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Theorem dfcon2 19035
Description: An alternate definition of connectedness. (Contributed by Jeff Hankins, 9-Jul-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
dfcon2 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( J e. Con <-> A. x e. J A. y e. J ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= X ) ) )
Distinct variable groups:   x, y, J   x, X, y
Proof of Theorem dfcon2
StepHypRef Expression
1 eqid 2443 . . . . . 6 |- U. J = U. J
2 simpll 753 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. Con /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) -> J e. Con )
3 simplrl 759 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. Con /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) -> x e. J )
4 simpr1 994 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. Con /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) -> x =/= (/) )
5 simplrr 760 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. Con /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) -> y e. J )
6 simpr2 995 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. Con /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) -> y =/= (/) )
7 simpr3 996 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. Con /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) -> ( x i^i y ) = (/) )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7conndisj 19032 . . . . 5 |- ( ( ( J e. Con /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) -> ( x u. y ) =/= U. J )
98ex 434 . . . 4 |- ( ( J e. Con /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= U. J ) )
109ralrimivva 2820 . . 3 |- ( J e. Con -> A. x e. J A. y e. J ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= U. J ) )
11 topontop 18543 . . . 4 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
121cldopn 18647 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( Clsd ` J ) -> ( U. J \ x ) e. J )
1312adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. Top /\ x e. ( Clsd ` J ) ) -> ( U. J \ x ) e. J )
14 df-3an 967 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) <-> ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) )
15 ineq2 3558 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = ( U. J \ x ) -> ( x i^i y ) = ( x i^i ( U. J \ x ) ) )
16 disjdif 3763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x i^i ( U. J \ x ) ) = (/)
1715, 16syl6eq 2491 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = ( U. J \ x ) -> ( x i^i y ) = (/) )
1817biantrud 507 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = ( U. J \ x ) -> ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) ) <-> ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) )
19 neeq1 2628 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = ( U. J \ x ) -> ( y =/= (/) <-> ( U. J \ x ) =/= (/) ) )
2019anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = ( U. J \ x ) -> ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) ) <-> ( x =/= (/) /\ ( U. J \ x ) =/= (/) ) ) )
2118, 20bitr3d 255 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = ( U. J \ x ) -> ( ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) <-> ( x =/= (/) /\ ( U. J \ x ) =/= (/) ) ) )
2214, 21syl5bb 257 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = ( U. J \ x ) -> ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) <-> ( x =/= (/) /\ ( U. J \ x ) =/= (/) ) ) )
23 uneq2 3516 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = ( U. J \ x ) -> ( x u. y ) = ( x u. ( U. J \ x ) ) )
24 undif2 3767 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x u. ( U. J \ x ) ) = ( x u. U. J )
2523, 24syl6eq 2491 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = ( U. J \ x ) -> ( x u. y ) = ( x u. U. J ) )
2625neeq1d 2633 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = ( U. J \ x ) -> ( ( x u. y ) =/= U. J <-> ( x u. U. J ) =/= U. J ) )
2722, 26imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = ( U. J \ x ) -> ( ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= U. J ) <-> ( ( x =/= (/) /\ ( U. J \ x ) =/= (/) ) -> ( x u. U. J ) =/= U. J ) ) )
2827rspcv 3081 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( U. J \ x ) e. J -> ( A. y e. J ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= U. J ) -> ( ( x =/= (/) /\ ( U. J \ x ) =/= (/) ) -> ( x u. U. J ) =/= U. J ) ) )
