. J A. y e. J ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= X ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 973   A.wal 1377   = wceq 1379   e. wcel 1767   =/= wne 2662   A.wral 2814   \ cdif 3473   u. cun 3474   i^i cin 3475   C_ wss 3476   (/)c0 3785   {cpr 4029   U.cuni 4245   ` cfv 5587   Topctop 19177  TopOnctopon 19178   Clsdccld 19299   Conccon 19694
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-fv 5595  df-top 19182  df-topon 19185  df-cld 19302  df-con 19695
This theorem is referenced by:  consuba  19703  pconcon  28332
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