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Theorem dfcon2 19035
Description: An alternate definition of connectedness. (Contributed by Jeff Hankins, 9-Jul-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
dfcon2  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( J  e.  Con  <->  A. x  e.  J  A. y  e.  J  ( ( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) )  ->  (
x  u.  y )  =/=  X ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, J    x, X, y

Proof of Theorem dfcon2
StepHypRef Expression
1 eqid 2443 . . . . . 6  |-  U. J  =  U. J
2 simpll 753 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  ->  J  e.  Con )
3 simplrl 759 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  ->  x  e.  J )
4 simpr1 994 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  ->  x  =/=  (/) )
5 simplrr 760 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  ->  y  e.  J )
6 simpr2 995 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  ->  y  =/=  (/) )
7 simpr3 996 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  ->  (
x  i^i  y )  =  (/) )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7conndisj 19032 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  ->  (
x  u.  y )  =/=  U. J )
98ex 434 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Con  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  ->  (
( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) )  ->  ( x  u.  y )  =/=  U. J ) )
109ralrimivva 2820 . . 3  |-  ( J  e.  Con  ->  A. x  e.  J  A. y  e.  J  ( (
x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) )  ->  ( x  u.  y )  =/=  U. J ) )
11 topontop 18543 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
121cldopn 18647 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( U. J  \  x )  e.  J )
1312adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  ( Clsd `  J ) )  -> 
( U. J  \  x )  e.  J
)
14 df-3an 967 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) )  <->  ( ( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/) )  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) ) )
15 ineq2 3558 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  ( U. J  \  x )  ->  (
x  i^i  y )  =  ( x  i^i  ( U. J  \  x ) ) )
16 disjdif 3763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  i^i  ( U. J  \  x ) )  =  (/)
1715, 16syl6eq 2491 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  ( U. J  \  x )  ->  (
x  i^i  y )  =  (/) )
1817biantrud 507 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( U. J  \  x )  ->  (
( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/) )  <->  ( (
x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/) )  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) ) ) )
19 neeq1 2628 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  ( U. J  \  x )  ->  (
y  =/=  (/)  <->  ( U. J  \  x )  =/=  (/) ) )
2019anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( U. J  \  x )  ->  (
( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/) )  <->  ( x  =/=  (/)  /\  ( U. J  \  x )  =/=  (/) ) ) )
2118, 20bitr3d 255 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( U. J  \  x )  ->  (
( ( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( x  i^i  y
)  =  (/) )  <->  ( x  =/=  (/)  /\  ( U. J  \  x )  =/=  (/) ) ) )
2214, 21syl5bb 257 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( U. J  \  x )  ->  (
( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) )  <->  ( x  =/=  (/)  /\  ( U. J  \  x )  =/=  (/) ) ) )
23 uneq2 3516 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( U. J  \  x )  ->  (
x  u.  y )  =  ( x  u.  ( U. J  \  x ) ) )
24 undif2 3767 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  u.  ( U. J  \  x ) )  =  ( x  u.  U. J )
2523, 24syl6eq 2491 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( U. J  \  x )  ->  (
x  u.  y )  =  ( x  u. 
U. J ) )
2625neeq1d 2633 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( U. J  \  x )  ->  (
( x  u.  y
)  =/=  U. J  <->  ( x  u.  U. J
)  =/=  U. J
) )
2722, 26imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( U. J  \  x )  ->  (
( ( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) )  ->  (
x  u.  y )  =/=  U. J )  <-> 
( ( x  =/=  (/)  /\  ( U. J  \  x )  =/=  (/) )  -> 
( x  u.  U. J )  =/=  U. J ) ) )
2827rspcv 3081 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U. J  \  x