2913, 28syl 16 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. Top /\ x e. ( Clsd ` J ) ) -> ( A. y e. J ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= U. J ) -> ( ( x =/= (/) /\ ( U. J \ x ) =/= (/) ) -> ( x u. U. J ) =/= U. J ) ) )
301cldss 18645 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. ( Clsd ` J ) -> x C_ U. J )
3130adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( J e. Top /\ x e. ( Clsd ` J ) ) -> x C_ U. J )
32 ssequn1 3538 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x C_ U. J <-> ( x u. U. J ) = U. J )
3331, 32sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( J e. Top /\ x e. ( Clsd ` J ) ) -> ( x u. U. J ) = U. J )
34 ssdif0 3749 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( U. J C_ x <-> ( U. J \ x ) = (/) )
35 idd 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( J e. Top /\ x e. ( Clsd ` J ) ) -> ( U. J C_ x -> U. J C_ x ) )
3635, 31jctild 543 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( J e. Top /\ x e. ( Clsd ` J ) ) -> ( U. J C_ x -> ( x C_ U. J /\ U. J C_ x ) ) )
37 eqss 3383 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = U. J <-> ( x C_ U. J /\ U. J C_ x ) )
3836, 37syl6ibr 227 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( J e. Top /\ x e. ( Clsd ` J ) ) -> ( U. J C_ x -> x = U. J ) )
3934, 38syl5bir 218 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( J e. Top /\ x e. ( Clsd ` J ) ) -> ( ( U. J \ x ) = (/) -> x = U. J ) )
4033, 39embantd 54 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( J e. Top /\ x e. ( Clsd ` J ) ) -> ( ( ( x u. U. J ) = U. J -> ( U. J \ x ) = (/) ) -> x = U. J ) )
4140orim2d 836 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. Top /\ x e. ( Clsd ` J ) ) -> ( ( x = (/) \/ ( ( x u. U. J ) = U. J -> ( U. J \ x ) = (/) ) ) -> ( x = (/) \/ x = U. J ) ) )
42 impexp 446 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x =/= (/) /\ ( U. J \ x ) =/= (/) ) -> ( x u. U. J ) =/= U. J ) <-> ( x =/= (/) -> ( ( U. J \ x ) =/= (/) -> ( x u. U. J ) =/= U. J ) ) )
43 df-ne 2620 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x =/= (/) <-> -. x = (/) )
44 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( U. J \ x ) =/= (/) -> ( x u. U. J ) =/= U. J ) -> ( ( U. J \ x ) =/= (/) -> ( x u. U. J ) =/= U. J ) )
4544necon4d 2686 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( U. J \ x ) =/= (/) -> ( x u. U. J ) =/= U. J ) -> ( ( x u. U. J ) = U. J -> ( U. J \ x ) = (/) ) )
46 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( x u. U. J ) = U. J -> ( U. J \ x ) = (/) ) -> ( ( x u. U. J ) = U. J -> ( U. J \ x ) = (/) ) )
4746necon3d 2658 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( x u. U. J ) = U. J -> ( U. J \ x ) = (/) ) -> ( ( U. J \ x ) =/= (/) -> ( x u. U. J ) =/= U. J ) )
4845, 47impbii 188 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( U. J \ x ) =/= (/) -> ( x u. U. J ) =/= U. J ) <-> ( ( x u. U. J ) = U. J -> ( U. J \ x ) = (/) ) )
4943, 48imbi12i 326 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x =/= (/) -> ( ( U. J \ x ) =/= (/) -> ( x u. U. J ) =/= U. J ) ) <-> ( -. x = (/) -> ( ( x u. U. J ) = U. J -> ( U. J \ x ) = (/) ) ) )
50 pm4.64 372 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( -. x = (/) -> ( ( x u. U. J ) = U. J -> ( U. J \ x ) = (/) ) ) <-> ( x = (/) \/ ( ( x u. U. J ) = U. J -> ( U. J \ x ) = (/) ) ) )
5149, 50bitri 249 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x =/= (/) -> ( ( U. J \ x ) =/= (/) -> ( x u. U. J ) =/= U. J ) ) <-> ( x = (/) \/ ( ( x u. U. J ) = U. J -> ( U. J \ x ) = (/) ) ) )
5242, 51bitri 249 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x =/= (/) /\ ( U. J \ x ) =/= (/) ) -> ( x u. U. J ) =/= U. J ) <-> ( x = (/) \/ ( ( x u. U. J ) = U. J -> ( U. J \ x ) = (/) ) ) )
53 vex 2987 . . . . . . . . . . . . . 14 |- x e. _V
5453elpr 3907 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. { (/) , U. J } <-> ( x = (/) \/ x = U. J ) )
5541, 52, 543imtr4g 270 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. Top /\ x e. ( Clsd ` J ) ) -> ( ( ( x =/= (/) /\ ( U. J \ x ) =/= (/) ) -> ( x u. U. J ) =/= U. J ) -> x e. { (/) , U. J } ) )
5629, 55syld 44 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. Top /\ x e. ( Clsd ` J ) ) -> ( A. y e. J ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= U. J ) -> x e. { (/) , U. J } ) )