)  e.  J  -> 
( A. y  e.  J  ( ( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) )  ->  ( x  u.  y )  =/=  U. J )  ->  (
( x  =/=  (/)  /\  ( U. J  \  x
)  =/=  (/) )  -> 
( x  u.  U. J )  =/=  U. J ) ) )
2913, 28syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  ( Clsd `  J ) )  -> 
( A. y  e.  J  ( ( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) )  ->  ( x  u.  y )  =/=  U. J )  ->  (
( x  =/=  (/)  /\  ( U. J  \  x
)  =/=  (/) )  -> 
( x  u.  U. J )  =/=  U. J ) ) )
301cldss 18645 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( Clsd `  J
)  ->  x  C_  U. J
)
3130adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  ( Clsd `  J ) )  ->  x  C_  U. J )
32 ssequn1 3538 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x 
C_  U. J  <->  ( x  u.  U. J )  = 
U. J )
3331, 32sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  ( Clsd `  J ) )  -> 
( x  u.  U. J )  =  U. J )
34 ssdif0 3749 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( U. J  C_  x  <->  ( U. J  \  x )  =  (/) )
35 idd 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  ( Clsd `  J ) )  -> 
( U. J  C_  x  ->  U. J  C_  x
) )
3635, 31jctild 543 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  ( Clsd `  J ) )  -> 
( U. J  C_  x  ->  ( x  C_  U. J  /\  U. J  C_  x ) ) )
37 eqss 3383 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  U. J  <->  ( x  C_ 
U. J  /\  U. J  C_  x ) )
3836, 37syl6ibr 227 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  ( Clsd `  J ) )  -> 
( U. J  C_  x  ->  x  =  U. J ) )
3934, 38syl5bir 218 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  ( Clsd `  J ) )  -> 
( ( U. J  \  x )  =  (/)  ->  x  =  U. J
) )
4033, 39embantd 54 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  ( Clsd `  J ) )  -> 
( ( ( x  u.  U. J )  =  U. J  -> 
( U. J  \  x )  =  (/) )  ->  x  =  U. J ) )
4140orim2d 836 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  ( Clsd `  J ) )  -> 
( ( x  =  (/)  \/  ( ( x  u.  U. J )  =  U. J  -> 
( U. J  \  x )  =  (/) ) )  ->  (
x  =  (/)  \/  x  =  U. J ) ) )
42 impexp 446 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  =/=  (/)  /\  ( U. J  \  x
)  =/=  (/) )  -> 
( x  u.  U. J )  =/=  U. J )  <->  ( x  =/=  (/)  ->  ( ( U. J  \  x
)  =/=  (/)  ->  (
x  u.  U. J
)  =/=  U. J
) ) )
43 df-ne 2620 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =/=  (/)  <->  -.  x  =  (/) )
44 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( U. J  \  x )  =/=  (/)  ->  (
x  u.  U. J
)  =/=  U. J
)  ->  ( ( U. J  \  x
)  =/=  (/)  ->  (
x  u.  U. J
)  =/=  U. J
) )
4544necon4d 2686 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( U. J  \  x )  =/=  (/)  ->  (
x  u.  U. J
)  =/=  U. J
)  ->  ( (
x  u.  U. J
)  =  U. J  ->  ( U. J  \  x )  =  (/) ) )
46 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  u.  U. J )  =  U. J  ->  ( U. J  \  x )  =  (/) )  ->  ( ( x  u.  U. J )  =  U. J  -> 
( U. J  \  x )  =  (/) ) )
4746necon3d 2658 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  u.  U. J )  =  U. J  ->  ( U. J  \  x )  =  (/) )  ->  ( ( U. J  \  x )  =/=  (/)  ->  ( x  u. 
U. J )  =/=  U. J ) )
4845, 47impbii 188 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( U. J  \  x )  =/=  (/)  ->  (
x  u.  U. J
)  =/=  U. J
)  <->  ( ( x  u.  U. J )  =  U. J  -> 
( U. J  \  x )  =  (/) ) )
4943, 48imbi12i 326 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  =/=  (/)  ->  (
( U. J  \  x )  =/=  (/)  ->  (
x  u.  U. J
)  =/=  U. J
) )  <->  ( -.  x  =  (/)  ->  (
( x  u.  U. J )  =  U. J  ->  ( U. J  \  x )  =  (/) ) ) )
50 pm4.64 372 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( -.  x  =  (/)  ->  ( ( x  u. 
U. J )  = 
U. J  ->  ( U. J  \  x
)  =  (/) ) )  <-> 
( x  =  (/)  \/  ( ( x  u. 
U. J )  = 
U. J  ->  ( U. J  \  x
)  =  (/) ) ) )
5149, 50bitri 249 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =/=  (/)  ->  (
( U. J  \  x )  =/=  (/)  ->  (
x  u.  U. J
)  =/=  U. J
) )  <->  ( x  =  (/)  \/  ( ( x  u.  U. J
)  =  U. J  ->  ( U. J  \  x )  =  (/) ) ) )
5242, 51bitri 249 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  =/=  (/)  /\  ( U. J  \  x
)  =/=  (/) )  -> 
( x  u.  U. J )  =/=  U. J )  <->  ( x  =  (/)  \/  ( ( x  u.  U. J
)  =  U. J  ->  ( U. J  \  x )  =  (/) ) ) )
53 vex 2987 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  x  e. 