5756ex 434 . . . . . . . . . 10 |- ( J e. Top -> ( x e. ( Clsd ` J ) -> ( A. y e. J ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= U. J ) -> x e. { (/) , U. J } ) ) )
5857com23 78 . . . . . . . . 9 |- ( J e. Top -> ( A. y e. J ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= U. J ) -> ( x e. ( Clsd ` J ) -> x e. { (/) , U. J } ) ) )
5958imim2d 52 . . . . . . . 8 |- ( J e. Top -> ( ( x e. J -> A. y e. J ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= U. J ) ) -> ( x e. J -> ( x e. ( Clsd ` J ) -> x e. { (/) , U. J } ) ) ) )
60 elin 3551 . . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( J i^i ( Clsd ` J ) ) <-> ( x e. J /\ x e. ( Clsd ` J ) ) )
6160imbi1i 325 . . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( J i^i ( Clsd ` J ) ) -> x e. { (/) , U. J } ) <-> ( ( x e. J /\ x e. ( Clsd ` J ) ) -> x e. { (/) , U. J } ) )
62 impexp 446 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. J /\ x e. ( Clsd ` J ) ) -> x e. { (/) , U. J } ) <-> ( x e. J -> ( x e. ( Clsd ` J ) -> x e. { (/) , U. J } ) ) )
6361, 62bitri 249 . . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( J i^i ( Clsd ` J ) ) -> x e. { (/) , U. J } ) <-> ( x e. J -> ( x e. ( Clsd ` J ) -> x e. { (/) , U. J } ) ) )
6459, 63syl6ibr 227 . . . . . . 7 |- ( J e. Top -> ( ( x e. J -> A. y e. J ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= U. J ) ) -> ( x e. ( J i^i ( Clsd ` J ) ) -> x e. { (/) , U. J } ) ) )
6564alimdv 1675 . . . . . 6 |- ( J e. Top -> ( A. x ( x e. J -> A. y e. J ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= U. J ) ) -> A. x ( x e. ( J i^i ( Clsd ` J ) ) -> x e. { (/) , U. J } ) ) )
66 df-ral 2732 . . . . . 6 |- ( A. x e. J A. y e. J ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= U. J ) <-> A. x ( x e. J -> A. y e. J ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= U. J ) ) )
67 dfss2 3357 . . . . . 6 |- ( ( J i^i ( Clsd ` J ) ) C_ { (/) , U. J } <-> A. x ( x e. ( J i^i ( Clsd ` J ) ) -> x e. { (/) , U. J } ) )
6865, 66, 673imtr4g 270 . . . . 5 |- ( J e. Top -> ( A. x e. J A. y e. J ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= U. J ) -> ( J i^i ( Clsd ` J ) ) C_ { (/) , U. J } ) )
691iscon2 19030 . . . . . 6 |- ( J e. Con <-> ( J e. Top /\ ( J i^i ( Clsd ` J ) ) C_ { (/) , U. J } ) )
7069baib 896 . . . . 5 |- ( J e. Top -> ( J e. Con <-> ( J i^i ( Clsd ` J ) ) C_ { (/) , U. J } ) )
7168, 70sylibrd 234 . . . 4 |- ( J e. Top -> ( A. x e. J A. y e. J ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= U. J ) -> J e. Con ) )
7211, 71syl 16 . . 3 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( A. x e. J A. y e. J ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= U. J ) -> J e. Con ) )
7310, 72impbid2 204 . 2 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( J e. Con <-> A. x e. J A. y e. J ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= U. J ) ) )
74 toponuni 18544 . . . . 5 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
7574neeq2d 2634 . . . 4 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( ( x u. y ) =/= X <-> ( x u. y ) =/= U. J ) )
7675imbi2d 316 . . 3 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= X ) <-> ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= U. J ) ) )
77762ralbidv 2769 . 2 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( A. x e. J A. y e. J ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= X ) <-> A. x e. J A. y e. J ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= U. J ) ) )
7873, 77bitr4d 256 1 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( J e. Con <-> A. x e. J A. y e. J ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= X ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 965   A.wal 1367   = wceq 1369   e. wcel 1756   =/= wne 2618   A.wral 2727   \ cdif 3337   u. cun 3338   i^i cin 3339   C_ wss 3340   (/)c0 3649   {cpr 3891   U.cuni 4103   ` cfv 5430   Topctop 18510  TopOnctopon 18511   Clsdccld 18632   Conccon 19027
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-ral 2732  df-rex 2733  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-op 3896  df-uni 4104  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-id 4648  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-fv 5438  df-top 18515  df-topon 18518  df-cld 18635  df-con 19028
This theorem is referenced by:  consuba  19036  pconcon  27132
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