_V
5453elpr 3907 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  { (/) ,  U. J }  <->  ( x  =  (/)  \/  x  =  U. J ) )
5541, 52, 543imtr4g 270 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  ( Clsd `  J ) )  -> 
( ( ( x  =/=  (/)  /\  ( U. J  \  x )  =/=  (/) )  ->  ( x  u.  U. J )  =/=  U. J )  ->  x  e.  { (/)
,  U. J } ) )
5629, 55syld 44 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  ( Clsd `  J ) )  -> 
( A. y  e.  J  ( ( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) )  ->  ( x  u.  y )  =/=  U. J )  ->  x  e.  { (/) ,  U. J } ) )
5756ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  e.  Top  ->  (
x  e.  ( Clsd `  J )  ->  ( A. y  e.  J  ( ( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) )  ->  (
x  u.  y )  =/=  U. J )  ->  x  e.  { (/)
,  U. J } ) ) )
5857com23 78 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A. y  e.  J  ( ( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) )  ->  (
x  u.  y )  =/=  U. J )  ->  ( x  e.  ( Clsd `  J
)  ->  x  e.  {
(/) ,  U. J }
) ) )
5958imim2d 52 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( x  e.  J  ->  A. y  e.  J  ( ( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) )  ->  (
x  u.  y )  =/=  U. J ) )  ->  ( x  e.  J  ->  ( x  e.  ( Clsd `  J
)  ->  x  e.  {
(/) ,  U. J }
) ) ) )
60 elin 3551 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( J  i^i  ( Clsd `  J )
)  <->  ( x  e.  J  /\  x  e.  ( Clsd `  J
) ) )
6160imbi1i 325 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( J  i^i  ( Clsd `  J
) )  ->  x  e.  { (/) ,  U. J } )  <->  ( (
x  e.  J  /\  x  e.  ( Clsd `  J ) )  ->  x  e.  { (/) ,  U. J } ) )
62 impexp 446 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  x  e.  ( Clsd `  J ) )  ->  x  e.  { (/)
,  U. J } )  <-> 
( x  e.  J  ->  ( x  e.  (
Clsd `  J )  ->  x  e.  { (/) , 
U. J } ) ) )
6361, 62bitri 249 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( J  i^i  ( Clsd `  J
) )  ->  x  e.  { (/) ,  U. J } )  <->  ( x  e.  J  ->  ( x  e.  ( Clsd `  J
)  ->  x  e.  {
(/) ,  U. J }
) ) )
6459, 63syl6ibr 227 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( x  e.  J  ->  A. y  e.  J  ( ( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) )  ->  (
x  u.  y )  =/=  U. J ) )  ->  ( x  e.  ( J  i^i  ( Clsd `  J ) )  ->  x  e.  { (/)
,  U. J } ) ) )
6564alimdv 1675 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A. x ( x  e.  J  ->  A. y  e.  J  ( (
x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) )  ->  ( x  u.  y )  =/=  U. J ) )  ->  A. x ( x  e.  ( J  i^i  ( Clsd `  J ) )  ->  x  e.  { (/)
,  U. J } ) ) )
66 df-ral 2732 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  J  A. y  e.  J  (
( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) )  ->  ( x  u.  y )  =/=  U. J )  <->  A. x
( x  e.  J  ->  A. y  e.  J  ( ( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) )  ->  (
x  u.  y )  =/=  U. J ) ) )
67 dfss2 3357 . . . . . 6  |-  ( ( J  i^i  ( Clsd `  J ) )  C_  {
(/) ,  U. J }  <->  A. x ( x  e.  ( J  i^i  ( Clsd `  J ) )  ->  x  e.  { (/)
,  U. J } ) )
6865, 66, 673imtr4g 270 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A. x  e.  J  A. y  e.  J  ( ( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) )  ->  (
x  u.  y )  =/=  U. J )  ->  ( J  i^i  ( Clsd `  J )
)  C_  { (/) ,  U. J } ) )
691iscon2 19030 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Con  <->  ( J  e.  Top  /\  ( J  i^i  ( Clsd `  J
) )  C_  { (/) , 
U. J } ) )
7069baib 896 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  ( J  e.  Con  <->  ( J  i^i  ( Clsd `  J
) )  C_  { (/) , 
U. J } ) )
7168, 70sylibrd 234 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A. x  e.  J  A. y  e.  J  ( ( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) )  ->  (
x  u.  y )  =/=  U. J )  ->  J  e.  Con ) )
7211, 71syl 16 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( A. x  e.  J  A. y  e.  J  (
( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) )  ->  ( x  u.  y )  =/=  U. J )  ->  J  e.  Con ) )
7310, 72impbid2 204 . 2  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( J  e.  Con  <->  A. x  e.  J  A. y  e.  J  ( ( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) )  ->  (
x  u.  y )  =/=  U. J ) ) )
74 toponuni 18544 . . . . 5  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
7574neeq2d 2634 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( (
x  u.  y )  =/=  X  <->  ( x  u.  y )  =/=  U. J ) )
7675imbi2d 316 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( (
( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) )  ->  ( x  u.  y )  =/= 
X )  <->  ( (
x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) )  ->  ( x  u.  y )  =/=  U. J ) ) )
77762ralbidv 2769 . 2  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( A. x  e.  J  A. y  e.  J  (
( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) )  ->  ( x  u.  y )  =/= 
X )  <->  A. x  e.  J  A. y  e.  J  ( (
x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) )  ->  ( x  u.  y )  =/=  U. J ) ) )
7873, 77bitr4d 256 1  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( J  e.  Con  <->  A. x  e.  J  A. y  e.  J  ( ( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) )  ->  (
x  u.  y )  =/=  X ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965   A.wal 1367    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2618   A.wral 2727    \ cdif 3337    u. cun 3338    i^i cin 3339    C_ wss 3340   (/)c0 3649   {cpr 3891   U.cuni 4103   ` cfv 5430   Topctop 18510  TopOnctopon 18511   Clsdccld 18632   Conccon 19027
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-ral 2732  df-rex 2733  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-op 3896  df-uni 4104  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-id 4648  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-fv 5438  df-top 18515  df-topon 18518  df-cld 18635  df-con 19028
This theorem is referenced by:  consuba  19036  pconcon  27132
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